Theorem mapdspex 42114

Description: The map of a span equals the dual span of some vector (functional). (Contributed by NM, 15-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdspex.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdspex.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdspex.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdspex.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdspex.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdspex.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdspex.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
mapdspex.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdspex.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdspex.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
mapdspex	⊢ (𝜑 → ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝑔}))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑔   𝐶,𝑔   𝑔,𝐽   𝑔,𝑀   𝑔,𝑁   𝑔,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝑈(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝐾(𝑔)   𝑉(𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem mapdspex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdspex.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdspex.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdspex.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	lcdlmod 42038	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → 𝐶 ∈ LMod)
6		mapdspex.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
7		mapdspex.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
9		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (LSAtoms‘𝐶) = (LSAtoms‘𝐶)
10	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
12	1, 6, 7, 8, 2, 9, 10, 11	mapdat 42113	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSAtoms‘𝐶))
13		mapdspex.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
14		mapdspex.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
15	13, 14, 9	islsati 39440	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSAtoms‘𝐶)) → ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝑔}))
16	5, 12, 15	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝑔}))
17		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
18	1, 2, 13, 17, 3	lcd0vcl 42060	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐶) ∈ 𝐵)
19	18	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = {(0g‘𝑈)}) → (0g‘𝐶) ∈ 𝐵)
20		fveq2 6840	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘{𝑋}) = {(0g‘𝑈)} → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝑀‘{(0g‘𝑈)}))
21		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
22	1, 6, 7, 21, 2, 17, 3	mapd0 42111	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘{(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝐶)})
23	17, 14	lspsn0 21003	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ LMod → (𝐽‘{(0g‘𝐶)}) = {(0g‘𝐶)})
24	4, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘{(0g‘𝐶)}) = {(0g‘𝐶)})
25	22, 24	eqtr4d 2774	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘{(0g‘𝑈)}) = (𝐽‘{(0g‘𝐶)}))
26	20, 25	sylan9eqr 2793	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = {(0g‘𝑈)}) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{(0g‘𝐶)}))
27		sneq 4577	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (0g‘𝐶) → {𝑔} = {(0g‘𝐶)})
28	27	fveq2d 6844	. . . 4 ⊢ (𝑔 = (0g‘𝐶) → (𝐽‘{𝑔}) = (𝐽‘{(0g‘𝐶)}))
29	28	rspceeqv 3587	. . 3 ⊢ (((0g‘𝐶) ∈ 𝐵 ∧ (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{(0g‘𝐶)})) → ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝑔}))
30	19, 26, 29	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = {(0g‘𝑈)}) → ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝑔}))
31		mapdspex.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
32		mapdspex.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
33	1, 7, 3	dvhlmod 41556	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
34		mapdspex.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
35	31, 32, 21, 8, 33, 34	lsator0sp 39447	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∨ (𝑁‘{𝑋}) = {(0g‘𝑈)}))
36	16, 30, 35	mpjaodan 961	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝑔}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061  {csn 4567  ‘cfv 6498  Basecbs 17179  0_gc0g 17402  LModclmod 20855  LSpanclspn 20966  LSAtomsclsa 39420  HLchlt 39796  LHypclh 40430  DVecHcdvh 41524  LCDualclcd 42032  mapdcmpd 42070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-riotaBAD 39399

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-undef 8223  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-0g 17404  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-proset 18260  df-poset 18279  df-plt 18294  df-lub 18310  df-glb 18311  df-join 18312  df-meet 18313  df-p0 18389  df-p1 18390  df-lat 18398  df-clat 18465  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-subg 19099  df-cntz 19292  df-oppg 19321  df-lsm 19611  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-dvr 20381  df-nzr 20490  df-rlreg 20671  df-domn 20672  df-drng 20708  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967  df-lvec 21098  df-lsatoms 39422  df-lshyp 39423  df-lcv 39465  df-lfl 39504  df-lkr 39532  df-ldual 39570  df-oposet 39622  df-ol 39624  df-oml 39625  df-covers 39712  df-ats 39713  df-atl 39744  df-cvlat 39768  df-hlat 39797  df-llines 39944  df-lplanes 39945  df-lvols 39946  df-lines 39947  df-psubsp 39949  df-pmap 39950  df-padd 40242  df-lhyp 40434  df-laut 40435  df-ldil 40550  df-ltrn 40551  df-trl 40605  df-tgrp 41189  df-tendo 41201  df-edring 41203  df-dveca 41449  df-disoa 41475  df-dvech 41525  df-dib 41585  df-dic 41619  df-dih 41675  df-doch 41794  df-djh 41841  df-lcdual 42033  df-mapd 42071

This theorem is referenced by:  mapdpglem2  42119