Theorem esplyfval0 33895

Description: The 0-th elementary symmetric polynomial is the constant 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
esplyfval0.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
esplyfval0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
esplyfval0.0	⊢ 𝑈 = (1r‘(𝐼 mPoly 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
esplyfval0	⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘0) = 𝑈)

Proof of Theorem esplyfval0

Dummy variables 𝑐 ℎ 𝑘 𝑓 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . 3 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
2		esplyfval0.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		esplyfval0.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4	1, 2, 3	esplyval 33893	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼eSymPoly𝑅) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘})))))
5		eqeq2 2781	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → ((♯‘𝑐) = 𝑘 ↔ (♯‘𝑐) = 0))
6	5	rabbidv 3430	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘} = {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0})
7	6	imaeq2d 6060	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘}) = ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0}))
8	7	fveq2d 6883	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘})) = ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0})))
9	8	coeq2d 5846	. . 3 ⊢ (𝑘 = 0 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘}))) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0}))))
10		fvif 6895	. . . . . 6 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅)‘if(𝑓 = (𝐼 × {0}), 1, 0)) = if(𝑓 = (𝐼 × {0}), ((ℤRHom‘𝑅)‘1), ((ℤRHom‘𝑅)‘0))
11		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
12		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
13	11, 12	zrh1 21627	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((ℤRHom‘𝑅)‘1) = (1r‘𝑅))
14	3, 13	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘1) = (1r‘𝑅))
15		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
16	11, 15	zrh0 21628	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = (0g‘𝑅))
17	3, 16	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = (0g‘𝑅))
18	14, 17	ifeq12d 4511	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝑓 = (𝐼 × {0}), ((ℤRHom‘𝑅)‘1), ((ℤRHom‘𝑅)‘0)) = if(𝑓 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
19	18	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → if(𝑓 = (𝐼 × {0}), ((ℤRHom‘𝑅)‘1), ((ℤRHom‘𝑅)‘0)) = if(𝑓 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
20	10, 19	eqtrid 2816	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ((ℤRHom‘𝑅)‘if(𝑓 = (𝐼 × {0}), 1, 0)) = if(𝑓 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
21	20	mpteq2dva 5205	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘if(𝑓 = (𝐼 × {0}), 1, 0))) = (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ if(𝑓 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
22		1zzd 12621	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 1 ∈ ℤ)
23		0zd 12599	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 0 ∈ ℤ)
24	22, 23	ifcld 4536	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → if(𝑓 = (𝐼 × {0}), 1, 0) ∈ ℤ)
25		fveqeq2 6888	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = ∅ → ((♯‘𝑐) = 0 ↔ (♯‘∅) = 0))
26		0elpw 5324	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐼
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝒫 𝐼)
28		hash0 14399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (♯‘∅) = 0
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘∅) = 0)
30		hasheq0 14395	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 → ((♯‘𝑐) = 0 ↔ 𝑐 = ∅))
31	30	biimpa 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∧ (♯‘𝑐) = 0) → 𝑐 = ∅)
32	31	adantll 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) ∧ (♯‘𝑐) = 0) → 𝑐 = ∅)
33	25, 27, 29, 32	rabeqsnd 4637	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0} = {∅})
34	33	imaeq2d 6060	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0}) = ((𝟭‘𝐼) “ {∅}))
35		indf1o 33121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝐼))
36		f1of 6818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝐼) → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼⟶({0, 1} ↑m 𝐼))
37	2, 35, 36	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼⟶({0, 1} ↑m 𝐼))
38	37	ffnd 6704	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝟭‘𝐼) Fn 𝒫 𝐼)
39	38, 27	fnimasnd 7361	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼) “ {∅}) = {((𝟭‘𝐼)‘∅)})
40		indconst0 12226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝟭‘𝐼)‘∅) = (𝐼 × {0}))
41	2, 40	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼)‘∅) = (𝐼 × {0}))
42	41	sneqd 4603	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {((𝟭‘𝐼)‘∅)} = {(𝐼 × {0})})
43	34, 39, 42	3eqtrd 2808	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0}) = {(𝐼 × {0})})
44	43	fveq2d 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0})) = ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘{(𝐼 × {0})}))
