Theorem lsateln0 36291

Description: A 1-dim subspace (atom) (of a left module or left vector space) contains a nonzero vector. (Contributed by NM, 2-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsateln0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsateln0.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsateln0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lsateln0.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lsateln0	⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ 𝑈 𝑣 ≠ 0 )

Distinct variable groups:   𝑣,𝑈   𝑣,𝑊   𝑣, 0   𝜑,𝑣

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑣)

Proof of Theorem lsateln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsateln0.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
2		lsateln0.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
5		lsateln0.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
6		lsateln0.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
7	3, 4, 5, 6	islsat 36287	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
8	2, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
9	1, 8	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
10		eldifi 4054	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
11	3, 4	lspsnid 19758	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑣 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
12	2, 10, 11	syl2an 598	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑣 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
13		eleq2 2878	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑣 ∈ 𝑈 ↔ 𝑣 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
14	12, 13	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑣 ∈ 𝑈))
15	14	reximdva 3233	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑣 ∈ 𝑈))
16	9, 15	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑣 ∈ 𝑈)
17		eldifsn 4680	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ 0 ))
18	17	anbi1i 626	. . . . . 6 ⊢ ((𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ↔ ((𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ 0 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈))
19		anass 472	. . . . . 6 ⊢ (((𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ 0 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑣 ≠ 0 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)))
20	18, 19	bitri 278	. . . . 5 ⊢ ((𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑣 ≠ 0 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)))
21	20	simprbi 500	. . . 4 ⊢ ((𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → (𝑣 ≠ 0 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈))
22	21	ancomd 465	. . 3 ⊢ ((𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → (𝑣 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ≠ 0 ))
23	22	reximi2 3207	. 2 ⊢ (∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑣 ∈ 𝑈 → ∃𝑣 ∈ 𝑈 𝑣 ≠ 0 )
24	16, 23	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ 𝑈 𝑣 ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∃wrex 3107   ∖ cdif 3878  {csn 4525  ‘cfv 6324  Basecbs 16475  0_gc0g 16705  LModclmod 19627  LSpanclspn 19736  LSAtomsclsa 36270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737  df-lsatoms 36272

This theorem is referenced by:  dvh1dim  38738  dochkr1  38774  dochkr1OLDN  38775  lcfrlem40  38878