Theorem dvh4dimlem 39384

Description: Lemma for dvh4dimN 39388. (Contributed by NM, 22-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvh3dim.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvh3dim.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvh3dim.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dvh3dim.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dvh3dim.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dvh3dim.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
dvh4dim.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
dvhdim.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
dvh4dim.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dvh4dim.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
dvh4dimlem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
dvh4dimlem.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
dvh4dimlem	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧, 0   𝑧,𝑈   𝑧,𝑉   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌   𝑧,𝑍   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝑊(𝑧)

Proof of Theorem dvh4dimlem

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvh3dim.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dvh3dim.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2738	. . 3 ⊢ (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
4		eqid 2738	. . 3 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
5		dvh3dim.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		dvh3dim.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
7		dvh3dim.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
8		dvh4dim.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
9	1, 2, 5	dvhlmod 39051	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
10		dvh3dim.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
11		dvh4dim.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
12		eldifsn 4717	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ))
13	10, 11, 12	sylanbrc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14	6, 7, 8, 4, 9, 13	lsatlspsn 36934	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
15		dvh4dim.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
16		dvh4dimlem.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
17		eldifsn 4717	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ≠ 0 ))
18	15, 16, 17	sylanbrc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19	6, 7, 8, 4, 9, 18	lsatlspsn 36934	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
20		dvhdim.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
21		dvh4dimlem.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 0 )
22		eldifsn 4717	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ≠ 0 ))
23	20, 21, 22	sylanbrc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
24	6, 7, 8, 4, 9, 23	lsatlspsn 36934	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
25	1, 2, 3, 4, 5, 14, 19, 24	dvh4dimat 39379	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})))
26	9	3ad2ant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) → 𝑈 ∈ LMod)
27		simp2 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) → 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈))
28	6, 7, 4	islsati 36935	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}))
29	26, 27, 28	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}))
30		simp2 1135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}))
31	9	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ LMod)
32	10	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
33	15	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ 𝑉)
34	6, 7, 3, 31, 32, 33	lsmpr 20266	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))
35	34	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) = (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})))
36		prssi 4751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
37	10, 15, 36	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
38	37	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
39	20	snssd 4739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → {𝑍} ⊆ 𝑉)
40	39	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → {𝑍} ⊆ 𝑉)
41	6, 7, 3	lsmsp2 20264	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉 ∧ {𝑍} ⊆ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) = (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})))
42	31, 38, 40, 41	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) = (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})))
43	35, 42	eqtr3d 2780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) = (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})))
44	30, 43	sseq12d 3950	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ↔ (𝑁‘{𝑧}) ⊆ (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍}))))
45		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
46	37, 39	unssd 4116	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍}) ⊆ 𝑉)
47	6, 45, 7	lspcl 20153	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍}) ⊆ 𝑉) → (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
48	9, 46, 47	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
49	48	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
50		simp3 1136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → 𝑧 ∈ 𝑉)
51	6, 45, 7, 31, 49, 50	lspsnel5 20172	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑧 ∈ (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})) ↔ (𝑁‘{𝑧}) ⊆ (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍}))))
52	44, 51	bitr4d 281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ↔ 𝑧 ∈ (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍}))))
53		df-tp 4563	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑋, 𝑌, 𝑍} = ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})
54	53	fveq2i 6759	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}) = (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍}))
55	54	eleq2i 2830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}) ↔ 𝑧 ∈ (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})))
56	52, 55	bitr4di 288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ↔ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
57	56	notbid 317	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
58	57	biimpd 228	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
59	58	3exp 1117	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) → (𝑧 ∈ 𝑉 → (¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))))
60	59	com24 95	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) → (𝑧 ∈ 𝑉 → (𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))))
61	60	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) → (¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) → (𝑧 ∈ 𝑉 → (𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))))))
62	61	3imp 1109	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) → (𝑧 ∈ 𝑉 → (𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))))
63	62	reximdvai 3199	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) → (∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
64	29, 63	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
65	64	rexlimdv3a 3214	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
66	25, 65	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883  {csn 4558  {cpr 4560  {ctp 4562  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  0_gc0g 17067  LSSumclsm 19154  LModclmod 20038  LSubSpclss 20108  LSpanclspn 20148  LSAtomsclsa 36915  HLchlt 37291  LHypclh 37925  DVecHcdvh 39019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-riotaBAD 36894

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-undef 8060  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-0g 17069  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-lub 17979  df-glb 17980  df-join 17981  df-meet 17982  df-p0 18058  df-p1 18059  df-lat 18065  df-clat 18132  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-cntz 18838  df-lsm 19156  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-dvr 19840  df-drng 19908  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lvec 20280  df-lsatoms 36917  df-oposet 37117  df-ol 37119  df-oml 37120  df-covers 37207  df-ats 37208  df-atl 37239  df-cvlat 37263  df-hlat 37292  df-llines 37439  df-lplanes 37440  df-lvols 37441  df-lines 37442  df-psubsp 37444  df-pmap 37445  df-padd 37737  df-lhyp 37929  df-laut 37930  df-ldil 38045  df-ltrn 38046  df-trl 38100  df-tgrp 38684  df-tendo 38696  df-edring 38698  df-dveca 38944  df-disoa 38970  df-dvech 39020  df-dib 39080  df-dic 39114  df-dih 39170  df-doch 39289  df-djh 39336

This theorem is referenced by:  dvhdimlem  39385  dvh4dimN  39388