Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfl8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfl8 38817
 Description: Property of a functional with a closed kernel. (Contributed by NM, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfl8.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfl8.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl8.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl8.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfl8.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfl8.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfl8.c 𝐶 = {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
lcfl8.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcfl8.g (𝜑𝐺𝐹)
Assertion
Ref Expression
lcfl8 (𝜑 → (𝐺𝐶 ↔ ∃𝑥𝑉 (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑓,𝐹   𝑥,𝑓,𝐺   𝑓,𝐿,𝑥   ,𝑓,𝑥   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐶(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐹(𝑥)   𝐻(𝑥,𝑓)   𝐾(𝑥,𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑊(𝑥,𝑓)

Proof of Theorem lcfl8
StepHypRef Expression
1 lcfl8.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 lcfl8.u . . . . . . . 8 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 lcfl8.k . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3dvhlmod 38425 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
54adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐺𝐶) → 𝑈 ∈ LMod)
6 lcfl8.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑈)
7 eqid 2798 . . . . . . 7 (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
8 eqid 2798 . . . . . . 7 (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
96, 7, 8islsati 36309 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ∃𝑥𝑉 ( ‘(𝐿𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥}))
105, 9sylan 583 . . . . 5 (((𝜑𝐺𝐶) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ∃𝑥𝑉 ( ‘(𝐿𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥}))
11 simpr 488 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝐺𝐶) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥𝑉) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → ( ‘(𝐿𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥}))
1211fveq2d 6650 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝐺𝐶) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥𝑉) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = ( ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})))
13 simp-4r 783 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝐺𝐶) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥𝑉) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → 𝐺𝐶)
14 lcfl8.c . . . . . . . . . 10 𝐶 = {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
15 lcfl8.g . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺𝐹)
1615ad4antr 731 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐺𝐶) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥𝑉) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → 𝐺𝐹)
1714, 16lcfl1 38807 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝐺𝐶) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥𝑉) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → (𝐺𝐶 ↔ ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺)))
1813, 17mpbid 235 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝐺𝐶) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥𝑉) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺))
19 lcfl8.o . . . . . . . . 9 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
203ad4antr 731 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝐺𝐶) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥𝑉) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
21 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐺𝐶) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥𝑉) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → 𝑥𝑉)
2221snssd 4702 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝐺𝐶) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥𝑉) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → {𝑥} ⊆ 𝑉)
231, 2, 19, 6, 7, 20, 22dochocsp 38694 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝐺𝐶) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥𝑉) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → ( ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) = ( ‘{𝑥}))
2412, 18, 233eqtr3d 2841 . . . . . . 7 (((((𝜑𝐺𝐶) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥𝑉) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥}))
2524ex 416 . . . . . 6 ((((𝜑𝐺𝐶) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥𝑉) → (( ‘(𝐿𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥}) → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})))
2625reximdva 3233 . . . . 5 (((𝜑𝐺𝐶) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → (∃𝑥𝑉 ( ‘(𝐿𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥}) → ∃𝑥𝑉 (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})))
2710, 26mpd 15 . . . 4 (((𝜑𝐺𝐶) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ∃𝑥𝑉 (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥}))
285adantr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝐺𝐶) ∧ (𝐿𝐺) = 𝑉) → 𝑈 ∈ LMod)
29 eqid 2798 . . . . . . 7 (0g𝑈) = (0g𝑈)
306, 29lmod0vcl 19660 . . . . . 6 (𝑈 ∈ LMod → (0g𝑈) ∈ 𝑉)
