MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opprirred Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opprirred 20365
Description: Irreducibility is symmetric, so the irreducible elements of the opposite ring are the same as the original ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
opprirred.1 𝑆 = (opprβ€˜π‘…)
opprirred.2 𝐼 = (Irredβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
opprirred 𝐼 = (Irredβ€˜π‘†)

Proof of Theorem opprirred
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ralcom 3277 . . . . 5 (βˆ€π‘§ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))βˆ€π‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))(𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  π‘₯ ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))βˆ€π‘§ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))(𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  π‘₯)
2 eqid 2725 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
3 eqid 2725 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
4 opprirred.1 . . . . . . . 8 𝑆 = (opprβ€˜π‘…)
5 eqid 2725 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
62, 3, 4, 5opprmul 20280 . . . . . . 7 (𝑦(.rβ€˜π‘†)𝑧) = (𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦)
76neeq1i 2995 . . . . . 6 ((𝑦(.rβ€˜π‘†)𝑧) β‰  π‘₯ ↔ (𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  π‘₯)
872ralbii 3118 . . . . 5 (βˆ€π‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))βˆ€π‘§ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))(𝑦(.rβ€˜π‘†)𝑧) β‰  π‘₯ ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))βˆ€π‘§ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))(𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  π‘₯)
91, 8bitr4i 277 . . . 4 (βˆ€π‘§ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))βˆ€π‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))(𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  π‘₯ ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))βˆ€π‘§ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))(𝑦(.rβ€˜π‘†)𝑧) β‰  π‘₯)
109anbi2i 621 . . 3 ((π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))βˆ€π‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))(𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  π‘₯) ↔ (π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))βˆ€π‘§ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))(𝑦(.rβ€˜π‘†)𝑧) β‰  π‘₯))
11 eqid 2725 . . . 4 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
12 opprirred.2 . . . 4 𝐼 = (Irredβ€˜π‘…)
13 eqid 2725 . . . 4 ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…)) = ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))
142, 11, 12, 13, 3isirred 20362 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↔ (π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))βˆ€π‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))(𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  π‘₯))
154, 2opprbas 20284 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘†)
1611, 4opprunit 20320 . . . 4 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘†)
17 eqid 2725 . . . 4 (Irredβ€˜π‘†) = (Irredβ€˜π‘†)
1815, 16, 17, 13, 5isirred 20362 . . 3 (π‘₯ ∈ (Irredβ€˜π‘†) ↔ (π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))βˆ€π‘§ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))(𝑦(.rβ€˜π‘†)𝑧) β‰  π‘₯))
1910, 14, 183bitr4i 302 . 2 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↔ π‘₯ ∈ (Irredβ€˜π‘†))
2019eqriv 2722 1 𝐼 = (Irredβ€˜π‘†)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051   βˆ– cdif 3936  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  .rcmulr 17233  opprcoppr 20276  Unitcui 20298  Irredcir 20299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-0g 17422  df-mgp 20079  df-ur 20126  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-irred 20302
This theorem is referenced by:  irredlmul  20371
  Copyright terms: Public domain W3C validator