MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf34lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isf34lem3 10159
Description: Lemma for isfin3-4 10166. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
compss.a 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴𝑥))
Assertion
Ref Expression
isf34lem3 ((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝐹 “ (𝐹𝑋)) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem isf34lem3
StepHypRef Expression
1 compss.a . . . 4 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴𝑥))
21compsscnv 10155 . . 3 𝐹 = 𝐹
32imaeq1i 5967 . 2 (𝐹 “ (𝐹𝑋)) = (𝐹 “ (𝐹𝑋))
41compssiso 10158 . . . 4 (𝐴𝑉𝐹 Isom [] , [] (𝒫 𝐴, 𝒫 𝐴))
5 isof1o 7214 . . . 4 (𝐹 Isom [] , [] (𝒫 𝐴, 𝒫 𝐴) → 𝐹:𝒫 𝐴1-1-onto→𝒫 𝐴)
6 f1of1 6733 . . . 4 (𝐹:𝒫 𝐴1-1-onto→𝒫 𝐴𝐹:𝒫 𝐴1-1→𝒫 𝐴)
74, 5, 63syl 18 . . 3 (𝐴𝑉𝐹:𝒫 𝐴1-1→𝒫 𝐴)
8 f1imacnv 6750 . . 3 ((𝐹:𝒫 𝐴1-1→𝒫 𝐴𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝐹 “ (𝐹𝑋)) = 𝑋)
97, 8sylan 579 . 2 ((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝐹 “ (𝐹𝑋)) = 𝑋)
103, 9eqtr3id 2787 1 ((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝐹 “ (𝐹𝑋)) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2101  cdif 3886  wss 3889  𝒫 cpw 4536  cmpt 5160  ccnv 5590  cima 5594  1-1wf1 6444  1-1-ontowf1o 6446   Isom wiso 6448   [] crpss 7595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pr 5355
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3224  df-v 3436  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-id 5491  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-isom 6456  df-rpss 7596
This theorem is referenced by:  isf34lem5  10162  isf34lem7  10163  isf34lem6  10164
  Copyright terms: Public domain W3C validator