Theorem indsn 33002

Description: The indicator function of a singleton. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
indsn	⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘{𝑋}) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 1, 0)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑂   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Proof of Theorem indsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → 𝑋 ∈ 𝑂)
2	1	snssd 4742	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → {𝑋} ⊆ 𝑂)
3		indval 12192	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘{𝑋}) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ {𝑋}, 1, 0)))
4	2, 3	syldan 600	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘{𝑋}) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ {𝑋}, 1, 0)))
5		velsn 4595	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑋} ↔ 𝑥 = 𝑋)
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → (𝑥 ∈ {𝑋} ↔ 𝑥 = 𝑋))
7	6	ifbid 4501	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → if(𝑥 ∈ {𝑋}, 1, 0) = if(𝑥 = 𝑋, 1, 0))
8	7	mpteq2dv 5191	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ {𝑋}, 1, 0)) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 1, 0)))
9	4, 8	eqtrd 2796	1 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘{𝑋}) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 1, 0)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3902  ifcif 4477  {csn 4579   ↦ cmpt 5178  ‘cfv 6516  0cc0 11067  1c1 11068  𝟭cind 12189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-ind 12190

This theorem is referenced by:  esplyfval0  33822  esplyfval1  33831