Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islsati Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islsati 37485
Description: A 1-dim subspace (atom) (of a left module or left vector space) equals the span of some vector. (Contributed by NM, 1-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
islsati.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
islsati.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
islsati.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
islsati ((π‘Š ∈ 𝑋 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑣}))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑁   𝑣,π‘ˆ   𝑣,𝑉   𝑣,π‘Š   𝑣,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑣)

Proof of Theorem islsati
StepHypRef Expression
1 difss 4096 . 2 (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) βŠ† 𝑉
2 islsati.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
3 islsati.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
4 eqid 2737 . . . 4 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
5 islsati.a . . . 4 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
62, 3, 4, 5islsat 37482 . . 3 (π‘Š ∈ 𝑋 β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑣})))
76biimpa 478 . 2 ((π‘Š ∈ 𝑋 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑣}))
8 ssrexv 4016 . 2 ((𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) βŠ† 𝑉 β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑣}) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑣})))
91, 7, 8mpsyl 68 1 ((π‘Š ∈ 𝑋 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑣}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3074   βˆ– cdif 3912   βŠ† wss 3915  {csn 4591  β€˜cfv 6501  Basecbs 17090  0gc0g 17328  LSpanclspn 20448  LSAtomsclsa 37465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-fv 6509  df-lsatoms 37467
This theorem is referenced by:  lsmsatcv  37501  dihjat2  39923  dvh4dimlem  39935  lcfl8  39994  mapdval2N  40122  mapdspex  40160  hdmaprnlem16N  40354
  Copyright terms: Public domain W3C validator