Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islsat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islsat 39627
Description: The predicate "is a 1-dim subspace (atom)" (of a left module or left vector space). (Contributed by NM, 9-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatset.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsatset.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsatset.z 0 = (0g𝑊)
lsatset.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
islsat (𝑊𝑋 → (𝑈𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑈 = (𝑁‘{𝑥})))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋   𝑥,𝑁   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥, 0
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem islsat
StepHypRef Expression
1 lsatset.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lsatset.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3 lsatset.z . . . 4 0 = (0g𝑊)
4 lsatset.a . . . 4 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
51, 2, 3, 4lsatset 39626 . . 3 (𝑊𝑋𝐴 = ran (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑁‘{𝑥})))
65eleq2d 2851 . 2 (𝑊𝑋 → (𝑈𝐴𝑈 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑁‘{𝑥}))))
7 eqid 2765 . . 3 (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑁‘{𝑥})) = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑁‘{𝑥}))
8 fvex 6884 . . 3 (𝑁‘{𝑥}) ∈ V
97, 8elrnmpti 5943 . 2 (𝑈 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑁‘{𝑥})) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑈 = (𝑁‘{𝑥}))
106, 9bitrdi 290 1 (𝑊𝑋 → (𝑈𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑈 = (𝑁‘{𝑥})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209   = wceq 1563  wcel 2145  wrex 3089  cdif 3904  {csn 4585  cmpt 5186  ran crn 5653  cfv 6525  Basecbs 17259  0gc0g 17482  LSpanclspn 21061  LSAtomsclsa 39610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5395  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-fv 6533  df-lsatoms 39612
This theorem is referenced by:  lsatlspsn2  39628  lsatlspsn  39629  islsati  39630  lsateln0  39631  lsatn0  39635  lsatcmp  39639  lsmsat  39644  lsatfixedN  39645  islshpat  39653  lsatcv0  39667  lsat0cv  39669  lcv1  39677  l1cvpat  39690  dih1dimatlem  41965  dihlatat  41973  dochsatshp  42087
  Copyright terms: Public domain W3C validator