3128, 30syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝐺𝐶) ∧ (𝐿𝐺) = 𝑉) → (0g𝑈) ∈ 𝑉)
32 simpr 488 . . . . . 6 (((𝜑𝐺𝐶) ∧ (𝐿𝐺) = 𝑉) → (𝐿𝐺) = 𝑉)
333adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐺𝐶) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3433adantr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝐺𝐶) ∧ (𝐿𝐺) = 𝑉) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
351, 2, 19, 6, 29doch0 38673 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( ‘{(0g𝑈)}) = 𝑉)
3634, 35syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝐺𝐶) ∧ (𝐿𝐺) = 𝑉) → ( ‘{(0g𝑈)}) = 𝑉)
3732, 36eqtr4d 2836 . . . . 5 (((𝜑𝐺𝐶) ∧ (𝐿𝐺) = 𝑉) → (𝐿𝐺) = ( ‘{(0g𝑈)}))
38 sneq 4535 . . . . . . 7 (𝑥 = (0g𝑈) → {𝑥} = {(0g𝑈)})
3938fveq2d 6650 . . . . . 6 (𝑥 = (0g𝑈) → ( ‘{𝑥}) = ( ‘{(0g𝑈)}))
4039rspceeqv 3586 . . . . 5 (((0g𝑈) ∈ 𝑉 ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{(0g𝑈)})) → ∃𝑥𝑉 (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥}))
4131, 37, 40syl2anc 587 . . . 4 (((𝜑𝐺𝐶) ∧ (𝐿𝐺) = 𝑉) → ∃𝑥𝑉 (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥}))
42 lcfl8.f . . . . . 6 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
43 lcfl8.l . . . . . 6 𝐿 = (LKer‘𝑈)
441, 19, 2, 6, 8, 42, 43, 14, 3, 15lcfl3 38809 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺𝐶 ↔ (( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∨ (𝐿𝐺) = 𝑉)))
4544biimpa 480 . . . 4 ((𝜑𝐺𝐶) → (( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∨ (𝐿𝐺) = 𝑉))
4627, 41, 45mpjaodan 956 . . 3 ((𝜑𝐺𝐶) → ∃𝑥𝑉 (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥}))
4746ex 416 . 2 (𝜑 → (𝐺𝐶 → ∃𝑥𝑉 (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})))
4833ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
49 simp2 1134 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})) → 𝑥𝑉)
5049snssd 4702 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})) → {𝑥} ⊆ 𝑉)
51 eqid 2798 . . . . . . . 8 ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
521, 51, 2, 6, 19dochcl 38668 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ {𝑥} ⊆ 𝑉) → ( ‘{𝑥}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
5348, 50, 52syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})) → ( ‘{𝑥}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
541, 51, 19dochoc 38682 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( ‘{𝑥}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ‘( ‘( ‘{𝑥}))) = ( ‘{𝑥}))
5548, 53, 54syl2anc 587 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})) → ( ‘( ‘( ‘{𝑥}))) = ( ‘{𝑥}))
56 simp3 1135 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})) → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥}))
5756fveq2d 6650 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})) → ( ‘(𝐿𝐺)) = ( ‘( ‘{𝑥})))
5857fveq2d 6650 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})) → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = ( ‘( ‘( ‘{𝑥}))))
5955, 58, 563eqtr4d 2843 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})) → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺))
6059rexlimdv3a 3245 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥𝑉 (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥}) → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺)))
6114, 15lcfl1 38807 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝐶 ↔ ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺)))
6260, 61sylibrd 262 . 2 (𝜑 → (∃𝑥𝑉 (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥}) → 𝐺𝐶))
6347, 62impbid 215 1 (𝜑 → (𝐺𝐶 ↔ ∃𝑥𝑉 (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3107  {crab 3110   ⊆ wss 3881  {csn 4525  ran crn 5521  ‘cfv 6325  Basecbs 16478  0gc0g 16708  LModclmod 19631  LSpanclspn 19740  LSAtomsclsa 36289  LFnlclfn 36372  LKerclk 36400  HLchlt 36665  LHypclh 37299  DVecHcdvh 38393  DIsoHcdih 38543  ocHcoch 38662 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-riotaBAD 36268 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-tpos 7878  df-undef 7925  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-map 8394  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-4 11693  df-5 11694  df-6 11695  df-n0 11889  df-z 11973  df-uz 12235  df-fz 12889  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-0g 16710  df-proset 17533  df-poset 17551  df-plt 17563  df-lub 17579  df-glb 17580  df-join 17581  df-meet 17582  df-p0 17644  df-p1 17645  df-lat 17651  df-clat 17713  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-subg 18272  df-cntz 18443  df-lsm 18757  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-dvr 19433  df-drng 19501  df-lmod 19633  df-lss 19701  df-lsp 19741  df-lvec 19872  df-lsatoms 36291  df-lshyp 36292  df-lfl 36373  df-lkr 36401  df-oposet 36491  df-ol 36493  df-oml 36494  df-covers 36581  df-ats 36582  df-atl 36613  df-cvlat 36637  df-hlat 36666  df-llines 36813  df-lplanes 36814  df-lvols 36815  df-lines 36816  df-psubsp 36818  df-pmap 36819  df-padd 37111  df-lhyp 37303  df-laut 37304  df-ldil 37419  df-ltrn 37420  df-trl 37474  df-tgrp 38058  df-tendo 38070  df-edring 38072  df-dveca 38318  df-disoa 38344  df-dvech 38394  df-dib 38454  df-dic 38488  df-dih 38544  df-doch 38663  df-djh 38710 This theorem is referenced by:  lcfl8a  38818  lcfl8b  38819
 Copyright terms: Public domain W3C validator