Theorem mapdspex 41777

Description: The map of a span equals the dual span of some vector (functional). (Contributed by NM, 15-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdspex.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdspex.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdspex.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdspex.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdspex.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdspex.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdspex.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
mapdspex.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdspex.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdspex.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
mapdspex	⊢ (𝜑 → ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝑔}))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑔   𝐶,𝑔   𝑔,𝐽   𝑔,𝑀   𝑔,𝑁   𝑔,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝑈(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝐾(𝑔)   𝑉(𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem mapdspex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdspex.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdspex.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdspex.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	lcdlmod 41701	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → 𝐶 ∈ LMod)
6		mapdspex.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
7		mapdspex.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
9		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (LSAtoms‘𝐶) = (LSAtoms‘𝐶)
10	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
12	1, 6, 7, 8, 2, 9, 10, 11	mapdat 41776	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSAtoms‘𝐶))
13		mapdspex.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
14		mapdspex.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
15	13, 14, 9	islsati 39103	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSAtoms‘𝐶)) → ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝑔}))
16	5, 12, 15	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝑔}))
17		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
18	1, 2, 13, 17, 3	lcd0vcl 41723	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐶) ∈ 𝐵)
19	18	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = {(0g‘𝑈)}) → (0g‘𝐶) ∈ 𝐵)
20		fveq2 6831	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘{𝑋}) = {(0g‘𝑈)} → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝑀‘{(0g‘𝑈)}))
21		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
22	1, 6, 7, 21, 2, 17, 3	mapd0 41774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘{(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝐶)})
23	17, 14	lspsn0 20951	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ LMod → (𝐽‘{(0g‘𝐶)}) = {(0g‘𝐶)})
24	4, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘{(0g‘𝐶)}) = {(0g‘𝐶)})
25	22, 24	eqtr4d 2771	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘{(0g‘𝑈)}) = (𝐽‘{(0g‘𝐶)}))
26	20, 25	sylan9eqr 2790	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = {(0g‘𝑈)}) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{(0g‘𝐶)}))
27		sneq 4587	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (0g‘𝐶) → {𝑔} = {(0g‘𝐶)})
28	27	fveq2d 6835	. . . 4 ⊢ (𝑔 = (0g‘𝐶) → (𝐽‘{𝑔}) = (𝐽‘{(0g‘𝐶)}))
29	28	rspceeqv 3597	. . 3 ⊢ (((0g‘𝐶) ∈ 𝐵 ∧ (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{(0g‘𝐶)})) → ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝑔}))
30	19, 26, 29	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = {(0g‘𝑈)}) → ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝑔}))
31		mapdspex.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
32		mapdspex.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
33	1, 7, 3	dvhlmod 41219	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
34		mapdspex.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
35	31, 32, 21, 8, 33, 34	lsator0sp 39110	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∨ (𝑁‘{𝑋}) = {(0g‘𝑈)}))
36	16, 30, 35	mpjaodan 960	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝑔}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3058  {csn 4577  ‘cfv 6489  Basecbs 17130  0_gc0g 17353  LModclmod 20803  LSpanclspn 20914  LSAtomsclsa 39083  HLchlt 39459  LHypclh 40093  DVecHcdvh 41187  LCDualclcd 41695  mapdcmpd 41733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093  ax-riotaBAD 39062

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-tpos 8165  df-undef 8212  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-4 12200  df-5 12201  df-6 12202  df-n0 12392  df-z 12479  df-uz 12743  df-fz 13418  df-struct 17068  df-sets 17085  df-slot 17103  df-ndx 17115  df-base 17131  df-ress 17152  df-plusg 17184  df-mulr 17185  df-sca 17187  df-vsca 17188  df-0g 17355  df-mre 17498  df-mrc 17499  df-acs 17501  df-proset 18210  df-poset 18229  df-plt 18244  df-lub 18260  df-glb 18261  df-join 18262  df-meet 18263  df-p0 18339  df-p1 18340  df-lat 18348  df-clat 18415  df-mgm 18558  df-sgrp 18637  df-mnd 18653  df-submnd 18702  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19046  df-cntz 19239  df-oppg 19268  df-lsm 19558  df-cmn 19704  df-abl 19705  df-mgp 20069  df-rng 20081  df-ur 20110  df-ring 20163  df-oppr 20265  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-dvr 20329  df-nzr 20438  df-rlreg 20619  df-domn 20620  df-drng 20656  df-lmod 20805  df-lss 20875  df-lsp 20915  df-lvec 21047  df-lsatoms 39085  df-lshyp 39086  df-lcv 39128  df-lfl 39167  df-lkr 39195  df-ldual 39233  df-oposet 39285  df-ol 39287  df-oml 39288  df-covers 39375  df-ats 39376  df-atl 39407  df-cvlat 39431  df-hlat 39460  df-llines 39607  df-lplanes 39608  df-lvols 39609  df-lines 39610  df-psubsp 39612  df-pmap 39613  df-padd 39905  df-lhyp 40097  df-laut 40098  df-ldil 40213  df-ltrn 40214  df-trl 40268  df-tgrp 40852  df-tendo 40864  df-edring 40866  df-dveca 41112  df-disoa 41138  df-dvech 41188  df-dib 41248  df-dic 41282  df-dih 41338  df-doch 41457  df-djh 41504  df-lcdual 41696  df-mapd 41734

This theorem is referenced by:  mapdpglem2  41782