Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsateln0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsateln0 38997
Description: A 1-dim subspace (atom) (of a left module or left vector space) contains a nonzero vector. (Contributed by NM, 2-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsateln0.z 0 = (0g𝑊)
lsateln0.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsateln0.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lsateln0.u (𝜑𝑈𝐴)
Assertion
Ref Expression
lsateln0 (𝜑 → ∃𝑣𝑈 𝑣0 )
Distinct variable groups:   𝑣,𝑈   𝑣,𝑊   𝑣, 0   𝜑,𝑣
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑣)

Proof of Theorem lsateln0
StepHypRef Expression
1 lsateln0.u . . . 4 (𝜑𝑈𝐴)
2 lsateln0.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
3 eqid 2736 . . . . . 6 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4 eqid 2736 . . . . . 6 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
5 lsateln0.z . . . . . 6 0 = (0g𝑊)
6 lsateln0.a . . . . . 6 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
73, 4, 5, 6islsat 38993 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → (𝑈𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
82, 7syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑈𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
91, 8mpbid 232 . . 3 (𝜑 → ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
10 eldifi 4130 . . . . . 6 (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
113, 4lspsnid 20992 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑣 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
122, 10, 11syl2an 596 . . . . 5 ((𝜑𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑣 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
13 eleq2 2829 . . . . 5 (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑣𝑈𝑣 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
1412, 13syl5ibrcom 247 . . . 4 ((𝜑𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑣𝑈))
1514reximdva 3167 . . 3 (𝜑 → (∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑣𝑈))
169, 15mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑣𝑈)
17 eldifsn 4785 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣0 ))
1817anbi1i 624 . . . . . 6 ((𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑣𝑈) ↔ ((𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣0 ) ∧ 𝑣𝑈))
19 anass 468 . . . . . 6 (((𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣0 ) ∧ 𝑣𝑈) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑣0𝑣𝑈)))
2018, 19bitri 275 . . . . 5 ((𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑣𝑈) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑣0𝑣𝑈)))
2120simprbi 496 . . . 4 ((𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑣𝑈) → (𝑣0𝑣𝑈))
2221ancomd 461 . . 3 ((𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑣𝑈) → (𝑣𝑈𝑣0 ))
2322reximi2 3078 . 2 (∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑣𝑈 → ∃𝑣𝑈 𝑣0 )
2416, 23syl 17 1 (𝜑 → ∃𝑣𝑈 𝑣0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wrex 3069  cdif 3947  {csn 4625  cfv 6560  Basecbs 17248  0gc0g 17485  LModclmod 20859  LSpanclspn 20970  LSAtomsclsa 38976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-lsp 20971  df-lsatoms 38978
This theorem is referenced by:  dvh1dim  41445  dochkr1  41481  dochkr1OLDN  41482  lcfrlem40  41585
  Copyright terms: Public domain W3C validator