Theorem esplyfval0 33722

Description: The 0-th elementary symmetric polynomial is the constant 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
esplyfval0.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
esplyfval0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
esplyfval0.0	⊢ 𝑈 = (1r‘(𝐼 mPoly 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
esplyfval0	⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘0) = 𝑈)

Proof of Theorem esplyfval0

Dummy variables 𝑐 ℎ 𝑘 𝑓 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
2		esplyfval0.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		esplyfval0.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4	1, 2, 3	esplyval 33720	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼eSymPoly𝑅) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘})))))
5		eqeq2 2748	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → ((♯‘𝑐) = 𝑘 ↔ (♯‘𝑐) = 0))
6	5	rabbidv 3406	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘} = {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0})
7	6	imaeq2d 6019	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘}) = ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0}))
8	7	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘})) = ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0})))
9	8	coeq2d 5811	. . 3 ⊢ (𝑘 = 0 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘}))) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0}))))
10		fvif 6850	. . . . . 6 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅)‘if(𝑓 = (𝐼 × {0}), 1, 0)) = if(𝑓 = (𝐼 × {0}), ((ℤRHom‘𝑅)‘1), ((ℤRHom‘𝑅)‘0))
11		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
12		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
13	11, 12	zrh1 21467	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((ℤRHom‘𝑅)‘1) = (1r‘𝑅))
14	3, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘1) = (1r‘𝑅))
15		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
16	11, 15	zrh0 21468	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = (0g‘𝑅))
17	3, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = (0g‘𝑅))
18	14, 17	ifeq12d 4501	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝑓 = (𝐼 × {0}), ((ℤRHom‘𝑅)‘1), ((ℤRHom‘𝑅)‘0)) = if(𝑓 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
19	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → if(𝑓 = (𝐼 × {0}), ((ℤRHom‘𝑅)‘1), ((ℤRHom‘𝑅)‘0)) = if(𝑓 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
20	10, 19	eqtrid 2783	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ((ℤRHom‘𝑅)‘if(𝑓 = (𝐼 × {0}), 1, 0)) = if(𝑓 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
21	20	mpteq2dva 5191	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘if(𝑓 = (𝐼 × {0}), 1, 0))) = (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ if(𝑓 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
22		1zzd 12522	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 1 ∈ ℤ)
23		0zd 12500	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 0 ∈ ℤ)
24	22, 23	ifcld 4526	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → if(𝑓 = (𝐼 × {0}), 1, 0) ∈ ℤ)
25		fveqeq2 6843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = ∅ → ((♯‘𝑐) = 0 ↔ (♯‘∅) = 0))
26		0elpw 5301	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐼
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝒫 𝐼)
28		hash0 14290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (♯‘∅) = 0
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘∅) = 0)
30		hasheq0 14286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 → ((♯‘𝑐) = 0 ↔ 𝑐 = ∅))
31	30	biimpa 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∧ (♯‘𝑐) = 0) → 𝑐 = ∅)
32	31	adantll 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) ∧ (♯‘𝑐) = 0) → 𝑐 = ∅)
33	25, 27, 29, 32	rabeqsnd 4626	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0} = {∅})
34	33	imaeq2d 6019	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0}) = ((𝟭‘𝐼) “ {∅}))
35		indf1o 32946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝐼))
36		f1of 6774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝐼) → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼⟶({0, 1} ↑m 𝐼))
37	2, 35, 36	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼⟶({0, 1} ↑m 𝐼))
38	37	ffnd 6663	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝟭‘𝐼) Fn 𝒫 𝐼)
39	38, 27	fnimasnd 7311	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼) “ {∅}) = {((𝟭‘𝐼)‘∅)})
40		indconst0 32939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝟭‘𝐼)‘∅) = (𝐼 × {0}))
41	2, 40	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼)‘∅) = (𝐼 × {0}))
42	41	sneqd 4592	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {((𝟭‘𝐼)‘∅)} = {(𝐼 × {0})})
43	34, 39, 42	3eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0}) = {(𝐼 × {0})})
44	43	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0})) = ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘{(𝐼 × {0})}))
45		ovex 7391	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
46	45	rabex 5284	. . . . . . 7 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ∈ V
47		breq1 5101	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = (𝐼 × {0}) → (ℎ finSupp 0 ↔ (𝐼 × {0}) finSupp 0))
48		nn0ex 12407	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 ∈ V
49	48	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
50		c0ex 11126	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
51	50	fconst 6720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 × {0}):𝐼⟶{0}
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}):𝐼⟶{0})
53		0nn0 12416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℕ0
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
55	54	snssd 4765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {0} ⊆ ℕ0)
56	52, 55	fssd 6679	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}):𝐼⟶ℕ0)
57	49, 2, 56	elmapdd 8778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}) ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
58		0zd 12500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
59	2, 58	fczfsuppd 9289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}) finSupp 0)
60	47, 57, 59	elrabd 3648	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
61		indsn 32945	. . . . . . 7 ⊢ (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ∈ V ∧ (𝐼 × {0}) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘{(𝐼 × {0})}) = (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ if(𝑓 = (𝐼 × {0}), 1, 0)))
62	46, 60, 61	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘{(𝐼 × {0})}) = (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ if(𝑓 = (𝐼 × {0}), 1, 0)))
63	44, 62	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0})) = (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ if(𝑓 = (𝐼 × {0}), 1, 0)))
64	11	zrhrhm 21466	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
65		zringbas 21408	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
66		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
67	65, 66	rhmf 20420	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
68	3, 64, 67	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
69	68	feqmptd 6902	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝑅) = (𝑧 ∈ ℤ ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑧)))
70		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = if(𝑓 = (𝐼 × {0}), 1, 0) → ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑅)‘if(𝑓 = (𝐼 × {0}), 1, 0)))
71	24, 63, 69, 70	fmptco 7074	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0}))) = (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘if(𝑓 = (𝐼 × {0}), 1, 0))))
72		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
73	1	psrbasfsupp 33693	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
74		esplyfval0.0	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (1r‘(𝐼 mPoly 𝑅))
75	72, 73, 15, 12, 74, 2, 3	mpl1 21967	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ if(𝑓 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
76	21, 71, 75	3eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 0}))) = 𝑈)
77	9, 76	sylan9eqr 2793	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 0) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘}))) = 𝑈)
78	74	fvexi 6848	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ V
79	78	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)
80	4, 77, 54, 79	fvmptd 6948	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘0) = 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3399  Vcvv 3440  ∅c0 4285  ifcif 4479  𝒫 cpw 4554  {csn 4580  {cpr 4582   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179   × cxp 5622   “ cima 5627   ∘ ccom 5628  ⟶wf 6488  –1-1-onto→wf1o 6491  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8763   finSupp cfsupp 9264  0cc0 11026  1c1 11027  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ♯chash 14253  Basecbs 17136  0_gc0g 17359  1_rcur 20116  Ringcrg 20168   RingHom crh 20405  ℤ_ringczring 21401  ℤRHomczrh 21454   mPoly cmpl 21862  𝟭cind 32929  eSymPolycesply 33714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-addf 11105  ax-mulf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-hash 14254  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-prds 17367  df-pws 17369  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18708  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-mulg 18998  df-subg 19053  df-ghm 19142  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-cring 20171  df-rhm 20408  df-subrng 20479  df-subrg 20503  df-cnfld 21310  df-zring 21402  df-zrh 21458  df-psr 21865  df-mpl 21867  df-ind 32930  df-esply 33716

This theorem is referenced by:  vietalem  33735