Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prodindf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodindf 30895
 Description: The product of indicators is one if and only if all values are in the set. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
prodindf.1 (𝜑𝑂𝑉)
prodindf.2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
prodindf.3 (𝜑𝐵𝑂)
prodindf.4 (𝜑𝐹:𝐴𝑂)
Assertion
Ref Expression
prodindf (𝜑 → ∏𝑘𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹𝑘)) = if(ran 𝐹𝐵, 1, 0))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑂   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem prodindf
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2fveq3 6550 . . 3 (𝑘 = 𝑙 → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹𝑘)) = (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹𝑙)))
2 prodindf.2 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
3 prodindf.1 . . . . . 6 (𝜑𝑂𝑉)
4 prodindf.3 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑂)
5 indf 30887 . . . . . 6 ((𝑂𝑉𝐵𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐵):𝑂⟶{0, 1})
63, 4, 5syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐵):𝑂⟶{0, 1})
76adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐵):𝑂⟶{0, 1})
8 prodindf.4 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴𝑂)
98ffvelrnda 6723 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑂)
107, 9ffvelrnd 6724 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹𝑘)) ∈ {0, 1})
111, 2, 10fprodex01 30221 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹𝑘)) = if(∀𝑙𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹𝑙)) = 1, 1, 0))
12 2fveq3 6550 . . . . . 6 (𝑙 = 𝑘 → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹𝑙)) = (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹𝑘)))
1312eqeq1d 2799 . . . . 5 (𝑙 = 𝑘 → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹𝑙)) = 1 ↔ (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹𝑘)) = 1))
1413cbvralv 3405 . . . 4 (∀𝑙𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹𝑙)) = 1 ↔ ∀𝑘𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹𝑘)) = 1)
1514a1i 11 . . 3 (𝜑 → (∀𝑙𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹𝑙)) = 1 ↔ ∀𝑘𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹𝑘)) = 1))
1615ifbid 4409 . 2 (𝜑 → if(∀𝑙𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹𝑙)) = 1, 1, 0) = if(∀𝑘𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹𝑘)) = 1, 1, 0))
17 eqid 2797 . . . . . 6 (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) = (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))
1817rnmptss 6756 . . . . 5 (∀𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ∈ 𝐵 → ran (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ⊆ 𝐵)
19 nfv 1896 . . . . . . . 8 𝑘𝜑
20 nfmpt1 5065 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))
2120nfrn 5713 . . . . . . . . 9 𝑘ran (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))
22 nfcv 2951 . . . . . . . . 9 𝑘𝐵
2321, 22nfss 3888 . . . . . . . 8 𝑘ran (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ⊆ 𝐵
2419, 23nfan 1885 . . . . . . 7 𝑘(𝜑 ∧ ran (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ⊆ 𝐵)
25 simplr 765 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ran (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑘𝐴) → ran (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ⊆ 𝐵)
268feqmptd 6608 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 = (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))
27 eqidd 2798 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑘 = 𝑘)
2826, 27fveq12d 6552 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹𝑘) = ((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))‘𝑘))
2928ralrimivw 3152 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 (𝐹𝑘) = ((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))‘𝑘))
3029r19.21bi 3177 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) = ((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))‘𝑘))
318ffnd 6390 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
3226fneq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹 Fn 𝐴 ↔ (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) Fn 𝐴))
3331, 32mpbid 233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) Fn 𝐴)
3433adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) Fn 𝐴)
35 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘𝐴)
36 fnfvelrn 6720 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) Fn 𝐴𝑘𝐴) → ((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))‘𝑘) ∈ ran (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))
3734, 35, 36syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))‘𝑘) ∈ ran (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))
3830, 37eqeltrd 2885 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ran (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))
3938adantlr 711 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ran (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ran (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))
4025, 39sseldd 3896 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ran (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ 𝐵)
4140ex 413 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ran (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ⊆ 𝐵) → (𝑘𝐴 → (𝐹𝑘) ∈ 𝐵))
4224, 41ralrimi 3185 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ran (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ⊆ 𝐵) → ∀𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ∈ 𝐵)
4342ex 413 . . . . 5 (𝜑 → (ran (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ⊆ 𝐵 → ∀𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ∈ 𝐵))
4418, 43impbid2 227 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ∈ 𝐵 ↔ ran (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ⊆ 𝐵))
453adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑂𝑉)
464adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑂)
47 ind1a 30891 . . . . . 6 ((𝑂𝑉𝐵𝑂 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹𝑘)) = 1 ↔ (𝐹𝑘) ∈ 𝐵))
4845, 46, 9, 47syl3anc 1364 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹𝑘)) = 1 ↔ (𝐹𝑘) ∈ 𝐵))
4948ralbidva 3165 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑘𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹𝑘)) = 1 ↔ ∀𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ∈ 𝐵))
5026rneqd 5697 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐹 = ran (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))
5150sseq1d 3925 . . . 4 (𝜑 → (ran 𝐹𝐵 ↔ ran (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ⊆ 𝐵))
5244, 49, 513bitr4d 312 . . 3 (𝜑 → (∀𝑘𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹𝑘)) = 1 ↔ ran 𝐹𝐵))
5352ifbid 4409 . 2 (𝜑 → if(∀𝑘𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹𝑘)) = 1, 1, 0) = if(ran 𝐹𝐵, 1, 0))
5411, 16, 533eqtrd 2837 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹𝑘)) = if(ran 𝐹𝐵, 1, 0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1525   ∈ wcel 2083  ∀wral 3107   ⊆ wss 3865  ifcif 4387  {cpr 4480   ↦ cmpt 5047  ran crn 5451   Fn wfn 6227  ⟶wf 6228  ‘cfv 6232  Fincfn 8364  0cc0 10390  1c1 10391  ∏cprod 15096  𝟭cind 30882 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-inf2 8957  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-fal 1538  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-oadd 7964  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-sup 8759  df-oi 8827  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-rp 12244  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-seq 13224  df-exp 13284  df-hash 13545  df-cj 14296  df-re 14297  df-im 14298  df-sqrt 14432  df-abs 14433  df-clim 14683  df-prod 15097  df-ind 30883 This theorem is referenced by:  hashreprin  31504
 Copyright terms: Public domain W3C validator