Theorem indf1o 32849

Description: The bijection between a power set and the set of indicator functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
indf1o	⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝟭‘𝑂):𝒫 𝑂–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝑂))

Proof of Theorem indf1o

Dummy variables 𝑥 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝑂 ∈ 𝑉)
2		0red 11264	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 0 ∈ ℝ)
3		1red 11262	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 1 ∈ ℝ)
4		0ne1 12337	. . . 4 ⊢ 0 ≠ 1
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 0 ≠ 1)
6		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))) = (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0)))
7	1, 2, 3, 5, 6	pw2f1o 9117	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))):𝒫 𝑂–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝑂))
8		indv 32837	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝟭‘𝑂) = (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))))
9	8	f1oeq1d 6843	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((𝟭‘𝑂):𝒫 𝑂–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝑂) ↔ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))):𝒫 𝑂–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝑂)))
10	7, 9	mpbird 257	1 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝟭‘𝑂):𝒫 𝑂–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ifcif 4525  𝒫 cpw 4600  {cpr 4628   ↦ cmpt 5225  –1-1-onto→wf1o 6560  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8866  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156  𝟭cind 32835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8868  df-ind 32836

This theorem is referenced by:  indf1ofs  32851  eulerpartgbij  34374