Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdspex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdspex 40181
Description: The map of a span equals the dual span of some vector (functional). (Contributed by NM, 15-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdspex.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
mapdspex.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdspex.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdspex.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
mapdspex.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
mapdspex.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdspex.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
mapdspex.j 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
mapdspex.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
mapdspex.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
mapdspex (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝑔}))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑔   𝐢,𝑔   𝑔,𝐽   𝑔,𝑀   𝑔,𝑁   𝑔,𝑋
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑔)   π‘ˆ(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝐾(𝑔)   𝑉(𝑔)   π‘Š(𝑔)

Proof of Theorem mapdspex
StepHypRef Expression
1 mapdspex.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 mapdspex.c . . . . 5 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 mapdspex.k . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
41, 2, 3lcdlmod 40105 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ LMod)
54adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)) β†’ 𝐢 ∈ LMod)
6 mapdspex.m . . . 4 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
7 mapdspex.u . . . 4 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 eqid 2733 . . . 4 (LSAtomsβ€˜π‘ˆ) = (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)
9 eqid 2733 . . . 4 (LSAtomsβ€˜πΆ) = (LSAtomsβ€˜πΆ)
103adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
11 simpr 486 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ))
121, 6, 7, 8, 2, 9, 10, 11mapdat 40180 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) ∈ (LSAtomsβ€˜πΆ))
13 mapdspex.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
14 mapdspex.j . . . 4 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
1513, 14, 9islsati 37506 . . 3 ((𝐢 ∈ LMod ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) ∈ (LSAtomsβ€˜πΆ)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝑔}))
165, 12, 15syl2anc 585 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝑔}))
17 eqid 2733 . . . . 5 (0gβ€˜πΆ) = (0gβ€˜πΆ)
181, 2, 13, 17, 3lcd0vcl 40127 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜πΆ) ∈ 𝐡)
1918adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = {(0gβ€˜π‘ˆ)}) β†’ (0gβ€˜πΆ) ∈ 𝐡)
20 fveq2 6846 . . . 4 ((π‘β€˜{𝑋}) = {(0gβ€˜π‘ˆ)} β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π‘€β€˜{(0gβ€˜π‘ˆ)}))
21 eqid 2733 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘ˆ)
221, 6, 7, 21, 2, 17, 3mapd0 40178 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜{(0gβ€˜π‘ˆ)}) = {(0gβ€˜πΆ)})
2317, 14lspsn0 20513 . . . . . 6 (𝐢 ∈ LMod β†’ (π½β€˜{(0gβ€˜πΆ)}) = {(0gβ€˜πΆ)})
244, 23syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π½β€˜{(0gβ€˜πΆ)}) = {(0gβ€˜πΆ)})
2522, 24eqtr4d 2776 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜{(0gβ€˜π‘ˆ)}) = (π½β€˜{(0gβ€˜πΆ)}))
2620, 25sylan9eqr 2795 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = {(0gβ€˜π‘ˆ)}) β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{(0gβ€˜πΆ)}))
27 sneq 4600 . . . . 5 (𝑔 = (0gβ€˜πΆ) β†’ {𝑔} = {(0gβ€˜πΆ)})
2827fveq2d 6850 . . . 4 (𝑔 = (0gβ€˜πΆ) β†’ (π½β€˜{𝑔}) = (π½β€˜{(0gβ€˜πΆ)}))
2928rspceeqv 3599 . . 3 (((0gβ€˜πΆ) ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{(0gβ€˜πΆ)})) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝑔}))
3019, 26, 29syl2anc 585 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = {(0gβ€˜π‘ˆ)}) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝑔}))
31 mapdspex.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
32 mapdspex.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
331, 7, 3dvhlmod 39623 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
34 mapdspex.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
3531, 32, 21, 8, 33, 34lsator0sp 37513 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ) ∨ (π‘β€˜{𝑋}) = {(0gβ€˜π‘ˆ)}))
3616, 30, 35mpjaodan 958 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝑔}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3070  {csn 4590  β€˜cfv 6500  Basecbs 17091  0gc0g 17329  LModclmod 20365  LSpanclspn 20476  LSAtomsclsa 37486  HLchlt 37862  LHypclh 38497  DVecHcdvh 39591  LCDualclcd 40099  mapdcmpd 40137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-riotaBAD 37465
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-undef 8208  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-0g 17331  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-proset 18192  df-poset 18210  df-plt 18227  df-lub 18243  df-glb 18244  df-join 18245  df-meet 18246  df-p0 18322  df-p1 18323  df-lat 18329  df-clat 18396  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-subg 18933  df-cntz 19105  df-oppg 19132  df-lsm 19426  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-drng 20221  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-lsp 20477  df-lvec 20608  df-lsatoms 37488  df-lshyp 37489  df-lcv 37531  df-lfl 37570  df-lkr 37598  df-ldual 37636  df-oposet 37688  df-ol 37690  df-oml 37691  df-covers 37778  df-ats 37779  df-atl 37810  df-cvlat 37834  df-hlat 37863  df-llines 38011  df-lplanes 38012  df-lvols 38013  df-lines 38014  df-psubsp 38016  df-pmap 38017  df-padd 38309  df-lhyp 38501  df-laut 38502  df-ldil 38617  df-ltrn 38618  df-trl 38672  df-tgrp 39256  df-tendo 39268  df-edring 39270  df-dveca 39516  df-disoa 39542  df-dvech 39592  df-dib 39652  df-dic 39686  df-dih 39742  df-doch 39861  df-djh 39908  df-lcdual 40100  df-mapd 40138
This theorem is referenced by:  mapdpglem2  40186
  Copyright terms: Public domain W3C validator