Theorem lsatlspsn 38986

Description: The span of a nonzero singleton is an atom. (Contributed by NM, 16-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatset.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsatset.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsatset.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatset.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatlspsn.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lsatlspsn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
lsatlspsn	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lsatlspsn

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatlspsn.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑋})
3		sneq 4599	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → {𝑣} = {𝑋})
4	3	fveq2d 6862	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → (𝑁‘{𝑣}) = (𝑁‘{𝑋}))
5	4	rspceeqv 3611	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑋})) → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑣}))
6	1, 2, 5	sylancl 586	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑣}))
7		lsatlspsn.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
8		lsatset.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9		lsatset.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
10		lsatset.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
11		lsatset.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
12	8, 9, 10, 11	islsat 38984	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑣})))
13	7, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑣})))
14	6, 13	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ∖ cdif 3911  {csn 4589  ‘cfv 6511  Basecbs 17179  0_gc0g 17402  LModclmod 20766  LSpanclspn 20877  LSAtomsclsa 38967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fv 6519  df-lsatoms 38969

This theorem is referenced by:  lsatspn0  38993  dvh4dimlem  41437  dochsnshp  41447  lclkrlem2a  41501  lclkrlem2c  41503  lclkrlem2e  41505  lcfrlem20  41556  mapdrvallem2  41639  mapdpglem20  41685  mapdpglem30a  41689  mapdpglem30b  41690  hdmaprnlem3eN  41852  hdmaprnlem16N  41856