Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsateln0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsateln0 37486
Description: A 1-dim subspace (atom) (of a left module or left vector space) contains a nonzero vector. (Contributed by NM, 2-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsateln0.z 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lsateln0.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lsateln0.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lsateln0.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
lsateln0 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ π‘ˆ 𝑣 β‰  0 )
Distinct variable groups:   𝑣,π‘ˆ   𝑣,π‘Š   𝑣, 0   πœ‘,𝑣
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑣)

Proof of Theorem lsateln0
StepHypRef Expression
1 lsateln0.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
2 lsateln0.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
3 eqid 2737 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
4 eqid 2737 . . . . . 6 (LSpanβ€˜π‘Š) = (LSpanβ€˜π‘Š)
5 lsateln0.z . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘Š)
6 lsateln0.a . . . . . 6 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
73, 4, 5, 6islsat 37482 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
82, 7syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
91, 8mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}))
10 eldifi 4091 . . . . . 6 (𝑣 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 }) β†’ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
113, 4lspsnid 20470 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑣 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}))
122, 10, 11syl2an 597 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) β†’ 𝑣 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}))
13 eleq2 2827 . . . . 5 (π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ (𝑣 ∈ π‘ˆ ↔ 𝑣 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
1412, 13syl5ibrcom 247 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) β†’ (π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ 𝑣 ∈ π‘ˆ))
1514reximdva 3166 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })𝑣 ∈ π‘ˆ))
169, 15mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })𝑣 ∈ π‘ˆ)
17 eldifsn 4752 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 }) ↔ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  0 ))
1817anbi1i 625 . . . . . 6 ((𝑣 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 }) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ↔ ((𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  0 ) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ))
19 anass 470 . . . . . 6 (((𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  0 ) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ↔ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (𝑣 β‰  0 ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ)))
2018, 19bitri 275 . . . . 5 ((𝑣 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 }) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ↔ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (𝑣 β‰  0 ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ)))
2120simprbi 498 . . . 4 ((𝑣 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 }) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑣 β‰  0 ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ))
2221ancomd 463 . . 3 ((𝑣 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 }) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑣 β‰  0 ))
2322reximi2 3083 . 2 (βˆƒπ‘£ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })𝑣 ∈ π‘ˆ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ π‘ˆ 𝑣 β‰  0 )
2416, 23syl 17 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ π‘ˆ 𝑣 β‰  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆƒwrex 3074   βˆ– cdif 3912  {csn 4591  β€˜cfv 6501  Basecbs 17090  0gc0g 17328  LModclmod 20338  LSpanclspn 20448  LSAtomsclsa 37465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-lsatoms 37467
This theorem is referenced by:  dvh1dim  39934  dochkr1  39970  dochkr1OLDN  39971  lcfrlem40  40074
  Copyright terms: Public domain W3C validator