Theorem opprirred 20373

Description: Irreducibility is symmetric, so the irreducible elements of the opposite ring are the same as the original ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprirred.1	⊢ 𝑆 = (oppr‘𝑅)
opprirred.2	⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprirred	⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑆)

Proof of Theorem opprirred

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralcom 3276	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 𝑥)
2		eqid 2725	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2725	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		opprirred.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (oppr‘𝑅)
5		eqid 2725	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
6	2, 3, 4, 5	opprmul 20288	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦(.r‘𝑆)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)
7	6	neeq1i 2994	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦(.r‘𝑆)𝑧) ≠ 𝑥 ↔ (𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 𝑥)
8	7	2ralbii 3117	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑦(.r‘𝑆)𝑧) ≠ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 𝑥)
9	1, 8	bitr4i 277	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑦(.r‘𝑆)𝑧) ≠ 𝑥)
10	9	anbi2i 621	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ∧ ∀𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑦(.r‘𝑆)𝑧) ≠ 𝑥))
11		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
12		opprirred.2	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)
13		eqid 2725	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) = ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))
14	2, 11, 12, 13, 3	isirred 20370	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↔ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ∧ ∀𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 𝑥))
15	4, 2	opprbas 20292	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑆)
16	11, 4	opprunit 20328	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑆)
17		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (Irred‘𝑆) = (Irred‘𝑆)
18	15, 16, 17, 13, 5	isirred 20370	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Irred‘𝑆) ↔ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑦(.r‘𝑆)𝑧) ≠ 𝑥))
19	10, 14, 18	3bitr4i 302	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↔ 𝑥 ∈ (Irred‘𝑆))
20	19	eqriv 2722	1 ⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑆)

Syntax hints:   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  ∀wral 3050   ∖ cdif 3941  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17183  ._rcmulr 17237  opp_rcoppr 20284  Unitcui 20306  Irredcir 20307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-0g 17426  df-mgp 20087  df-ur 20134  df-oppr 20285  df-dvdsr 20308  df-unit 20309  df-irred 20310

This theorem is referenced by:  irredlmul  20379