Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvh4dimlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvh4dimlem 38447
Description: Lemma for dvh4dimN 38451. (Contributed by NM, 22-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvh3dim.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvh3dim.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvh3dim.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dvh3dim.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dvh3dim.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dvh3dim.x (𝜑𝑋𝑉)
dvh4dim.y (𝜑𝑌𝑉)
dvhdim.z (𝜑𝑍𝑉)
dvh4dim.o 0 = (0g𝑈)
dvh4dim.x (𝜑𝑋0 )
dvh4dimlem.y (𝜑𝑌0 )
dvh4dimlem.z (𝜑𝑍0 )
Assertion
Ref Expression
dvh4dimlem (𝜑 → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧, 0   𝑧,𝑈   𝑧,𝑉   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌   𝑧,𝑍   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝑊(𝑧)

Proof of Theorem dvh4dimlem
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvh3dim.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dvh3dim.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 eqid 2824 . . 3 (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
4 eqid 2824 . . 3 (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
5 dvh3dim.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
6 dvh3dim.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
7 dvh3dim.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
8 dvh4dim.o . . . 4 0 = (0g𝑈)
91, 2, 5dvhlmod 38114 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
10 dvh3dim.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
11 dvh4dim.x . . . . 5 (𝜑𝑋0 )
12 eldifsn 4717 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋𝑉𝑋0 ))
1310, 11, 12sylanbrc 583 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
146, 7, 8, 4, 9, 13lsatlspsn 35997 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
15 dvh4dim.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
16 dvh4dimlem.y . . . . 5 (𝜑𝑌0 )
17 eldifsn 4717 . . . . 5 (𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑌𝑉𝑌0 ))
1815, 16, 17sylanbrc 583 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
196, 7, 8, 4, 9, 18lsatlspsn 35997 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
20 dvhdim.z . . . . 5 (𝜑𝑍𝑉)
21 dvh4dimlem.z . . . . 5 (𝜑𝑍0 )
22 eldifsn 4717 . . . . 5 (𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑍𝑉𝑍0 ))
2320, 21, 22sylanbrc 583 . . . 4 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
246, 7, 8, 4, 9, 23lsatlspsn 35997 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
251, 2, 3, 4, 5, 14, 19, 24dvh4dimat 38442 . 2 (𝜑 → ∃𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})))
2693ad2ant1 1127 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) → 𝑈 ∈ LMod)
27 simp2 1131 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) → 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈))
286, 7, 4islsati 35998 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ∃𝑧𝑉 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}))
2926, 27, 28syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) → ∃𝑧𝑉 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}))
30 simp2 1131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧𝑉) → 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}))
3193ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧𝑉) → 𝑈 ∈ LMod)
32103ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧𝑉) → 𝑋𝑉)
33153ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧𝑉) → 𝑌𝑉)
346, 7, 3, 31, 32, 33lsmpr 19783 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧𝑉) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))
3534oveq1d 7166 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧𝑉) → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) = (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})))
36 prssi 4752 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
3710, 15, 36syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
38373ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
3920snssd 4740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → {𝑍} ⊆ 𝑉)
40393ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧𝑉) → {𝑍} ⊆ 𝑉)
416, 7, 3lsmsp2 19781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ LMod ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉 ∧ {𝑍} ⊆ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) = (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})))
4231, 38, 40, 41syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧𝑉) → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) = (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})))
4335, 42eqtr3d 2862 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧𝑉) → (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) = (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})))
4430, 43sseq12d 4003 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧𝑉) → (𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ↔ (𝑁‘{𝑧}) ⊆ (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍}))))
45 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . 14 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
4637, 39unssd 4165 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍}) ⊆ 𝑉)
476, 45, 7lspcl 19670 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ LMod ∧ ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍}) ⊆ 𝑉) → (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
489, 46, 47syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
49483ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧𝑉) → (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
50 simp3 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧𝑉) → 𝑧𝑉)
516, 45, 7, 31, 49, 50lspsnel5 19689 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧𝑉) → (𝑧 ∈ (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})) ↔ (𝑁‘{𝑧}) ⊆ (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍}))))
5244, 51bitr4d 283 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧𝑉) → (𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ↔ 𝑧 ∈ (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍}))))
53 df-tp 4568 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑋, 𝑌, 𝑍} = ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})
5453fveq2i 6669 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}) = (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍}))
5554eleq2i 2908 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}) ↔ 𝑧 ∈ (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})))
5652, 55syl6bbr 290 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧𝑉) → (𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ↔ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
5756notbid 319 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧𝑉) → (¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
5857biimpd 230 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧𝑉) → (¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
59583exp 1113 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) → (𝑧𝑉 → (¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))))
6059com24 95 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) → (𝑧𝑉 → (𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))))
6160a1d 25 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) → (¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) → (𝑧𝑉 → (𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))))))
62613imp 1105 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) → (𝑧𝑉 → (𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))))
6362reximdvai 3276 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) → (∃𝑧𝑉 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
6429, 63mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
6564rexlimdv3a 3290 . 2 (𝜑 → (∃𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
6625, 65mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2106  wne 3020  wrex 3143  cdif 3936  cun 3937  wss 3939  {csn 4563  {cpr 4565  {ctp 4567  cfv 6351  (class class class)co 7151  Basecbs 16475  0gc0g 16705  LSSumclsm 18681  LModclmod 19556  LSubSpclss 19625  LSpanclspn 19665  LSAtomsclsa 35978  HLchlt 36354  LHypclh 36988  DVecHcdvh 38082
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-13 2385  ax-ext 2796  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-riotaBAD 35957
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-tpos 7886  df-undef 7933  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-0g 16707  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-p1 17642  df-lat 17648  df-clat 17710  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17947  df-grp 18038  df-minusg 18039  df-sbg 18040  df-subg 18208  df-cntz 18379  df-lsm 18683  df-cmn 18830  df-abl 18831  df-mgp 19162  df-ur 19174  df-ring 19221  df-oppr 19295  df-dvdsr 19313  df-unit 19314  df-invr 19344  df-dvr 19355  df-drng 19426  df-lmod 19558  df-lss 19626  df-lsp 19666  df-lvec 19797  df-lsatoms 35980  df-oposet 36180  df-ol 36182  df-oml 36183  df-covers 36270  df-ats 36271  df-atl 36302  df-cvlat 36326  df-hlat 36355  df-llines 36502  df-lplanes 36503  df-lvols 36504  df-lines 36505  df-psubsp 36507  df-pmap 36508  df-padd 36800  df-lhyp 36992  df-laut 36993  df-ldil 37108  df-ltrn 37109  df-trl 37163  df-tgrp 37747  df-tendo 37759  df-edring 37761  df-dveca 38007  df-disoa 38033  df-dvech 38083  df-dib 38143  df-dic 38177  df-dih 38233  df-doch 38352  df-djh 38399
This theorem is referenced by:  dvhdimlem  38448  dvh4dimN  38451
  Copyright terms: Public domain W3C validator