Theorem prodindf 33021

Description: The product of indicators is one if and only if all values are in the set. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodindf.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
prodindf.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
prodindf.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑂)
prodindf.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑂)

Assertion

Ref	Expression
prodindf	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = if(ran 𝐹 ⊆ 𝐵, 1, 0))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑂   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem prodindf

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2fveq3 6897	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑙)))
2		prodindf.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
3		prodindf.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
4		prodindf.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑂)
5		indf 33013	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐵):𝑂⟶{0, 1})
6	3, 4, 5	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐵):𝑂⟶{0, 1})
7	6	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐵):𝑂⟶{0, 1})
8		prodindf.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑂)
9	8	ffvelcdmda 7087	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑂)
10	7, 9	ffvelcdmd 7088	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) ∈ {0, 1})
11	1, 2, 10	fprodex01 32031	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = if(∀𝑙 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑙)) = 1, 1, 0))
12		2fveq3 6897	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑙)) = (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)))
13	12	eqeq1d 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑙)) = 1 ↔ (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = 1))
14	13	cbvralvw 3235	. . . 4 ⊢ (∀𝑙 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑙)) = 1 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = 1)
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑙 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑙)) = 1 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = 1))
16	15	ifbid 4552	. 2 ⊢ (𝜑 → if(∀𝑙 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑙)) = 1, 1, 0) = if(∀𝑘 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = 1, 1, 0))
17		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))
18	17	rnmptss 7122	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵 → ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵)
19		nfv 1918	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
20		nfmpt1 5257	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))
21	20	nfrn 5952	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))
22		nfcv 2904	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
23	21, 22	nfss 3975	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵
24	19, 23	nfan 1903	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵)
25		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵)
26	8	feqmptd 6961	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
27		eqidd 2734	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑘 = 𝑘)
28	26, 27	fveq12d 6899	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑘) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))‘𝑘))
29	28	ralrimivw 3151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))‘𝑘))
30	29	r19.21bi 3249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))‘𝑘))
31	8	ffnd 6719	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
32	26	fneq1d 6643	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐹 Fn 𝐴 ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) Fn 𝐴))
33	31, 32	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) Fn 𝐴)
34	33	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) Fn 𝐴)
35		simpr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝐴)
36		fnfvelrn 7083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) Fn 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))‘𝑘) ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
37	34, 35, 36	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))‘𝑘) ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
38	30, 37	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
39	38	adantlr 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
40	25, 39	sseldd 3984	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
41	40	ex 414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵) → (𝑘 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵))
42	24, 41	ralrimi 3255	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
43	42	ex 414	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵))
44	18, 43	impbid2 225	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵 ↔ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵))
45	3	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑂 ∈ 𝑉)
46	4	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝑂)
47		ind1a 33017	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑂 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = 1 ↔ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵))
48	45, 46, 9, 47	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = 1 ↔ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵))
49	48	ralbidva 3176	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = 1 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵))
50	26	rneqd 5938	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
51	50	sseq1d 4014	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ⊆ 𝐵 ↔ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⊆ 𝐵))
52	44, 49, 51	3bitr4d 311	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = 1 ↔ ran 𝐹 ⊆ 𝐵))
53	52	ifbid 4552	. 2 ⊢ (𝜑 → if(∀𝑘 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = 1, 1, 0) = if(ran 𝐹 ⊆ 𝐵, 1, 0))
54	11, 16, 53	3eqtrd 2777	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (((𝟭‘𝑂)‘𝐵)‘(𝐹‘𝑘)) = if(ran 𝐹 ⊆ 𝐵, 1, 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062   ⊆ wss 3949  ifcif 4529  {cpr 4631   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678   Fn wfn 6539  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  Fincfn 8939  0cc0 11110  1c1 11111  ∏cprod 15849  𝟭cind 33008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-prod 15850  df-ind 33009

This theorem is referenced by:  hashreprin  33632