Theorem esplyfval0 33977

Description: The 0-th elementary symmetric polynomial is the constant 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
esplyfval0.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
esplyfval0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
esplyfval0.0	⊢ 𝑈 = (1r‘(𝐼 mPoly 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
esplyfval0	⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘0) = 𝑈)

Proof of Theorem esplyfval0

Dummy variables 𝑐 ℎ 𝑘 𝑓 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . 3 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
2		esplyfval0.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		esplyfval0.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4	1, 2, 3	esplyval 33975	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼eSymPoly𝑅) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘})))))
5		eqeq2 2777	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → ((♯‘𝑐) = 𝑘 ↔ (♯‘𝑐) = 0))
6	5	rabbidv 3425	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘} = {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0})
7	6	imaeq2d 6064	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘}) = ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0}))
8	7	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘})) = ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0})))
9	8	coeq2d 5850	. . 3 ⊢ (𝑘 = 0 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘}))) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0}))))
10		fvif 6901	. . . . . 6 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅)‘if(𝑓 = (𝐼 × {0}), 1, 0)) = if(𝑓 = (𝐼 × {0}), ((ℤRHom‘𝑅)‘1), ((ℤRHom‘𝑅)‘0))
11		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
12		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
13	11, 12	zrh1 21691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((ℤRHom‘𝑅)‘1) = (1r‘𝑅))
14	3, 13	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘1) = (1r‘𝑅))
15		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
16	11, 15	zrh0 21692	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = (0g‘𝑅))
17	3, 16	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = (0g‘𝑅))
18	14, 17	ifeq12d 4511	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝑓 = (𝐼 × {0}), ((ℤRHom‘𝑅)‘1), ((ℤRHom‘𝑅)‘0)) = if(𝑓 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
19	18	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → if(𝑓 = (𝐼 × {0}), ((ℤRHom‘𝑅)‘1), ((ℤRHom‘𝑅)‘0)) = if(𝑓 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
20	10, 19	eqtrid 2812	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ((ℤRHom‘𝑅)‘if(𝑓 = (𝐼 × {0}), 1, 0)) = if(𝑓 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
21	20	mpteq2dva 5206	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘if(𝑓 = (𝐼 × {0}), 1, 0))) = (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ if(𝑓 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
22		1zzd 12636	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 1 ∈ ℤ)
23		0zd 12614	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 0 ∈ ℤ)
24	22, 23	ifcld 4536	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → if(𝑓 = (𝐼 × {0}), 1, 0) ∈ ℤ)
25		fveqeq2 6894	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = ∅ → ((♯‘𝑐) = 0 ↔ (♯‘∅) = 0))
26		0elpw 5328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐼
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝒫 𝐼)
28		hash0 14416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (♯‘∅) = 0
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘∅) = 0)
30		hasheq0 14412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 → ((♯‘𝑐) = 0 ↔ 𝑐 = ∅))
31	30	biimpa 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∧ (♯‘𝑐) = 0) → 𝑐 = ∅)
32	31	adantll 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) ∧ (♯‘𝑐) = 0) → 𝑐 = ∅)
33	25, 27, 29, 32	rabeqsnd 4637	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0} = {∅})
34	33	imaeq2d 6064	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0}) = ((𝟭‘𝐼) “ {∅}))
35		indf1o 33213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝐼))
36		f1of 6824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝐼) → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼⟶({0, 1} ↑m 𝐼))
37	2, 35, 36	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼⟶({0, 1} ↑m 𝐼))
38	37	ffnd 6710	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝟭‘𝐼) Fn 𝒫 𝐼)
39	38, 27	fnimasnd 7369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼) “ {∅}) = {((𝟭‘𝐼)‘∅)})
40		indconst0 12241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝟭‘𝐼)‘∅) = (𝐼 × {0}))
41	2, 40	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼)‘∅) = (𝐼 × {0}))
42	41	sneqd 4603	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {((𝟭‘𝐼)‘∅)} = {(𝐼 × {0})})
43	34, 39, 42	3eqtrd 2804	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0}) = {(𝐼 × {0})})
44	43	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0})) = ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘{(𝐼 × {0})}))
45		ovex 7449	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
46	45	rabex 5311	. . . . . . 7 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ∈ V
