Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsateln0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsateln0 38378
Description: A 1-dim subspace (atom) (of a left module or left vector space) contains a nonzero vector. (Contributed by NM, 2-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsateln0.z 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lsateln0.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lsateln0.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lsateln0.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
lsateln0 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ π‘ˆ 𝑣 β‰  0 )
Distinct variable groups:   𝑣,π‘ˆ   𝑣,π‘Š   𝑣, 0   πœ‘,𝑣
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑣)

Proof of Theorem lsateln0
StepHypRef Expression
1 lsateln0.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
2 lsateln0.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
3 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
4 eqid 2726 . . . . . 6 (LSpanβ€˜π‘Š) = (LSpanβ€˜π‘Š)
5 lsateln0.z . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘Š)
6 lsateln0.a . . . . . 6 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
73, 4, 5, 6islsat 38374 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
82, 7syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
91, 8mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}))
10 eldifi 4121 . . . . . 6 (𝑣 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 }) β†’ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
113, 4lspsnid 20840 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑣 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}))
122, 10, 11syl2an 595 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) β†’ 𝑣 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}))
13 eleq2 2816 . . . . 5 (π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ (𝑣 ∈ π‘ˆ ↔ 𝑣 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
1412, 13syl5ibrcom 246 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) β†’ (π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ 𝑣 ∈ π‘ˆ))
1514reximdva 3162 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })𝑣 ∈ π‘ˆ))
169, 15mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })𝑣 ∈ π‘ˆ)
17 eldifsn 4785 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 }) ↔ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  0 ))
1817anbi1i 623 . . . . . 6 ((𝑣 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 }) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ↔ ((𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  0 ) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ))
19 anass 468 . . . . . 6 (((𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  0 ) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ↔ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (𝑣 β‰  0 ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ)))
2018, 19bitri 275 . . . . 5 ((𝑣 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 }) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ↔ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (𝑣 β‰  0 ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ)))
2120simprbi 496 . . . 4 ((𝑣 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 }) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑣 β‰  0 ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ))
2221ancomd 461 . . 3 ((𝑣 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 }) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑣 β‰  0 ))
2322reximi2 3073 . 2 (βˆƒπ‘£ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })𝑣 ∈ π‘ˆ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ π‘ˆ 𝑣 β‰  0 )
2416, 23syl 17 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ π‘ˆ 𝑣 β‰  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆƒwrex 3064   βˆ– cdif 3940  {csn 4623  β€˜cfv 6537  Basecbs 17153  0gc0g 17394  LModclmod 20706  LSpanclspn 20818  LSAtomsclsa 38357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lsatoms 38359
This theorem is referenced by:  dvh1dim  40826  dochkr1  40862  dochkr1OLDN  40863  lcfrlem40  40966
  Copyright terms: Public domain W3C validator