Theorem opprirred 20367

Description: Irreducibility is symmetric, so the irreducible elements of the opposite ring are the same as the original ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprirred.1	⊢ 𝑆 = (oppr‘𝑅)
opprirred.2	⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprirred	⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑆)

Proof of Theorem opprirred

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralcom 3268	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 𝑥)
2		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		opprirred.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (oppr‘𝑅)
5		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
6	2, 3, 4, 5	opprmul 20285	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦(.r‘𝑆)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)
7	6	neeq1i 2995	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦(.r‘𝑆)𝑧) ≠ 𝑥 ↔ (𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 𝑥)
8	7	2ralbii 3113	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑦(.r‘𝑆)𝑧) ≠ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 𝑥)
9	1, 8	bitr4i 278	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑦(.r‘𝑆)𝑧) ≠ 𝑥)
10	9	anbi2i 623	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ∧ ∀𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑦(.r‘𝑆)𝑧) ≠ 𝑥))
11		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
12		opprirred.2	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)
13		eqid 2734	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) = ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))
14	2, 11, 12, 13, 3	isirred 20364	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↔ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ∧ ∀𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 𝑥))
15	4, 2	opprbas 20288	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑆)
16	11, 4	opprunit 20322	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑆)
17		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Irred‘𝑆) = (Irred‘𝑆)
18	15, 16, 17, 13, 5	isirred 20364	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Irred‘𝑆) ↔ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑦(.r‘𝑆)𝑧) ≠ 𝑥))
19	10, 14, 18	3bitr4i 303	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↔ 𝑥 ∈ (Irred‘𝑆))
20	19	eqriv 2731	1 ⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑆)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  ∀wral 3050   ∖ cdif 3921  ‘cfv 6527  (class class class)co 7399  Basecbs 17213  ._rcmulr 17257  opp_rcoppr 20281  Unitcui 20300  Irredcir 20301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5246  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-cnex 11177  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197  ax-pre-mulgt0 11198

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4881  df-iun 4966  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-om 7856  df-2nd 7983  df-tpos 8219  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8713  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12233  df-2 12295  df-3 12296  df-sets 17168  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17214  df-plusg 17269  df-mulr 17270  df-0g 17440  df-mgp 20086  df-ur 20127  df-oppr 20282  df-dvdsr 20302  df-unit 20303  df-irred 20304

This theorem is referenced by:  irredlmul  20373