Theorem lcfl8 41504

Description: Property of a functional with a closed kernel. (Contributed by NM, 17-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfl8.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfl8.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl8.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl8.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfl8.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfl8.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfl8.c	⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
lcfl8.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfl8.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lcfl8	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑓,𝐹   𝑥,𝑓,𝐺   𝑓,𝐿,𝑥   ⊥ ,𝑓,𝑥   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐶(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐹(𝑥)   𝐻(𝑥,𝑓)   𝐾(𝑥,𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑊(𝑥,𝑓)

Proof of Theorem lcfl8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfl8.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcfl8.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		lcfl8.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	dvhlmod 41112	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝑈 ∈ LMod)
6		lcfl8.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
7		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
8		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
9	6, 7, 8	islsati 38995	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥}))
10	5, 9	sylan 580	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥}))
11		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥}))
12	11	fveq2d 6910	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})))
13		simp-4r 784	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → 𝐺 ∈ 𝐶)
14		lcfl8.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
15		lcfl8.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
16	15	ad4antr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → 𝐺 ∈ 𝐹)
17	14, 16	lcfl1 41494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺)))
18	13, 17	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺))
19		lcfl8.o	. . . . . . . . 9 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
20	3	ad4antr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
21		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ 𝑉)
22	21	snssd 4809	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → {𝑥} ⊆ 𝑉)
23	1, 2, 19, 6, 7, 20, 22	dochocsp 41381	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
24	12, 18, 23	3eqtr3d 2785	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
25	24	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥}) → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})))
26	25	reximdva 3168	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → (∃𝑥 ∈ 𝑉 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥}) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})))
27	10, 26	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
28	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) = 𝑉) → 𝑈 ∈ LMod)
29		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
30	6, 29	lmod0vcl 20889	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → (0g‘𝑈) ∈ 𝑉)
31	28, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) = 𝑉) → (0g‘𝑈) ∈ 𝑉)
32		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) = 𝑉) → (𝐿‘𝐺) = 𝑉)
33	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
34	33	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) = 𝑉) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
35	1, 2, 19, 6, 29	doch0 41360	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}) = 𝑉)
36	34, 35	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) = 𝑉) → ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}) = 𝑉)
37	32, 36	eqtr4d 2780	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) = 𝑉) → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}))
38		sneq 4636	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑈) → {𝑥} = {(0g‘𝑈)})
39	38	fveq2d 6910	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑈) → ( ⊥ ‘{𝑥}) = ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}))
40	39	rspceeqv 3645	. . . . 5 ⊢ (((0g‘𝑈) ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)})) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
41	31, 37, 40	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) = 𝑉) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
42		lcfl8.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
43		lcfl8.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
44	1, 19, 2, 6, 8, 42, 43, 14, 3, 15	lcfl3 41496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∨ (𝐿‘𝐺) = 𝑉)))
45	44	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∨ (𝐿‘𝐺) = 𝑉))
46	27, 41, 45	mpjaodan 961	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
47	46	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})))
48	3	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
49		simp2 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ 𝑉)
50	49	snssd 4809	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})) → {𝑥} ⊆ 𝑉)
51		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
52	1, 51, 2, 6, 19	dochcl 41355	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ {𝑥} ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘{𝑥}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
53	48, 50, 52	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})) → ( ⊥ ‘{𝑥}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
54	1, 51, 19	dochoc 41369	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘{𝑥}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑥}))) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
55	48, 53, 54	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑥}))) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
56		simp3 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})) → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
57	56	fveq2d 6910	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑥})))
58	57	fveq2d 6910	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑥}))))
59	55, 58, 56	3eqtr4d 2787	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺))
60	59	rexlimdv3a 3159	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥}) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺)))
61	14, 15	lcfl1 41494	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺)))
62	60, 61	sylibrd 259	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥}) → 𝐺 ∈ 𝐶))
63	47, 62	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070  {crab 3436   ⊆ wss 3951  {csn 4626  ran crn 5686  ‘cfv 6561  Basecbs 17247  0_gc0g 17484  LModclmod 20858  LSpanclspn 20969  LSAtomsclsa 38975  LFnlclfn 39058  LKerclk 39086  HLchlt 39351  LHypclh 39986  DVecHcdvh 41080  DIsoHcdih 41230  ocHcoch 41349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-riotaBAD 38954

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-undef 8298  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-0g 17486  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-lsm 19654  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lvec 21102  df-lsatoms 38977  df-lshyp 38978  df-lfl 39059  df-lkr 39087  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-llines 39500  df-lplanes 39501  df-lvols 39502  df-lines 39503  df-psubsp 39505  df-pmap 39506  df-padd 39798  df-lhyp 39990  df-laut 39991  df-ldil 40106  df-ltrn 40107  df-trl 40161  df-tgrp 40745  df-tendo 40757  df-edring 40759  df-dveca 41005  df-disoa 41031  df-dvech 41081  df-dib 41141  df-dic 41175  df-dih 41231  df-doch 41350  df-djh 41397

This theorem is referenced by:  lcfl8a  41505  lcfl8b  41506