Theorem esplyfval0 34074

Description: The 0-th elementary symmetric polynomial is the constant 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
esplyfval0.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
esplyfval0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
esplyfval0.0	⊢ 𝑈 = (1r‘(𝐼 mPoly 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
esplyfval0	⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘0) = 𝑈)

Proof of Theorem esplyfval0

Dummy variables 𝑐 ℎ 𝑘 𝑓 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
2		esplyfval0.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		esplyfval0.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4	1, 2, 3	esplyval 34072	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼eSymPoly𝑅) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘})))))
5		eqeq2 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → ((♯‘𝑐) = 𝑘 ↔ (♯‘𝑐) = 0))
6	5	rabbidv 3419	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘} = {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0})
7	6	imaeq2d 6056	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘}) = ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0}))
8	7	fveq2d 6882	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘})) = ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0})))
9	8	coeq2d 5842	. . 3 ⊢ (𝑘 = 0 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘}))) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0}))))
10		fvif 6894	. . . . . 6 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅)‘if(𝑓 = (𝐼 × {0}), 1, 0)) = if(𝑓 = (𝐼 × {0}), ((ℤRHom‘𝑅)‘1), ((ℤRHom‘𝑅)‘0))
11		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
12		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
13	11, 12	zrh1 21725	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((ℤRHom‘𝑅)‘1) = (1r‘𝑅))
14	3, 13	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘1) = (1r‘𝑅))
15		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
16	11, 15	zrh0 21726	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = (0g‘𝑅))
17	3, 16	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = (0g‘𝑅))
18	14, 17	ifeq12d 4504	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝑓 = (𝐼 × {0}), ((ℤRHom‘𝑅)‘1), ((ℤRHom‘𝑅)‘0)) = if(𝑓 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
19	18	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → if(𝑓 = (𝐼 × {0}), ((ℤRHom‘𝑅)‘1), ((ℤRHom‘𝑅)‘0)) = if(𝑓 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
20	10, 19	eqtrid 2807	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ((ℤRHom‘𝑅)‘if(𝑓 = (𝐼 × {0}), 1, 0)) = if(𝑓 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
21	20	mpteq2dva 5198	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘if(𝑓 = (𝐼 × {0}), 1, 0))) = (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ if(𝑓 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
22		1zzd 12649	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 1 ∈ ℤ)
23		0zd 12627	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 0 ∈ ℤ)
24	22, 23	ifcld 4529	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → if(𝑓 = (𝐼 × {0}), 1, 0) ∈ ℤ)
25		fveqeq2 6887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = ∅ → ((♯‘𝑐) = 0 ↔ (♯‘∅) = 0))
26		0elpw 5320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐼
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝒫 𝐼)
28		hash0 14431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (♯‘∅) = 0
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘∅) = 0)
30		hasheq0 14427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 → ((♯‘𝑐) = 0 ↔ 𝑐 = ∅))
31	30	biimpa 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∧ (♯‘𝑐) = 0) → 𝑐 = ∅)
32	31	adantll 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) ∧ (♯‘𝑐) = 0) → 𝑐 = ∅)
33	25, 27, 29, 32	rabeqsnd 4630	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0} = {∅})
34	33	imaeq2d 6056	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0}) = ((𝟭‘𝐼) “ {∅}))
35		indf1o 33310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝐼))
36		f1of 6817	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝐼) → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼⟶({0, 1} ↑m 𝐼))
37	2, 35, 36	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼⟶({0, 1} ↑m 𝐼))
38	37	ffnd 6703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝟭‘𝐼) Fn 𝒫 𝐼)
39	38, 27	fnimasnd 7366	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼) “ {∅}) = {((𝟭‘𝐼)‘∅)})
40		indconst0 12254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝟭‘𝐼)‘∅) = (𝐼 × {0}))
41	2, 40	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼)‘∅) = (𝐼 × {0}))
42	41	sneqd 4596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {((𝟭‘𝐼)‘∅)} = {(𝐼 × {0})})
43	34, 39, 42	3eqtrd 2799	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0}) = {(𝐼 × {0})})
44	43	fveq2d 6882	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0})) = ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘{(𝐼 × {0})}))
45		ovex 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
