Theorem mapdspex 39682

Description: The map of a span equals the dual span of some vector (functional). (Contributed by NM, 15-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdspex.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdspex.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdspex.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdspex.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdspex.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdspex.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdspex.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
mapdspex.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdspex.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdspex.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
mapdspex	⊢ (𝜑 → ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝑔}))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑔   𝐶,𝑔   𝑔,𝐽   𝑔,𝑀   𝑔,𝑁   𝑔,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝑈(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝐾(𝑔)   𝑉(𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem mapdspex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdspex.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdspex.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdspex.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	lcdlmod 39606	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
5	4	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → 𝐶 ∈ LMod)
6		mapdspex.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
7		mapdspex.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
9		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (LSAtoms‘𝐶) = (LSAtoms‘𝐶)
10	3	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
12	1, 6, 7, 8, 2, 9, 10, 11	mapdat 39681	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSAtoms‘𝐶))
13		mapdspex.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
14		mapdspex.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
15	13, 14, 9	islsati 37008	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSAtoms‘𝐶)) → ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝑔}))
16	5, 12, 15	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝑔}))
17		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
18	1, 2, 13, 17, 3	lcd0vcl 39628	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐶) ∈ 𝐵)
19	18	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = {(0g‘𝑈)}) → (0g‘𝐶) ∈ 𝐵)
20		fveq2 6774	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘{𝑋}) = {(0g‘𝑈)} → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝑀‘{(0g‘𝑈)}))
21		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
22	1, 6, 7, 21, 2, 17, 3	mapd0 39679	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘{(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝐶)})
23	17, 14	lspsn0 20270	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ LMod → (𝐽‘{(0g‘𝐶)}) = {(0g‘𝐶)})
24	4, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘{(0g‘𝐶)}) = {(0g‘𝐶)})
25	22, 24	eqtr4d 2781	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘{(0g‘𝑈)}) = (𝐽‘{(0g‘𝐶)}))
26	20, 25	sylan9eqr 2800	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = {(0g‘𝑈)}) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{(0g‘𝐶)}))
27		sneq 4571	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (0g‘𝐶) → {𝑔} = {(0g‘𝐶)})
28	27	fveq2d 6778	. . . 4 ⊢ (𝑔 = (0g‘𝐶) → (𝐽‘{𝑔}) = (𝐽‘{(0g‘𝐶)}))
29	28	rspceeqv 3575	. . 3 ⊢ (((0g‘𝐶) ∈ 𝐵 ∧ (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{(0g‘𝐶)})) → ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝑔}))
30	19, 26, 29	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = {(0g‘𝑈)}) → ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝑔}))
31		mapdspex.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
32		mapdspex.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
33	1, 7, 3	dvhlmod 39124	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
34		mapdspex.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
35	31, 32, 21, 8, 33, 34	lsator0sp 37015	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∨ (𝑁‘{𝑋}) = {(0g‘𝑈)}))
36	16, 30, 35	mpjaodan 956	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝑔}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065  {csn 4561  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  0_gc0g 17150  LModclmod 20123  LSpanclspn 20233  LSAtomsclsa 36988  HLchlt 37364  LHypclh 37998  DVecHcdvh 39092  LCDualclcd 39600  mapdcmpd 39638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-riotaBAD 36967

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-undef 8089  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-0g 17152  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-p1 18144  df-lat 18150  df-clat 18217  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-cntz 18923  df-oppg 18950  df-lsm 19241  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-dvr 19925  df-drng 19993  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-lvec 20365  df-lsatoms 36990  df-lshyp 36991  df-lcv 37033  df-lfl 37072  df-lkr 37100  df-ldual 37138  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-llines 37512  df-lplanes 37513  df-lvols 37514  df-lines 37515  df-psubsp 37517  df-pmap 37518  df-padd 37810  df-lhyp 38002  df-laut 38003  df-ldil 38118  df-ltrn 38119  df-trl 38173  df-tgrp 38757  df-tendo 38769  df-edring 38771  df-dveca 39017  df-disoa 39043  df-dvech 39093  df-dib 39153  df-dic 39187  df-dih 39243  df-doch 39362  df-djh 39409  df-lcdual 39601  df-mapd 39639

This theorem is referenced by:  mapdpglem2  39687