Theorem islsat 40016

Description: The predicate "is a 1-dim subspace (atom)" (of a left module or left vector space). (Contributed by NM, 9-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatset.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsatset.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsatset.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatset.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islsat	⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑈 = (𝑁‘{𝑥})))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋   𝑥,𝑁   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥, 0

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem islsat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatset.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lsatset.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3		lsatset.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
4		lsatset.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	lsatset 40015	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → 𝐴 = ran (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑁‘{𝑥})))
6	5	eleq2d 2847	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ 𝑈 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑁‘{𝑥}))))
7		eqid 2761	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑁‘{𝑥})) = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑁‘{𝑥}))
8		fvex 6890	. . 3 ⊢ (𝑁‘{𝑥}) ∈ V
9	7, 8	elrnmpti 5944	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑁‘{𝑥})) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑈 = (𝑁‘{𝑥}))
10	6, 9	bitrdi 290	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑈 = (𝑁‘{𝑥})))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087   ∖ cdif 3896  {csn 4584   ↦ cmpt 5186  ran crn 5652  ‘cfv 6531  Basecbs 17367  0_gc0g 17590  LSpanclspn 21226  LSAtomsclsa 39999

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-fv 6539  df-lsatoms 40001

This theorem is used by:  lsatlspsn2  40017  lsatlspsn  40018  islsati  40019  lsateln0  40020  lsatn0  40024  lsatcmp  40028  lsmsat  40033  lsatfixedN  40034  islshpat  40042  lsatcv0  40056  lsat0cv  40058  lcv1  40066  l1cvpat  40079  dih1dimatlem  42354  dihlatat  42362  dochsatshp  42476