Theorem lcfl8 40361

Description: Property of a functional with a closed kernel. (Contributed by NM, 17-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfl8.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfl8.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl8.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl8.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfl8.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfl8.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfl8.c	⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
lcfl8.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfl8.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lcfl8	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑓,𝐹   𝑥,𝑓,𝐺   𝑓,𝐿,𝑥   ⊥ ,𝑓,𝑥   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐶(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐹(𝑥)   𝐻(𝑥,𝑓)   𝐾(𝑥,𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑊(𝑥,𝑓)

Proof of Theorem lcfl8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfl8.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcfl8.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		lcfl8.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	dvhlmod 39969	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
5	4	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝑈 ∈ LMod)
6		lcfl8.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
7		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
8		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
9	6, 7, 8	islsati 37852	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥}))
10	5, 9	sylan 580	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥}))
11		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥}))
12	11	fveq2d 6892	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})))
13		simp-4r 782	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → 𝐺 ∈ 𝐶)
14		lcfl8.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
15		lcfl8.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
16	15	ad4antr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → 𝐺 ∈ 𝐹)
17	14, 16	lcfl1 40351	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺)))
18	13, 17	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺))
19		lcfl8.o	. . . . . . . . 9 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
20	3	ad4antr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
21		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ 𝑉)
22	21	snssd 4811	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → {𝑥} ⊆ 𝑉)
23	1, 2, 19, 6, 7, 20, 22	dochocsp 40238	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
24	12, 18, 23	3eqtr3d 2780	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
25	24	ex 413	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥}) → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})))
26	25	reximdva 3168	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → (∃𝑥 ∈ 𝑉 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥}) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})))
27	10, 26	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
28	5	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) = 𝑉) → 𝑈 ∈ LMod)
29		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
30	6, 29	lmod0vcl 20493	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → (0g‘𝑈) ∈ 𝑉)
31	28, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) = 𝑉) → (0g‘𝑈) ∈ 𝑉)
32		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) = 𝑉) → (𝐿‘𝐺) = 𝑉)
33	3	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
34	33	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) = 𝑉) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
35	1, 2, 19, 6, 29	doch0 40217	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}) = 𝑉)
36	34, 35	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) = 𝑉) → ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}) = 𝑉)
37	32, 36	eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) = 𝑉) → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}))
38		sneq 4637	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑈) → {𝑥} = {(0g‘𝑈)})
39	38	fveq2d 6892	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑈) → ( ⊥ ‘{𝑥}) = ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}))
40	39	rspceeqv 3632	. . . . 5 ⊢ (((0g‘𝑈) ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)})) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
41	31, 37, 40	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) = 𝑉) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
42		lcfl8.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
43		lcfl8.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
44	1, 19, 2, 6, 8, 42, 43, 14, 3, 15	lcfl3 40353	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∨ (𝐿‘𝐺) = 𝑉)))
45	44	biimpa 477	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∨ (𝐿‘𝐺) = 𝑉))
46	27, 41, 45	mpjaodan 957	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
47	46	ex 413	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})))
48	3	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
49		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ 𝑉)
50	49	snssd 4811	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})) → {𝑥} ⊆ 𝑉)
51		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
52	1, 51, 2, 6, 19	dochcl 40212	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ {𝑥} ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘{𝑥}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
53	48, 50, 52	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})) → ( ⊥ ‘{𝑥}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
54	1, 51, 19	dochoc 40226	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘{𝑥}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑥}))) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
55	48, 53, 54	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑥}))) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
56		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})) → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
57	56	fveq2d 6892	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑥})))
58	57	fveq2d 6892	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑥}))))
59	55, 58, 56	3eqtr4d 2782	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺))
60	59	rexlimdv3a 3159	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥}) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺)))
61	14, 15	lcfl1 40351	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺)))
62	60, 61	sylibrd 258	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥}) → 𝐺 ∈ 𝐶))
63	47, 62	impbid 211	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3070  {crab 3432   ⊆ wss 3947  {csn 4627  ran crn 5676  ‘cfv 6540  Basecbs 17140  0_gc0g 17381  LModclmod 20463  LSpanclspn 20574  LSAtomsclsa 37832  LFnlclfn 37915  LKerclk 37943  HLchlt 38208  LHypclh 38843  DVecHcdvh 39937  DIsoHcdih 40087  ocHcoch 40206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-riotaBAD 37811

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-undef 8254  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-0g 17383  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-lsm 19498  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-dvr 20207  df-drng 20309  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lvec 20706  df-lsatoms 37834  df-lshyp 37835  df-lfl 37916  df-lkr 37944  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-llines 38357  df-lplanes 38358  df-lvols 38359  df-lines 38360  df-psubsp 38362  df-pmap 38363  df-padd 38655  df-lhyp 38847  df-laut 38848  df-ldil 38963  df-ltrn 38964  df-trl 39018  df-tgrp 39602  df-tendo 39614  df-edring 39616  df-dveca 39862  df-disoa 39888  df-dvech 39938  df-dib 39998  df-dic 40032  df-dih 40088  df-doch 40207  df-djh 40254

This theorem is referenced by:  lcfl8a  40362  lcfl8b  40363