Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  indf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem indf1o 34005
Description: The bijection between a power set and the set of indicator functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
indf1o (𝑂𝑉 → (𝟭‘𝑂):𝒫 𝑂1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝑂))

Proof of Theorem indf1o
Dummy variables 𝑥 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 (𝑂𝑉𝑂𝑉)
2 0red 11262 . . 3 (𝑂𝑉 → 0 ∈ ℝ)
3 1red 11260 . . 3 (𝑂𝑉 → 1 ∈ ℝ)
4 0ne1 12335 . . . 4 0 ≠ 1
54a1i 11 . . 3 (𝑂𝑉 → 0 ≠ 1)
6 eqid 2735 . . 3 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥𝑂 ↦ if(𝑥𝑎, 1, 0))) = (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥𝑂 ↦ if(𝑥𝑎, 1, 0)))
71, 2, 3, 5, 6pw2f1o 9116 . 2 (𝑂𝑉 → (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥𝑂 ↦ if(𝑥𝑎, 1, 0))):𝒫 𝑂1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝑂))
8 indv 33993 . . 3 (𝑂𝑉 → (𝟭‘𝑂) = (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥𝑂 ↦ if(𝑥𝑎, 1, 0))))
98f1oeq1d 6844 . 2 (𝑂𝑉 → ((𝟭‘𝑂):𝒫 𝑂1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝑂) ↔ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥𝑂 ↦ if(𝑥𝑎, 1, 0))):𝒫 𝑂1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝑂)))
107, 9mpbird 257 1 (𝑂𝑉 → (𝟭‘𝑂):𝒫 𝑂1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝑂))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2106  wne 2938  ifcif 4531  𝒫 cpw 4605  {cpr 4633  cmpt 5231  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154  𝟭cind 33991
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8867  df-ind 33992
This theorem is referenced by:  indf1ofs  34007  eulerpartgbij  34354
  Copyright terms: Public domain W3C validator