Theorem isf34lem3 10291

Description: Lemma for isfin3-4 10298. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
compss.a	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 ∖ 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
isf34lem3	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝐹 “ (𝐹 “ 𝑋)) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem isf34lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		compss.a	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 ∖ 𝑥))
2	1	compsscnv 10287	. . 3 ⊢ ◡𝐹 = 𝐹
3	2	imaeq1i 6017	. 2 ⊢ (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝑋)) = (𝐹 “ (𝐹 “ 𝑋))
4	1	compssiso 10290	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹 Isom [⊊] , ◡ [⊊] (𝒫 𝐴, 𝒫 𝐴))
5		isof1o 7272	. . . 4 ⊢ (𝐹 Isom [⊊] , ◡ [⊊] (𝒫 𝐴, 𝒫 𝐴) → 𝐹:𝒫 𝐴–1-1-onto→𝒫 𝐴)
6		f1of1 6774	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝒫 𝐴–1-1-onto→𝒫 𝐴 → 𝐹:𝒫 𝐴–1-1→𝒫 𝐴)
7	4, 5, 6	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹:𝒫 𝐴–1-1→𝒫 𝐴)
8		f1imacnv 6791	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝒫 𝐴–1-1→𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝑋)) = 𝑋)
9	7, 8	sylan 581	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝑋)) = 𝑋)
10	3, 9	eqtr3id 2786	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝐹 “ (𝐹 “ 𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  𝒫 cpw 4542   ↦ cmpt 5167  ^◡ccnv 5624   “ cima 5628  –1-1→wf1 6490  –1-1-onto→wf1o 6492   Isom wiso 6494   [⊊] crpss 7670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-rpss 7671

This theorem is referenced by:  isf34lem5  10294  isf34lem7  10295  isf34lem6  10296