Theorem indsn 32923

Description: The indicator function of a singleton. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
indsn	⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘{𝑋}) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 1, 0)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑂   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Proof of Theorem indsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → 𝑋 ∈ 𝑂)
2	1	snssd 4730	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → {𝑋} ⊆ 𝑂)
3		indval 12162	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘{𝑋}) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ {𝑋}, 1, 0)))
4	2, 3	syldan 592	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘{𝑋}) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ {𝑋}, 1, 0)))
5		velsn 4583	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑋} ↔ 𝑥 = 𝑋)
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → (𝑥 ∈ {𝑋} ↔ 𝑥 = 𝑋))
7	6	ifbid 4490	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → if(𝑥 ∈ {𝑋}, 1, 0) = if(𝑥 = 𝑋, 1, 0))
8	7	mpteq2dv 5179	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ {𝑋}, 1, 0)) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 1, 0)))
9	4, 8	eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘{𝑋}) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 1, 0)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889  ifcif 4466  {csn 4567   ↦ cmpt 5166  ‘cfv 6498  0cc0 11038  1c1 11039  𝟭cind 12159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ind 12160

This theorem is referenced by:  esplyfval0  33708  esplyfval1  33717