Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islsat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islsat 37482
Description: The predicate "is a 1-dim subspace (atom)" (of a left module or left vector space). (Contributed by NM, 9-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatset.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lsatset.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lsatset.z 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lsatset.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
islsat (π‘Š ∈ 𝑋 β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })π‘ˆ = (π‘β€˜{π‘₯})))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘Š   π‘₯,𝑋   π‘₯,𝑁   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑉   π‘₯, 0
Allowed substitution hint:   𝐴(π‘₯)

Proof of Theorem islsat
StepHypRef Expression
1 lsatset.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 lsatset.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
3 lsatset.z . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘Š)
4 lsatset.a . . . 4 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
51, 2, 3, 4lsatset 37481 . . 3 (π‘Š ∈ 𝑋 β†’ 𝐴 = ran (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ↦ (π‘β€˜{π‘₯})))
65eleq2d 2824 . 2 (π‘Š ∈ 𝑋 β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ↔ π‘ˆ ∈ ran (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ↦ (π‘β€˜{π‘₯}))))
7 eqid 2737 . . 3 (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ↦ (π‘β€˜{π‘₯})) = (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ↦ (π‘β€˜{π‘₯}))
8 fvex 6860 . . 3 (π‘β€˜{π‘₯}) ∈ V
97, 8elrnmpti 5920 . 2 (π‘ˆ ∈ ran (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ↦ (π‘β€˜{π‘₯})) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })π‘ˆ = (π‘β€˜{π‘₯}))
106, 9bitrdi 287 1 (π‘Š ∈ 𝑋 β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })π‘ˆ = (π‘β€˜{π‘₯})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3074   βˆ– cdif 3912  {csn 4591   ↦ cmpt 5193  ran crn 5639  β€˜cfv 6501  Basecbs 17090  0gc0g 17328  LSpanclspn 20448  LSAtomsclsa 37465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-fv 6509  df-lsatoms 37467
This theorem is referenced by:  lsatlspsn2  37483  lsatlspsn  37484  islsati  37485  lsateln0  37486  lsatn0  37490  lsatcmp  37494  lsmsat  37499  lsatfixedN  37500  islshpat  37508  lsatcv0  37522  lsat0cv  37524  lcv1  37532  l1cvpat  37545  dih1dimatlem  39821  dihlatat  39829  dochsatshp  39943
  Copyright terms: Public domain W3C validator