Theorem dvh4dimlem 42064

Description: Lemma for dvh4dimN 42068. (Contributed by NM, 22-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvh3dim.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvh3dim.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvh3dim.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dvh3dim.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dvh3dim.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dvh3dim.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
dvh4dim.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
dvhdim.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
dvh4dim.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dvh4dim.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
dvh4dimlem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
dvh4dimlem.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
dvh4dimlem	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧, 0   𝑧,𝑈   𝑧,𝑉   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌   𝑧,𝑍   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝑊(𝑧)

Proof of Theorem dvh4dimlem

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvh3dim.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dvh3dim.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2762	. . 3 ⊢ (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
4		eqid 2762	. . 3 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
5		dvh3dim.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		dvh3dim.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
7		dvh3dim.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
8		dvh4dim.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
9	1, 2, 5	dvhlmod 41731	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
10		dvh3dim.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
11		dvh4dim.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
12		eldifsn 4746	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ))
13	10, 11, 12	sylanbrc 592	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14	6, 7, 8, 4, 9, 13	lsatlspsn 39614	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
15		dvh4dim.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
16		dvh4dimlem.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
17		eldifsn 4746	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ≠ 0 ))
18	15, 16, 17	sylanbrc 592	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19	6, 7, 8, 4, 9, 18	lsatlspsn 39614	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
20		dvhdim.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
21		dvh4dimlem.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 0 )
22		eldifsn 4746	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ≠ 0 ))
23	20, 21, 22	sylanbrc 592	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
24	6, 7, 8, 4, 9, 23	lsatlspsn 39614	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
25	1, 2, 3, 4, 5, 14, 19, 24	dvh4dimat 42059	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})))
26	9	3ad2ant1 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) → 𝑈 ∈ LMod)
27		simp2 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) → 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈))
28	6, 7, 4	islsati 39615	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}))
29	26, 27, 28	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}))
30		simp2 1150	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}))
31	9	3ad2ant1 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ LMod)
32	10	3ad2ant1 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
33	15	3ad2ant1 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ 𝑉)
34	6, 7, 3, 31, 32, 33	lsmpr 21153	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))
35	34	oveq1d 7411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) = (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})))
36		prssi 4779	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
37	10, 15, 36	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
38	37	3ad2ant1 1146	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
39	20	snssd 4745	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → {𝑍} ⊆ 𝑉)
40	39	3ad2ant1 1146	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → {𝑍} ⊆ 𝑉)
41	6, 7, 3	lsmsp2 21151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉 ∧ {𝑍} ⊆ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) = (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})))
42	31, 38, 40, 41	syl3anc 1390	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) = (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})))
43	35, 42	eqtr3d 2799	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) = (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})))
44	30, 43	sseq12d 3969	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ↔ (𝑁‘{𝑧}) ⊆ (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍}))))
45		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
46	37, 39	unssd 4144	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍}) ⊆ 𝑉)
47	6, 45, 7	lspcl 21040	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍}) ⊆ 𝑉) → (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
48	9, 46, 47	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
49	48	3ad2ant1 1146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
50		simp3 1151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → 𝑧 ∈ 𝑉)
51	6, 45, 7, 31, 49, 50	ellspsn5b 21059	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑧 ∈ (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})) ↔ (𝑁‘{𝑧}) ⊆ (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍}))))
52	44, 51	bitr4d 284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ↔ 𝑧 ∈ (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍}))))
53		df-tp 4587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑋, 𝑌, 𝑍} = ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})
54	53	fveq2i 6870	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}) = (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍}))
55	54	eleq2i 2854	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}) ↔ 𝑧 ∈ (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})))
56	52, 55	bitr4di 291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ↔ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
57	56	notbid 320	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
58	57	biimpd 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
59	58	3exp 1132	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) → (𝑧 ∈ 𝑉 → (¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))))
60	59	com24 95	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) → (𝑧 ∈ 𝑉 → (𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))))
61	60	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) → (¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) → (𝑧 ∈ 𝑉 → (𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))))))
62	61	3imp 1123	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) → (𝑧 ∈ 𝑉 → (𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))))
63	62	reximdvai 3173	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) → (∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
64	29, 63	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
65	64	rexlimdv3a 3167	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
66	25, 65	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∃wrex 3086   ∖ cdif 3901   ∪ cun 3902   ⊆ wss 3904  {csn 4582  {cpr 4584  {ctp 4586  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17245  0_gc0g 17468  LSSumclsm 19674  LModclmod 20924  LSubSpclss 20995  LSpanclspn 21035  LSAtomsclsa 39595  HLchlt 39971  LHypclh 40605  DVecHcdvh 41699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-riotaBAD 39574

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-undef 8253  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-0g 17470  df-proset 18326  df-poset 18345  df-plt 18360  df-lub 18376  df-glb 18377  df-join 18378  df-meet 18379  df-p0 18455  df-p1 18456  df-lat 18464  df-clat 18531  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-submnd 18818  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-subg 19165  df-cntz 19357  df-lsm 19676  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-rng 20199  df-ur 20228  df-ring 20281  df-oppr 20382  df-dvdsr 20402  df-unit 20403  df-invr 20433  df-dvr 20446  df-drng 20777  df-lmod 20926  df-lss 20996  df-lsp 21036  df-lvec 21167  df-lsatoms 39597  df-oposet 39797  df-ol 39799  df-oml 39800  df-covers 39887  df-ats 39888  df-atl 39919  df-cvlat 39943  df-hlat 39972  df-llines 40119  df-lplanes 40120  df-lvols 40121  df-lines 40122  df-psubsp 40124  df-pmap 40125  df-padd 40417  df-lhyp 40609  df-laut 40610  df-ldil 40725  df-ltrn 40726  df-trl 40780  df-tgrp 41364  df-tendo 41376  df-edring 41378  df-dveca 41624  df-disoa 41650  df-dvech 41700  df-dib 41760  df-dic 41794  df-dih 41850  df-doch 41969  df-djh 42016

This theorem is referenced by:  dvhdimlem  42065  dvh4dimN  42068