Theorem islsati 40317

Description: A 1-dim subspace (atom) (of a left module or left vector space) equals the span of some vector. (Contributed by NM, 1-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
islsati.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
islsati.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
islsati.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islsati	⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑣}))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑁   𝑣,𝑈   𝑣,𝑉   𝑣,𝑊   𝑣,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑣)

Proof of Theorem islsati

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4075	. 2 ⊢ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ⊆ 𝑉
2		islsati.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		islsati.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
5		islsati.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
6	2, 3, 4, 5	islsat 40314	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑈 = (𝑁‘{𝑣})))
7	6	biimpa 482	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑈 = (𝑁‘{𝑣}))
8		ssrexv 3983	. 2 ⊢ ((𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ⊆ 𝑉 → (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑈 = (𝑁‘{𝑣}) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑣})))
9	1, 7, 8	mpsyl 69	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑣}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  {csn 4588  ‘cfv 6566  Basecbs 17431  0_gc0g 17660  LSpanclspn 21297  LSAtomsclsa 40297

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-fv 6574  df-lsatoms 40299

This theorem is used by:  lsmsatcv  40333  dihjat2  42754  dvh4dimlem  42766  lcfl8  42825  mapdval2N  42953  mapdspex  42991  hdmaprnlem16N  43185