Theorem prodindf 32807

Description: The product of indicators is one if and only if all values are in the set. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodindf.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
prodindf.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
prodindf.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑂)
prodindf.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑂)

Assertion

Ref	Expression
prodindf	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = if(ran 𝐹 ⊆ 𝐵, 1, 0))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑂   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem prodindf

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2fveq3 6827	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑙)))
2		prodindf.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
3		prodindf.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
4		prodindf.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑂)
5		indf 32799	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐵):𝑂⟶{0, 1})
6	3, 4, 5	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐵):𝑂⟶{0, 1})
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐵):𝑂⟶{0, 1})
8		prodindf.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑂)
9	8	ffvelcdmda 7018	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑂)
10	7, 9	ffvelcdmd 7019	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) ∈ {0, 1})
11	1, 2, 10	fprodex01 32771	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = if(∀𝑙 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑙)) = 1, 1, 0))
12		2fveq3 6827	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑙)) = (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)))
13	12	eqeq1d 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑙)) = 1 ↔ (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = 1))
14	13	cbvralvw 3207	. . . 4 ⊢ (∀𝑙 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑙)) = 1 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = 1)
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑙 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑙)) = 1 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = 1))
16	15	ifbid 4500	. 2 ⊢ (𝜑 → if(∀𝑙 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑙)) = 1, 1, 0) = if(∀𝑘 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = 1, 1, 0))
17		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))
18	17	rnmptss 7057	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵 → ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵)
19		nfv 1914	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
20		nfmpt1 5191	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))
21	20	nfrn 5894	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))
22		nfcv 2891	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
23	21, 22	nfss 3928	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵
24	19, 23	nfan 1899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵)
25		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵)
26	8	feqmptd 6891	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
27		eqidd 2730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑘 = 𝑘)
28	26, 27	fveq12d 6829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑘) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))‘𝑘))
29	28	ralrimivw 3125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))‘𝑘))
30	29	r19.21bi 3221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))‘𝑘))
31	8	ffnd 6653	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
32	26	fneq1d 6575	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐹 Fn 𝐴 ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) Fn 𝐴))
33	31, 32	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) Fn 𝐴)
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) Fn 𝐴)
35		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝐴)
36		fnfvelrn 7014	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) Fn 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))‘𝑘) ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
37	34, 35, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))‘𝑘) ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
38	30, 37	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
39	38	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
40	25, 39	sseldd 3936	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
41	40	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵) → (𝑘 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵))
42	24, 41	ralrimi 3227	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
43	42	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵))
44	18, 43	impbid2 226	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵 ↔ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵))
45	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑂 ∈ 𝑉)
46	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝑂)
47		ind1a 32803	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑂 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = 1 ↔ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵))
48	45, 46, 9, 47	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = 1 ↔ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵))
49	48	ralbidva 3150	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = 1 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵))
50	26	rneqd 5880	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
51	50	sseq1d 3967	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ⊆ 𝐵 ↔ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵))
52	44, 49, 51	3bitr4d 311	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = 1 ↔ ran 𝐹 ⊆ 𝐵))
53	52	ifbid 4500	. 2 ⊢ (𝜑 → if(∀𝑘 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = 1, 1, 0) = if(ran 𝐹 ⊆ 𝐵, 1, 0))
54	11, 16, 53	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = if(ran 𝐹 ⊆ 𝐵, 1, 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ⊆ wss 3903  ifcif 4476  {cpr 4579   ↦ cmpt 5173  ran crn 5620   Fn wfn 6477  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  Fincfn 8872  0cc0 11009  1c1 11010  ∏cprod 15810  𝟭cind 32794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-prod 15811  df-ind 32795

This theorem is referenced by:  hashreprin  34594