Theorem lcfl8 39253

Description: Property of a functional with a closed kernel. (Contributed by NM, 17-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfl8.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfl8.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl8.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl8.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfl8.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfl8.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfl8.c	⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
lcfl8.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfl8.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lcfl8	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑓,𝐹   𝑥,𝑓,𝐺   𝑓,𝐿,𝑥   ⊥ ,𝑓,𝑥   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐶(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐹(𝑥)   𝐻(𝑥,𝑓)   𝐾(𝑥,𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑊(𝑥,𝑓)

Proof of Theorem lcfl8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfl8.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcfl8.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		lcfl8.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	dvhlmod 38861	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
5	4	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝑈 ∈ LMod)
6		lcfl8.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
7		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
8		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
9	6, 7, 8	islsati 36745	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥}))
10	5, 9	sylan 583	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥}))
11		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥}))
12	11	fveq2d 6721	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})))
13		simp-4r 784	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → 𝐺 ∈ 𝐶)
14		lcfl8.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
15		lcfl8.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
16	15	ad4antr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → 𝐺 ∈ 𝐹)
17	14, 16	lcfl1 39243	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺)))
18	13, 17	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺))
19		lcfl8.o	. . . . . . . . 9 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
20	3	ad4antr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
21		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ 𝑉)
22	21	snssd 4722	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → {𝑥} ⊆ 𝑉)
23	1, 2, 19, 6, 7, 20, 22	dochocsp 39130	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
24	12, 18, 23	3eqtr3d 2785	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
25	24	ex 416	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥}) → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})))
26	25	reximdva 3193	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → (∃𝑥 ∈ 𝑉 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥}) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})))
27	10, 26	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
28	5	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) = 𝑉) → 𝑈 ∈ LMod)
29		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
30	6, 29	lmod0vcl 19928	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → (0g‘𝑈) ∈ 𝑉)
31	28, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) = 𝑉) → (0g‘𝑈) ∈ 𝑉)
32		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) = 𝑉) → (𝐿‘𝐺) = 𝑉)
33	3	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
34	33	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) = 𝑉) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
35	1, 2, 19, 6, 29	doch0 39109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}) = 𝑉)
36	34, 35	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) = 𝑉) → ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}) = 𝑉)
37	32, 36	eqtr4d 2780	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) = 𝑉) → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}))
38		sneq 4551	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑈) → {𝑥} = {(0g‘𝑈)})
39	38	fveq2d 6721	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑈) → ( ⊥ ‘{𝑥}) = ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}))
40	39	rspceeqv 3552	. . . . 5 ⊢ (((0g‘𝑈) ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)})) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
41	31, 37, 40	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) = 𝑉) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
42		lcfl8.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
43		lcfl8.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
44	1, 19, 2, 6, 8, 42, 43, 14, 3, 15	lcfl3 39245	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∨ (𝐿‘𝐺) = 𝑉)))
45	44	biimpa 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∨ (𝐿‘𝐺) = 𝑉))
46	27, 41, 45	mpjaodan 959	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
47	46	ex 416	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})))
48	3	3ad2ant1 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
49		simp2 1139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ 𝑉)
50	49	snssd 4722	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})) → {𝑥} ⊆ 𝑉)
51		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
52	1, 51, 2, 6, 19	dochcl 39104	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ {𝑥} ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘{𝑥}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
53	48, 50, 52	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})) → ( ⊥ ‘{𝑥}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
54	1, 51, 19	dochoc 39118	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘{𝑥}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑥}))) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
55	48, 53, 54	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑥}))) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
56		simp3 1140	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})) → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
57	56	fveq2d 6721	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑥})))
58	57	fveq2d 6721	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑥}))))
59	55, 58, 56	3eqtr4d 2787	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺))
60	59	rexlimdv3a 3205	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥}) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺)))
61	14, 15	lcfl1 39243	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺)))
62	60, 61	sylibrd 262	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥}) → 𝐺 ∈ 𝐶))
63	47, 62	impbid 215	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 847   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3062  {crab 3065   ⊆ wss 3866  {csn 4541  ran crn 5552  ‘cfv 6380  Basecbs 16760  0_gc0g 16944  LModclmod 19899  LSpanclspn 20008  LSAtomsclsa 36725  LFnlclfn 36808  LKerclk 36836  HLchlt 37101  LHypclh 37735  DVecHcdvh 38829  DIsoHcdih 38979  ocHcoch 39098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-riotaBAD 36704

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-tpos 7968  df-undef 8015  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-0g 16946  df-proset 17802  df-poset 17820  df-plt 17836  df-lub 17852  df-glb 17853  df-join 17854  df-meet 17855  df-p0 17931  df-p1 17932  df-lat 17938  df-clat 18005  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-sbg 18370  df-subg 18540  df-cntz 18711  df-lsm 19025  df-cmn 19172  df-abl 19173  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-ring 19564  df-oppr 19641  df-dvdsr 19659  df-unit 19660  df-invr 19690  df-dvr 19701  df-drng 19769  df-lmod 19901  df-lss 19969  df-lsp 20009  df-lvec 20140  df-lsatoms 36727  df-lshyp 36728  df-lfl 36809  df-lkr 36837  df-oposet 36927  df-ol 36929  df-oml 36930  df-covers 37017  df-ats 37018  df-atl 37049  df-cvlat 37073  df-hlat 37102  df-llines 37249  df-lplanes 37250  df-lvols 37251  df-lines 37252  df-psubsp 37254  df-pmap 37255  df-padd 37547  df-lhyp 37739  df-laut 37740  df-ldil 37855  df-ltrn 37856  df-trl 37910  df-tgrp 38494  df-tendo 38506  df-edring 38508  df-dveca 38754  df-disoa 38780  df-dvech 38830  df-dib 38890  df-dic 38924  df-dih 38980  df-doch 39099  df-djh 39146

This theorem is referenced by:  lcfl8a  39254  lcfl8b  39255