Theorem lsateln0 38995

Description: A 1-dim subspace (atom) (of a left module or left vector space) contains a nonzero vector. (Contributed by NM, 2-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsateln0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsateln0.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsateln0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lsateln0.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lsateln0	⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ 𝑈 𝑣 ≠ 0 )

Distinct variable groups:   𝑣,𝑈   𝑣,𝑊   𝑣, 0   𝜑,𝑣

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑣)

Proof of Theorem lsateln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsateln0.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
2		lsateln0.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
5		lsateln0.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
6		lsateln0.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
7	3, 4, 5, 6	islsat 38991	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
8	2, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
9	1, 8	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
10		eldifi 4097	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
11	3, 4	lspsnid 20906	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑣 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
12	2, 10, 11	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑣 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
13		eleq2 2818	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑣 ∈ 𝑈 ↔ 𝑣 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
14	12, 13	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑣 ∈ 𝑈))
15	14	reximdva 3147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑣 ∈ 𝑈))
16	9, 15	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑣 ∈ 𝑈)
17		eldifsn 4753	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ 0 ))
18	17	anbi1i 624	. . . . . 6 ⊢ ((𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ↔ ((𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ 0 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈))
19		anass 468	. . . . . 6 ⊢ (((𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ 0 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑣 ≠ 0 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)))
20	18, 19	bitri 275	. . . . 5 ⊢ ((𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑣 ≠ 0 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)))
21	20	simprbi 496	. . . 4 ⊢ ((𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → (𝑣 ≠ 0 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈))
22	21	ancomd 461	. . 3 ⊢ ((𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → (𝑣 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ≠ 0 ))
23	22	reximi2 3063	. 2 ⊢ (∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑣 ∈ 𝑈 → ∃𝑣 ∈ 𝑈 𝑣 ≠ 0 )
24	16, 23	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ 𝑈 𝑣 ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∃wrex 3054   ∖ cdif 3914  {csn 4592  ‘cfv 6514  Basecbs 17186  0_gc0g 17409  LModclmod 20773  LSpanclspn 20884  LSAtomsclsa 38974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-lsp 20885  df-lsatoms 38976

This theorem is referenced by:  dvh1dim  41443  dochkr1  41479  dochkr1OLDN  41480  lcfrlem40  41583