Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsmsatcv Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lsmsatcv 38183
Description: Subspace sum has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Similar to Exercise 5 of [Kalmbach] p. 153. (spansncvi 31160 analog.) Explicit atom version of lsmcv 20899. (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmsatcv.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lsmsatcv.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lsmsatcv.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lsmsatcv.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lsmsatcv.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑆)
lsmsatcv.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lsmsatcv.x (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
lsmsatcv ((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• 𝑄)) β†’ π‘ˆ = (𝑇 βŠ• 𝑄))
Proof of Theorem lsmsatcv
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsmsatcv.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
2 lsmsatcv.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
3 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
4 eqid 2732 . . . . 5 (LSpanβ€˜π‘Š) = (LSpanβ€˜π‘Š)
5 lsmsatcv.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
63, 4, 5islsati 38167 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}))
71, 2, 6syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}))
8 lsmsatcv.s . . . . . . . 8 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
9 lsmsatcv.p . . . . . . . 8 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
101adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ LVec)
11 lsmsatcv.t . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑆)
1211adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑇 ∈ 𝑆)
13 lsmsatcv.u . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
1413adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
15 simpr 485 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
163, 8, 4, 9, 10, 12, 14, 15lsmcv 20899 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}))) β†’ π‘ˆ = (𝑇 βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
17163expib 1122 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ ((𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}))) β†’ π‘ˆ = (𝑇 βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}))))
18173adant3 1132 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ ((𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}))) β†’ π‘ˆ = (𝑇 βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}))))
19 oveq2 7419 . . . . . . . . 9 (𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ (𝑇 βŠ• 𝑄) = (𝑇 βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
2019sseq2d 4014 . . . . . . . 8 (𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ (π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• 𝑄) ↔ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}))))
2120anbi2d 629 . . . . . . 7 (𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ ((𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• 𝑄)) ↔ (𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))))
2219eqeq2d 2743 . . . . . . 7 (𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ (π‘ˆ = (𝑇 βŠ• 𝑄) ↔ π‘ˆ = (𝑇 βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}))))
2321, 22imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ (((𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• 𝑄)) β†’ π‘ˆ = (𝑇 βŠ• 𝑄)) ↔ ((𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}))) β†’ π‘ˆ = (𝑇 βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))))
24233ad2ant3 1135 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ (((𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• 𝑄)) β†’ π‘ˆ = (𝑇 βŠ• 𝑄)) ↔ ((𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}))) β†’ π‘ˆ = (𝑇 βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))))
2518, 24mpbird 256 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ ((𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• 𝑄)) β†’ π‘ˆ = (𝑇 βŠ• 𝑄)))
2625rexlimdv3a 3159 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ ((𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• 𝑄)) β†’ π‘ˆ = (𝑇 βŠ• 𝑄))))
277, 26mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• 𝑄)) β†’ π‘ˆ = (𝑇 βŠ• 𝑄)))
28273impib 1116 1 ((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• 𝑄)) β†’ π‘ˆ = (𝑇 βŠ• 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3948   ⊊ wpss 3949  {csn 4628  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  LSSumclsm 19543  LSubSpclss 20686  LSpanclspn 20726  LVecclvec 20857  LSAtomsclsa 38147
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19039  df-lsm 19545  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-drng 20502  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-lvec 20858  df-lsatoms 38149
This theorem is referenced by:  dochsat  40557
  Copyright terms: Public domain W3C validator