Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islsat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islsat 36768
Description: The predicate "is a 1-dim subspace (atom)" (of a left module or left vector space). (Contributed by NM, 9-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatset.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsatset.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsatset.z 0 = (0g𝑊)
lsatset.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
islsat (𝑊𝑋 → (𝑈𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑈 = (𝑁‘{𝑥})))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋   𝑥,𝑁   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥, 0
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem islsat
StepHypRef Expression
1 lsatset.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lsatset.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3 lsatset.z . . . 4 0 = (0g𝑊)
4 lsatset.a . . . 4 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
51, 2, 3, 4lsatset 36767 . . 3 (𝑊𝑋𝐴 = ran (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑁‘{𝑥})))
65eleq2d 2824 . 2 (𝑊𝑋 → (𝑈𝐴𝑈 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑁‘{𝑥}))))
7 eqid 2738 . . 3 (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑁‘{𝑥})) = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑁‘{𝑥}))
8 fvex 6748 . . 3 (𝑁‘{𝑥}) ∈ V
97, 8elrnmpti 5843 . 2 (𝑈 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑁‘{𝑥})) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑈 = (𝑁‘{𝑥}))
106, 9bitrdi 290 1 (𝑊𝑋 → (𝑈𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑈 = (𝑁‘{𝑥})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209   = wceq 1543  wcel 2111  wrex 3063  cdif 3877  {csn 4555  cmpt 5149  ran crn 5566  cfv 6397  Basecbs 16784  0gc0g 16968  LSpanclspn 20032  LSAtomsclsa 36751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5272  ax-pr 5336  ax-un 7541
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3067  df-rex 3068  df-rab 3071  df-v 3422  df-dif 3883  df-un 3885  df-in 3887  df-ss 3897  df-nul 4252  df-if 4454  df-pw 4529  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4834  df-br 5068  df-opab 5130  df-mpt 5150  df-id 5469  df-xp 5571  df-rel 5572  df-cnv 5573  df-co 5574  df-dm 5575  df-rn 5576  df-res 5577  df-ima 5578  df-iota 6355  df-fun 6399  df-fn 6400  df-f 6401  df-fv 6405  df-lsatoms 36753
This theorem is referenced by:  lsatlspsn2  36769  lsatlspsn  36770  islsati  36771  lsateln0  36772  lsatn0  36776  lsatcmp  36780  lsmsat  36785  lsatfixedN  36786  islshpat  36794  lsatcv0  36808  lsat0cv  36810  lcv1  36818  l1cvpat  36831  dih1dimatlem  39106  dihlatat  39114  dochsatshp  39228
  Copyright terms: Public domain W3C validator