Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prodindf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodindf 33319
Description: The product of indicators is one if and only if all values are in the set. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
prodindf.1 (𝜑𝑂𝑉)
prodindf.2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
prodindf.3 (𝜑𝐵𝑂)
prodindf.4 (𝜑𝐹:𝐴𝑂)
Assertion
Ref Expression
prodindf (𝜑 → ∏𝑘𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹𝑘)) = if(ran 𝐹𝐵, 1, 0))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑂   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem prodindf
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2fveq3 6895 . . 3 (𝑘 = 𝑙 → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹𝑘)) = (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹𝑙)))
2 prodindf.2 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
3 prodindf.1 . . . . . 6 (𝜑𝑂𝑉)
4 prodindf.3 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑂)
5 indf 33311 . . . . . 6 ((𝑂𝑉𝐵𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐵):𝑂⟶{0, 1})
63, 4, 5syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐵):𝑂⟶{0, 1})
76adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐵):𝑂⟶{0, 1})
8 prodindf.4 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴𝑂)
98ffvelcdmda 7085 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑂)
107, 9ffvelcdmd 7086 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹𝑘)) ∈ {0, 1})
111, 2, 10fprodex01 32298 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹𝑘)) = if(∀𝑙𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹𝑙)) = 1, 1, 0))
12 2fveq3 6895 . . . . . 6 (𝑙 = 𝑘 → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹𝑙)) = (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹𝑘)))
1312eqeq1d 2732 . . . . 5 (𝑙 = 𝑘 → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹𝑙)) = 1 ↔ (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹𝑘)) = 1))
1413cbvralvw 3232 . . . 4 (∀𝑙𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹𝑙)) = 1 ↔ ∀𝑘𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹𝑘)) = 1)
1514a1i 11 . . 3 (𝜑 → (∀𝑙𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹𝑙)) = 1 ↔ ∀𝑘𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹𝑘)) = 1))
1615ifbid 4550 . 2 (𝜑 → if(∀𝑙𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹𝑙)) = 1, 1, 0) = if(∀𝑘𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹𝑘)) = 1, 1, 0))
17 eqid 2730 . . . . . 6 (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) = (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))
1817rnmptss 7123 . . . . 5 (∀𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ∈ 𝐵 → ran (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ⊆ 𝐵)
19 nfv 1915 . . . . . . . 8 𝑘𝜑
20 nfmpt1 5255 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))
2120nfrn 5950 . . . . . . . . 9 𝑘ran (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))
22 nfcv 2901 . . . . . . . . 9 𝑘𝐵
2321, 22nfss 3973 . . . . . . . 8 𝑘ran (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ⊆ 𝐵
2419, 23nfan 1900 . . . . . . 7 𝑘(𝜑 ∧ ran (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ⊆ 𝐵)
25 simplr 765 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ran (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑘𝐴) → ran (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ⊆ 𝐵)
268feqmptd 6959 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 = (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))
27 eqidd 2731 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑘 = 𝑘)
2826, 27fveq12d 6897 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹𝑘) = ((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))‘𝑘))
2928ralrimivw 3148 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 (𝐹𝑘) = ((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))‘𝑘))
3029r19.21bi 3246 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) = ((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))‘𝑘))
318ffnd 6717 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
3226fneq1d 6641 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹 Fn 𝐴 ↔ (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) Fn 𝐴))
3331, 32mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) Fn 𝐴)
3433adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) Fn 𝐴)
35 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘𝐴)
36 fnfvelrn 7081 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) Fn 𝐴𝑘𝐴) → ((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))‘𝑘) ∈ ran (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))
3734, 35, 36syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))‘𝑘) ∈ ran (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))
3830, 37eqeltrd 2831 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ran (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))
3938adantlr 711 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ran (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ran (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))
4025, 39sseldd 3982 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ran (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ 𝐵)
4140ex 411 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ran (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ⊆ 𝐵) → (𝑘𝐴 → (𝐹𝑘) ∈ 𝐵))
4224, 41ralrimi 3252 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ran (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ⊆ 𝐵) → ∀𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ∈ 𝐵)
4342ex 411 . . . . 5 (𝜑 → (ran (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ⊆ 𝐵 → ∀𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ∈ 𝐵))
4418, 43impbid2 225 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ∈ 𝐵 ↔ ran (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ⊆ 𝐵))
453adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑂𝑉)
464adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑂)
47 ind1a 33315 . . . . . 6 ((𝑂𝑉𝐵𝑂 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹𝑘)) = 1 ↔ (𝐹𝑘) ∈ 𝐵))
4845, 46, 9, 47syl3anc 1369 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹𝑘)) = 1 ↔ (𝐹𝑘) ∈ 𝐵))
4948ralbidva 3173 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑘𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹𝑘)) = 1 ↔ ∀𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ∈ 𝐵))
5026rneqd 5936 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐹 = ran (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))
5150sseq1d 4012 . . . 4 (𝜑 → (ran 𝐹𝐵 ↔ ran (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ⊆ 𝐵))
5244, 49, 513bitr4d 310 . . 3 (𝜑 → (∀𝑘𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹𝑘)) = 1 ↔ ran 𝐹𝐵))
5352ifbid 4550 . 2 (𝜑 → if(∀𝑘𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹𝑘)) = 1, 1, 0) = if(ran 𝐹𝐵, 1, 0))
5411, 16, 533eqtrd 2774 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹𝑘)) = if(ran 𝐹𝐵, 1, 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1539  wcel 2104  wral 3059  wss 3947  ifcif 4527  {cpr 4629  cmpt 5230  ran crn 5676   Fn wfn 6537  wf 6538  cfv 6542  Fincfn 8941  0cc0 11112  1c1 11113  cprod 15853  𝟭cind 33306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-prod 15854  df-ind 33307
This theorem is referenced by:  hashreprin  33930
  Copyright terms: Public domain W3C validator