47		breq1 5114	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = (𝐼 × {0}) → (ℎ finSupp 0 ↔ (𝐼 × {0}) finSupp 0))
48		nn0ex 12521	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 ∈ V
49	48	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
50		c0ex 11211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
51	50	fconst 6768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 × {0}):𝐼⟶{0}
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}):𝐼⟶{0})
53		0nn0 12530	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℕ0
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
55	54	snssd 4754	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {0} ⊆ ℕ0)
56	52, 55	fssd 6727	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}):𝐼⟶ℕ0)
57	49, 2, 56	elmapdd 8840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}) ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
58		0zd 12614	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
59	2, 58	fczfsuppd 9349	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}) finSupp 0)
60	47, 57, 59	elrabd 3654	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
61		indsn 33212	. . . . . . 7 ⊢ (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ∈ V ∧ (𝐼 × {0}) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘{(𝐼 × {0})}) = (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ if(𝑓 = (𝐼 × {0}), 1, 0)))
62	46, 60, 61	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘{(𝐼 × {0})}) = (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ if(𝑓 = (𝐼 × {0}), 1, 0)))
63	44, 62	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0})) = (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ if(𝑓 = (𝐼 × {0}), 1, 0)))
64	11	zrhrhm 21690	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
65		zringbas 21632	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
66		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
67	65, 66	rhmf 20592	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
68	3, 64, 67	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
69	68	feqmptd 6953	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝑅) = (𝑧 ∈ ℤ ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑧)))
70		fveq2 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = if(𝑓 = (𝐼 × {0}), 1, 0) → ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑅)‘if(𝑓 = (𝐼 × {0}), 1, 0)))
71	24, 63, 69, 70	fmptco 7129	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0}))) = (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘if(𝑓 = (𝐼 × {0}), 1, 0))))
72		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
73	1	psrbasfsupp 33924	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
74		esplyfval0.0	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (1r‘(𝐼 mPoly 𝑅))
75	72, 73, 15, 12, 74, 2, 3	mpl1 22190	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ if(𝑓 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
76	21, 71, 75	3eqtr4d 2810	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0}))) = 𝑈)
77	9, 76	sylan9eqr 2822	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 0) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘}))) = 𝑈)
78	74	fvexi 6899	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ V
79	78	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)
80	4, 77, 54, 79	fvmptd 7001	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘0) = 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {crab 3418  Vcvv 3457  ∅c0 4286  ifcif 4489  𝒫 cpw 4564  {csn 4591  {cpr 4593   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194   × cxp 5661   “ cima 5666   ∘ ccom 5667  ⟶wf 6536  –1-1-onto→wf1o 6539  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8826   finSupp cfsupp 9324  0cc0 11111  1c1 11112  𝟭cind 12229  ℕ₀cn0 12515  ℤcz 12602  ♯chash 14379  Basecbs 17286  0_gc0g 17509  1_rcur 20286  Ringcrg 20338   RingHom crh 20576  ℤ_ringczring 21625  ℤRHomczrh 21678   mPoly cmpl 22085  eSymPolycesply 33969

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-addf 11190  ax-mulf 11191

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-ofr 7681  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9325  df-sup 9405  df-oi 9475  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-ind 12230  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12723  df-uz 12874  df-fz 13547  df-fzo 13695  df-seq 14051  df-hash 14380  df-struct 17224  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-ress 17308  df-plusg 17340  df-mulr 17341  df-starv 17342  df-sca 17343  df-vsca 17344  df-ip 17345  df-tset 17346  df-ple 17347  df-ds 17349  df-unif 17350  df-hom 17351  df-cco 17352  df-0g 17511  df-gsum 17512  df-prds 17517  df-pws 17519  df-mre 17655  df-mrc 17656  df-acs 17658  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-mhm 18864  df-submnd 18865  df-grp 19026  df-minusg 19027  df-mulg 19157  df-subg 19212  df-ghm 19307  df-cntz 19410  df-cmn 19875  df-abl 19876  df-mgp 20240  df-rng 20254  df-ur 20287  df-ring 20340  df-cring 20341  df-rhm 20579  df-subrng 20674  df-subrg 20698  df-cnfld 21552  df-zring 21626  df-zrh 21682  df-psr 22088  df-mpl 22090  df-esply 33971

This theorem is used by:  vietalem  33992