Theorem indf1o 33121

Description: The bijection between a power set and the set of indicator functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
indf1o	⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝟭‘𝑂):𝒫 𝑂–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝑂))

Proof of Theorem indf1o

Dummy variables 𝑥 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝑂 ∈ 𝑉)
2		0red 11207	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 0 ∈ ℝ)
3		1red 11205	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 1 ∈ ℝ)
4		0ne1 12308	. . . 4 ⊢ 0 ≠ 1
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 0 ≠ 1)
6		eqid 2769	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))) = (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0)))
7	1, 2, 3, 5, 6	pw2f1o 9066	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))):𝒫 𝑂–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝑂))
8		indv 12216	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝟭‘𝑂) = (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))))
9	8	f1oeq1d 6813	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((𝟭‘𝑂):𝒫 𝑂–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝑂) ↔ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))):𝒫 𝑂–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝑂)))
10	7, 9	mpbird 260	1 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝟭‘𝑂):𝒫 𝑂–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ifcif 4489  𝒫 cpw 4564  {cpr 4593   ↦ cmpt 5193  –1-1-onto→wf1o 6533  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408   ↑_m cmap 8820  ℝcr 11095  0cc0 11096  1c1 11097  𝟭cind 12214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-map 8822  df-ind 12215

This theorem is referenced by:  indf1ofs  33123  esplyfval0  33895  esplylem  33897  esplympl  33898  esplymhp  33899  esplyfv1  33900  esplyfv  33901  esplyfval3  33903  vieta  33911  eulerpartgbij  34703