Theorem lsatlspsn 36934

Description: The span of a nonzero singleton is an atom. (Contributed by NM, 16-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatset.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsatset.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsatset.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatset.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatlspsn.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lsatlspsn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
lsatlspsn	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lsatlspsn

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatlspsn.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑋})
3		sneq 4568	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → {𝑣} = {𝑋})
4	3	fveq2d 6760	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → (𝑁‘{𝑣}) = (𝑁‘{𝑋}))
5	4	rspceeqv 3567	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑋})) → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑣}))
6	1, 2, 5	sylancl 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑣}))
7		lsatlspsn.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
8		lsatset.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9		lsatset.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
10		lsatset.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
11		lsatset.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
12	8, 9, 10, 11	islsat 36932	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑣})))
13	7, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑣})))
14	6, 13	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064   ∖ cdif 3880  {csn 4558  ‘cfv 6418  Basecbs 16840  0_gc0g 17067  LModclmod 20038  LSpanclspn 20148  LSAtomsclsa 36915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426  df-lsatoms 36917

This theorem is referenced by:  lsatspn0  36941  dvh4dimlem  39384  dochsnshp  39394  lclkrlem2a  39448  lclkrlem2c  39450  lclkrlem2e  39452  lcfrlem20  39503  mapdrvallem2  39586  mapdpglem20  39632  mapdpglem30a  39636  mapdpglem30b  39637  hdmaprnlem3eN  39799  hdmaprnlem16N  39803