Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatlspsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatlspsn 36009
Description: The span of a nonzero singleton is an atom. (Contributed by NM, 16-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatset.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsatset.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsatset.z 0 = (0g𝑊)
lsatset.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatlspsn.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lsatlspsn.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
Assertion
Ref Expression
lsatlspsn (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lsatlspsn
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsatlspsn.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2 eqid 2818 . . 3 (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑋})
3 sneq 4567 . . . . 5 (𝑣 = 𝑋 → {𝑣} = {𝑋})
43fveq2d 6667 . . . 4 (𝑣 = 𝑋 → (𝑁‘{𝑣}) = (𝑁‘{𝑋}))
54rspceeqv 3635 . . 3 ((𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑋})) → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑣}))
61, 2, 5sylancl 586 . 2 (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑣}))
7 lsatlspsn.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
8 lsatset.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
9 lsatset.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
10 lsatset.z . . . 4 0 = (0g𝑊)
11 lsatset.a . . . 4 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
128, 9, 10, 11islsat 36007 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → ((𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑣})))
137, 12syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑣})))
146, 13mpbird 258 1 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207   = wceq 1528  wcel 2105  wrex 3136  cdif 3930  {csn 4557  cfv 6348  Basecbs 16471  0gc0g 16701  LModclmod 19563  LSpanclspn 19672  LSAtomsclsa 35990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-fv 6356  df-lsatoms 35992
This theorem is referenced by:  lsatspn0  36016  dvh4dimlem  38459  dochsnshp  38469  lclkrlem2a  38523  lclkrlem2c  38525  lclkrlem2e  38527  lcfrlem20  38578  mapdrvallem2  38661  mapdpglem20  38707  mapdpglem30a  38711  mapdpglem30b  38712  hdmaprnlem3eN  38874  hdmaprnlem16N  38878
  Copyright terms: Public domain W3C validator