Theorem lcfl8 41521

Description: Property of a functional with a closed kernel. (Contributed by NM, 17-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfl8.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfl8.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl8.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl8.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfl8.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfl8.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfl8.c	⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
lcfl8.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfl8.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lcfl8	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑓,𝐹   𝑥,𝑓,𝐺   𝑓,𝐿,𝑥   ⊥ ,𝑓,𝑥   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐶(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐹(𝑥)   𝐻(𝑥,𝑓)   𝐾(𝑥,𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑊(𝑥,𝑓)

Proof of Theorem lcfl8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfl8.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcfl8.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		lcfl8.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	dvhlmod 41129	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝑈 ∈ LMod)
6		lcfl8.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
7		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
8		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
9	6, 7, 8	islsati 39012	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥}))
10	5, 9	sylan 580	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥}))
11		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥}))
12	11	fveq2d 6880	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})))
13		simp-4r 783	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → 𝐺 ∈ 𝐶)
14		lcfl8.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
15		lcfl8.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
16	15	ad4antr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → 𝐺 ∈ 𝐹)
17	14, 16	lcfl1 41511	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺)))
18	13, 17	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺))
19		lcfl8.o	. . . . . . . . 9 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
20	3	ad4antr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
21		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ 𝑉)
22	21	snssd 4785	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → {𝑥} ⊆ 𝑉)
23	1, 2, 19, 6, 7, 20, 22	dochocsp 41398	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
24	12, 18, 23	3eqtr3d 2778	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
25	24	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥}) → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})))
26	25	reximdva 3153	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → (∃𝑥 ∈ 𝑉 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥}) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})))
27	10, 26	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
28	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) = 𝑉) → 𝑈 ∈ LMod)
29		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
30	6, 29	lmod0vcl 20848	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → (0g‘𝑈) ∈ 𝑉)
31	28, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) = 𝑉) → (0g‘𝑈) ∈ 𝑉)
32		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) = 𝑉) → (𝐿‘𝐺) = 𝑉)
33	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
34	33	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) = 𝑉) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
35	1, 2, 19, 6, 29	doch0 41377	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}) = 𝑉)
36	34, 35	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) = 𝑉) → ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}) = 𝑉)
37	32, 36	eqtr4d 2773	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) = 𝑉) → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}))
38		sneq 4611	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑈) → {𝑥} = {(0g‘𝑈)})
39	38	fveq2d 6880	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑈) → ( ⊥ ‘{𝑥}) = ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}))
40	39	rspceeqv 3624	. . . . 5 ⊢ (((0g‘𝑈) ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)})) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
41	31, 37, 40	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) = 𝑉) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
42		lcfl8.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
43		lcfl8.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
44	1, 19, 2, 6, 8, 42, 43, 14, 3, 15	lcfl3 41513	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∨ (𝐿‘𝐺) = 𝑉)))
45	44	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∨ (𝐿‘𝐺) = 𝑉))
46	27, 41, 45	mpjaodan 960	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
47	46	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})))
48	3	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
49		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ 𝑉)
50	49	snssd 4785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})) → {𝑥} ⊆ 𝑉)
51		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
52	1, 51, 2, 6, 19	dochcl 41372	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ {𝑥} ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘{𝑥}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
53	48, 50, 52	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})) → ( ⊥ ‘{𝑥}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
54	1, 51, 19	dochoc 41386	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘{𝑥}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑥}))) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
55	48, 53, 54	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑥}))) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
56		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})) → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
57	56	fveq2d 6880	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑥})))
58	57	fveq2d 6880	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑥}))))
59	55, 58, 56	3eqtr4d 2780	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺))
60	59	rexlimdv3a 3145	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥}) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺)))
61	14, 15	lcfl1 41511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺)))
62	60, 61	sylibrd 259	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥}) → 𝐺 ∈ 𝐶))
63	47, 62	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3060  {crab 3415   ⊆ wss 3926  {csn 4601  ran crn 5655  ‘cfv 6531  Basecbs 17228  0_gc0g 17453  LModclmod 20817  LSpanclspn 20928  LSAtomsclsa 38992  LFnlclfn 39075  LKerclk 39103  HLchlt 39368  LHypclh 40003  DVecHcdvh 41097  DIsoHcdih 41247  ocHcoch 41366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-riotaBAD 38971

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8225  df-undef 8272  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-0g 17455  df-proset 18306  df-poset 18325  df-plt 18340  df-lub 18356  df-glb 18357  df-join 18358  df-meet 18359  df-p0 18435  df-p1 18436  df-lat 18442  df-clat 18509  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-submnd 18762  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-subg 19106  df-cntz 19300  df-lsm 19617  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-oppr 20297  df-dvdsr 20317  df-unit 20318  df-invr 20348  df-dvr 20361  df-drng 20691  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-lsp 20929  df-lvec 21061  df-lsatoms 38994  df-lshyp 38995  df-lfl 39076  df-lkr 39104  df-oposet 39194  df-ol 39196  df-oml 39197  df-covers 39284  df-ats 39285  df-atl 39316  df-cvlat 39340  df-hlat 39369  df-llines 39517  df-lplanes 39518  df-lvols 39519  df-lines 39520  df-psubsp 39522  df-pmap 39523  df-padd 39815  df-lhyp 40007  df-laut 40008  df-ldil 40123  df-ltrn 40124  df-trl 40178  df-tgrp 40762  df-tendo 40774  df-edring 40776  df-dveca 41022  df-disoa 41048  df-dvech 41098  df-dib 41158  df-dic 41192  df-dih 41248  df-doch 41367  df-djh 41414

This theorem is referenced by:  lcfl8a  41522  lcfl8b  41523