Theorem opprirred 20331

Description: Irreducibility is symmetric, so the irreducible elements of the opposite ring are the same as the original ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprirred.1	⊢ 𝑆 = (oppr‘𝑅)
opprirred.2	⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprirred	⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑆)

Proof of Theorem opprirred

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralcom 3265	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 𝑥)
2		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		opprirred.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (oppr‘𝑅)
5		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
6	2, 3, 4, 5	opprmul 20249	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦(.r‘𝑆)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)
7	6	neeq1i 2989	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦(.r‘𝑆)𝑧) ≠ 𝑥 ↔ (𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 𝑥)
8	7	2ralbii 3108	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑦(.r‘𝑆)𝑧) ≠ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 𝑥)
9	1, 8	bitr4i 278	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑦(.r‘𝑆)𝑧) ≠ 𝑥)
10	9	anbi2i 623	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ∧ ∀𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑦(.r‘𝑆)𝑧) ≠ 𝑥))
11		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
12		opprirred.2	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)
13		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) = ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))
14	2, 11, 12, 13, 3	isirred 20328	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↔ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ∧ ∀𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 𝑥))
15	4, 2	opprbas 20252	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑆)
16	11, 4	opprunit 20286	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑆)
17		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Irred‘𝑆) = (Irred‘𝑆)
18	15, 16, 17, 13, 5	isirred 20328	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Irred‘𝑆) ↔ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑦(.r‘𝑆)𝑧) ≠ 𝑥))
19	10, 14, 18	3bitr4i 303	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↔ 𝑥 ∈ (Irred‘𝑆))
20	19	eqriv 2726	1 ⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑆)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044   ∖ cdif 3911  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221  opp_rcoppr 20245  Unitcui 20264  Irredcir 20265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-0g 17404  df-mgp 20050  df-ur 20091  df-oppr 20246  df-dvdsr 20266  df-unit 20267  df-irred 20268

This theorem is referenced by:  irredlmul  20337