Theorem esplyfval0 33748

Description: The 0-th elementary symmetric polynomial is the constant 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
esplyfval0.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
esplyfval0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
esplyfval0.0	⊢ 𝑈 = (1r‘(𝐼 mPoly 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
esplyfval0	⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘0) = 𝑈)

Proof of Theorem esplyfval0

Dummy variables 𝑐 ℎ 𝑘 𝑓 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. . 3 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
2		esplyfval0.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		esplyfval0.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4	1, 2, 3	esplyval 33746	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼eSymPoly𝑅) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘})))))
5		eqeq2 2751	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → ((♯‘𝑐) = 𝑘 ↔ (♯‘𝑐) = 0))
6	5	rabbidv 3398	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘} = {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0})
7	6	imaeq2d 6012	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘}) = ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0}))
8	7	fveq2d 6831	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘})) = ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0})))
9	8	coeq2d 5804	. . 3 ⊢ (𝑘 = 0 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘}))) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0}))))
10		fvif 6843	. . . . . 6 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅)‘if(𝑓 = (𝐼 × {0}), 1, 0)) = if(𝑓 = (𝐼 × {0}), ((ℤRHom‘𝑅)‘1), ((ℤRHom‘𝑅)‘0))
11		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
12		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
13	11, 12	zrh1 21487	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((ℤRHom‘𝑅)‘1) = (1r‘𝑅))
14	3, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘1) = (1r‘𝑅))
15		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
16	11, 15	zrh0 21488	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = (0g‘𝑅))
17	3, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = (0g‘𝑅))
18	14, 17	ifeq12d 4476	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝑓 = (𝐼 × {0}), ((ℤRHom‘𝑅)‘1), ((ℤRHom‘𝑅)‘0)) = if(𝑓 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
19	18	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → if(𝑓 = (𝐼 × {0}), ((ℤRHom‘𝑅)‘1), ((ℤRHom‘𝑅)‘0)) = if(𝑓 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
20	10, 19	eqtrid 2786	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ((ℤRHom‘𝑅)‘if(𝑓 = (𝐼 × {0}), 1, 0)) = if(𝑓 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
21	20	mpteq2dva 5165	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘if(𝑓 = (𝐼 × {0}), 1, 0))) = (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ if(𝑓 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
22		1zzd 12549	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 1 ∈ ℤ)
23		0zd 12527	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 0 ∈ ℤ)
24	22, 23	ifcld 4501	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → if(𝑓 = (𝐼 × {0}), 1, 0) ∈ ℤ)
25		fveqeq2 6836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = ∅ → ((♯‘𝑐) = 0 ↔ (♯‘∅) = 0))
26		0elpw 5284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐼
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝒫 𝐼)
28		hash0 14320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (♯‘∅) = 0
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘∅) = 0)
30		hasheq0 14316	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 → ((♯‘𝑐) = 0 ↔ 𝑐 = ∅))
31	30	biimpa 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∧ (♯‘𝑐) = 0) → 𝑐 = ∅)
32	31	adantll 720	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) ∧ (♯‘𝑐) = 0) → 𝑐 = ∅)
33	25, 27, 29, 32	rabeqsnd 4601	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0} = {∅})
34	33	imaeq2d 6012	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0}) = ((𝟭‘𝐼) “ {∅}))
35		indf1o 32943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝐼))
36		f1of 6767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝐼) → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼⟶({0, 1} ↑m 𝐼))
37	2, 35, 36	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼⟶({0, 1} ↑m 𝐼))
38	37	ffnd 6656	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝟭‘𝐼) Fn 𝒫 𝐼)
39	38, 27	fnimasnd 7309	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼) “ {∅}) = {((𝟭‘𝐼)‘∅)})
40		indconst0 12162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝟭‘𝐼)‘∅) = (𝐼 × {0}))
41	2, 40	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼)‘∅) = (𝐼 × {0}))
42	41	sneqd 4567	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {((𝟭‘𝐼)‘∅)} = {(𝐼 × {0})})
43	34, 39, 42	3eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0}) = {(𝐼 × {0})})
44	43	fveq2d 6831	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0})) = ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘{(𝐼 × {0})}))
45		ovex 7389	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
46	45	rabex 5267	. . . . . . 7 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ∈ V
47		breq1 5075	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = (𝐼 × {0}) → (ℎ finSupp 0 ↔ (𝐼 × {0}) finSupp 0))
48		nn0ex 12434	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 ∈ V
49	48	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
50		c0ex 11129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
51	50	fconst 6713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 × {0}):𝐼⟶{0}
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}):𝐼⟶{0})
53		0nn0 12443	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℕ0
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
55	54	snssd 4718	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {0} ⊆ ℕ0)
56	52, 55	fssd 6672	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}):𝐼⟶ℕ0)
57	49, 2, 56	elmapdd 8778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}) ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
58		0zd 12527	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
59	2, 58	fczfsuppd 9289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}) finSupp 0)
60	47, 57, 59	elrabd 3631	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
61		indsn 32942	. . . . . . 7 ⊢ (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ∈ V ∧ (𝐼 × {0}) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘{(𝐼 × {0})}) = (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ if(𝑓 = (𝐼 × {0}), 1, 0)))
62	46, 60, 61	sylancr 593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘{(𝐼 × {0})}) = (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ if(𝑓 = (𝐼 × {0}), 1, 0)))
63	44, 62	eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0})) = (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ if(𝑓 = (𝐼 × {0}), 1, 0)))
64	11	zrhrhm 21486	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
65		zringbas 21428	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
66		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
67	65, 66	rhmf 20455	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
68	3, 64, 67	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
69	68	feqmptd 6895	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝑅) = (𝑧 ∈ ℤ ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑧)))
70		fveq2 6827	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = if(𝑓 = (𝐼 × {0}), 1, 0) → ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑅)‘if(𝑓 = (𝐼 × {0}), 1, 0)))
71	24, 63, 69, 70	fmptco 7071	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0}))) = (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘if(𝑓 = (𝐼 × {0}), 1, 0))))
72		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
73	1	psrbasfsupp 33695	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
74		esplyfval0.0	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (1r‘(𝐼 mPoly 𝑅))
75	72, 73, 15, 12, 74, 2, 3	mpl1 21986	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ if(𝑓 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
76	21, 71, 75	3eqtr4d 2784	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0}))) = 𝑈)
77	9, 76	sylan9eqr 2796	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 0) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘}))) = 𝑈)
78	74	fvexi 6841	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ V
79	78	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)
80	4, 77, 54, 79	fvmptd 6943	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘0) = 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {crab 3391  Vcvv 3431  ∅c0 4261  ifcif 4454  𝒫 cpw 4529  {csn 4555  {cpr 4557   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153   × cxp 5616   “ cima 5621   ∘ ccom 5622  ⟶wf 6481  –1-1-onto→wf1o 6484  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ↑_m cmap 8763   finSupp cfsupp 9264  0cc0 11029  1c1 11030  𝟭cind 12150  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ♯chash 14283  Basecbs 17170  0_gc0g 17393  1_rcur 20153  Ringcrg 20205   RingHom crh 20440  ℤ_ringczring 21421  ℤRHomczrh 21474   mPoly cmpl 21881  eSymPolycesply 33740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-addf 11108  ax-mulf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-ofr 7621  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-ind 12151  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-prds 17401  df-pws 17403  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-cring 20208  df-rhm 20443  df-subrng 20518  df-subrg 20542  df-cnfld 21348  df-zring 21422  df-zrh 21478  df-psr 21884  df-mpl 21886  df-esply 33742

This theorem is referenced by:  vietalem  33763