Theorem islsat 38973

Description: The predicate "is a 1-dim subspace (atom)" (of a left module or left vector space). (Contributed by NM, 9-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatset.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsatset.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsatset.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatset.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islsat	⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑈 = (𝑁‘{𝑥})))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋   𝑥,𝑁   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥, 0

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem islsat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatset.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lsatset.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3		lsatset.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
4		lsatset.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	lsatset 38972	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → 𝐴 = ran (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑁‘{𝑥})))
6	5	eleq2d 2825	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ 𝑈 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑁‘{𝑥}))))
7		eqid 2735	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑁‘{𝑥})) = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑁‘{𝑥}))
8		fvex 6920	. . 3 ⊢ (𝑁‘{𝑥}) ∈ V
9	7, 8	elrnmpti 5976	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑁‘{𝑥})) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑈 = (𝑁‘{𝑥}))
10	6, 9	bitrdi 287	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑈 = (𝑁‘{𝑥})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3068   ∖ cdif 3960  {csn 4631   ↦ cmpt 5231  ran crn 5690  ‘cfv 6563  Basecbs 17245  0_gc0g 17486  LSpanclspn 20987  LSAtomsclsa 38956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-lsatoms 38958

This theorem is referenced by:  lsatlspsn2  38974  lsatlspsn  38975  islsati  38976  lsateln0  38977  lsatn0  38981  lsatcmp  38985  lsmsat  38990  lsatfixedN  38991  islshpat  38999  lsatcv0  39013  lsat0cv  39015  lcv1  39023  l1cvpat  39036  dih1dimatlem  41312  dihlatat  41320  dochsatshp  41434