MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opprirred Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opprirred 20324
Description: Irreducibility is symmetric, so the irreducible elements of the opposite ring are the same as the original ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
opprirred.1 𝑆 = (opprβ€˜π‘…)
opprirred.2 𝐼 = (Irredβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
opprirred 𝐼 = (Irredβ€˜π‘†)

Proof of Theorem opprirred
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ralcom 3280 . . . . 5 (βˆ€π‘§ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))βˆ€π‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))(𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  π‘₯ ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))βˆ€π‘§ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))(𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  π‘₯)
2 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
3 eqid 2726 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
4 opprirred.1 . . . . . . . 8 𝑆 = (opprβ€˜π‘…)
5 eqid 2726 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
62, 3, 4, 5opprmul 20239 . . . . . . 7 (𝑦(.rβ€˜π‘†)𝑧) = (𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦)
76neeq1i 2999 . . . . . 6 ((𝑦(.rβ€˜π‘†)𝑧) β‰  π‘₯ ↔ (𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  π‘₯)
872ralbii 3122 . . . . 5 (βˆ€π‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))βˆ€π‘§ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))(𝑦(.rβ€˜π‘†)𝑧) β‰  π‘₯ ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))βˆ€π‘§ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))(𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  π‘₯)
91, 8bitr4i 278 . . . 4 (βˆ€π‘§ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))βˆ€π‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))(𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  π‘₯ ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))βˆ€π‘§ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))(𝑦(.rβ€˜π‘†)𝑧) β‰  π‘₯)
109anbi2i 622 . . 3 ((π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))βˆ€π‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))(𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  π‘₯) ↔ (π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))βˆ€π‘§ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))(𝑦(.rβ€˜π‘†)𝑧) β‰  π‘₯))
11 eqid 2726 . . . 4 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
12 opprirred.2 . . . 4 𝐼 = (Irredβ€˜π‘…)
13 eqid 2726 . . . 4 ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…)) = ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))
142, 11, 12, 13, 3isirred 20321 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↔ (π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))βˆ€π‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))(𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  π‘₯))
154, 2opprbas 20243 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘†)
1611, 4opprunit 20279 . . . 4 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘†)
17 eqid 2726 . . . 4 (Irredβ€˜π‘†) = (Irredβ€˜π‘†)
1815, 16, 17, 13, 5isirred 20321 . . 3 (π‘₯ ∈ (Irredβ€˜π‘†) ↔ (π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))βˆ€π‘§ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))(𝑦(.rβ€˜π‘†)𝑧) β‰  π‘₯))
1910, 14, 183bitr4i 303 . 2 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↔ π‘₯ ∈ (Irredβ€˜π‘†))
2019eqriv 2723 1 𝐼 = (Irredβ€˜π‘†)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055   βˆ– cdif 3940  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  .rcmulr 17207  opprcoppr 20235  Unitcui 20257  Irredcir 20258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-0g 17396  df-mgp 20040  df-ur 20087  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-irred 20261
This theorem is referenced by:  irredlmul  20330
  Copyright terms: Public domain W3C validator