Theorem lsateln0 38507

Description: A 1-dim subspace (atom) (of a left module or left vector space) contains a nonzero vector. (Contributed by NM, 2-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsateln0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsateln0.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsateln0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lsateln0.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lsateln0	⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ 𝑈 𝑣 ≠ 0 )

Distinct variable groups:   𝑣,𝑈   𝑣,𝑊   𝑣, 0   𝜑,𝑣

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑣)

Proof of Theorem lsateln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsateln0.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
2		lsateln0.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
5		lsateln0.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
6		lsateln0.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
7	3, 4, 5, 6	islsat 38503	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
8	2, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
9	1, 8	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
10		eldifi 4127	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
11	3, 4	lspsnid 20891	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑣 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
12	2, 10, 11	syl2an 594	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑣 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
13		eleq2 2818	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑣 ∈ 𝑈 ↔ 𝑣 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
14	12, 13	syl5ibrcom 246	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑣 ∈ 𝑈))
15	14	reximdva 3165	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑣 ∈ 𝑈))
16	9, 15	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑣 ∈ 𝑈)
17		eldifsn 4795	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ 0 ))
18	17	anbi1i 622	. . . . . 6 ⊢ ((𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ↔ ((𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ 0 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈))
19		anass 467	. . . . . 6 ⊢ (((𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣 ≠ 0 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑣 ≠ 0 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)))
20	18, 19	bitri 274	. . . . 5 ⊢ ((𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑣 ≠ 0 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)))
21	20	simprbi 495	. . . 4 ⊢ ((𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → (𝑣 ≠ 0 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈))
22	21	ancomd 460	. . 3 ⊢ ((𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → (𝑣 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ≠ 0 ))
23	22	reximi2 3076	. 2 ⊢ (∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑣 ∈ 𝑈 → ∃𝑣 ∈ 𝑈 𝑣 ≠ 0 )
24	16, 23	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ 𝑈 𝑣 ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937  ∃wrex 3067   ∖ cdif 3946  {csn 4632  ‘cfv 6553  Basecbs 17189  0_gc0g 17430  LModclmod 20757  LSpanclspn 20869  LSAtomsclsa 38486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-0g 17432  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-grp 18907  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-lsp 20870  df-lsatoms 38488

This theorem is referenced by:  dvh1dim  40955  dochkr1  40991  dochkr1OLDN  40992  lcfrlem40  41095