Theorem islsati 37008

Description: A 1-dim subspace (atom) (of a left module or left vector space) equals the span of some vector. (Contributed by NM, 1-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
islsati.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
islsati.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
islsati.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islsati	⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑣}))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑁   𝑣,𝑈   𝑣,𝑉   𝑣,𝑊   𝑣,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑣)

Proof of Theorem islsati

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4066	. 2 ⊢ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ⊆ 𝑉
2		islsati.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		islsati.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
5		islsati.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
6	2, 3, 4, 5	islsat 37005	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑈 = (𝑁‘{𝑣})))
7	6	biimpa 477	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑈 = (𝑁‘{𝑣}))
8		ssrexv 3988	. 2 ⊢ ((𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) ⊆ 𝑉 → (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑈 = (𝑁‘{𝑣}) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑣})))
9	1, 7, 8	mpsyl 68	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑣}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065   ∖ cdif 3884   ⊆ wss 3887  {csn 4561  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  0_gc0g 17150  LSpanclspn 20233  LSAtomsclsa 36988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fv 6441  df-lsatoms 36990

This theorem is referenced by:  lsmsatcv  37024  dihjat2  39445  dvh4dimlem  39457  lcfl8  39516  mapdval2N  39644  mapdspex  39682  hdmaprnlem16N  39876