Theorem indsn 32938

Description: The indicator function of a singleton. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
indsn	⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘{𝑋}) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 1, 0)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑂   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Proof of Theorem indsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → 𝑋 ∈ 𝑂)
2	1	snssd 4753	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → {𝑋} ⊆ 𝑂)
3		indval 12153	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘{𝑋}) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ {𝑋}, 1, 0)))
4	2, 3	syldan 592	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘{𝑋}) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ {𝑋}, 1, 0)))
5		velsn 4584	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑋} ↔ 𝑥 = 𝑋)
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → (𝑥 ∈ {𝑋} ↔ 𝑥 = 𝑋))
7	6	ifbid 4491	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → if(𝑥 ∈ {𝑋}, 1, 0) = if(𝑥 = 𝑋, 1, 0))
8	7	mpteq2dv 5180	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ {𝑋}, 1, 0)) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 1, 0)))
9	4, 8	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘{𝑋}) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 1, 0)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  ifcif 4467  {csn 4568   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6492  0cc0 11029  1c1 11030  𝟭cind 12150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ind 12151

This theorem is referenced by:  esplyfval0  33723  esplyfval1  33732