Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatlspsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatlspsn 35141
Description: The span of a nonzero singleton is an atom. (Contributed by NM, 16-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatset.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsatset.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsatset.z 0 = (0g𝑊)
lsatset.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatlspsn.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lsatlspsn.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
Assertion
Ref Expression
lsatlspsn (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lsatlspsn
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsatlspsn.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2 eqid 2777 . . 3 (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑋})
3 sneq 4407 . . . . 5 (𝑣 = 𝑋 → {𝑣} = {𝑋})
43fveq2d 6450 . . . 4 (𝑣 = 𝑋 → (𝑁‘{𝑣}) = (𝑁‘{𝑋}))
54rspceeqv 3528 . . 3 ((𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑋})) → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑣}))
61, 2, 5sylancl 580 . 2 (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑣}))
7 lsatlspsn.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
8 lsatset.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
9 lsatset.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
10 lsatset.z . . . 4 0 = (0g𝑊)
11 lsatset.a . . . 4 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
128, 9, 10, 11islsat 35139 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → ((𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑣})))
137, 12syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑣})))
146, 13mpbird 249 1 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198   = wceq 1601  wcel 2106  wrex 3090  cdif 3788  {csn 4397  cfv 6135  Basecbs 16255  0gc0g 16486  LModclmod 19255  LSpanclspn 19366  LSAtomsclsa 35122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-fv 6143  df-lsatoms 35124
This theorem is referenced by:  lsatspn0  35148  dvh4dimlem  37591  dochsnshp  37601  lclkrlem2a  37655  lclkrlem2c  37657  lclkrlem2e  37659  lcfrlem20  37710  mapdrvallem2  37793  mapdpglem20  37839  mapdpglem30a  37843  mapdpglem30b  37844  hdmaprnlem3eN  38006  hdmaprnlem16N  38010
  Copyright terms: Public domain W3C validator