Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmaprnlem16N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmaprnlem16N 39031
Description: Lemma for hdmaprnN 39033. Eliminate 𝑣. (Contributed by NM, 30-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmaprnlem15.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmaprnlem15.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem15.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmaprnlem15.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmaprnlem15.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem15.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmaprnlem15.q 0 = (0g𝐶)
hdmaprnlem15.l 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmaprnlem15.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem15.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem15.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmaprnlem16.se (𝜑𝑠 ∈ (𝐷 ∖ { 0 }))
Assertion
Ref Expression
hdmaprnlem16N (𝜑𝑠 ∈ ran 𝑆)

Proof of Theorem hdmaprnlem16N
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hdmaprnlem15.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmaprnlem15.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmaprnlem15.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3dvhlmod 38279 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
5 hdmaprnlem15.m . . . . 5 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
6 eqid 2820 . . . . 5 (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
7 hdmaprnlem15.c . . . . 5 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8 eqid 2820 . . . . 5 (LSAtoms‘𝐶) = (LSAtoms‘𝐶)
9 hdmaprnlem15.d . . . . . 6 𝐷 = (Base‘𝐶)
10 hdmaprnlem15.l . . . . . 6 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
11 hdmaprnlem15.q . . . . . 6 0 = (0g𝐶)
121, 7, 3lcdlmod 38761 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
13 hdmaprnlem16.se . . . . . 6 (𝜑𝑠 ∈ (𝐷 ∖ { 0 }))
149, 10, 11, 8, 12, 13lsatlspsn 36162 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘{𝑠}) ∈ (LSAtoms‘𝐶))
151, 5, 2, 6, 7, 8, 3, 14mapdcnvatN 38835 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝐿‘{𝑠})) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
16 hdmaprnlem15.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
17 hdmaprnlem15.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
1816, 17, 6islsati 36163 . . . 4 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑀‘(𝐿‘{𝑠})) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ∃𝑣𝑉 (𝑀‘(𝐿‘{𝑠})) = (𝑁‘{𝑣}))
194, 15, 18syl2anc 586 . . 3 (𝜑 → ∃𝑣𝑉 (𝑀‘(𝐿‘{𝑠})) = (𝑁‘{𝑣}))
20 simpr 487 . . . . . . 7 (((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑀‘(𝐿‘{𝑠})) = (𝑁‘{𝑣})) → (𝑀‘(𝐿‘{𝑠})) = (𝑁‘{𝑣}))
2120fveq2d 6648 . . . . . 6 (((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑀‘(𝐿‘{𝑠})) = (𝑁‘{𝑣})) → (𝑀‘(𝑀‘(𝐿‘{𝑠}))) = (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})))
223ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑀‘(𝐿‘{𝑠})) = (𝑁‘{𝑣})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2313eldifad 3924 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑠𝐷)
24 eqid 2820 . . . . . . . . . . 11 (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
259, 24, 10lspsncl 19722 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝑠𝐷) → (𝐿‘{𝑠}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
2612, 23, 25syl2anc 586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐿‘{𝑠}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
271, 5, 7, 24, 3mapdrn2 38820 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran 𝑀 = (LSubSp‘𝐶))
2826, 27eleqtrrd 2914 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐿‘{𝑠}) ∈ ran 𝑀)
2928ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑀‘(𝐿‘{𝑠})) = (𝑁‘{𝑣})) → (𝐿‘{𝑠}) ∈ ran 𝑀)
301, 5, 22, 29mapdcnvid2 38826 . . . . . 6 (((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑀‘(𝐿‘{𝑠})) = (𝑁‘{𝑣})) → (𝑀‘(𝑀‘(𝐿‘{𝑠}))) = (𝐿‘{𝑠}))
3121, 30eqtr3d 2857 . . . . 5 (((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑀‘(𝐿‘{𝑠})) = (𝑁‘{𝑣})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
3231ex 415 . . . 4 ((𝜑𝑣𝑉) → ((𝑀‘(𝐿‘{𝑠})) = (𝑁‘{𝑣}) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠})))
