Theorem lsatlspsn 39629

Description: The span of a nonzero singleton is an atom. (Contributed by NM, 16-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatset.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsatset.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsatset.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatset.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatlspsn.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lsatlspsn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
lsatlspsn	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lsatlspsn

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatlspsn.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2		eqid 2765	. . 3 ⊢ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑋})
3		sneq 4595	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → {𝑣} = {𝑋})
4	3	fveq2d 6875	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → (𝑁‘{𝑣}) = (𝑁‘{𝑋}))
5	4	rspceeqv 3607	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑋})) → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑣}))
6	1, 2, 5	sylancl 597	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑣}))
7		lsatlspsn.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
8		lsatset.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9		lsatset.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
10		lsatset.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
11		lsatset.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
12	8, 9, 10, 11	islsat 39627	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑣})))
13	7, 12	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑣})))
14	6, 13	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3089   ∖ cdif 3904  {csn 4585  ‘cfv 6525  Basecbs 17259  0_gc0g 17482  LModclmod 20950  LSpanclspn 21061  LSAtomsclsa 39610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-fv 6533  df-lsatoms 39612

This theorem is referenced by:  lsatspn0  39636  dvh4dimlem  42079  dochsnshp  42089  lclkrlem2a  42143  lclkrlem2c  42145  lclkrlem2e  42147  lcfrlem20  42198  mapdrvallem2  42281  mapdpglem20  42327  mapdpglem30a  42331  mapdpglem30b  42332  hdmaprnlem3eN  42494  hdmaprnlem16N  42498