Theorem prodindf 33311

Description: The product of indicators is one if and only if all values are in the set. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodindf.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
prodindf.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
prodindf.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑂)
prodindf.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑂)

Assertion

Ref	Expression
prodindf	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = if(ran 𝐹 ⊆ 𝐵, 1, 0))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑂   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem prodindf

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2fveq3 6884	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑙)))
2		prodindf.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
3		prodindf.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
4		prodindf.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑂)
5		indf 12251	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐵):𝑂⟶{0, 1})
6	3, 4, 5	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐵):𝑂⟶{0, 1})
7	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐵):𝑂⟶{0, 1})
8		prodindf.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑂)
9	8	ffvelcdmda 7078	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑂)
10	7, 9	ffvelcdmd 7079	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) ∈ {0, 1})
11	1, 2, 10	fprodex01 33298	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = if(∀𝑙 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑙)) = 1, 1, 0))
12		2fveq3 6884	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑙)) = (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)))
13	12	eqeq1d 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑙)) = 1 ↔ (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = 1))
14	13	cbvralvw 3240	. . . 4 ⊢ (∀𝑙 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑙)) = 1 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = 1)
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑙 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑙)) = 1 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = 1))
16	15	ifbid 4506	. 2 ⊢ (𝜑 → if(∀𝑙 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑙)) = 1, 1, 0) = if(∀𝑘 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = 1, 1, 0))
17		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))
18	17	rnmptss 7117	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵 → ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵)
19		nfv 1947	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
20		nfmpt1 5204	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))
21	20	nfrn 5936	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))
22		nfcv 2922	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
23	21, 22	nfss 3924	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵
24	19, 23	nfan 1932	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵)
25		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵)
26	8	feqmptd 6947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
27		eqidd 2761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑘 = 𝑘)
28	26, 27	fveq12d 6886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑘) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))‘𝑘))
29	28	ralrimivw 3158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))‘𝑘))
30	29	r19.21bi 3254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))‘𝑘))
31	8	ffnd 6704	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
32	26	fneq1d 6626	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐹 Fn 𝐴 ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) Fn 𝐴))
33	31, 32	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) Fn 𝐴)
34	33	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) Fn 𝐴)
35		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝐴)
36		fnfvelrn 7074	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) Fn 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))‘𝑘) ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
37	34, 35, 36	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))‘𝑘) ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
38	30, 37	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
39	38	adantlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
40	25, 39	sseldd 3932	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
41	40	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵) → (𝑘 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵))
42	24, 41	ralrimi 3260	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
43	42	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵))
44	18, 43	impbid2 229	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵 ↔ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵))
45	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑂 ∈ 𝑉)
46	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝑂)
47		ind1a 12256	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑂 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = 1 ↔ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵))
48	45, 46, 9, 47	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = 1 ↔ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵))
49	48	ralbidva 3183	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = 1 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵))
50	26	rneqd 5922	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
51	50	sseq1d 3962	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ⊆ 𝐵 ↔ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵))
52	44, 49, 51	3bitr4d 314	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = 1 ↔ ran 𝐹 ⊆ 𝐵))
53	52	ifbid 4506	. 2 ⊢ (𝜑 → if(∀𝑘 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = 1, 1, 0) = if(ran 𝐹 ⊆ 𝐵, 1, 0))
54	11, 16, 53	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = if(ran 𝐹 ⊆ 𝐵, 1, 0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   ⊆ wss 3899  ifcif 4482  {cpr 4586   ↦ cmpt 5186  ran crn 5656   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  Fincfn 8955  0cc0 11127  1c1 11128  𝟭cind 12245  ∏cprod 15995

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-ind 12246  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13046  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-seq 14069  df-exp 14129  df-hash 14398  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-clim 15578  df-prod 15996

This theorem is used by:  hashreprin  35131