Theorem islsat 38992

Description: The predicate "is a 1-dim subspace (atom)" (of a left module or left vector space). (Contributed by NM, 9-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatset.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsatset.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsatset.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatset.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islsat	⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑈 = (𝑁‘{𝑥})))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋   𝑥,𝑁   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥, 0

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem islsat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatset.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lsatset.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3		lsatset.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
4		lsatset.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	lsatset 38991	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → 𝐴 = ran (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑁‘{𝑥})))
6	5	eleq2d 2827	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ 𝑈 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑁‘{𝑥}))))
7		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑁‘{𝑥})) = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑁‘{𝑥}))
8		fvex 6919	. . 3 ⊢ (𝑁‘{𝑥}) ∈ V
9	7, 8	elrnmpti 5973	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑁‘{𝑥})) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑈 = (𝑁‘{𝑥}))
10	6, 9	bitrdi 287	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑈 = (𝑁‘{𝑥})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070   ∖ cdif 3948  {csn 4626   ↦ cmpt 5225  ran crn 5686  ‘cfv 6561  Basecbs 17247  0_gc0g 17484  LSpanclspn 20969  LSAtomsclsa 38975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-lsatoms 38977

This theorem is referenced by:  lsatlspsn2  38993  lsatlspsn  38994  islsati  38995  lsateln0  38996  lsatn0  39000  lsatcmp  39004  lsmsat  39009  lsatfixedN  39010  islshpat  39018  lsatcv0  39032  lsat0cv  39034  lcv1  39042  l1cvpat  39055  dih1dimatlem  41331  dihlatat  41339  dochsatshp  41453