Theorem indf1o 32957

Description: The bijection between a power set and the set of indicator functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
indf1o	⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝟭‘𝑂):𝒫 𝑂–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝑂))

Proof of Theorem indf1o

Dummy variables 𝑥 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝑂 ∈ 𝑉)
2		0red 11147	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 0 ∈ ℝ)
3		1red 11145	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 1 ∈ ℝ)
4		0ne1 12228	. . . 4 ⊢ 0 ≠ 1
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 0 ≠ 1)
6		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))) = (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0)))
7	1, 2, 3, 5, 6	pw2f1o 9022	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))):𝒫 𝑂–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝑂))
8		indv 32942	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝟭‘𝑂) = (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))))
9	8	f1oeq1d 6777	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((𝟭‘𝑂):𝒫 𝑂–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝑂) ↔ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))):𝒫 𝑂–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝑂)))
10	7, 9	mpbird 257	1 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝟭‘𝑂):𝒫 𝑂–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ifcif 4481  𝒫 cpw 4556  {cpr 4584   ↦ cmpt 5181  –1-1-onto→wf1o 6499  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ↑_m cmap 8775  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039  𝟭cind 32940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-map 8777  df-ind 32941

This theorem is referenced by:  indf1ofs  32959  esplyfval0  33741  esplylem  33743  esplympl  33744  esplymhp  33745  esplyfv1  33746  esplyfv  33747  esplyfval3  33749  vieta  33757  eulerpartgbij  34550