Theorem lsmsatcv 37024

Description: Subspace sum has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Similar to Exercise 5 of [Kalmbach] p. 153. (spansncvi 30014 analog.) Explicit atom version of lsmcv 20403. (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmsatcv.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsmsatcv.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsmsatcv.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsmsatcv.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsmsatcv.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lsmsatcv.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lsmsatcv.x	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lsmsatcv	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑄)) → 𝑈 = (𝑇 ⊕ 𝑄))

Proof of Theorem lsmsatcv

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmsatcv.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lsmsatcv.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
3		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
5		lsmsatcv.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
6	3, 4, 5	islsati 37008	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑊)𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
7	1, 2, 6	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑊)𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
8		lsmsatcv.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
9		lsmsatcv.p	. . . . . . . 8 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
10	1	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LVec)
11		lsmsatcv.t	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
12	11	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑇 ∈ 𝑆)
13		lsmsatcv.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
14	13	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
15		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
16	3, 8, 4, 9, 10, 12, 14, 15	lsmcv 20403	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))) → 𝑈 = (𝑇 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
17	16	3expib 1121	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))) → 𝑈 = (𝑇 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
18	17	3adant3 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → ((𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))) → 𝑈 = (𝑇 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
19		oveq2 7283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇 ⊕ 𝑄) = (𝑇 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
20	19	sseq2d 3953	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑄) ↔ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
21	20	anbi2d 629	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ((𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑄)) ↔ (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))))
22	19	eqeq2d 2749	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑈 = (𝑇 ⊕ 𝑄) ↔ 𝑈 = (𝑇 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
23	21, 22	imbi12d 345	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (((𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑄)) → 𝑈 = (𝑇 ⊕ 𝑄)) ↔ ((𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))) → 𝑈 = (𝑇 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))))
24	23	3ad2ant3 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (((𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑄)) → 𝑈 = (𝑇 ⊕ 𝑄)) ↔ ((𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))) → 𝑈 = (𝑇 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))))
25	18, 24	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → ((𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑄)) → 𝑈 = (𝑇 ⊕ 𝑄)))
26	25	rexlimdv3a 3215	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ (Base‘𝑊)𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ((𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑄)) → 𝑈 = (𝑇 ⊕ 𝑄))))
27	7, 26	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑄)) → 𝑈 = (𝑇 ⊕ 𝑄)))
28	27	3impib 1115	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑄)) → 𝑈 = (𝑇 ⊕ 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3887   ⊊ wpss 3888  {csn 4561  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  LSSumclsm 19239  LSubSpclss 20193  LSpanclspn 20233  LVecclvec 20364  LSAtomsclsa 36988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-lsm 19241  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-drng 19993  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-lvec 20365  df-lsatoms 36990

This theorem is referenced by:  dochsat  39397