Theorem islsati 38992

Description: A 1-dim subspace (atom) (of a left module or left vector space) equals the span of some vector. (Contributed by NM, 1-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
islsati.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
islsati.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
islsati.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islsati	⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑣}))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑁   𝑣,𝑈   𝑣,𝑉   𝑣,𝑊   𝑣,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑣)

Proof of Theorem islsati

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4089	. 2 ⊢ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ⊆ 𝑉
2		islsati.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		islsati.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
5		islsati.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
6	2, 3, 4, 5	islsat 38989	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑈 = (𝑁‘{𝑣})))
7	6	biimpa 476	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑈 = (𝑁‘{𝑣}))
8		ssrexv 4007	. 2 ⊢ ((𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ⊆ 𝑉 → (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑈 = (𝑁‘{𝑣}) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑣})))
9	1, 7, 8	mpsyl 68	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑣}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905  {csn 4579  ‘cfv 6486  Basecbs 17139  0_gc0g 17362  LSpanclspn 20893  LSAtomsclsa 38972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-fv 6494  df-lsatoms 38974

This theorem is referenced by:  lsmsatcv  39008  dihjat2  41430  dvh4dimlem  41442  lcfl8  41501  mapdval2N  41629  mapdspex  41667  hdmaprnlem16N  41861