Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdspex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdspex 41141
Description: The map of a span equals the dual span of some vector (functional). (Contributed by NM, 15-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdspex.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
mapdspex.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdspex.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdspex.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
mapdspex.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
mapdspex.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdspex.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
mapdspex.j 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
mapdspex.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
mapdspex.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
mapdspex (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝑔}))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑔   𝐢,𝑔   𝑔,𝐽   𝑔,𝑀   𝑔,𝑁   𝑔,𝑋
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑔)   π‘ˆ(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝐾(𝑔)   𝑉(𝑔)   π‘Š(𝑔)

Proof of Theorem mapdspex
StepHypRef Expression
1 mapdspex.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 mapdspex.c . . . . 5 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 mapdspex.k . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
41, 2, 3lcdlmod 41065 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ LMod)
54adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)) β†’ 𝐢 ∈ LMod)
6 mapdspex.m . . . 4 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
7 mapdspex.u . . . 4 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 eqid 2728 . . . 4 (LSAtomsβ€˜π‘ˆ) = (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)
9 eqid 2728 . . . 4 (LSAtomsβ€˜πΆ) = (LSAtomsβ€˜πΆ)
103adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
11 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ))
121, 6, 7, 8, 2, 9, 10, 11mapdat 41140 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) ∈ (LSAtomsβ€˜πΆ))
13 mapdspex.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
14 mapdspex.j . . . 4 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
1513, 14, 9islsati 38466 . . 3 ((𝐢 ∈ LMod ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) ∈ (LSAtomsβ€˜πΆ)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝑔}))
165, 12, 15syl2anc 583 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝑔}))
17 eqid 2728 . . . . 5 (0gβ€˜πΆ) = (0gβ€˜πΆ)
181, 2, 13, 17, 3lcd0vcl 41087 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜πΆ) ∈ 𝐡)
1918adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = {(0gβ€˜π‘ˆ)}) β†’ (0gβ€˜πΆ) ∈ 𝐡)
20 fveq2 6897 . . . 4 ((π‘β€˜{𝑋}) = {(0gβ€˜π‘ˆ)} β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π‘€β€˜{(0gβ€˜π‘ˆ)}))
21 eqid 2728 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘ˆ)
221, 6, 7, 21, 2, 17, 3mapd0 41138 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜{(0gβ€˜π‘ˆ)}) = {(0gβ€˜πΆ)})
2317, 14lspsn0 20891 . . . . . 6 (𝐢 ∈ LMod β†’ (π½β€˜{(0gβ€˜πΆ)}) = {(0gβ€˜πΆ)})
244, 23syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π½β€˜{(0gβ€˜πΆ)}) = {(0gβ€˜πΆ)})
2522, 24eqtr4d 2771 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜{(0gβ€˜π‘ˆ)}) = (π½β€˜{(0gβ€˜πΆ)}))
2620, 25sylan9eqr 2790 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = {(0gβ€˜π‘ˆ)}) β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{(0gβ€˜πΆ)}))
27 sneq 4639 . . . . 5 (𝑔 = (0gβ€˜πΆ) β†’ {𝑔} = {(0gβ€˜πΆ)})
2827fveq2d 6901 . . . 4 (𝑔 = (0gβ€˜πΆ) β†’ (π½β€˜{𝑔}) = (π½β€˜{(0gβ€˜πΆ)}))
2928rspceeqv 3631 . . 3 (((0gβ€˜πΆ) ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{(0gβ€˜πΆ)})) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝑔}))
3019, 26, 29syl2anc 583 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = {(0gβ€˜π‘ˆ)}) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝑔}))
31 mapdspex.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
32 mapdspex.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
331, 7, 3dvhlmod 40583 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
34 mapdspex.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
3531, 32, 21, 8, 33, 34lsator0sp 38473 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ) ∨ (π‘β€˜{𝑋}) = {(0gβ€˜π‘ˆ)}))
3616, 30, 35mpjaodan 957 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝑔}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆƒwrex 3067  {csn 4629  β€˜cfv 6548  Basecbs 17179  0gc0g 17420  LModclmod 20742  LSpanclspn 20854  LSAtomsclsa 38446  HLchlt 38822  LHypclh 39457  DVecHcdvh 40551  LCDualclcd 41059  mapdcmpd 41097
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-riotaBAD 38425
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8231  df-undef 8278  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-0g 17422  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-p1 18417  df-lat 18423  df-clat 18490  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-subg 19077  df-cntz 19267  df-oppg 19296  df-lsm 19590  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20272  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-dvr 20339  df-drng 20625  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-lsp 20855  df-lvec 20987  df-lsatoms 38448  df-lshyp 38449  df-lcv 38491  df-lfl 38530  df-lkr 38558  df-ldual 38596  df-oposet 38648  df-ol 38650  df-oml 38651  df-covers 38738  df-ats 38739  df-atl 38770  df-cvlat 38794  df-hlat 38823  df-llines 38971  df-lplanes 38972  df-lvols 38973  df-lines 38974  df-psubsp 38976  df-pmap 38977  df-padd 39269  df-lhyp 39461  df-laut 39462  df-ldil 39577  df-ltrn 39578  df-trl 39632  df-tgrp 40216  df-tendo 40228  df-edring 40230  df-dveca 40476  df-disoa 40502  df-dvech 40552  df-dib 40612  df-dic 40646  df-dih 40702  df-doch 40821  df-djh 40868  df-lcdual 41060  df-mapd 41098
This theorem is referenced by:  mapdpglem2  41146
  Copyright terms: Public domain W3C validator