MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isirred2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem isirred2 20313
Description: Expand out the class difference from isirred 20311. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isirred2.1 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
isirred2.2 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
isirred2.3 𝐼 = (Irredβ€˜π‘…)
isirred2.4 Β· = (.rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
isirred2 (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ Β· 𝑦) = 𝑋 β†’ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∨ 𝑦 ∈ π‘ˆ))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐡   π‘₯,𝑅,𝑦   π‘₯,π‘ˆ,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   Β· (π‘₯,𝑦)   𝐼(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem isirred2
StepHypRef Expression
1 eldif 3958 . . 3 (𝑋 ∈ (𝐡 βˆ– π‘ˆ) ↔ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
2 eldif 3958 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– π‘ˆ) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ π‘ˆ))
3 eldif 3958 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– π‘ˆ) ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ π‘ˆ))
42, 3anbi12i 626 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– π‘ˆ)) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ π‘ˆ)))
5 an4 653 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (Β¬ π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ π‘ˆ)))
64, 5bitri 275 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– π‘ˆ)) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (Β¬ π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ π‘ˆ)))
76imbi1i 349 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– π‘ˆ)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) β‰  𝑋) ↔ (((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (Β¬ π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) β‰  𝑋))
8 impexp 450 . . . . . . 7 ((((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (Β¬ π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) β‰  𝑋) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((Β¬ π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) β‰  𝑋)))
9 pm4.56 986 . . . . . . . . . 10 ((Β¬ π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ↔ Β¬ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∨ 𝑦 ∈ π‘ˆ))
10 df-ne 2940 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ Β· 𝑦) β‰  𝑋 ↔ Β¬ (π‘₯ Β· 𝑦) = 𝑋)
119, 10imbi12i 350 . . . . . . . . 9 (((Β¬ π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) β‰  𝑋) ↔ (Β¬ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∨ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ Β¬ (π‘₯ Β· 𝑦) = 𝑋))
12 con34b 316 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ Β· 𝑦) = 𝑋 β†’ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∨ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) ↔ (Β¬ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∨ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ Β¬ (π‘₯ Β· 𝑦) = 𝑋))
1311, 12bitr4i 278 . . . . . . . 8 (((Β¬ π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) β‰  𝑋) ↔ ((π‘₯ Β· 𝑦) = 𝑋 β†’ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∨ 𝑦 ∈ π‘ˆ)))
1413imbi2i 336 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((Β¬ π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) β‰  𝑋)) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦) = 𝑋 β†’ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∨ 𝑦 ∈ π‘ˆ))))
158, 14bitri 275 . . . . . 6 ((((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (Β¬ π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) β‰  𝑋) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦) = 𝑋 β†’ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∨ 𝑦 ∈ π‘ˆ))))
167, 15bitri 275 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– π‘ˆ)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) β‰  𝑋) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦) = 𝑋 β†’ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∨ 𝑦 ∈ π‘ˆ))))
17162albii 1821 . . . 4 (βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– π‘ˆ)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) β‰  𝑋) ↔ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦) = 𝑋 β†’ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∨ 𝑦 ∈ π‘ˆ))))
18 r2al 3193 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– π‘ˆ)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– π‘ˆ)(π‘₯ Β· 𝑦) β‰  𝑋 ↔ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– π‘ˆ)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) β‰  𝑋))
19 r2al 3193 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ Β· 𝑦) = 𝑋 β†’ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∨ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) ↔ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦) = 𝑋 β†’ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∨ 𝑦 ∈ π‘ˆ))))
2017, 18, 193bitr4i 303 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– π‘ˆ)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– π‘ˆ)(π‘₯ Β· 𝑦) β‰  𝑋 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ Β· 𝑦) = 𝑋 β†’ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∨ 𝑦 ∈ π‘ˆ)))
211, 20anbi12i 626 . 2 ((𝑋 ∈ (𝐡 βˆ– π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– π‘ˆ)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– π‘ˆ)(π‘₯ Β· 𝑦) β‰  𝑋) ↔ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ Β· 𝑦) = 𝑋 β†’ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∨ 𝑦 ∈ π‘ˆ))))
22 isirred2.1 . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
23 isirred2.2 . . 3 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
24 isirred2.3 . . 3 𝐼 = (Irredβ€˜π‘…)
25 eqid 2731 . . 3 (𝐡 βˆ– π‘ˆ) = (𝐡 βˆ– π‘ˆ)
26 isirred2.4 . . 3 Β· = (.rβ€˜π‘…)
2722, 23, 24, 25, 26isirred 20311 . 2 (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ (𝑋 ∈ (𝐡 βˆ– π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– π‘ˆ)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– π‘ˆ)(π‘₯ Β· 𝑦) β‰  𝑋))
28 df-3an 1088 . 2 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ Β· 𝑦) = 𝑋 β†’ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∨ 𝑦 ∈ π‘ˆ))) ↔ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ Β· 𝑦) = 𝑋 β†’ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∨ 𝑦 ∈ π‘ˆ))))
2921, 27, 283bitr4i 303 1 (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ Β· 𝑦) = 𝑋 β†’ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∨ 𝑦 ∈ π‘ˆ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086  βˆ€wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060   βˆ– cdif 3945  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  .rcmulr 17203  Unitcui 20247  Irredcir 20248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7415  df-irred 20251
This theorem is referenced by:  irredcl  20316  irrednu  20317  irredmul  20321  prmirredlem  21244  minplyirred  33060
  Copyright terms: Public domain W3C validator