Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsmsatcv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmsatcv 38346
Description: Subspace sum has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Similar to Exercise 5 of [Kalmbach] p. 153. (spansncvi 31339 analog.) Explicit atom version of lsmcv 20988. (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmsatcv.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsmsatcv.p = (LSSum‘𝑊)
lsmsatcv.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsmsatcv.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsmsatcv.t (𝜑𝑇𝑆)
lsmsatcv.u (𝜑𝑈𝑆)
lsmsatcv.x (𝜑𝑄𝐴)
Assertion
Ref Expression
lsmsatcv ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 𝑄)) → 𝑈 = (𝑇 𝑄))

Proof of Theorem lsmsatcv
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsmsatcv.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 lsmsatcv.x . . . 4 (𝜑𝑄𝐴)
3 eqid 2731 . . . . 5 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4 eqid 2731 . . . . 5 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
5 lsmsatcv.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
63, 4, 5islsati 38330 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑄𝐴) → ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑊)𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
71, 2, 6syl2anc 583 . . 3 (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑊)𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
8 lsmsatcv.s . . . . . . . 8 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
9 lsmsatcv.p . . . . . . . 8 = (LSSum‘𝑊)
101adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LVec)
11 lsmsatcv.t . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇𝑆)
1211adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑇𝑆)
13 lsmsatcv.u . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈𝑆)
1413adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑈𝑆)
15 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
163, 8, 4, 9, 10, 12, 14, 15lsmcv 20988 . . . . . . 7 (((𝜑𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))) → 𝑈 = (𝑇 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
17163expib 1121 . . . . . 6 ((𝜑𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))) → 𝑈 = (𝑇 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
18173adant3 1131 . . . . 5 ((𝜑𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → ((𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))) → 𝑈 = (𝑇 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
19 oveq2 7420 . . . . . . . . 9 (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇 𝑄) = (𝑇 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
2019sseq2d 4014 . . . . . . . 8 (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑈 ⊆ (𝑇 𝑄) ↔ 𝑈 ⊆ (𝑇 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
2120anbi2d 628 . . . . . . 7 (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ((𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 𝑄)) ↔ (𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))))
2219eqeq2d 2742 . . . . . . 7 (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑈 = (𝑇 𝑄) ↔ 𝑈 = (𝑇 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
2321, 22imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (((𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 𝑄)) → 𝑈 = (𝑇 𝑄)) ↔ ((𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))) → 𝑈 = (𝑇 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))))
24233ad2ant3 1134 . . . . 5 ((𝜑𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (((𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 𝑄)) → 𝑈 = (𝑇 𝑄)) ↔ ((𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))) → 𝑈 = (𝑇 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))))
2518, 24mpbird 257 . . . 4 ((𝜑𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → ((𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 𝑄)) → 𝑈 = (𝑇 𝑄)))
2625rexlimdv3a 3158 . . 3 (𝜑 → (∃𝑣 ∈ (Base‘𝑊)𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ((𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 𝑄)) → 𝑈 = (𝑇 𝑄))))
277, 26mpd 15 . 2 (𝜑 → ((𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 𝑄)) → 𝑈 = (𝑇 𝑄)))
28273impib 1115 1 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 𝑄)) → 𝑈 = (𝑇 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wrex 3069  wss 3948  wpss 3949  {csn 4628  cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  LSSumclsm 19550  LSubSpclss 20774  LSpanclspn 20814  LVecclvec 20946  LSAtomsclsa 38310
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8217  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19046  df-lsm 19552  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-drng 20585  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815  df-lvec 20947  df-lsatoms 38312
This theorem is referenced by:  dochsat  40720
  Copyright terms: Public domain W3C validator