Theorem indsn 32873

Description: The indicator function of a singleton. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
indsn	⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘{𝑋}) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 1, 0)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑂   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Proof of Theorem indsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → 𝑋 ∈ 𝑂)
2	1	snssd 4762	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → {𝑋} ⊆ 𝑂)
3		indval 32860	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘{𝑋}) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ {𝑋}, 1, 0)))
4	2, 3	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘{𝑋}) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ {𝑋}, 1, 0)))
5		velsn 4593	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑋} ↔ 𝑥 = 𝑋)
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → (𝑥 ∈ {𝑋} ↔ 𝑥 = 𝑋))
7	6	ifbid 4500	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → if(𝑥 ∈ {𝑋}, 1, 0) = if(𝑥 = 𝑋, 1, 0))
8	7	mpteq2dv 5189	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ {𝑋}, 1, 0)) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 1, 0)))
9	4, 8	eqtrd 2768	1 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘{𝑋}) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 1, 0)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3898  ifcif 4476  {csn 4577   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6489  0cc0 11017  1c1 11018  𝟭cind 32857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ind 32858

This theorem is referenced by:  esplyfval0  33650