Theorem opprirred 20613

Description: Irreducibility is symmetric, so the irreducible elements of the opposite ring are the same as the original ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprirred.1	⊢ 𝑆 = (oppr‘𝑅)
opprirred.2	⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprirred	⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑆)

Proof of Theorem opprirred

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralcom 3290	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 𝑥)
2		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		opprirred.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (oppr‘𝑅)
5		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
6	2, 3, 4, 5	opprmul 20531	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦(.r‘𝑆)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)
7	6	neeq1i 3019	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦(.r‘𝑆)𝑧) ≠ 𝑥 ↔ (𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 𝑥)
8	7	2ralbii 3137	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑦(.r‘𝑆)𝑧) ≠ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 𝑥)
9	1, 8	bitr4i 281	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑦(.r‘𝑆)𝑧) ≠ 𝑥)
10	9	anbi2i 635	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ∧ ∀𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑦(.r‘𝑆)𝑧) ≠ 𝑥))
11		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
12		opprirred.2	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)
13		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) = ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))
14	2, 11, 12, 13, 3	isirred 20610	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↔ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ∧ ∀𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 𝑥))
15	4, 2	opprbas 20534	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑆)
16	11, 4	opprunit 20568	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑆)
17		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Irred‘𝑆) = (Irred‘𝑆)
18	15, 16, 17, 13, 5	isirred 20610	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Irred‘𝑆) ↔ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑦(.r‘𝑆)𝑧) ≠ 𝑥))
19	10, 14, 18	3bitr4i 306	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↔ 𝑥 ∈ (Irred‘𝑆))
20	19	eqriv 2757	1 ⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076   ∖ cdif 3895  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Basecbs 17348  ._rcmulr 17390  opp_rcoppr 20527  Unitcui 20546  Irredcir 20547

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-2nd 7985  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-0g 17573  df-mgp 20322  df-ur 20369  df-oppr 20528  df-dvdsr 20548  df-unit 20549  df-irred 20550

This theorem is used by:  irredlmul  20619