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Theorem fnwelem 8111
Description: Lemma for fnwe 8112. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fnwe.1 𝑇 = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ((πΉβ€˜π‘₯)𝑅(πΉβ€˜π‘¦) ∨ ((πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘¦) ∧ π‘₯𝑆𝑦)))}
fnwe.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
fnwe.3 (πœ‘ β†’ 𝑅 We 𝐡)
fnwe.4 (πœ‘ β†’ 𝑆 We 𝐴)
fnwe.5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ 𝑀) ∈ V)
fnwelem.6 𝑄 = {βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© ∣ ((𝑒 ∈ (𝐡 Γ— 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ (𝐡 Γ— 𝐴)) ∧ ((1st β€˜π‘’)𝑅(1st β€˜π‘£) ∨ ((1st β€˜π‘’) = (1st β€˜π‘£) ∧ (2nd β€˜π‘’)𝑆(2nd β€˜π‘£))))}
fnwelem.7 𝐺 = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘§), π‘§βŸ©)
Assertion
Ref Expression
fnwelem (πœ‘ β†’ 𝑇 We 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑣,𝑒,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐴   𝑒,𝐡,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,𝐺,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑀,π‘₯,𝑧   𝑒,𝐹,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,𝑄,π‘₯,𝑦   𝑒,𝑅,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦   𝑒,𝑆,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦   𝑀,𝑇
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,𝑣,𝑒)   𝑄(𝑧,𝑣,𝑒)   𝑅(𝑧)   𝑆(𝑧)   𝑇(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑣,𝑒)   𝐺(𝑧,𝑣,𝑒)

Proof of Theorem fnwelem
StepHypRef Expression
1 fnwe.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
2 ffvelcdm 7073 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝐡)
3 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
42, 3opelxpd 5705 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ⟨(πΉβ€˜π‘§), π‘§βŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐴))
5 fnwelem.7 . . . . 5 𝐺 = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘§), π‘§βŸ©)
64, 5fmptd 7105 . . . 4 (𝐹:𝐴⟢𝐡 β†’ 𝐺:𝐴⟢(𝐡 Γ— 𝐴))
7 frn 6714 . . . 4 (𝐺:𝐴⟢(𝐡 Γ— 𝐴) β†’ ran 𝐺 βŠ† (𝐡 Γ— 𝐴))
81, 6, 73syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ ran 𝐺 βŠ† (𝐡 Γ— 𝐴))
9 fnwe.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 We 𝐡)
10 fnwe.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 We 𝐴)
11 fnwelem.6 . . . . 5 𝑄 = {βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© ∣ ((𝑒 ∈ (𝐡 Γ— 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ (𝐡 Γ— 𝐴)) ∧ ((1st β€˜π‘’)𝑅(1st β€˜π‘£) ∨ ((1st β€˜π‘’) = (1st β€˜π‘£) ∧ (2nd β€˜π‘’)𝑆(2nd β€˜π‘£))))}
1211wexp 8110 . . . 4 ((𝑅 We 𝐡 ∧ 𝑆 We 𝐴) β†’ 𝑄 We (𝐡 Γ— 𝐴))
139, 10, 12syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑄 We (𝐡 Γ— 𝐴))
14 wess 5653 . . 3 (ran 𝐺 βŠ† (𝐡 Γ— 𝐴) β†’ (𝑄 We (𝐡 Γ— 𝐴) β†’ 𝑄 We ran 𝐺))
158, 13, 14sylc 65 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑄 We ran 𝐺)
16 fveq2 6881 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘₯))
17 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = π‘₯ β†’ 𝑧 = π‘₯)
1816, 17opeq12d 4873 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = π‘₯ β†’ ⟨(πΉβ€˜π‘§), π‘§βŸ© = ⟨(πΉβ€˜π‘₯), π‘₯⟩)
19 opex 5454 . . . . . . . . . . 11 ⟨(πΉβ€˜π‘₯), π‘₯⟩ ∈ V
2018, 5, 19fvmpt 6988 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = ⟨(πΉβ€˜π‘₯), π‘₯⟩)
