Theorem mapdspex 41670

Description: The map of a span equals the dual span of some vector (functional). (Contributed by NM, 15-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdspex.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdspex.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdspex.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdspex.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdspex.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdspex.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdspex.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
mapdspex.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdspex.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdspex.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
mapdspex	⊢ (𝜑 → ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝑔}))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑔   𝐶,𝑔   𝑔,𝐽   𝑔,𝑀   𝑔,𝑁   𝑔,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝑈(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝐾(𝑔)   𝑉(𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem mapdspex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdspex.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdspex.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdspex.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	lcdlmod 41594	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → 𝐶 ∈ LMod)
6		mapdspex.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
7		mapdspex.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
9		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (LSAtoms‘𝐶) = (LSAtoms‘𝐶)
10	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
12	1, 6, 7, 8, 2, 9, 10, 11	mapdat 41669	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSAtoms‘𝐶))
13		mapdspex.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
14		mapdspex.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
15	13, 14, 9	islsati 38995	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSAtoms‘𝐶)) → ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝑔}))
16	5, 12, 15	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝑔}))
17		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
18	1, 2, 13, 17, 3	lcd0vcl 41616	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐶) ∈ 𝐵)
19	18	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = {(0g‘𝑈)}) → (0g‘𝐶) ∈ 𝐵)
20		fveq2 6906	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘{𝑋}) = {(0g‘𝑈)} → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝑀‘{(0g‘𝑈)}))
21		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
22	1, 6, 7, 21, 2, 17, 3	mapd0 41667	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘{(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝐶)})
23	17, 14	lspsn0 21006	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ LMod → (𝐽‘{(0g‘𝐶)}) = {(0g‘𝐶)})
24	4, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘{(0g‘𝐶)}) = {(0g‘𝐶)})
25	22, 24	eqtr4d 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘{(0g‘𝑈)}) = (𝐽‘{(0g‘𝐶)}))
26	20, 25	sylan9eqr 2799	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = {(0g‘𝑈)}) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{(0g‘𝐶)}))
27		sneq 4636	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (0g‘𝐶) → {𝑔} = {(0g‘𝐶)})
28	27	fveq2d 6910	. . . 4 ⊢ (𝑔 = (0g‘𝐶) → (𝐽‘{𝑔}) = (𝐽‘{(0g‘𝐶)}))
29	28	rspceeqv 3645	. . 3 ⊢ (((0g‘𝐶) ∈ 𝐵 ∧ (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{(0g‘𝐶)})) → ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝑔}))
30	19, 26, 29	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = {(0g‘𝑈)}) → ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝑔}))
31		mapdspex.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
32		mapdspex.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
33	1, 7, 3	dvhlmod 41112	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
34		mapdspex.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
35	31, 32, 21, 8, 33, 34	lsator0sp 39002	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∨ (𝑁‘{𝑋}) = {(0g‘𝑈)}))
36	16, 30, 35	mpjaodan 961	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝑔}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070  {csn 4626  ‘cfv 6561  Basecbs 17247  0_gc0g 17484  LModclmod 20858  LSpanclspn 20969  LSAtomsclsa 38975  HLchlt 39351  LHypclh 39986  DVecHcdvh 41080  LCDualclcd 41588  mapdcmpd 41626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-riotaBAD 38954

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-undef 8298  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-0g 17486  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-oppg 19364  df-lsm 19654  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-nzr 20513  df-rlreg 20694  df-domn 20695  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lvec 21102  df-lsatoms 38977  df-lshyp 38978  df-lcv 39020  df-lfl 39059  df-lkr 39087  df-ldual 39125  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-llines 39500  df-lplanes 39501  df-lvols 39502  df-lines 39503  df-psubsp 39505  df-pmap 39506  df-padd 39798  df-lhyp 39990  df-laut 39991  df-ldil 40106  df-ltrn 40107  df-trl 40161  df-tgrp 40745  df-tendo 40757  df-edring 40759  df-dveca 41005  df-disoa 41031  df-dvech 41081  df-dib 41141  df-dic 41175  df-dih 41231  df-doch 41350  df-djh 41397  df-lcdual 41589  df-mapd 41627

This theorem is referenced by:  mapdpglem2  41675