46	45	rabex 5303	. . . . . . 7 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ∈ V
47		breq1 5106	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = (𝐼 × {0}) → (ℎ finSupp 0 ↔ (𝐼 × {0}) finSupp 0))
48		nn0ex 12534	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 ∈ V
49	48	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
50		c0ex 11224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
51	50	fconst 6761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 × {0}):𝐼⟶{0}
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}):𝐼⟶{0})
53		0nn0 12543	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℕ0
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
55	54	snssd 4747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {0} ⊆ ℕ0)
56	52, 55	fssd 6720	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}):𝐼⟶ℕ0)
57	49, 2, 56	elmapdd 8840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}) ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
58		0zd 12627	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
59	2, 58	fczfsuppd 9356	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}) finSupp 0)
60	47, 57, 59	elrabd 3647	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
61		indsn 33309	. . . . . . 7 ⊢ (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ∈ V ∧ (𝐼 × {0}) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘{(𝐼 × {0})}) = (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ if(𝑓 = (𝐼 × {0}), 1, 0)))
62	46, 60, 61	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘{(𝐼 × {0})}) = (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ if(𝑓 = (𝐼 × {0}), 1, 0)))
63	44, 62	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0})) = (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ if(𝑓 = (𝐼 × {0}), 1, 0)))
64	11	zrhrhm 21724	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
65		zringbas 21666	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
66		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
67	65, 66	rhmf 20626	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
68	3, 64, 67	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
69	68	feqmptd 6946	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝑅) = (𝑧 ∈ ℤ ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑧)))
70		fveq2 6878	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = if(𝑓 = (𝐼 × {0}), 1, 0) → ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑅)‘if(𝑓 = (𝐼 × {0}), 1, 0)))
71	24, 63, 69, 70	fmptco 7123	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0}))) = (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘if(𝑓 = (𝐼 × {0}), 1, 0))))
72		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
73	1	psrbasfsupp 34021	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
74		esplyfval0.0	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (1r‘(𝐼 mPoly 𝑅))
75	72, 73, 15, 12, 74, 2, 3	mpl1 22226	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ if(𝑓 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
76	21, 71, 75	3eqtr4d 2805	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0}))) = 𝑈)
77	9, 76	sylan9eqr 2817	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 0) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘}))) = 𝑈)
78	74	fvexi 6892	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ V
79	78	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)
80	4, 77, 54, 79	fvmptd 6994	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘0) = 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3412  Vcvv 3450  ∅c0 4279  ifcif 4482  𝒫 cpw 4557  {csn 4584  {cpr 4586   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   × cxp 5653   “ cima 5658   ∘ ccom 5659  ⟶wf 6529  –1-1-onto→wf1o 6532  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   ↑_m cmap 8826   finSupp cfsupp 9331  0cc0 11124  1c1 11125  𝟭cind 12242  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ♯chash 14394  Basecbs 17301  0_gc0g 17524  1_rcur 20320  Ringcrg 20372   RingHom crh 20610  ℤ_ringczring 21659  ℤRHomczrh 21712   mPoly cmpl 22121  eSymPolycesply 34066

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-addf 11203  ax-mulf 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-ofr 7679  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-ind 12243  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-hash 14395  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-starv 17357  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-unif 17365  df-hom 17366  df-cco 17367  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-prds 17532  df-pws 17534  df-mre 17670  df-mrc 17671  df-acs 17673  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-mhm 18891  df-submnd 18892  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-mulg 19191  df-subg 19246  df-ghm 19341  df-cntz 19444  df-cmn 19909  df-abl 19910  df-mgp 20274  df-rng 20288  df-ur 20321  df-ring 20374  df-cring 20375  df-rhm 20613  df-subrng 20708  df-subrg 20732  df-cnfld 21586  df-zring 21660  df-zrh 21716  df-psr 22124  df-mpl 22126  df-esply 34068

This theorem is used by:  vietalem  34089