Theorem islsat 38984

Description: The predicate "is a 1-dim subspace (atom)" (of a left module or left vector space). (Contributed by NM, 9-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatset.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsatset.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsatset.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatset.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islsat	⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑈 = (𝑁‘{𝑥})))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋   𝑥,𝑁   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥, 0

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem islsat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatset.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lsatset.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3		lsatset.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
4		lsatset.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	lsatset 38983	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → 𝐴 = ran (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑁‘{𝑥})))
6	5	eleq2d 2814	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ 𝑈 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑁‘{𝑥}))))
7		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑁‘{𝑥})) = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑁‘{𝑥}))
8		fvex 6871	. . 3 ⊢ (𝑁‘{𝑥}) ∈ V
9	7, 8	elrnmpti 5926	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑁‘{𝑥})) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑈 = (𝑁‘{𝑥}))
10	6, 9	bitrdi 287	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑈 = (𝑁‘{𝑥})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ∖ cdif 3911  {csn 4589   ↦ cmpt 5188  ran crn 5639  ‘cfv 6511  Basecbs 17179  0_gc0g 17402  LSpanclspn 20877  LSAtomsclsa 38967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fv 6519  df-lsatoms 38969

This theorem is referenced by:  lsatlspsn2  38985  lsatlspsn  38986  islsati  38987  lsateln0  38988  lsatn0  38992  lsatcmp  38996  lsmsat  39001  lsatfixedN  39002  islshpat  39010  lsatcv0  39024  lsat0cv  39026  lcv1  39034  l1cvpat  39047  dih1dimatlem  41323  dihlatat  41331  dochsatshp  41445