MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf34lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isf34lem3 10412
Description: Lemma for isfin3-4 10419. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
compss.a 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴𝑥))
Assertion
Ref Expression
isf34lem3 ((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝐹 “ (𝐹𝑋)) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem isf34lem3
StepHypRef Expression
1 compss.a . . . 4 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴𝑥))
21compsscnv 10408 . . 3 𝐹 = 𝐹
32imaeq1i 6076 . 2 (𝐹 “ (𝐹𝑋)) = (𝐹 “ (𝐹𝑋))
41compssiso 10411 . . . 4 (𝐴𝑉𝐹 Isom [] , [] (𝒫 𝐴, 𝒫 𝐴))
5 isof1o 7342 . . . 4 (𝐹 Isom [] , [] (𝒫 𝐴, 𝒫 𝐴) → 𝐹:𝒫 𝐴1-1-onto→𝒫 𝐴)
6 f1of1 6847 . . . 4 (𝐹:𝒫 𝐴1-1-onto→𝒫 𝐴𝐹:𝒫 𝐴1-1→𝒫 𝐴)
74, 5, 63syl 18 . . 3 (𝐴𝑉𝐹:𝒫 𝐴1-1→𝒫 𝐴)
8 f1imacnv 6864 . . 3 ((𝐹:𝒫 𝐴1-1→𝒫 𝐴𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝐹 “ (𝐹𝑋)) = 𝑋)
97, 8sylan 580 . 2 ((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝐹 “ (𝐹𝑋)) = 𝑋)
103, 9eqtr3id 2788 1 ((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝐹 “ (𝐹𝑋)) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  cdif 3959  wss 3962  𝒫 cpw 4604  cmpt 5230  ccnv 5687  cima 5691  1-1wf1 6559  1-1-ontowf1o 6561   Isom wiso 6563   [] crpss 7740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-rpss 7741
This theorem is referenced by:  isf34lem5  10415  isf34lem7  10416  isf34lem6  10417
  Copyright terms: Public domain W3C validator