Theorem islsati 36570

Description: A 1-dim subspace (atom) (of a left module or left vector space) equals the span of some vector. (Contributed by NM, 1-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
islsati.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
islsati.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
islsati.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islsati	⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑣}))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑁   𝑣,𝑈   𝑣,𝑉   𝑣,𝑊   𝑣,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑣)

Proof of Theorem islsati

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4037	. 2 ⊢ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ⊆ 𝑉
2		islsati.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		islsati.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4		eqid 2758	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
5		islsati.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
6	2, 3, 4, 5	islsat 36567	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑈 = (𝑁‘{𝑣})))
7	6	biimpa 480	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑈 = (𝑁‘{𝑣}))
8		ssrexv 3959	. 2 ⊢ ((𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ⊆ 𝑉 → (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑈 = (𝑁‘{𝑣}) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑣})))
9	1, 7, 8	mpsyl 68	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑣}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3071   ∖ cdif 3855   ⊆ wss 3858  {csn 4522  ‘cfv 6335  Basecbs 16541  0_gc0g 16771  LSpanclspn 19811  LSAtomsclsa 36550

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-op 4529  df-uni 4799  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-id 5430  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-fv 6343  df-lsatoms 36552

This theorem is referenced by:  lsmsatcv  36586  dihjat2  39007  dvh4dimlem  39019  lcfl8  39078  mapdval2N  39206  mapdspex  39244  hdmaprnlem16N  39438