Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatlspsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatlspsn 36288
Description: The span of a nonzero singleton is an atom. (Contributed by NM, 16-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatset.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsatset.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsatset.z 0 = (0g𝑊)
lsatset.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatlspsn.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lsatlspsn.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
Assertion
Ref Expression
lsatlspsn (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lsatlspsn
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsatlspsn.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2 eqid 2801 . . 3 (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑋})
3 sneq 4538 . . . . 5 (𝑣 = 𝑋 → {𝑣} = {𝑋})
43fveq2d 6653 . . . 4 (𝑣 = 𝑋 → (𝑁‘{𝑣}) = (𝑁‘{𝑋}))
54rspceeqv 3589 . . 3 ((𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑋})) → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑣}))
61, 2, 5sylancl 589 . 2 (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑣}))
7 lsatlspsn.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
8 lsatset.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
9 lsatset.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
10 lsatset.z . . . 4 0 = (0g𝑊)
11 lsatset.a . . . 4 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
128, 9, 10, 11islsat 36286 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → ((𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑣})))
137, 12syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑣})))
146, 13mpbird 260 1 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209   = wceq 1538  wcel 2112  wrex 3110  cdif 3881  {csn 4528  cfv 6328  Basecbs 16479  0gc0g 16709  LModclmod 19631  LSpanclspn 19740  LSAtomsclsa 36269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-fv 6336  df-lsatoms 36271
This theorem is referenced by:  lsatspn0  36295  dvh4dimlem  38738  dochsnshp  38748  lclkrlem2a  38802  lclkrlem2c  38804  lclkrlem2e  38806  lcfrlem20  38857  mapdrvallem2  38940  mapdpglem20  38986  mapdpglem30a  38990  mapdpglem30b  38991  hdmaprnlem3eN  39153  hdmaprnlem16N  39157
  Copyright terms: Public domain W3C validator