Theorem isf34lem3 10287

Description: Lemma for isfin3-4 10294. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
compss.a	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 ∖ 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
isf34lem3	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝐹 “ (𝐹 “ 𝑋)) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem isf34lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		compss.a	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 ∖ 𝑥))
2	1	compsscnv 10283	. . 3 ⊢ ◡𝐹 = 𝐹
3	2	imaeq1i 6016	. 2 ⊢ (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝑋)) = (𝐹 “ (𝐹 “ 𝑋))
4	1	compssiso 10286	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹 Isom [⊊] , ◡ [⊊] (𝒫 𝐴, 𝒫 𝐴))
5		isof1o 7269	. . . 4 ⊢ (𝐹 Isom [⊊] , ◡ [⊊] (𝒫 𝐴, 𝒫 𝐴) → 𝐹:𝒫 𝐴–1-1-onto→𝒫 𝐴)
6		f1of1 6773	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝒫 𝐴–1-1-onto→𝒫 𝐴 → 𝐹:𝒫 𝐴–1-1→𝒫 𝐴)
7	4, 5, 6	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹:𝒫 𝐴–1-1→𝒫 𝐴)
8		f1imacnv 6790	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝒫 𝐴–1-1→𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝑋)) = 𝑋)
9	7, 8	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝑋)) = 𝑋)
10	3, 9	eqtr3id 2785	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝐹 “ (𝐹 “ 𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∖ cdif 3898   ⊆ wss 3901  𝒫 cpw 4554   ↦ cmpt 5179  ^◡ccnv 5623   “ cima 5627  –1-1→wf1 6489  –1-1-onto→wf1o 6491   Isom wiso 6493   [⊊] crpss 7667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-rpss 7668

This theorem is referenced by:  isf34lem5  10290  isf34lem7  10291  isf34lem6  10292