Theorem dvh4dimlem 38739

Description: Lemma for dvh4dimN 38743. (Contributed by NM, 22-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvh3dim.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvh3dim.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvh3dim.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dvh3dim.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dvh3dim.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dvh3dim.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
dvh4dim.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
dvhdim.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
dvh4dim.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dvh4dim.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
dvh4dimlem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
dvh4dimlem.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
dvh4dimlem	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧, 0   𝑧,𝑈   𝑧,𝑉   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌   𝑧,𝑍   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝑊(𝑧)

Proof of Theorem dvh4dimlem

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvh3dim.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dvh3dim.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2798	. . 3 ⊢ (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
4		eqid 2798	. . 3 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
5		dvh3dim.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		dvh3dim.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
7		dvh3dim.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
8		dvh4dim.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
9	1, 2, 5	dvhlmod 38406	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
10		dvh3dim.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
11		dvh4dim.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
12		eldifsn 4680	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ))
13	10, 11, 12	sylanbrc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14	6, 7, 8, 4, 9, 13	lsatlspsn 36289	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
15		dvh4dim.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
16		dvh4dimlem.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
17		eldifsn 4680	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ≠ 0 ))
18	15, 16, 17	sylanbrc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19	6, 7, 8, 4, 9, 18	lsatlspsn 36289	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
20		dvhdim.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
21		dvh4dimlem.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 0 )
22		eldifsn 4680	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ≠ 0 ))
23	20, 21, 22	sylanbrc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
24	6, 7, 8, 4, 9, 23	lsatlspsn 36289	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
25	1, 2, 3, 4, 5, 14, 19, 24	dvh4dimat 38734	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})))
26	9	3ad2ant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) → 𝑈 ∈ LMod)
27		simp2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) → 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈))
28	6, 7, 4	islsati 36290	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}))
29	26, 27, 28	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}))
30		simp2 1134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}))
31	9	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ LMod)
32	10	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
33	15	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ 𝑉)
34	6, 7, 3, 31, 32, 33	lsmpr 19854	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))
35	34	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) = (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})))
36		prssi 4714	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
37	10, 15, 36	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
38	37	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
39	20	snssd 4702	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → {𝑍} ⊆ 𝑉)
40	39	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → {𝑍} ⊆ 𝑉)
41	6, 7, 3	lsmsp2 19852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉 ∧ {𝑍} ⊆ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) = (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})))
42	31, 38, 40, 41	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) = (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})))
43	35, 42	eqtr3d 2835	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) = (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})))
44	30, 43	sseq12d 3948	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ↔ (𝑁‘{𝑧}) ⊆ (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍}))))
45		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
46	37, 39	unssd 4113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍}) ⊆ 𝑉)
47	6, 45, 7	lspcl 19741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍}) ⊆ 𝑉) → (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
48	9, 46, 47	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
49	48	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
50		simp3 1135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → 𝑧 ∈ 𝑉)
51	6, 45, 7, 31, 49, 50	lspsnel5 19760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑧 ∈ (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})) ↔ (𝑁‘{𝑧}) ⊆ (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍}))))
52	44, 51	bitr4d 285	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ↔ 𝑧 ∈ (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍}))))
53		df-tp 4530	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑋, 𝑌, 𝑍} = ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})
54	53	fveq2i 6648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}) = (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍}))
55	54	eleq2i 2881	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}) ↔ 𝑧 ∈ (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})))
56	52, 55	syl6bbr 292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ↔ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
57	56	notbid 321	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
58	57	biimpd 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
59	58	3exp 1116	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) → (𝑧 ∈ 𝑉 → (¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))))
60	59	com24 95	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) → (𝑧 ∈ 𝑉 → (𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))))
61	60	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) → (¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) → (𝑧 ∈ 𝑉 → (𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))))))
62	61	3imp 1108	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) → (𝑧 ∈ 𝑉 → (𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))))
63	62	reximdvai 3231	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) → (∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
64	29, 63	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
65	64	rexlimdv3a 3245	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
66	25, 65	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∃wrex 3107   ∖ cdif 3878   ∪ cun 3879   ⊆ wss 3881  {csn 4525  {cpr 4527  {ctp 4529  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  0_gc0g 16705  LSSumclsm 18751  LModclmod 19627  LSubSpclss 19696  LSpanclspn 19736  LSAtomsclsa 36270  HLchlt 36646  LHypclh 37280  DVecHcdvh 38374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-riotaBAD 36249

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-tpos 7875  df-undef 7922  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-0g 16707  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-p1 17642  df-lat 17648  df-clat 17710  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-cntz 18439  df-lsm 18753  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-invr 19418  df-dvr 19429  df-drng 19497  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737  df-lvec 19868  df-lsatoms 36272  df-oposet 36472  df-ol 36474  df-oml 36475  df-covers 36562  df-ats 36563  df-atl 36594  df-cvlat 36618  df-hlat 36647  df-llines 36794  df-lplanes 36795  df-lvols 36796  df-lines 36797  df-psubsp 36799  df-pmap 36800  df-padd 37092  df-lhyp 37284  df-laut 37285  df-ldil 37400  df-ltrn 37401  df-trl 37455  df-tgrp 38039  df-tendo 38051  df-edring 38053  df-dveca 38299  df-disoa 38325  df-dvech 38375  df-dib 38435  df-dic 38469  df-dih 38525  df-doch 38644  df-djh 38691

This theorem is referenced by:  dvhdimlem  38740  dvh4dimN  38743