Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvh4dimlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvh4dimlem 40618
Description: Lemma for dvh4dimN 40622. (Contributed by NM, 22-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvh3dim.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dvh3dim.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvh3dim.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
dvh3dim.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
dvh3dim.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
dvh3dim.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
dvh4dim.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
dvhdim.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
dvh4dim.o 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
dvh4dim.x (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  0 )
dvh4dimlem.y (πœ‘ β†’ π‘Œ β‰  0 )
dvh4dimlem.z (πœ‘ β†’ 𝑍 β‰  0 )
Assertion
Ref Expression
dvh4dimlem (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍}))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧, 0   𝑧,π‘ˆ   𝑧,𝑉   𝑧,𝑋   𝑧,π‘Œ   𝑧,𝑍   πœ‘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧)   𝐾(𝑧)   π‘Š(𝑧)
Proof of Theorem dvh4dimlem
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvh3dim.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 dvh3dim.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 eqid 2731 . . 3 (LSSumβ€˜π‘ˆ) = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
4 eqid 2731 . . 3 (LSAtomsβ€˜π‘ˆ) = (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)
5 dvh3dim.k . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
6 dvh3dim.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
7 dvh3dim.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
8 dvh4dim.o . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
91, 2, 5dvhlmod 40285 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
10 dvh3dim.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
11 dvh4dim.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  0 )
12 eldifsn 4791 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ))
1310, 11, 12sylanbrc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
146, 7, 8, 4, 9, 13lsatlspsn 38167 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ))
15 dvh4dim.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
16 dvh4dimlem.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ β‰  0 )
17 eldifsn 4791 . . . . 5 (π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ↔ (π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ β‰  0 ))
1815, 16, 17sylanbrc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
196, 7, 8, 4, 9, 18lsatlspsn 38167 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ))
20 dvhdim.z . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
21 dvh4dimlem.z . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 β‰  0 )
22 eldifsn 4791 . . . . 5 (𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ↔ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 β‰  0 ))
2320, 21, 22sylanbrc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
246, 7, 8, 4, 9, 23lsatlspsn 38167 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑍}) ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ))
251, 2, 3, 4, 5, 14, 19, 24dvh4dimat 40613 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ) Β¬ 𝑝 βŠ† (((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{π‘Œ}))(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{𝑍})))
2693ad2ant1 1132 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 βŠ† (((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{π‘Œ}))(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{𝑍}))) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
27 simp2 1136 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 βŠ† (((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{π‘Œ}))(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{𝑍}))) β†’ 𝑝 ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ))
286, 7, 4islsati 38168 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝑝 ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 𝑝 = (π‘β€˜{𝑧}))
2926, 27, 28syl2anc 583 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 βŠ† (((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{π‘Œ}))(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{𝑍}))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 𝑝 = (π‘β€˜{𝑧}))
30 simp2 1136 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑝 = (π‘β€˜{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ 𝑝 = (π‘β€˜{𝑧}))
3193ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑝 = (π‘β€˜{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
32103ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑝 = (π‘β€˜{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
33153ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑝 = (π‘β€˜{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
346, 7, 3, 31, 32, 33lsmpr 20845 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑝 = (π‘β€˜{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) = ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{π‘Œ})))
3534oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑝 = (π‘β€˜{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{𝑍})) = (((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{π‘Œ}))(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{𝑍})))
36 prssi 4825 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ {𝑋, π‘Œ} βŠ† 𝑉)
3710, 15, 36syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ {𝑋, π‘Œ} βŠ† 𝑉)
38373ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑝 = (π‘β€˜{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ {𝑋, π‘Œ} βŠ† 𝑉)
3920snssd 4813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ {𝑍} βŠ† 𝑉)
40393ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑝 = (π‘β€˜{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ {𝑍} βŠ† 𝑉)
416, 7, 3lsmsp2 20843 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ {𝑋, π‘Œ} βŠ† 𝑉 ∧ {𝑍} βŠ† 𝑉) β†’ ((π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{𝑍})) = (π‘β€˜({𝑋, π‘Œ} βˆͺ {𝑍})))
4231, 38, 40, 41syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑝 = (π‘β€˜{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{𝑍})) = (π‘β€˜({𝑋, π‘Œ} βˆͺ {𝑍})))
4335, 42eqtr3d 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑝 = (π‘β€˜{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{π‘Œ}))(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{𝑍})) = (π‘β€˜({𝑋, π‘Œ} βˆͺ {𝑍})))