21 fveq2 6881 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘¦))
22 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑦 β†’ 𝑧 = 𝑦)
2321, 22opeq12d 4873 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 β†’ ⟨(πΉβ€˜π‘§), π‘§βŸ© = ⟨(πΉβ€˜π‘¦), π‘¦βŸ©)
24 opex 5454 . . . . . . . . . . 11 ⟨(πΉβ€˜π‘¦), π‘¦βŸ© ∈ V
2523, 5, 24fvmpt 6988 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ (πΊβ€˜π‘¦) = ⟨(πΉβ€˜π‘¦), π‘¦βŸ©)
2620, 25eqeqan12d 2738 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘¦) ↔ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), π‘₯⟩ = ⟨(πΉβ€˜π‘¦), π‘¦βŸ©))
27 fvex 6894 . . . . . . . . . . 11 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ V
28 vex 3470 . . . . . . . . . . 11 π‘₯ ∈ V
2927, 28opth 5466 . . . . . . . . . 10 (⟨(πΉβ€˜π‘₯), π‘₯⟩ = ⟨(πΉβ€˜π‘¦), π‘¦βŸ© ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘¦) ∧ π‘₯ = 𝑦))
3029simprbi 496 . . . . . . . . 9 (⟨(πΉβ€˜π‘₯), π‘₯⟩ = ⟨(πΉβ€˜π‘¦), π‘¦βŸ© β†’ π‘₯ = 𝑦)
3126, 30biimtrdi 252 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = 𝑦))
3231rgen2 3189 . . . . . . 7 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = 𝑦)
33 dff13 7246 . . . . . . 7 (𝐺:𝐴–1-1β†’(𝐡 Γ— 𝐴) ↔ (𝐺:𝐴⟢(𝐡 Γ— 𝐴) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
346, 32, 33sylanblrc 589 . . . . . 6 (𝐹:𝐴⟢𝐡 β†’ 𝐺:𝐴–1-1β†’(𝐡 Γ— 𝐴))
35 f1f1orn 6834 . . . . . 6 (𝐺:𝐴–1-1β†’(𝐡 Γ— 𝐴) β†’ 𝐺:𝐴–1-1-ontoβ†’ran 𝐺)
36 f1ocnv 6835 . . . . . 6 (𝐺:𝐴–1-1-ontoβ†’ran 𝐺 β†’ ◑𝐺:ran 𝐺–1-1-onto→𝐴)
371, 34, 35, 364syl 19 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ◑𝐺:ran 𝐺–1-1-onto→𝐴)
38 eqid 2724 . . . . . . 7 {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (β—‘β—‘πΊβ€˜π‘₯)𝑄(β—‘β—‘πΊβ€˜π‘¦))} = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (β—‘β—‘πΊβ€˜π‘₯)𝑄(β—‘β—‘πΊβ€˜π‘¦))}
3938f1oiso2 7341 . . . . . 6 (◑𝐺:ran 𝐺–1-1-onto→𝐴 β†’ ◑𝐺 Isom 𝑄, {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (β—‘β—‘πΊβ€˜π‘₯)𝑄(β—‘β—‘πΊβ€˜π‘¦))} (ran 𝐺, 𝐴))
40 fnwe.1 . . . . . . . 8 𝑇 = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ((πΉβ€˜π‘₯)𝑅(πΉβ€˜π‘¦) ∨ ((πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘¦) ∧ π‘₯𝑆𝑦)))}
41 frel 6712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺:𝐴⟢(𝐡 Γ— 𝐴) β†’ Rel 𝐺)
42 dfrel2 6178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Rel 𝐺 ↔ ◑◑𝐺 = 𝐺)
4341, 42sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺:𝐴⟢(𝐡 Γ— 𝐴) β†’ ◑◑𝐺 = 𝐺)
4443fveq1d 6883 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺:𝐴⟢(𝐡 Γ— 𝐴) β†’ (β—‘β—‘πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
4543fveq1d 6883 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺:𝐴⟢(𝐡 Γ— 𝐴) β†’ (β—‘β—‘πΊβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦))
4644, 45breq12d 5151 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺:𝐴⟢(𝐡 Γ— 𝐴) β†’ ((β—‘β—‘πΊβ€˜π‘₯)𝑄(β—‘β—‘πΊβ€˜π‘¦) ↔ (πΊβ€˜π‘₯)𝑄(πΊβ€˜π‘¦)))
476, 46syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐴⟢𝐡 β†’ ((β—‘β—‘πΊβ€˜π‘₯)𝑄(β—‘β—‘πΊβ€˜π‘¦) ↔ (πΊβ€˜π‘₯)𝑄(πΊβ€˜π‘¦)))
4847adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ ((β—‘β—‘πΊβ€˜π‘₯)𝑄(β—‘β—‘πΊβ€˜π‘¦) ↔ (πΊβ€˜π‘₯)𝑄(πΊβ€˜π‘¦)))
4920, 25breqan12d 5154 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯)𝑄(πΊβ€˜π‘¦) ↔ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), π‘₯βŸ©π‘„βŸ¨(πΉβ€˜π‘¦), π‘¦βŸ©))
