Theorem prodindf 32845

Description: The product of indicators is one if and only if all values are in the set. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodindf.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
prodindf.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
prodindf.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑂)
prodindf.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑂)

Assertion

Ref	Expression
prodindf	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = if(ran 𝐹 ⊆ 𝐵, 1, 0))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑂   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem prodindf

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2fveq3 6886	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑙)))
2		prodindf.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
3		prodindf.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
4		prodindf.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑂)
5		indf 32837	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐵):𝑂⟶{0, 1})
6	3, 4, 5	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐵):𝑂⟶{0, 1})
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐵):𝑂⟶{0, 1})
8		prodindf.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑂)
9	8	ffvelcdmda 7079	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑂)
10	7, 9	ffvelcdmd 7080	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) ∈ {0, 1})
11	1, 2, 10	fprodex01 32809	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = if(∀𝑙 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑙)) = 1, 1, 0))
12		2fveq3 6886	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑙)) = (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)))
13	12	eqeq1d 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑙)) = 1 ↔ (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = 1))
14	13	cbvralvw 3224	. . . 4 ⊢ (∀𝑙 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑙)) = 1 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = 1)
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑙 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑙)) = 1 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = 1))
16	15	ifbid 4529	. 2 ⊢ (𝜑 → if(∀𝑙 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑙)) = 1, 1, 0) = if(∀𝑘 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = 1, 1, 0))
17		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))
18	17	rnmptss 7118	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵 → ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵)
19		nfv 1914	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
20		nfmpt1 5225	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))
21	20	nfrn 5937	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))
22		nfcv 2899	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
23	21, 22	nfss 3956	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵
24	19, 23	nfan 1899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵)
25		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵)
26	8	feqmptd 6952	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
27		eqidd 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑘 = 𝑘)
28	26, 27	fveq12d 6888	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑘) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))‘𝑘))
29	28	ralrimivw 3137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))‘𝑘))
30	29	r19.21bi 3238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))‘𝑘))
31	8	ffnd 6712	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
32	26	fneq1d 6636	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐹 Fn 𝐴 ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) Fn 𝐴))
33	31, 32	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) Fn 𝐴)
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) Fn 𝐴)
35		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝐴)
36		fnfvelrn 7075	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) Fn 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))‘𝑘) ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
37	34, 35, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))‘𝑘) ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
38	30, 37	eqeltrd 2835	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
39	38	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
40	25, 39	sseldd 3964	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
41	40	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵) → (𝑘 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵))
42	24, 41	ralrimi 3244	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
43	42	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵))
44	18, 43	impbid2 226	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵 ↔ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵))
45	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑂 ∈ 𝑉)
46	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝑂)
47		ind1a 32841	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑂 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = 1 ↔ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵))
48	45, 46, 9, 47	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = 1 ↔ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵))
49	48	ralbidva 3162	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = 1 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵))
50	26	rneqd 5923	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
51	50	sseq1d 3995	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ⊆ 𝐵 ↔ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵))
52	44, 49, 51	3bitr4d 311	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = 1 ↔ ran 𝐹 ⊆ 𝐵))
53	52	ifbid 4529	. 2 ⊢ (𝜑 → if(∀𝑘 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = 1, 1, 0) = if(ran 𝐹 ⊆ 𝐵, 1, 0))
54	11, 16, 53	3eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = if(ran 𝐹 ⊆ 𝐵, 1, 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052   ⊆ wss 3931  ifcif 4505  {cpr 4608   ↦ cmpt 5206  ran crn 5660   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  Fincfn 8964  0cc0 11134  1c1 11135  ∏cprod 15924  𝟭cind 32832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9459  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-clim 15509  df-prod 15925  df-ind 32833

This theorem is referenced by:  hashreprin  34657