4430, 43sseq12d 4016 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑝 = (π‘β€˜{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (𝑝 βŠ† (((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{π‘Œ}))(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{𝑍})) ↔ (π‘β€˜{𝑧}) βŠ† (π‘β€˜({𝑋, π‘Œ} βˆͺ {𝑍}))))
45 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . 14 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
4637, 39unssd 4187 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ({𝑋, π‘Œ} βˆͺ {𝑍}) βŠ† 𝑉)
476, 45, 7lspcl 20732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ ({𝑋, π‘Œ} βˆͺ {𝑍}) βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜({𝑋, π‘Œ} βˆͺ {𝑍})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
489, 46, 47syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜({𝑋, π‘Œ} βˆͺ {𝑍})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
49483ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑝 = (π‘β€˜{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜({𝑋, π‘Œ} βˆͺ {𝑍})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
50 simp3 1137 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑝 = (π‘β€˜{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉)
516, 45, 7, 31, 49, 50lspsnel5 20751 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑝 = (π‘β€˜{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (𝑧 ∈ (π‘β€˜({𝑋, π‘Œ} βˆͺ {𝑍})) ↔ (π‘β€˜{𝑧}) βŠ† (π‘β€˜({𝑋, π‘Œ} βˆͺ {𝑍}))))
5244, 51bitr4d 281 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑝 = (π‘β€˜{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (𝑝 βŠ† (((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{π‘Œ}))(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{𝑍})) ↔ 𝑧 ∈ (π‘β€˜({𝑋, π‘Œ} βˆͺ {𝑍}))))
53 df-tp 4634 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑋, π‘Œ, 𝑍} = ({𝑋, π‘Œ} βˆͺ {𝑍})
5453fveq2i 6895 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍}) = (π‘β€˜({𝑋, π‘Œ} βˆͺ {𝑍}))
5554eleq2i 2824 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍}) ↔ 𝑧 ∈ (π‘β€˜({𝑋, π‘Œ} βˆͺ {𝑍})))
5652, 55bitr4di 288 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑝 = (π‘β€˜{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (𝑝 βŠ† (((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{π‘Œ}))(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{𝑍})) ↔ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍})))
5756notbid 317 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑝 = (π‘β€˜{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (Β¬ 𝑝 βŠ† (((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{π‘Œ}))(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{𝑍})) ↔ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍})))
5857biimpd 228 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑝 = (π‘β€˜{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (Β¬ 𝑝 βŠ† (((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{π‘Œ}))(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{𝑍})) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍})))
59583exp 1118 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑝 = (π‘β€˜{𝑧}) β†’ (𝑧 ∈ 𝑉 β†’ (Β¬ 𝑝 βŠ† (((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{π‘Œ}))(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{𝑍})) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍})))))
6059com24 95 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑝 βŠ† (((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{π‘Œ}))(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{𝑍})) β†’ (𝑧 ∈ 𝑉 β†’ (𝑝 = (π‘β€˜{𝑧}) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍})))))
6160a1d 25 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑝 ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ) β†’ (Β¬ 𝑝 βŠ† (((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{π‘Œ}))(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{𝑍})) β†’ (𝑧 ∈ 𝑉 β†’ (𝑝 = (π‘β€˜{𝑧}) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍}))))))
62613imp 1110 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 βŠ† (((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{π‘Œ}))(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{𝑍}))) β†’ (𝑧 ∈ 𝑉 β†’ (𝑝 = (π‘β€˜{𝑧}) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍}))))
6362reximdvai 3164 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 βŠ† (((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{π‘Œ}))(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{𝑍}))) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 𝑝 = (π‘β€˜{𝑧}) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍})))
6429, 63mpd 15 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 βŠ† (((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{π‘Œ}))(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{𝑍}))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍}))
6564rexlimdv3a 3158 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ) Β¬ 𝑝 βŠ† (((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{π‘Œ}))(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{𝑍})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍})))
6625, 65mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆƒwrex 3069   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  {csn 4629  {cpr 4631  {ctp 4633  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  0gc0g 17390  LSSumclsm 19544  LModclmod 20615  LSubSpclss 20687  LSpanclspn 20727  LSAtomsclsa 38148  HLchlt 38524  LHypclh 39159  DVecHcdvh 40253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-riotaBAD 38127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-tpos 8214  df-undef 8261  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-0g 17392  df-proset 18253  df-poset 18271  df-plt 18288  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-p0 18383  df-p1 18384  df-lat 18390  df-clat 18457  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19040  df-cntz 19223  df-lsm 19546  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-drng 20503  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-lsp 20728  df-lvec 20859  df-lsatoms 38150  df-oposet 38350  df-ol 38352  df-oml 38353  df-covers 38440  df-ats 38441  df-atl 38472  df-cvlat 38496  df-hlat 38525  df-llines 38673  df-lplanes 38674  df-lvols 38675  df-lines 38676  df-psubsp 38678  df-pmap 38679  df-padd 38971  df-lhyp 39163  df-laut 39164  df-ldil 39279  df-ltrn 39280  df-trl 39334  df-tgrp 39918  df-tendo 39930  df-edring 39932  df-dveca 40178  df-disoa 40204  df-dvech 40254  df-dib 40314  df-dic 40348  df-dih 40404  df-doch 40523  df-djh 40570
This theorem is referenced by:  dvhdimlem  40619  dvh4dimN  40622
  Copyright terms: Public domain W3C validator