Theorem islsati 39166

Description: A 1-dim subspace (atom) (of a left module or left vector space) equals the span of some vector. (Contributed by NM, 1-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
islsati.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
islsati.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
islsati.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islsati	⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑣}))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑁   𝑣,𝑈   𝑣,𝑉   𝑣,𝑊   𝑣,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑣)

Proof of Theorem islsati

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4085	. 2 ⊢ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ⊆ 𝑉
2		islsati.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		islsati.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
5		islsati.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
6	2, 3, 4, 5	islsat 39163	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑈 = (𝑁‘{𝑣})))
7	6	biimpa 476	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑈 = (𝑁‘{𝑣}))
8		ssrexv 4000	. 2 ⊢ ((𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ⊆ 𝑉 → (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑈 = (𝑁‘{𝑣}) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑣})))
9	1, 7, 8	mpsyl 68	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑣}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3057   ∖ cdif 3895   ⊆ wss 3898  {csn 4577  ‘cfv 6489  Basecbs 17127  0_gc0g 17350  LSpanclspn 20913  LSAtomsclsa 39146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-fv 6497  df-lsatoms 39148

This theorem is referenced by:  lsmsatcv  39182  dihjat2  41603  dvh4dimlem  41615  lcfl8  41674  mapdval2N  41802  mapdspex  41840  hdmaprnlem16N  42034