Theorem indf1o 31892

Description: The bijection between a power set and the set of indicator functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
indf1o	⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝟭‘𝑂):𝒫 𝑂–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝑂))

Proof of Theorem indf1o

Dummy variables 𝑥 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝑂 ∈ 𝑉)
2		0red 10909	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 0 ∈ ℝ)
3		1red 10907	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 1 ∈ ℝ)
4		0ne1 11974	. . . 4 ⊢ 0 ≠ 1
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 0 ≠ 1)
6		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))) = (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0)))
7	1, 2, 3, 5, 6	pw2f1o 8817	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))):𝒫 𝑂–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝑂))
8		indv 31880	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝟭‘𝑂) = (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))))
9	8	f1oeq1d 6695	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((𝟭‘𝑂):𝒫 𝑂–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝑂) ↔ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))):𝒫 𝑂–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝑂)))
10	7, 9	mpbird 256	1 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝟭‘𝑂):𝒫 𝑂–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ifcif 4456  𝒫 cpw 4530  {cpr 4560   ↦ cmpt 5153  –1-1-onto→wf1o 6417  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803  𝟭cind 31878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-map 8575  df-ind 31879

This theorem is referenced by:  indf1ofs  31894  eulerpartgbij  32239