Theorem lcfl8 41459

Description: Property of a functional with a closed kernel. (Contributed by NM, 17-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfl8.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfl8.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl8.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl8.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfl8.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfl8.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfl8.c	⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
lcfl8.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfl8.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lcfl8	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑓,𝐹   𝑥,𝑓,𝐺   𝑓,𝐿,𝑥   ⊥ ,𝑓,𝑥   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐶(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐹(𝑥)   𝐻(𝑥,𝑓)   𝐾(𝑥,𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑊(𝑥,𝑓)

Proof of Theorem lcfl8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfl8.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcfl8.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		lcfl8.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	dvhlmod 41067	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝑈 ∈ LMod)
6		lcfl8.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
7		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
8		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
9	6, 7, 8	islsati 38950	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥}))
10	5, 9	sylan 579	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥}))
11		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥}))
12	11	fveq2d 6924	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})))
13		simp-4r 783	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → 𝐺 ∈ 𝐶)
14		lcfl8.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
15		lcfl8.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
16	15	ad4antr 731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → 𝐺 ∈ 𝐹)
17	14, 16	lcfl1 41449	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺)))
18	13, 17	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺))
19		lcfl8.o	. . . . . . . . 9 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
20	3	ad4antr 731	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
21		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ 𝑉)
22	21	snssd 4834	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → {𝑥} ⊆ 𝑉)
23	1, 2, 19, 6, 7, 20, 22	dochocsp 41336	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
24	12, 18, 23	3eqtr3d 2788	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
25	24	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥}) → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})))
26	25	reximdva 3174	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → (∃𝑥 ∈ 𝑉 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥}) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})))
27	10, 26	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
28	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) = 𝑉) → 𝑈 ∈ LMod)
29		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
30	6, 29	lmod0vcl 20911	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → (0g‘𝑈) ∈ 𝑉)
31	28, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) = 𝑉) → (0g‘𝑈) ∈ 𝑉)
32		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) = 𝑉) → (𝐿‘𝐺) = 𝑉)
33	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
34	33	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) = 𝑉) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
35	1, 2, 19, 6, 29	doch0 41315	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}) = 𝑉)
36	34, 35	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) = 𝑉) → ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}) = 𝑉)
37	32, 36	eqtr4d 2783	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) = 𝑉) → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}))
38		sneq 4658	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑈) → {𝑥} = {(0g‘𝑈)})
39	38	fveq2d 6924	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑈) → ( ⊥ ‘{𝑥}) = ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}))
40	39	rspceeqv 3658	. . . . 5 ⊢ (((0g‘𝑈) ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)})) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
41	31, 37, 40	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) = 𝑉) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
42		lcfl8.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
43		lcfl8.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
44	1, 19, 2, 6, 8, 42, 43, 14, 3, 15	lcfl3 41451	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∨ (𝐿‘𝐺) = 𝑉)))
45	44	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∨ (𝐿‘𝐺) = 𝑉))
46	27, 41, 45	mpjaodan 959	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
47	46	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})))
48	3	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
49		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ 𝑉)
50	49	snssd 4834	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})) → {𝑥} ⊆ 𝑉)
51		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
52	1, 51, 2, 6, 19	dochcl 41310	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ {𝑥} ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘{𝑥}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
53	48, 50, 52	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})) → ( ⊥ ‘{𝑥}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
54	1, 51, 19	dochoc 41324	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘{𝑥}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑥}))) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
55	48, 53, 54	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑥}))) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
56		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})) → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
57	56	fveq2d 6924	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑥})))
58	57	fveq2d 6924	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑥}))))
59	55, 58, 56	3eqtr4d 2790	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺))
60	59	rexlimdv3a 3165	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥}) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺)))
61	14, 15	lcfl1 41449	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺)))
62	60, 61	sylibrd 259	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥}) → 𝐺 ∈ 𝐶))
63	47, 62	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076  {crab 3443   ⊆ wss 3976  {csn 4648  ran crn 5701  ‘cfv 6573  Basecbs 17258  0_gc0g 17499  LModclmod 20880  LSpanclspn 20992  LSAtomsclsa 38930  LFnlclfn 39013  LKerclk 39041  HLchlt 39306  LHypclh 39941  DVecHcdvh 41035  DIsoHcdih 41185  ocHcoch 41304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-riotaBAD 38909

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-undef 8314  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-0g 17501  df-proset 18365  df-poset 18383  df-plt 18400  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-p0 18495  df-p1 18496  df-lat 18502  df-clat 18569  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-cntz 19357  df-lsm 19678  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-dvr 20427  df-drng 20753  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-lvec 21125  df-lsatoms 38932  df-lshyp 38933  df-lfl 39014  df-lkr 39042  df-oposet 39132  df-ol 39134  df-oml 39135  df-covers 39222  df-ats 39223  df-atl 39254  df-cvlat 39278  df-hlat 39307  df-llines 39455  df-lplanes 39456  df-lvols 39457  df-lines 39458  df-psubsp 39460  df-pmap 39461  df-padd 39753  df-lhyp 39945  df-laut 39946  df-ldil 40061  df-ltrn 40062  df-trl 40116  df-tgrp 40700  df-tendo 40712  df-edring 40714  df-dveca 40960  df-disoa 40986  df-dvech 41036  df-dib 41096  df-dic 41130  df-dih 41186  df-doch 41305  df-djh 41352

This theorem is referenced by:  lcfl8a  41460  lcfl8b  41461