Theorem indf1o 33184

Description: The bijection between a power set and the set of indicator functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
indf1o	⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝟭‘𝑂):𝒫 𝑂–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝑂))

Proof of Theorem indf1o

Dummy variables 𝑥 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝑂 ∈ 𝑉)
2		0red 11206	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 0 ∈ ℝ)
3		1red 11204	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 1 ∈ ℝ)
4		0ne1 12307	. . . 4 ⊢ 0 ≠ 1
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 0 ≠ 1)
6		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))) = (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0)))
7	1, 2, 3, 5, 6	pw2f1o 9066	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))):𝒫 𝑂–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝑂))
8		indv 12215	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝟭‘𝑂) = (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))))
9	8	f1oeq1d 6815	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((𝟭‘𝑂):𝒫 𝑂–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝑂) ↔ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))):𝒫 𝑂–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝑂)))
10	7, 9	mpbird 260	1 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝟭‘𝑂):𝒫 𝑂–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ifcif 4487  𝒫 cpw 4562  {cpr 4591   ↦ cmpt 5192  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8820  ℝcr 11094  0cc0 11095  1c1 11096  𝟭cind 12213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-map 8822  df-ind 12214

This theorem is referenced by:  indf1ofs  33186  esplyfval0  33954  esplylem  33956  esplympl  33957  esplymhp  33958  esplyfv1  33959  esplyfv  33960  esplyfval3  33962  vieta  33970  eulerpartgbij  34762