Theorem dvh4dimlem 40780

Description: Lemma for dvh4dimN 40784. (Contributed by NM, 22-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvh3dim.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvh3dim.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvh3dim.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dvh3dim.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dvh3dim.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dvh3dim.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
dvh4dim.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
dvhdim.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
dvh4dim.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dvh4dim.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
dvh4dimlem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
dvh4dimlem.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
dvh4dimlem	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧, 0   𝑧,𝑈   𝑧,𝑉   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌   𝑧,𝑍   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝑊(𝑧)

Proof of Theorem dvh4dimlem

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvh3dim.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dvh3dim.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2731	. . 3 ⊢ (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
4		eqid 2731	. . 3 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
5		dvh3dim.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		dvh3dim.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
7		dvh3dim.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
8		dvh4dim.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
9	1, 2, 5	dvhlmod 40447	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
10		dvh3dim.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
11		dvh4dim.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
12		eldifsn 4790	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ))
13	10, 11, 12	sylanbrc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14	6, 7, 8, 4, 9, 13	lsatlspsn 38329	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
15		dvh4dim.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
16		dvh4dimlem.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
17		eldifsn 4790	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ≠ 0 ))
18	15, 16, 17	sylanbrc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19	6, 7, 8, 4, 9, 18	lsatlspsn 38329	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
20		dvhdim.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
21		dvh4dimlem.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 0 )
22		eldifsn 4790	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ≠ 0 ))
23	20, 21, 22	sylanbrc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
24	6, 7, 8, 4, 9, 23	lsatlspsn 38329	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
25	1, 2, 3, 4, 5, 14, 19, 24	dvh4dimat 40775	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})))
26	9	3ad2ant1 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) → 𝑈 ∈ LMod)
27		simp2 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) → 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈))
28	6, 7, 4	islsati 38330	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}))
29	26, 27, 28	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}))
30		simp2 1136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}))
31	9	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ LMod)
32	10	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
33	15	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ 𝑉)
34	6, 7, 3, 31, 32, 33	lsmpr 20933	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))
35	34	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) = (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})))
36		prssi 4824	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
37	10, 15, 36	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
38	37	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
39	20	snssd 4812	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → {𝑍} ⊆ 𝑉)
40	39	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → {𝑍} ⊆ 𝑉)
41	6, 7, 3	lsmsp2 20931	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉 ∧ {𝑍} ⊆ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) = (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})))
42	31, 38, 40, 41	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) = (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})))
43	35, 42	eqtr3d 2773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) = (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})))
44	30, 43	sseq12d 4015	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ↔ (𝑁‘{𝑧}) ⊆ (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍}))))
45		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
46	37, 39	unssd 4186	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍}) ⊆ 𝑉)
47	6, 45, 7	lspcl 20819	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍}) ⊆ 𝑉) → (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
48	9, 46, 47	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
49	48	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
50		simp3 1137	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → 𝑧 ∈ 𝑉)
51	6, 45, 7, 31, 49, 50	lspsnel5 20838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑧 ∈ (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})) ↔ (𝑁‘{𝑧}) ⊆ (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍}))))
52	44, 51	bitr4d 282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ↔ 𝑧 ∈ (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍}))))
53		df-tp 4633	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑋, 𝑌, 𝑍} = ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})
54	53	fveq2i 6894	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}) = (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍}))
55	54	eleq2i 2824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}) ↔ 𝑧 ∈ (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})))
56	52, 55	bitr4di 289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ↔ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
57	56	notbid 318	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
58	57	biimpd 228	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
59	58	3exp 1118	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) → (𝑧 ∈ 𝑉 → (¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))))
60	59	com24 95	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) → (𝑧 ∈ 𝑉 → (𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))))
61	60	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) → (¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) → (𝑧 ∈ 𝑉 → (𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))))))
62	61	3imp 1110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) → (𝑧 ∈ 𝑉 → (𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))))
63	62	reximdvai 3164	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) → (∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
64	29, 63	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
65	64	rexlimdv3a 3158	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
66	25, 65	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ∃wrex 3069   ∖ cdif 3945   ∪ cun 3946   ⊆ wss 3948  {csn 4628  {cpr 4630  {ctp 4632  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  0_gc0g 17392  LSSumclsm 19550  LModclmod 20702  LSubSpclss 20774  LSpanclspn 20814  LSAtomsclsa 38310  HLchlt 38686  LHypclh 39321  DVecHcdvh 40415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-riotaBAD 38289

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8217  df-undef 8264  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-0g 17394  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-p1 18389  df-lat 18395  df-clat 18462  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19046  df-cntz 19229  df-lsm 19552  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-dvr 20299  df-drng 20585  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815  df-lvec 20947  df-lsatoms 38312  df-oposet 38512  df-ol 38514  df-oml 38515  df-covers 38602  df-ats 38603  df-atl 38634  df-cvlat 38658  df-hlat 38687  df-llines 38835  df-lplanes 38836  df-lvols 38837  df-lines 38838  df-psubsp 38840  df-pmap 38841  df-padd 39133  df-lhyp 39325  df-laut 39326  df-ldil 39441  df-ltrn 39442  df-trl 39496  df-tgrp 40080  df-tendo 40092  df-edring 40094  df-dveca 40340  df-disoa 40366  df-dvech 40416  df-dib 40476  df-dic 40510  df-dih 40566  df-doch 40685  df-djh 40732

This theorem is referenced by:  dvhdimlem  40781  dvh4dimN  40784