Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islsati Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islsati 38996
Description: A 1-dim subspace (atom) (of a left module or left vector space) equals the span of some vector. (Contributed by NM, 1-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
islsati.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
islsati.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
islsati.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
islsati ((𝑊𝑋𝑈𝐴) → ∃𝑣𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑣}))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑁   𝑣,𝑈   𝑣,𝑉   𝑣,𝑊   𝑣,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑣)

Proof of Theorem islsati
StepHypRef Expression
1 difss 4135 . 2 (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) ⊆ 𝑉
2 islsati.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 islsati.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4 eqid 2736 . . . 4 (0g𝑊) = (0g𝑊)
5 islsati.a . . . 4 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
62, 3, 4, 5islsat 38993 . . 3 (𝑊𝑋 → (𝑈𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑈 = (𝑁‘{𝑣})))
76biimpa 476 . 2 ((𝑊𝑋𝑈𝐴) → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑈 = (𝑁‘{𝑣}))
8 ssrexv 4052 . 2 ((𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) ⊆ 𝑉 → (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑈 = (𝑁‘{𝑣}) → ∃𝑣𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑣})))
91, 7, 8mpsyl 68 1 ((𝑊𝑋𝑈𝐴) → ∃𝑣𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑣}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wrex 3069  cdif 3947  wss 3950  {csn 4625  cfv 6560  Basecbs 17248  0gc0g 17485  LSpanclspn 20970  LSAtomsclsa 38976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-fv 6568  df-lsatoms 38978
This theorem is referenced by:  lsmsatcv  39012  dihjat2  41434  dvh4dimlem  41446  lcfl8  41505  mapdval2N  41633  mapdspex  41671  hdmaprnlem16N  41865
  Copyright terms: Public domain W3C validator