MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opprirred Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opprirred 19428
Description: Irreducibility is symmetric, so the irreducible elements of the opposite ring are the same as the original ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
opprirred.1 𝑆 = (oppr𝑅)
opprirred.2 𝐼 = (Irred‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
opprirred 𝐼 = (Irred‘𝑆)

Proof of Theorem opprirred
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ralcom 3341 . . . . 5 (∀𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑧(.r𝑅)𝑦) ≠ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑧(.r𝑅)𝑦) ≠ 𝑥)
2 eqid 2820 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 eqid 2820 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4 opprirred.1 . . . . . . . 8 𝑆 = (oppr𝑅)
5 eqid 2820 . . . . . . . 8 (.r𝑆) = (.r𝑆)
62, 3, 4, 5opprmul 19352 . . . . . . 7 (𝑦(.r𝑆)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)𝑦)
76neeq1i 3070 . . . . . 6 ((𝑦(.r𝑆)𝑧) ≠ 𝑥 ↔ (𝑧(.r𝑅)𝑦) ≠ 𝑥)
872ralbii 3153 . . . . 5 (∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑦(.r𝑆)𝑧) ≠ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑧(.r𝑅)𝑦) ≠ 𝑥)
91, 8bitr4i 280 . . . 4 (∀𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑧(.r𝑅)𝑦) ≠ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑦(.r𝑆)𝑧) ≠ 𝑥)
109anbi2i 624 . . 3 ((𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ∧ ∀𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑧(.r𝑅)𝑦) ≠ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑦(.r𝑆)𝑧) ≠ 𝑥))
11 eqid 2820 . . . 4 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
12 opprirred.2 . . . 4 𝐼 = (Irred‘𝑅)
13 eqid 2820 . . . 4 ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) = ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))
142, 11, 12, 13, 3isirred 19425 . . 3 (𝑥𝐼 ↔ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ∧ ∀𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑧(.r𝑅)𝑦) ≠ 𝑥))
154, 2opprbas 19355 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑆)
1611, 4opprunit 19387 . . . 4 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑆)
17 eqid 2820 . . . 4 (Irred‘𝑆) = (Irred‘𝑆)
1815, 16, 17, 13, 5isirred 19425 . . 3 (𝑥 ∈ (Irred‘𝑆) ↔ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑦(.r𝑆)𝑧) ≠ 𝑥))
1910, 14, 183bitr4i 305 . 2 (𝑥𝐼𝑥 ∈ (Irred‘𝑆))
2019eqriv 2817 1 𝐼 = (Irred‘𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  wne 3006  wral 3125  cdif 3909  cfv 6329  (class class class)co 7131  Basecbs 16459  .rcmulr 16542  opprcoppr 19348  Unitcui 19365  Irredcir 19366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5240  ax-pr 5304  ax-un 7437  ax-cnex 10569  ax-resscn 10570  ax-1cn 10571  ax-icn 10572  ax-addcl 10573  ax-addrcl 10574  ax-mulcl 10575  ax-mulrcl 10576  ax-mulcom 10577  ax-addass 10578  ax-mulass 10579  ax-distr 10580  ax-i2m1 10581  ax-1ne0 10582  ax-1rid 10583  ax-rnegex 10584  ax-rrecex 10585  ax-cnre 10586  ax-pre-lttri 10587  ax-pre-lttrn 10588  ax-pre-ltadd 10589  ax-pre-mulgt0 10590
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3915  df-un 3917  df-in 3919  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4268  df-if 4442  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4813  df-iun 4895  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6122  df-ord 6168  df-on 6169  df-lim 6170  df-suc 6171  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-riota 7089  df-ov 7134  df-oprab 7135  df-mpo 7136  df-om 7557  df-tpos 7868  df-wrecs 7923  df-recs 7984  df-rdg 8022  df-er 8265  df-en 8486  df-dom 8487  df-sdom 8488  df-pnf 10653  df-mnf 10654  df-xr 10655  df-ltxr 10656  df-le 10657  df-sub 10848  df-neg 10849  df-nn 11615  df-2 11677  df-3 11678  df-ndx 16462  df-slot 16463  df-base 16465  df-sets 16466  df-plusg 16554  df-mulr 16555  df-0g 16691  df-mgp 19216  df-ur 19228  df-oppr 19349  df-dvdsr 19367  df-unit 19368  df-irred 19369
This theorem is referenced by:  irredlmul  19434
  Copyright terms: Public domain W3C validator