Theorem dihjat2 42155

Description: The subspace sum of a closed subspace and an atom is the same as their subspace join. (Contributed by NM, 1-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihjat2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihjat2.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat2.j	⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat2.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
dihjat2.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
dihjat2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihjat2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
dihjat2.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
dihjat2	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ 𝑄) = (𝑋 ⊕ 𝑄))

Proof of Theorem dihjat2

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihjat2.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dihjat2.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2770	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
4		dihjat2.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
5		eqid 2770	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
6		dihjat2.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
7		dihjat2.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
8		dihjat2.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9	8	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10		dihjat2.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
11	10	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑈)) → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
12		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑈)) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑈))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12	dihjat1 42153	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑋 ∨ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = (𝑋 ⊕ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
14	13	adantr 485	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) → (𝑋 ∨ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = (𝑋 ⊕ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
15		oveq2 7422	. . . 4 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) → (𝑋 ∨ 𝑄) = (𝑋 ∨ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
16	15	adantl 486	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) → (𝑋 ∨ 𝑄) = (𝑋 ∨ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
17		oveq2 7422	. . . 4 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) → (𝑋 ⊕ 𝑄) = (𝑋 ⊕ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
18	17	adantl 486	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) → (𝑋 ⊕ 𝑄) = (𝑋 ⊕ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
19	14, 16, 18	3eqtr4d 2815	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) → (𝑋 ∨ 𝑄) = (𝑋 ⊕ 𝑄))
20	1, 2, 8	dvhlmod 41834	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
21		dihjat2.q	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
22		dihjat2.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
23	3, 5, 22	islsati 39718	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑈)𝑄 = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))
24	20, 21, 23	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑈)𝑄 = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))
25	19, 24	r19.29a 3180	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ 𝑄) = (𝑋 ⊕ 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2150  ∃wrex 3096  {csn 4594  ran crn 5666  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414  Basecbs 17272  LSSumclsm 19707  LModclmod 20964  LSpanclspn 21075  LSAtomsclsa 39698  HLchlt 40074  LHypclh 40708  DVecHcdvh 41802  DIsoHcdih 41952  joinHcdjh 42118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180  ax-riotaBAD 39677

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8225  df-undef 8272  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-fin 8950  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12237  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-n0 12508  df-z 12595  df-uz 12866  df-fz 13539  df-struct 17210  df-sets 17227  df-slot 17245  df-ndx 17257  df-base 17273  df-ress 17294  df-plusg 17326  df-mulr 17327  df-sca 17329  df-vsca 17330  df-0g 17497  df-proset 18353  df-poset 18372  df-plt 18387  df-lub 18403  df-glb 18404  df-join 18405  df-meet 18406  df-p0 18482  df-p1 18483  df-lat 18491  df-clat 18558  df-mgm 18701  df-sgrp 18780  df-mnd 18796  df-submnd 18845  df-grp 19006  df-minusg 19007  df-sbg 19008  df-subg 19192  df-cntz 19390  df-lsm 19709  df-cmn 19855  df-abl 19856  df-mgp 20220  df-rng 20234  df-ur 20267  df-ring 20320  df-oppr 20422  df-dvdsr 20442  df-unit 20443  df-invr 20473  df-dvr 20486  df-drng 20818  df-lmod 20966  df-lss 21036  df-lsp 21076  df-lvec 21207  df-lsatoms 39700  df-oposet 39900  df-ol 39902  df-oml 39903  df-covers 39990  df-ats 39991  df-atl 40022  df-cvlat 40046  df-hlat 40075  df-llines 40222  df-lplanes 40223  df-lvols 40224  df-lines 40225  df-psubsp 40227  df-pmap 40228  df-padd 40520  df-lhyp 40712  df-laut 40713  df-ldil 40828  df-ltrn 40829  df-trl 40883  df-tgrp 41467  df-tendo 41479  df-edring 41481  df-dveca 41727  df-disoa 41753  df-dvech 41803  df-dib 41863  df-dic 41897  df-dih 41953  df-doch 42072  df-djh 42119

This theorem is referenced by:  dihjat3  42156  dihsmatrn  42160  dochsatshp  42175  lcfrlem23  42289