3332reximdva 3261 . . 3 (𝜑 → (∃𝑣𝑉 (𝑀‘(𝐿‘{𝑠})) = (𝑁‘{𝑣}) → ∃𝑣𝑉 (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠})))
3419, 33mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑣𝑉 (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
35 hdmaprnlem15.s . . . 4 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
3633ad2ant1 1129 . . . 4 ((𝜑𝑣𝑉 ∧ (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
37133ad2ant1 1129 . . . 4 ((𝜑𝑣𝑉 ∧ (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠})) → 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ { 0 }))
38 simp2 1133 . . . 4 ((𝜑𝑣𝑉 ∧ (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠})) → 𝑣𝑉)
39 simp3 1134 . . . 4 ((𝜑𝑣𝑉 ∧ (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
401, 2, 16, 17, 7, 9, 11, 10, 5, 35, 36, 37, 38, 39hdmaprnlem15N 39030 . . 3 ((𝜑𝑣𝑉 ∧ (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠})) → 𝑠 ∈ ran 𝑆)
4140rexlimdv3a 3273 . 2 (𝜑 → (∃𝑣𝑉 (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}) → 𝑠 ∈ ran 𝑆))
4234, 41mpd 15 1 (𝜑𝑠 ∈ ran 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  w3a 1083   = wceq 1537  wcel 2114  wrex 3126  cdif 3909  {csn 4541  ccnv 5528  ran crn 5530  cfv 6329  Basecbs 16459  0gc0g 16689  LModclmod 19607  LSubSpclss 19676  LSpanclspn 19716  LSAtomsclsa 36143  HLchlt 36519  LHypclh 37153  DVecHcdvh 38247  LCDualclcd 38755  mapdcmpd 38793  HDMapchdma 38961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5240  ax-pr 5304  ax-un 7437  ax-cnex 10569  ax-resscn 10570  ax-1cn 10571  ax-icn 10572  ax-addcl 10573  ax-addrcl 10574  ax-mulcl 10575  ax-mulrcl 10576  ax-mulcom 10577  ax-addass 10578  ax-mulass 10579  ax-distr 10580  ax-i2m1 10581  ax-1ne0 10582  ax-1rid 10583  ax-rnegex 10584  ax-rrecex 10585  ax-cnre 10586  ax-pre-lttri 10587  ax-pre-lttrn 10588  ax-pre-ltadd 10589  ax-pre-mulgt0 10590  ax-riotaBAD 36122
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3915  df-un 3917  df-in 3919  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4268  df-if 4442  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-ot 4550  df-uni 4813  df-int 4851  df-iun 4895  df-iin 4896  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6122  df-ord 6168  df-on 6169  df-lim 6170  df-suc 6171  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-riota 7089  df-ov 7134  df-oprab 7135  df-mpo 7136  df-of 7385  df-om 7557  df-1st 7665  df-2nd 7666  df-tpos 7868  df-undef 7915  df-wrecs 7923  df-recs 7984  df-rdg 8022  df-1o 8078  df-oadd 8082  df-er 8265  df-map 8384  df-en 8486  df-dom 8487  df-sdom 8488  df-fin 8489  df-pnf 10653  df-mnf 10654  df-xr 10655  df-ltxr 10656  df-le 10657  df-sub 10848  df-neg 10849  df-nn 11615  df-2 11677  df-3 11678  df-4 11679  df-5 11680  df-6 11681  df-n0 11875  df-z 11959  df-uz 12221  df-fz 12875  df-struct 16461  df-ndx 16462  df-slot 16463  df-base 16465  df-sets 16466  df-ress 16467  df-plusg 16554  df-mulr 16555  df-sca 16557  df-vsca 16558  df-0g 16691  df-mre 16833  df-mrc 16834  df-acs 16836  df-proset 17514  df-poset 17532  df-plt 17544  df-lub 17560  df-glb 17561  df-join 17562  df-meet 17563  df-p0 17625  df-p1 17626  df-lat 17632  df-clat 17694  df-mgm 17828  df-sgrp 17877  df-mnd 17888  df-submnd 17933  df-grp 18082  df-minusg 18083  df-sbg 18084  df-subg 18252  df-cntz 18423  df-oppg 18450  df-lsm 18737  df-cmn 18884  df-abl 18885  df-mgp 19216  df-ur 19228  df-ring 19275  df-oppr 19349  df-dvdsr 19367  df-unit 19368  df-invr 19398  df-dvr 19409  df-drng 19477  df-lmod 19609  df-lss 19677  df-lsp 19717  df-lvec 19848  df-lsatoms 36145  df-lshyp 36146  df-lcv 36188  df-lfl 36227  df-lkr 36255  df-ldual 36293  df-oposet 36345  df-ol 36347  df-oml 36348  df-covers 36435  df-ats 36436  df-atl 36467  df-cvlat 36491  df-hlat 36520  df-llines 36667  df-lplanes 36668  df-lvols 36669  df-lines 36670  df-psubsp 36672  df-pmap 36673  df-padd 36965  df-lhyp 37157  df-laut 37158  df-ldil 37273  df-ltrn 37274  df-trl 37328  df-tgrp 37912  df-tendo 37924  df-edring 37926  df-dveca 38172  df-disoa 38198  df-dvech 38248  df-dib 38308  df-dic 38342  df-dih 38398  df-doch 38517  df-djh 38564  df-lcdual 38756  df-mapd 38794  df-hvmap 38926  df-hdmap1 38962  df-hdmap 38963
This theorem is referenced by:  hdmaprnlem17N  39032
  Copyright terms: Public domain W3C validator