Theorem lsmsatcv 39130

Description: Subspace sum has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Similar to Exercise 5 of [Kalmbach] p. 153. (spansncvi 31634 analog.) Explicit atom version of lsmcv 21080. (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmsatcv.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsmsatcv.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsmsatcv.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsmsatcv.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsmsatcv.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lsmsatcv.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lsmsatcv.x	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lsmsatcv	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑄)) → 𝑈 = (𝑇 ⊕ 𝑄))

Proof of Theorem lsmsatcv

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmsatcv.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lsmsatcv.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
3		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
5		lsmsatcv.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
6	3, 4, 5	islsati 39114	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑊)𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
7	1, 2, 6	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑊)𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
8		lsmsatcv.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
9		lsmsatcv.p	. . . . . . . 8 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
10	1	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LVec)
11		lsmsatcv.t	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
12	11	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑇 ∈ 𝑆)
13		lsmsatcv.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
14	13	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
15		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
16	3, 8, 4, 9, 10, 12, 14, 15	lsmcv 21080	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))) → 𝑈 = (𝑇 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
17	16	3expib 1122	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))) → 𝑈 = (𝑇 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
18	17	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → ((𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))) → 𝑈 = (𝑇 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
19		oveq2 7360	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇 ⊕ 𝑄) = (𝑇 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
20	19	sseq2d 3963	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑄) ↔ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
21	20	anbi2d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ((𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑄)) ↔ (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))))
22	19	eqeq2d 2744	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑈 = (𝑇 ⊕ 𝑄) ↔ 𝑈 = (𝑇 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
23	21, 22	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (((𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑄)) → 𝑈 = (𝑇 ⊕ 𝑄)) ↔ ((𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))) → 𝑈 = (𝑇 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))))
24	23	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (((𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑄)) → 𝑈 = (𝑇 ⊕ 𝑄)) ↔ ((𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))) → 𝑈 = (𝑇 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))))
25	18, 24	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → ((𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑄)) → 𝑈 = (𝑇 ⊕ 𝑄)))
26	25	rexlimdv3a 3138	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ (Base‘𝑊)𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ((𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑄)) → 𝑈 = (𝑇 ⊕ 𝑄))))
27	7, 26	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑄)) → 𝑈 = (𝑇 ⊕ 𝑄)))
28	27	3impib 1116	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑄)) → 𝑈 = (𝑇 ⊕ 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3057   ⊆ wss 3898   ⊊ wpss 3899  {csn 4575  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  Basecbs 17122  LSSumclsm 19548  LSubSpclss 20866  LSpanclspn 20906  LVecclvec 21038  LSAtomsclsa 39094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-0g 17347  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-submnd 18694  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-sbg 18853  df-subg 19038  df-lsm 19550  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-oppr 20257  df-dvdsr 20277  df-unit 20278  df-invr 20308  df-drng 20648  df-lmod 20797  df-lss 20867  df-lsp 20907  df-lvec 21039  df-lsatoms 39096

This theorem is referenced by:  dochsat  41503