Theorem lsateln0 38997

Description: A 1-dim subspace (atom) (of a left module or left vector space) contains a nonzero vector. (Contributed by NM, 2-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsateln0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsateln0.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsateln0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lsateln0.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lsateln0	⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ 𝑈 𝑣 ≠ 0 )

Distinct variable groups:   𝑣,𝑈   𝑣,𝑊   𝑣, 0   𝜑,𝑣

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑣)

Proof of Theorem lsateln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsateln0.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
2		lsateln0.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
5		lsateln0.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
6		lsateln0.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
7	3, 4, 5, 6	islsat 38993	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
8	2, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
9	1, 8	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
10		eldifi 4130	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
11	3, 4	lspsnid 20992	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑣 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
12	2, 10, 11	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑣 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
13		eleq2 2829	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑣 ∈ 𝑈 ↔ 𝑣 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
14	12, 13	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑣 ∈ 𝑈))
15	14	reximdva 3167	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑣 ∈ 𝑈))
16	9, 15	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑣 ∈ 𝑈)
17		eldifsn 4785	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ 0 ))
18	17	anbi1i 624	. . . . . 6 ⊢ ((𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ↔ ((𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ 0 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈))
19		anass 468	. . . . . 6 ⊢ (((𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ 0 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑣 ≠ 0 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)))
20	18, 19	bitri 275	. . . . 5 ⊢ ((𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑣 ≠ 0 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)))
21	20	simprbi 496	. . . 4 ⊢ ((𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → (𝑣 ≠ 0 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈))
22	21	ancomd 461	. . 3 ⊢ ((𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → (𝑣 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ≠ 0 ))
23	22	reximi2 3078	. 2 ⊢ (∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑣 ∈ 𝑈 → ∃𝑣 ∈ 𝑈 𝑣 ≠ 0 )
24	16, 23	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ 𝑈 𝑣 ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  ∃wrex 3069   ∖ cdif 3947  {csn 4625  ‘cfv 6560  Basecbs 17248  0_gc0g 17485  LModclmod 20859  LSpanclspn 20970  LSAtomsclsa 38976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-lsp 20971  df-lsatoms 38978

This theorem is referenced by:  dvh1dim  41445  dochkr1  41481  dochkr1OLDN  41482  lcfrlem40  41585