5049adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯)𝑄(πΊβ€˜π‘¦) ↔ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), π‘₯βŸ©π‘„βŸ¨(πΉβ€˜π‘¦), π‘¦βŸ©))
51 eleq1 2813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 = ⟨(πΉβ€˜π‘₯), π‘₯⟩ β†’ (𝑒 ∈ (𝐡 Γ— 𝐴) ↔ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), π‘₯⟩ ∈ (𝐡 Γ— 𝐴)))
52 opelxp 5702 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⟨(πΉβ€˜π‘₯), π‘₯⟩ ∈ (𝐡 Γ— 𝐴) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴))
5351, 52bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = ⟨(πΉβ€˜π‘₯), π‘₯⟩ β†’ (𝑒 ∈ (𝐡 Γ— 𝐴) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)))
5453anbi1d 629 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = ⟨(πΉβ€˜π‘₯), π‘₯⟩ β†’ ((𝑒 ∈ (𝐡 Γ— 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ (𝐡 Γ— 𝐴)) ↔ (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ (𝐡 Γ— 𝐴))))
5527, 28op1std 7978 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 = ⟨(πΉβ€˜π‘₯), π‘₯⟩ β†’ (1st β€˜π‘’) = (πΉβ€˜π‘₯))
5655breq1d 5148 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = ⟨(πΉβ€˜π‘₯), π‘₯⟩ β†’ ((1st β€˜π‘’)𝑅(1st β€˜π‘£) ↔ (πΉβ€˜π‘₯)𝑅(1st β€˜π‘£)))
5755eqeq1d 2726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 = ⟨(πΉβ€˜π‘₯), π‘₯⟩ β†’ ((1st β€˜π‘’) = (1st β€˜π‘£) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) = (1st β€˜π‘£)))
5827, 28op2ndd 7979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 = ⟨(πΉβ€˜π‘₯), π‘₯⟩ β†’ (2nd β€˜π‘’) = π‘₯)
5958breq1d 5148 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 = ⟨(πΉβ€˜π‘₯), π‘₯⟩ β†’ ((2nd β€˜π‘’)𝑆(2nd β€˜π‘£) ↔ π‘₯𝑆(2nd β€˜π‘£)))
6057, 59anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = ⟨(πΉβ€˜π‘₯), π‘₯⟩ β†’ (((1st β€˜π‘’) = (1st β€˜π‘£) ∧ (2nd β€˜π‘’)𝑆(2nd β€˜π‘£)) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) = (1st β€˜π‘£) ∧ π‘₯𝑆(2nd β€˜π‘£))))
6156, 60orbi12d 915 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = ⟨(πΉβ€˜π‘₯), π‘₯⟩ β†’ (((1st β€˜π‘’)𝑅(1st β€˜π‘£) ∨ ((1st β€˜π‘’) = (1st β€˜π‘£) ∧ (2nd β€˜π‘’)𝑆(2nd β€˜π‘£))) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯)𝑅(1st β€˜π‘£) ∨ ((πΉβ€˜π‘₯) = (1st β€˜π‘£) ∧ π‘₯𝑆(2nd β€˜π‘£)))))
6254, 61anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = ⟨(πΉβ€˜π‘₯), π‘₯⟩ β†’ (((𝑒 ∈ (𝐡 Γ— 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ (𝐡 Γ— 𝐴)) ∧ ((1st β€˜π‘’)𝑅(1st β€˜π‘£) ∨ ((1st β€˜π‘’) = (1st β€˜π‘£) ∧ (2nd β€˜π‘’)𝑆(2nd β€˜π‘£)))) ↔ ((((πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ (𝐡 Γ— 𝐴)) ∧ ((πΉβ€˜π‘₯)𝑅(1st β€˜π‘£) ∨ ((πΉβ€˜π‘₯) = (1st β€˜π‘£) ∧ π‘₯𝑆(2nd β€˜π‘£))))))
63 eleq1 2813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = ⟨(πΉβ€˜π‘¦), π‘¦βŸ© β†’ (𝑣 ∈ (𝐡 Γ— 𝐴) ↔ ⟨(πΉβ€˜π‘¦), π‘¦βŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐴)))
64 opelxp 5702 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⟨(πΉβ€˜π‘¦), π‘¦βŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐴) ↔ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴))
6563, 64bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = ⟨(πΉβ€˜π‘¦), π‘¦βŸ© β†’ (𝑣 ∈ (𝐡 Γ— 𝐴) ↔ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)))