45		ovex 7441	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
46	45	rabex 5307	. . . . . . 7 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ∈ V
47		breq1 5113	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = (𝐼 × {0}) → (ℎ finSupp 0 ↔ (𝐼 × {0}) finSupp 0))
48		nn0ex 12506	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 ∈ V
49	48	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
50		c0ex 11196	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
51	50	fconst 6762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 × {0}):𝐼⟶{0}
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}):𝐼⟶{0})
53		0nn0 12515	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℕ0
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
55	54	snssd 4754	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {0} ⊆ ℕ0)
56	52, 55	fssd 6721	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}):𝐼⟶ℕ0)
57	49, 2, 56	elmapdd 8834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}) ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
58		0zd 12599	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
59	2, 58	fczfsuppd 9342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}) finSupp 0)
60	47, 57, 59	elrabd 3661	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
61		indsn 33120	. . . . . . 7 ⊢ (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ∈ V ∧ (𝐼 × {0}) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘{(𝐼 × {0})}) = (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ if(𝑓 = (𝐼 × {0}), 1, 0)))
62	46, 60, 61	sylancr 598	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘{(𝐼 × {0})}) = (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ if(𝑓 = (𝐼 × {0}), 1, 0)))
63	44, 62	eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0})) = (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ if(𝑓 = (𝐼 × {0}), 1, 0)))
64	11	zrhrhm 21626	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
65		zringbas 21568	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
66		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
67	65, 66	rhmf 20562	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
68	3, 64, 67	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
69	68	feqmptd 6947	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝑅) = (𝑧 ∈ ℤ ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑧)))
70		fveq2 6879	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = if(𝑓 = (𝐼 × {0}), 1, 0) → ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑅)‘if(𝑓 = (𝐼 × {0}), 1, 0)))
71	24, 63, 69, 70	fmptco 7123	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0}))) = (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘if(𝑓 = (𝐼 × {0}), 1, 0))))
72		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
73	1	psrbasfsupp 33842	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
74		esplyfval0.0	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (1r‘(𝐼 mPoly 𝑅))
75	72, 73, 15, 12, 74, 2, 3	mpl1 22126	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ if(𝑓 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
76	21, 71, 75	3eqtr4d 2814	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0}))) = 𝑈)
77	9, 76	sylan9eqr 2826	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 0) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘}))) = 𝑈)
78	74	fvexi 6893	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ V
79	78	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)
80	4, 77, 54, 79	fvmptd 6995	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘0) = 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {crab 3423  Vcvv 3463  ∅c0 4294  ifcif 4489  𝒫 cpw 4564  {csn 4591  {cpr 4593   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   × cxp 5657   “ cima 5662   ∘ ccom 5663  ⟶wf 6529  –1-1-onto→wf1o 6532  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408   ↑_m cmap 8820   finSupp cfsupp 9317  0cc0 11096  1c1 11097  𝟭cind 12214  ℕ₀cn0 12500  ℤcz 12587  ♯chash 14362  Basecbs 17265  0_gc0g 17488  1_rcur 20259  Ringcrg 20311   RingHom crh 20547  ℤ_ringczring 21561  ℤRHomczrh 21614   mPoly cmpl 22021  eSymPolycesply 33887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-addf 11175  ax-mulf 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-ind 12215  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-hash 14363  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-hom 17330  df-cco 17331  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-prds 17496  df-pws 17498  df-mre 17634  df-mrc 17635  df-acs 17637  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-mhm 18837  df-submnd 18838  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-mulg 19130  df-subg 19185  df-ghm 19280  df-cntz 19383  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-rng 20227  df-ur 20260  df-ring 20313  df-cring 20314  df-rhm 20550  df-subrng 20627  df-subrg 20651  df-cnfld 21488  df-zring 21562  df-zrh 21618  df-psr 22024  df-mpl 22026  df-esply 33889

This theorem is referenced by:  vietalem  33910