Theorem dvh4dimlem 39457

Description: Lemma for dvh4dimN 39461. (Contributed by NM, 22-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvh3dim.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvh3dim.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvh3dim.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dvh3dim.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dvh3dim.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dvh3dim.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
dvh4dim.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
dvhdim.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
dvh4dim.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dvh4dim.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
dvh4dimlem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
dvh4dimlem.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
dvh4dimlem	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧, 0   𝑧,𝑈   𝑧,𝑉   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌   𝑧,𝑍   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝑊(𝑧)

Proof of Theorem dvh4dimlem

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvh3dim.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dvh3dim.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2738	. . 3 ⊢ (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
4		eqid 2738	. . 3 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
5		dvh3dim.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		dvh3dim.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
7		dvh3dim.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
8		dvh4dim.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
9	1, 2, 5	dvhlmod 39124	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
10		dvh3dim.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
11		dvh4dim.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
12		eldifsn 4720	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ))
13	10, 11, 12	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14	6, 7, 8, 4, 9, 13	lsatlspsn 37007	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
15		dvh4dim.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
16		dvh4dimlem.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
17		eldifsn 4720	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ≠ 0 ))
18	15, 16, 17	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19	6, 7, 8, 4, 9, 18	lsatlspsn 37007	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
20		dvhdim.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
21		dvh4dimlem.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 0 )
22		eldifsn 4720	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ≠ 0 ))
23	20, 21, 22	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
24	6, 7, 8, 4, 9, 23	lsatlspsn 37007	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
25	1, 2, 3, 4, 5, 14, 19, 24	dvh4dimat 39452	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})))
26	9	3ad2ant1 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) → 𝑈 ∈ LMod)
27		simp2 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) → 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈))
28	6, 7, 4	islsati 37008	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}))
29	26, 27, 28	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}))
30		simp2 1136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}))
31	9	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ LMod)
32	10	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
33	15	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ 𝑉)
34	6, 7, 3, 31, 32, 33	lsmpr 20351	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))
35	34	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) = (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})))
36		prssi 4754	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
37	10, 15, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
38	37	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
39	20	snssd 4742	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → {𝑍} ⊆ 𝑉)
40	39	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → {𝑍} ⊆ 𝑉)
41	6, 7, 3	lsmsp2 20349	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉 ∧ {𝑍} ⊆ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) = (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})))
42	31, 38, 40, 41	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) = (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})))
43	35, 42	eqtr3d 2780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) = (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})))
44	30, 43	sseq12d 3954	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ↔ (𝑁‘{𝑧}) ⊆ (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍}))))
45		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
46	37, 39	unssd 4120	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍}) ⊆ 𝑉)
47	6, 45, 7	lspcl 20238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍}) ⊆ 𝑉) → (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
48	9, 46, 47	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
49	48	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
50		simp3 1137	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → 𝑧 ∈ 𝑉)
51	6, 45, 7, 31, 49, 50	lspsnel5 20257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑧 ∈ (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})) ↔ (𝑁‘{𝑧}) ⊆ (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍}))))
52	44, 51	bitr4d 281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ↔ 𝑧 ∈ (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍}))))
53		df-tp 4566	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑋, 𝑌, 𝑍} = ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})
54	53	fveq2i 6777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}) = (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍}))
55	54	eleq2i 2830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}) ↔ 𝑧 ∈ (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})))
56	52, 55	bitr4di 289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ↔ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
57	56	notbid 318	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
58	57	biimpd 228	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
59	58	3exp 1118	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) → (𝑧 ∈ 𝑉 → (¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))))
60	59	com24 95	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) → (𝑧 ∈ 𝑉 → (𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))))
61	60	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) → (¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) → (𝑧 ∈ 𝑉 → (𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))))))
62	61	3imp 1110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) → (𝑧 ∈ 𝑉 → (𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))))
63	62	reximdvai 3200	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) → (∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
64	29, 63	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
65	64	rexlimdv3a 3215	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
66	25, 65	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065   ∖ cdif 3884   ∪ cun 3885   ⊆ wss 3887  {csn 4561  {cpr 4563  {ctp 4565  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  0_gc0g 17150  LSSumclsm 19239  LModclmod 20123  LSubSpclss 20193  LSpanclspn 20233  LSAtomsclsa 36988  HLchlt 37364  LHypclh 37998  DVecHcdvh 39092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-riotaBAD 36967

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-undef 8089  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-0g 17152  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-p1 18144  df-lat 18150  df-clat 18217  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-cntz 18923  df-lsm 19241  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-dvr 19925  df-drng 19993  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-lvec 20365  df-lsatoms 36990  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-llines 37512  df-lplanes 37513  df-lvols 37514  df-lines 37515  df-psubsp 37517  df-pmap 37518  df-padd 37810  df-lhyp 38002  df-laut 38003  df-ldil 38118  df-ltrn 38119  df-trl 38173  df-tgrp 38757  df-tendo 38769  df-edring 38771  df-dveca 39017  df-disoa 39043  df-dvech 39093  df-dib 39153  df-dic 39187  df-dih 39243  df-doch 39362  df-djh 39409

This theorem is referenced by:  dvhdimlem  39458  dvh4dimN  39461