6665anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = ⟨(πΉβ€˜π‘¦), π‘¦βŸ© β†’ ((((πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ (𝐡 Γ— 𝐴)) ↔ (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴))))
67 fvex 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πΉβ€˜π‘¦) ∈ V
68 vex 3470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦 ∈ V
6967, 68op1std 7978 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = ⟨(πΉβ€˜π‘¦), π‘¦βŸ© β†’ (1st β€˜π‘£) = (πΉβ€˜π‘¦))
7069breq2d 5150 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = ⟨(πΉβ€˜π‘¦), π‘¦βŸ© β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝑅(1st β€˜π‘£) ↔ (πΉβ€˜π‘₯)𝑅(πΉβ€˜π‘¦)))
7169eqeq2d 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = ⟨(πΉβ€˜π‘¦), π‘¦βŸ© β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = (1st β€˜π‘£) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘¦)))
7267, 68op2ndd 7979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = ⟨(πΉβ€˜π‘¦), π‘¦βŸ© β†’ (2nd β€˜π‘£) = 𝑦)
7372breq2d 5150 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = ⟨(πΉβ€˜π‘¦), π‘¦βŸ© β†’ (π‘₯𝑆(2nd β€˜π‘£) ↔ π‘₯𝑆𝑦))
7471, 73anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = ⟨(πΉβ€˜π‘¦), π‘¦βŸ© β†’ (((πΉβ€˜π‘₯) = (1st β€˜π‘£) ∧ π‘₯𝑆(2nd β€˜π‘£)) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘¦) ∧ π‘₯𝑆𝑦)))
7570, 74orbi12d 915 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = ⟨(πΉβ€˜π‘¦), π‘¦βŸ© β†’ (((πΉβ€˜π‘₯)𝑅(1st β€˜π‘£) ∨ ((πΉβ€˜π‘₯) = (1st β€˜π‘£) ∧ π‘₯𝑆(2nd β€˜π‘£))) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯)𝑅(πΉβ€˜π‘¦) ∨ ((πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘¦) ∧ π‘₯𝑆𝑦))))
7666, 75anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = ⟨(πΉβ€˜π‘¦), π‘¦βŸ© β†’ (((((πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ (𝐡 Γ— 𝐴)) ∧ ((πΉβ€˜π‘₯)𝑅(1st β€˜π‘£) ∨ ((πΉβ€˜π‘₯) = (1st β€˜π‘£) ∧ π‘₯𝑆(2nd β€˜π‘£)))) ↔ ((((πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ ((πΉβ€˜π‘₯)𝑅(πΉβ€˜π‘¦) ∨ ((πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘¦) ∧ π‘₯𝑆𝑦)))))
7719, 24, 62, 76, 11brab 5533 . . . . . . . . . . . 12 (⟨(πΉβ€˜π‘₯), π‘₯βŸ©π‘„βŸ¨(πΉβ€˜π‘¦), π‘¦βŸ© ↔ ((((πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ ((πΉβ€˜π‘₯)𝑅(πΉβ€˜π‘¦) ∨ ((πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘¦) ∧ π‘₯𝑆𝑦))))
78 ffvelcdm 7073 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
79 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
8078, 79jca 511 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴))
81 ffvelcdm 7073 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝐡)
82 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
8381, 82jca 511 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴))
8480, 83anim12dan 618 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)))
8584biantrurd 532 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯)𝑅(πΉβ€˜π‘¦) ∨ ((πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘¦) ∧ π‘₯𝑆𝑦)) ↔ ((((πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ ((πΉβ€˜π‘₯)𝑅(πΉβ€˜π‘¦) ∨ ((πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘¦) ∧ π‘₯𝑆𝑦)))))
8677, 85bitr4id 290 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ (⟨(πΉβ€˜π‘₯), π‘₯βŸ©π‘„βŸ¨(πΉβ€˜π‘¦), π‘¦βŸ© ↔ ((πΉβ€˜π‘₯)𝑅(πΉβ€˜π‘¦) ∨ ((πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘¦) ∧ π‘₯𝑆𝑦))))
