Theorem lsatlspsn 37033

Description: The span of a nonzero singleton is an atom. (Contributed by NM, 16-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatset.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsatset.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsatset.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatset.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatlspsn.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lsatlspsn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
lsatlspsn	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lsatlspsn

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatlspsn.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2		eqid 2733	. . 3 ⊢ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑋})
3		sneq 4574	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → {𝑣} = {𝑋})
4	3	fveq2d 6796	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → (𝑁‘{𝑣}) = (𝑁‘{𝑋}))
5	4	rspceeqv 3577	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑋})) → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑣}))
6	1, 2, 5	sylancl 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑣}))
7		lsatlspsn.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
8		lsatset.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9		lsatset.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
10		lsatset.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
11		lsatset.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
12	8, 9, 10, 11	islsat 37031	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑣})))
13	7, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑣})))
14	6, 13	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1537   ∈ wcel 2101  ∃wrex 3068   ∖ cdif 3886  {csn 4564  ‘cfv 6447  Basecbs 16940  0_gc0g 17178  LModclmod 20151  LSpanclspn 20261  LSAtomsclsa 37014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3224  df-v 3436  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-id 5491  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-fv 6455  df-lsatoms 37016

This theorem is referenced by:  lsatspn0  37040  dvh4dimlem  39483  dochsnshp  39493  lclkrlem2a  39547  lclkrlem2c  39549  lclkrlem2e  39551  lcfrlem20  39602  mapdrvallem2  39685  mapdpglem20  39731  mapdpglem30a  39735  mapdpglem30b  39736  hdmaprnlem3eN  39898  hdmaprnlem16N  39902