Theorem mapdspex 37817

Description: The map of a span equals the dual span of some vector (functional). (Contributed by NM, 15-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdspex.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdspex.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdspex.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdspex.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdspex.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdspex.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdspex.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
mapdspex.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdspex.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdspex.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
mapdspex	⊢ (𝜑 → ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝑔}))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑔   𝐶,𝑔   𝑔,𝐽   𝑔,𝑀   𝑔,𝑁   𝑔,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝑈(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝐾(𝑔)   𝑉(𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem mapdspex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdspex.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdspex.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdspex.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	lcdlmod 37741	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
5	4	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → 𝐶 ∈ LMod)
6		mapdspex.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
7		mapdspex.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8		eqid 2777	. . . 4 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
9		eqid 2777	. . . 4 ⊢ (LSAtoms‘𝐶) = (LSAtoms‘𝐶)
10	3	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11		simpr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
12	1, 6, 7, 8, 2, 9, 10, 11	mapdat 37816	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSAtoms‘𝐶))
13		mapdspex.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
14		mapdspex.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
15	13, 14, 9	islsati 35143	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSAtoms‘𝐶)) → ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝑔}))
16	5, 12, 15	syl2anc 579	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝑔}))
17		eqid 2777	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
18	1, 2, 13, 17, 3	lcd0vcl 37763	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐶) ∈ 𝐵)
19	18	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = {(0g‘𝑈)}) → (0g‘𝐶) ∈ 𝐵)
20		fveq2 6446	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘{𝑋}) = {(0g‘𝑈)} → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝑀‘{(0g‘𝑈)}))
21		eqid 2777	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
22	1, 6, 7, 21, 2, 17, 3	mapd0 37814	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘{(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝐶)})
23	17, 14	lspsn0 19403	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ LMod → (𝐽‘{(0g‘𝐶)}) = {(0g‘𝐶)})
24	4, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘{(0g‘𝐶)}) = {(0g‘𝐶)})
25	22, 24	eqtr4d 2816	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘{(0g‘𝑈)}) = (𝐽‘{(0g‘𝐶)}))
26	20, 25	sylan9eqr 2835	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = {(0g‘𝑈)}) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{(0g‘𝐶)}))
27		sneq 4407	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (0g‘𝐶) → {𝑔} = {(0g‘𝐶)})
28	27	fveq2d 6450	. . . 4 ⊢ (𝑔 = (0g‘𝐶) → (𝐽‘{𝑔}) = (𝐽‘{(0g‘𝐶)}))
29	28	rspceeqv 3528	. . 3 ⊢ (((0g‘𝐶) ∈ 𝐵 ∧ (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{(0g‘𝐶)})) → ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝑔}))
30	19, 26, 29	syl2anc 579	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = {(0g‘𝑈)}) → ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝑔}))
31		mapdspex.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
32		mapdspex.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
33	1, 7, 3	dvhlmod 37259	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
34		mapdspex.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
35	31, 32, 21, 8, 33, 34	lsator0sp 35150	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∨ (𝑁‘{𝑋}) = {(0g‘𝑈)}))
36	16, 30, 35	mpjaodan 944	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝑔}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3090  {csn 4397  ‘cfv 6135  Basecbs 16255  0_gc0g 16486  LModclmod 19255  LSpanclspn 19366  LSAtomsclsa 35123  HLchlt 35499  LHypclh 36133  DVecHcdvh 37227  LCDualclcd 37735  mapdcmpd 37773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-riotaBAD 35102

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-tpos 7634  df-undef 7681  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-0g 16488  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-proset 17314  df-poset 17332  df-plt 17344  df-lub 17360  df-glb 17361  df-join 17362  df-meet 17363  df-p0 17425  df-p1 17426  df-lat 17432  df-clat 17494  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-subg 17975  df-cntz 18133  df-oppg 18159  df-lsm 18435  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-oppr 19010  df-dvdsr 19028  df-unit 19029  df-invr 19059  df-dvr 19070  df-drng 19141  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-lsp 19367  df-lvec 19498  df-lsatoms 35125  df-lshyp 35126  df-lcv 35168  df-lfl 35207  df-lkr 35235  df-ldual 35273  df-oposet 35325  df-ol 35327  df-oml 35328  df-covers 35415  df-ats 35416  df-atl 35447  df-cvlat 35471  df-hlat 35500  df-llines 35647  df-lplanes 35648  df-lvols 35649  df-lines 35650  df-psubsp 35652  df-pmap 35653  df-padd 35945  df-lhyp 36137  df-laut 36138  df-ldil 36253  df-ltrn 36254  df-trl 36308  df-tgrp 36892  df-tendo 36904  df-edring 36906  df-dveca 37152  df-disoa 37178  df-dvech 37228  df-dib 37288  df-dic 37322  df-dih 37378  df-doch 37497  df-djh 37544  df-lcdual 37736  df-mapd 37774

This theorem is referenced by:  mapdpglem2  37822