Theorem indsn 33526

Description: The indicator function of a singleton. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
indsn	⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘{𝑋}) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 1, 0)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑂   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Proof of Theorem indsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → 𝑋 ∈ 𝑂)
2	1	snssd 4749	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → {𝑋} ⊆ 𝑂)
3		indval 12363	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘{𝑋}) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ {𝑋}, 1, 0)))
4	2, 3	syldan 603	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘{𝑋}) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ {𝑋}, 1, 0)))
5		velsn 4600	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑋} ↔ 𝑥 = 𝑋)
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → (𝑥 ∈ {𝑋} ↔ 𝑥 = 𝑋))
7	6	ifbid 4509	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → if(𝑥 ∈ {𝑋}, 1, 0) = if(𝑥 = 𝑋, 1, 0))
8	7	mpteq2dv 5205	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ {𝑋}, 1, 0)) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 1, 0)))
9	4, 8	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘{𝑋}) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 1, 0)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  ifcif 4485  {csn 4588   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6566  0cc0 11239  1c1 11240  𝟭cind 12360

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ind 12361

This theorem is used by:  esplyfval0  34307  esplyfval1  34316