Theorem lsateln0 39487

Description: A 1-dim subspace (atom) (of a left module or left vector space) contains a nonzero vector. (Contributed by NM, 2-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsateln0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsateln0.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsateln0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lsateln0.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lsateln0	⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ 𝑈 𝑣 ≠ 0 )

Distinct variable groups:   𝑣,𝑈   𝑣,𝑊   𝑣, 0   𝜑,𝑣

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑣)

Proof of Theorem lsateln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsateln0.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
2		lsateln0.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
5		lsateln0.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
6		lsateln0.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
7	3, 4, 5, 6	islsat 39483	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
8	2, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
9	1, 8	mpbid 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
10		eldifi 4061	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
11	3, 4	lspsnid 20983	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑣 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
12	2, 10, 11	syl2an 602	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑣 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
13		eleq2 2828	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑣 ∈ 𝑈 ↔ 𝑣 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
14	12, 13	syl5ibrcom 248	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑣 ∈ 𝑈))
15	14	reximdva 3152	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑣 ∈ 𝑈))
16	9, 15	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑣 ∈ 𝑈)
17		eldifsn 4719	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ 0 ))
18	17	anbi1i 630	. . . . . 6 ⊢ ((𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ↔ ((𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ 0 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈))
19		anass 469	. . . . . 6 ⊢ (((𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ 0 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑣 ≠ 0 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)))
20	18, 19	bitri 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑣 ≠ 0 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)))
21	20	simprbi 498	. . . 4 ⊢ ((𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → (𝑣 ≠ 0 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈))
22	21	ancomd 462	. . 3 ⊢ ((𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → (𝑣 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ≠ 0 ))
23	22	reximi2 3072	. 2 ⊢ (∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑣 ∈ 𝑈 → ∃𝑣 ∈ 𝑈 𝑣 ≠ 0 )
24	16, 23	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ 𝑈 𝑣 ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∃wrex 3063   ∖ cdif 3880  {csn 4555  ‘cfv 6485  Basecbs 17170  0_gc0g 17393  LModclmod 20850  LSpanclspn 20961  LSAtomsclsa 39466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lsp 20962  df-lsatoms 39468

This theorem is referenced by:  dvh1dim  41934  dochkr1  41970  dochkr1OLDN  41971  lcfrlem40  42074