Theorem prodindf 33485

Description: The product of indicators is one if and only if all values are in the set. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodindf.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
prodindf.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
prodindf.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑂)
prodindf.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑂)

Assertion

Ref	Expression
prodindf	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = if(ran 𝐹 ⊆ 𝐵, 1, 0))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑂   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem prodindf

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2fveq3 6901	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑙)))
2		prodindf.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
3		prodindf.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
4		prodindf.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑂)
5		indf 12339	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐵):𝑂⟶{0, 1})
6	3, 4, 5	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐵):𝑂⟶{0, 1})
7	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐵):𝑂⟶{0, 1})
8		prodindf.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑂)
9	8	ffvelcdmda 7095	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑂)
10	7, 9	ffvelcdmd 7096	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) ∈ {0, 1})
11	1, 2, 10	fprodex01 33472	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = if(∀𝑙 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑙)) = 1, 1, 0))
12		2fveq3 6901	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑙)) = (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)))
13	12	eqeq1d 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑙)) = 1 ↔ (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = 1))
14	13	cbvralvw 3244	. . . 4 ⊢ (∀𝑙 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑙)) = 1 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = 1)
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑙 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑙)) = 1 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = 1))
16	15	ifbid 4509	. 2 ⊢ (𝜑 → if(∀𝑙 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑙)) = 1, 1, 0) = if(∀𝑘 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = 1, 1, 0))
17		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))
18	17	rnmptss 7134	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵 → ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵)
19		nfv 1948	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
20		nfmpt1 5207	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))
21	20	nfrn 5939	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))
22		nfcv 2926	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
23	21, 22	nfss 3906	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵
24	19, 23	nfan 1933	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵)
25		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵)
26	8	feqmptd 6964	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
27		eqidd 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑘 = 𝑘)
28	26, 27	fveq12d 6903	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑘) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))‘𝑘))
29	28	ralrimivw 3162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))‘𝑘))
30	29	r19.21bi 3258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))‘𝑘))
31	8	ffnd 6721	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
32	26	fneq1d 6643	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐹 Fn 𝐴 ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) Fn 𝐴))
33	31, 32	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) Fn 𝐴)
34	33	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) Fn 𝐴)
35		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝐴)
36		fnfvelrn 7091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) Fn 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))‘𝑘) ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
37	34, 35, 36	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))‘𝑘) ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
38	30, 37	eqeltrd 2864	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
39	38	adantlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
40	25, 39	sseldd 3914	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
41	40	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵) → (𝑘 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵))
42	24, 41	ralrimi 3264	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
43	42	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵))
44	18, 43	impbid2 229	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵 ↔ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵))
45	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑂 ∈ 𝑉)
46	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝑂)
47		ind1a 12344	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑂 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = 1 ↔ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵))
48	45, 46, 9, 47	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = 1 ↔ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵))
49	48	ralbidva 3187	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = 1 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵))
50	26	rneqd 5925	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
51	50	sseq1d 3944	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ⊆ 𝐵 ↔ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵))
52	44, 49, 51	3bitr4d 314	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = 1 ↔ ran 𝐹 ⊆ 𝐵))
53	52	ifbid 4509	. 2 ⊢ (𝜑 → if(∀𝑘 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = 1, 1, 0) = if(ran 𝐹 ⊆ 𝐵, 1, 0))
54	11, 16, 53	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = if(ran 𝐹 ⊆ 𝐵, 1, 0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900  ifcif 4485  {cpr 4590   ↦ cmpt 5189  ran crn 5656   Fn wfn 6542  ⟶wf 6543  ‘cfv 6547  Fincfn 8987  0cc0 11213  1c1 11214  𝟭cind 12333  ∏cprod 16087

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-inf2 9655  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-pre-sup 11291

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-sup 9447  df-oi 9517  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-ind 12334  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-rp 13134  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-seq 14158  df-exp 14218  df-hash 14488  df-cj 15281  df-re 15282  df-im 15283  df-sqrt 15417  df-abs 15418  df-clim 15670  df-prod 16088

This theorem is used by:  hashreprin  35305