Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  indf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem indf1o 31554
Description: The bijection between a power set and the set of indicator functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
indf1o (𝑂𝑉 → (𝟭‘𝑂):𝒫 𝑂1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝑂))

Proof of Theorem indf1o
Dummy variables 𝑥 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 (𝑂𝑉𝑂𝑉)
2 0red 10715 . . 3 (𝑂𝑉 → 0 ∈ ℝ)
3 1red 10713 . . 3 (𝑂𝑉 → 1 ∈ ℝ)
4 0ne1 11780 . . . 4 0 ≠ 1
54a1i 11 . . 3 (𝑂𝑉 → 0 ≠ 1)
6 eqid 2738 . . 3 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥𝑂 ↦ if(𝑥𝑎, 1, 0))) = (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥𝑂 ↦ if(𝑥𝑎, 1, 0)))
71, 2, 3, 5, 6pw2f1o 8664 . 2 (𝑂𝑉 → (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥𝑂 ↦ if(𝑥𝑎, 1, 0))):𝒫 𝑂1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝑂))
8 indv 31542 . . 3 (𝑂𝑉 → (𝟭‘𝑂) = (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥𝑂 ↦ if(𝑥𝑎, 1, 0))))
98f1oeq1d 6607 . 2 (𝑂𝑉 → ((𝟭‘𝑂):𝒫 𝑂1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝑂) ↔ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥𝑂 ↦ if(𝑥𝑎, 1, 0))):𝒫 𝑂1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝑂)))
107, 9mpbird 260 1 (𝑂𝑉 → (𝟭‘𝑂):𝒫 𝑂1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝑂))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2113  wne 2934  ifcif 4411  𝒫 cpw 4485  {cpr 4515  cmpt 5107  1-1-ontowf1o 6332  cfv 6333  (class class class)co 7164  m cmap 8430  cr 10607  0cc0 10608  1c1 10609  𝟭cind 31540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-map 8432  df-ind 31541
This theorem is referenced by:  indf1ofs  31556  eulerpartgbij  31901
  Copyright terms: Public domain W3C validator