Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdspex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdspex 41042
Description: The map of a span equals the dual span of some vector (functional). (Contributed by NM, 15-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdspex.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
mapdspex.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdspex.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdspex.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
mapdspex.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
mapdspex.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdspex.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
mapdspex.j 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
mapdspex.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
mapdspex.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
mapdspex (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝑔}))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑔   𝐢,𝑔   𝑔,𝐽   𝑔,𝑀   𝑔,𝑁   𝑔,𝑋
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑔)   π‘ˆ(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝐾(𝑔)   𝑉(𝑔)   π‘Š(𝑔)

Proof of Theorem mapdspex
StepHypRef Expression
1 mapdspex.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 mapdspex.c . . . . 5 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 mapdspex.k . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
41, 2, 3lcdlmod 40966 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ LMod)
54adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)) β†’ 𝐢 ∈ LMod)
6 mapdspex.m . . . 4 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
7 mapdspex.u . . . 4 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 eqid 2724 . . . 4 (LSAtomsβ€˜π‘ˆ) = (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)
9 eqid 2724 . . . 4 (LSAtomsβ€˜πΆ) = (LSAtomsβ€˜πΆ)
103adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
11 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ))
121, 6, 7, 8, 2, 9, 10, 11mapdat 41041 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) ∈ (LSAtomsβ€˜πΆ))
13 mapdspex.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
14 mapdspex.j . . . 4 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
1513, 14, 9islsati 38367 . . 3 ((𝐢 ∈ LMod ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) ∈ (LSAtomsβ€˜πΆ)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝑔}))
165, 12, 15syl2anc 583 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝑔}))
17 eqid 2724 . . . . 5 (0gβ€˜πΆ) = (0gβ€˜πΆ)
181, 2, 13, 17, 3lcd0vcl 40988 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜πΆ) ∈ 𝐡)
1918adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = {(0gβ€˜π‘ˆ)}) β†’ (0gβ€˜πΆ) ∈ 𝐡)
20 fveq2 6882 . . . 4 ((π‘β€˜{𝑋}) = {(0gβ€˜π‘ˆ)} β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π‘€β€˜{(0gβ€˜π‘ˆ)}))
21 eqid 2724 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘ˆ)
221, 6, 7, 21, 2, 17, 3mapd0 41039 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜{(0gβ€˜π‘ˆ)}) = {(0gβ€˜πΆ)})
2317, 14lspsn0 20851 . . . . . 6 (𝐢 ∈ LMod β†’ (π½β€˜{(0gβ€˜πΆ)}) = {(0gβ€˜πΆ)})
244, 23syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π½β€˜{(0gβ€˜πΆ)}) = {(0gβ€˜πΆ)})
2522, 24eqtr4d 2767 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜{(0gβ€˜π‘ˆ)}) = (π½β€˜{(0gβ€˜πΆ)}))
2620, 25sylan9eqr 2786 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = {(0gβ€˜π‘ˆ)}) β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{(0gβ€˜πΆ)}))
27 sneq 4631 . . . . 5 (𝑔 = (0gβ€˜πΆ) β†’ {𝑔} = {(0gβ€˜πΆ)})
2827fveq2d 6886 . . . 4 (𝑔 = (0gβ€˜πΆ) β†’ (π½β€˜{𝑔}) = (π½β€˜{(0gβ€˜πΆ)}))
2928rspceeqv 3626 . . 3 (((0gβ€˜πΆ) ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{(0gβ€˜πΆ)})) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝑔}))
3019, 26, 29syl2anc 583 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = {(0gβ€˜π‘ˆ)}) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝑔}))
31 mapdspex.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
32 mapdspex.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
331, 7, 3dvhlmod 40484 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
34 mapdspex.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
3531, 32, 21, 8, 33, 34lsator0sp 38374 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ) ∨ (π‘β€˜{𝑋}) = {(0gβ€˜π‘ˆ)}))
3616, 30, 35mpjaodan 955 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝑔}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3062  {csn 4621  β€˜cfv 6534  Basecbs 17149  0gc0g 17390  LModclmod 20702  LSpanclspn 20814  LSAtomsclsa 38347  HLchlt 38723  LHypclh 39358  DVecHcdvh 40452  LCDualclcd 40960  mapdcmpd 40998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-riotaBAD 38326
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-tpos 8207  df-undef 8254  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13486  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-0g 17392  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-proset 18256  df-poset 18274  df-plt 18291  df-lub 18307  df-glb 18308  df-join 18309  df-meet 18310  df-p0 18386  df-p1 18387  df-lat 18393  df-clat 18460  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18710  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-subg 19046  df-cntz 19229  df-oppg 19258  df-lsm 19552  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-dvr 20299  df-drng 20585  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815  df-lvec 20947  df-lsatoms 38349  df-lshyp 38350  df-lcv 38392  df-lfl 38431  df-lkr 38459  df-ldual 38497  df-oposet 38549  df-ol 38551  df-oml 38552  df-covers 38639  df-ats 38640  df-atl 38671  df-cvlat 38695  df-hlat 38724  df-llines 38872  df-lplanes 38873  df-lvols 38874  df-lines 38875  df-psubsp 38877  df-pmap 38878  df-padd 39170  df-lhyp 39362  df-laut 39363  df-ldil 39478  df-ltrn 39479  df-trl 39533  df-tgrp 40117  df-tendo 40129  df-edring 40131  df-dveca 40377  df-disoa 40403  df-dvech 40453  df-dib 40513  df-dic 40547  df-dih 40603  df-doch 40722  df-djh 40769  df-lcdual 40961  df-mapd 40999
This theorem is referenced by:  mapdpglem2  41047
  Copyright terms: Public domain W3C validator