Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsateln0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsateln0 34972
Description: A 1-dim subspace (atom) (of a left module or left vector space) contains a nonzero vector. (Contributed by NM, 2-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsateln0.z 0 = (0g𝑊)
lsateln0.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsateln0.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lsateln0.u (𝜑𝑈𝐴)
Assertion
Ref Expression
lsateln0 (𝜑 → ∃𝑣𝑈 𝑣0 )
Distinct variable groups:   𝑣,𝑈   𝑣,𝑊   𝑣, 0   𝜑,𝑣
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑣)

Proof of Theorem lsateln0
StepHypRef Expression
1 lsateln0.u . . . 4 (𝜑𝑈𝐴)
2 lsateln0.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
3 eqid 2765 . . . . . 6 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4 eqid 2765 . . . . . 6 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
5 lsateln0.z . . . . . 6 0 = (0g𝑊)
6 lsateln0.a . . . . . 6 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
73, 4, 5, 6islsat 34968 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → (𝑈𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
82, 7syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑈𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
91, 8mpbid 223 . . 3 (𝜑 → ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
10 eldifi 3896 . . . . . 6 (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
113, 4lspsnid 19279 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑣 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
122, 10, 11syl2an 589 . . . . 5 ((𝜑𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑣 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
13 eleq2 2833 . . . . 5 (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑣𝑈𝑣 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
1412, 13syl5ibrcom 238 . . . 4 ((𝜑𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑣𝑈))
1514reximdva 3163 . . 3 (𝜑 → (∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑣𝑈))
169, 15mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑣𝑈)
17 eldifsn 4474 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣0 ))
1817anbi1i 617 . . . . . 6 ((𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑣𝑈) ↔ ((𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣0 ) ∧ 𝑣𝑈))
19 anass 460 . . . . . 6 (((𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣0 ) ∧ 𝑣𝑈) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑣0𝑣𝑈)))
2018, 19bitri 266 . . . . 5 ((𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑣𝑈) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑣0𝑣𝑈)))
2120simprbi 490 . . . 4 ((𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑣𝑈) → (𝑣0𝑣𝑈))
2221ancomd 453 . . 3 ((𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑣𝑈) → (𝑣𝑈𝑣0 ))
2322reximi2 3156 . 2 (∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑣𝑈 → ∃𝑣𝑈 𝑣0 )
2416, 23syl 17 1 (𝜑 → ∃𝑣𝑈 𝑣0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wrex 3056  cdif 3731  {csn 4336  cfv 6070  Basecbs 16144  0gc0g 16380  LModclmod 19146  LSpanclspn 19257  LSAtomsclsa 34951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-id 5187  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6807  df-ov 6849  df-0g 16382  df-mgm 17522  df-sgrp 17564  df-mnd 17575  df-grp 17706  df-lmod 19148  df-lss 19216  df-lsp 19258  df-lsatoms 34953
This theorem is referenced by:  dvh1dim  37419  dochkr1  37455  dochkr1OLDN  37456  lcfrlem40  37559
  Copyright terms: Public domain W3C validator