Theorem lsatlspsn 39031

Description: The span of a nonzero singleton is an atom. (Contributed by NM, 16-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatset.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsatset.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsatset.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatset.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatlspsn.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lsatlspsn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
lsatlspsn	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lsatlspsn

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatlspsn.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑋})
3		sneq 4586	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → {𝑣} = {𝑋})
4	3	fveq2d 6826	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → (𝑁‘{𝑣}) = (𝑁‘{𝑋}))
5	4	rspceeqv 3600	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑋})) → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑣}))
6	1, 2, 5	sylancl 586	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑣}))
7		lsatlspsn.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
8		lsatset.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9		lsatset.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
10		lsatset.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
11		lsatset.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
12	8, 9, 10, 11	islsat 39029	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑣})))
13	7, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑣})))
14	6, 13	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056   ∖ cdif 3899  {csn 4576  ‘cfv 6481  Basecbs 17117  0_gc0g 17340  LModclmod 20791  LSpanclspn 20902  LSAtomsclsa 39012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-lsatoms 39014

This theorem is referenced by:  lsatspn0  39038  dvh4dimlem  41481  dochsnshp  41491  lclkrlem2a  41545  lclkrlem2c  41547  lclkrlem2e  41549  lcfrlem20  41600  mapdrvallem2  41683  mapdpglem20  41729  mapdpglem30a  41733  mapdpglem30b  41734  hdmaprnlem3eN  41896  hdmaprnlem16N  41900