8748, 50, 863bitrrd 306 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯)𝑅(πΉβ€˜π‘¦) ∨ ((πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘¦) ∧ π‘₯𝑆𝑦)) ↔ (β—‘β—‘πΊβ€˜π‘₯)𝑄(β—‘β—‘πΊβ€˜π‘¦)))
8887pm5.32da 578 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴⟢𝐡 β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ((πΉβ€˜π‘₯)𝑅(πΉβ€˜π‘¦) ∨ ((πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘¦) ∧ π‘₯𝑆𝑦))) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (β—‘β—‘πΊβ€˜π‘₯)𝑄(β—‘β—‘πΊβ€˜π‘¦))))
8988opabbidv 5204 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴⟢𝐡 β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ((πΉβ€˜π‘₯)𝑅(πΉβ€˜π‘¦) ∨ ((πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘¦) ∧ π‘₯𝑆𝑦)))} = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (β—‘β—‘πΊβ€˜π‘₯)𝑄(β—‘β—‘πΊβ€˜π‘¦))})
9040, 89eqtrid 2776 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴⟢𝐡 β†’ 𝑇 = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (β—‘β—‘πΊβ€˜π‘₯)𝑄(β—‘β—‘πΊβ€˜π‘¦))})
91 isoeq3 7308 . . . . . . 7 (𝑇 = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (β—‘β—‘πΊβ€˜π‘₯)𝑄(β—‘β—‘πΊβ€˜π‘¦))} β†’ (◑𝐺 Isom 𝑄, 𝑇 (ran 𝐺, 𝐴) ↔ ◑𝐺 Isom 𝑄, {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (β—‘β—‘πΊβ€˜π‘₯)𝑄(β—‘β—‘πΊβ€˜π‘¦))} (ran 𝐺, 𝐴)))
9290, 91syl 17 . . . . . 6 (𝐹:𝐴⟢𝐡 β†’ (◑𝐺 Isom 𝑄, 𝑇 (ran 𝐺, 𝐴) ↔ ◑𝐺 Isom 𝑄, {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (β—‘β—‘πΊβ€˜π‘₯)𝑄(β—‘β—‘πΊβ€˜π‘¦))} (ran 𝐺, 𝐴)))
9339, 92imbitrrid 245 . . . . 5 (𝐹:𝐴⟢𝐡 β†’ (◑𝐺:ran 𝐺–1-1-onto→𝐴 β†’ ◑𝐺 Isom 𝑄, 𝑇 (ran 𝐺, 𝐴)))
941, 37, 93sylc 65 . . . 4 (πœ‘ β†’ ◑𝐺 Isom 𝑄, 𝑇 (ran 𝐺, 𝐴))
95 isocnv 7319 . . . 4 (◑𝐺 Isom 𝑄, 𝑇 (ran 𝐺, 𝐴) β†’ ◑◑𝐺 Isom 𝑇, 𝑄 (𝐴, ran 𝐺))
9694, 95syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ◑◑𝐺 Isom 𝑇, 𝑄 (𝐴, ran 𝐺))
97 imacnvcnv 6195 . . . . 5 (◑◑𝐺 β€œ 𝑀) = (𝐺 β€œ 𝑀)
98 fnwe.5 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ 𝑀) ∈ V)
99 vex 3470 . . . . . . 7 𝑀 ∈ V
100 xpexg 7730 . . . . . . 7 (((𝐹 β€œ 𝑀) ∈ V ∧ 𝑀 ∈ V) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑀) Γ— 𝑀) ∈ V)
10198, 99, 100sylancl 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β€œ 𝑀) Γ— 𝑀) ∈ V)
102 imadmres 6223 . . . . . . 7 (𝐺 β€œ dom (𝐺 β†Ύ 𝑀)) = (𝐺 β€œ 𝑀)
103 dmres 5993 . . . . . . . . . . 11 dom (𝐺 β†Ύ 𝑀) = (𝑀 ∩ dom 𝐺)
104103elin2 4189 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ dom (𝐺 β†Ύ 𝑀) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺))
105 simprr 770 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺)) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝐺)
106 f1dm 6781 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺:𝐴–1-1β†’(𝐡 Γ— 𝐴) β†’ dom 𝐺 = 𝐴)
1071, 34, 1063syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ dom 𝐺 = 𝐴)
108107adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺)) β†’ dom 𝐺 = 𝐴)
109105, 108eleqtrd 2827 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
110109, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = ⟨(πΉβ€˜π‘₯), π‘₯⟩)
1111ffnd 6708 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
112111adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺)) β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
113 dmres 5993 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom (𝐹 β†Ύ 𝑀) = (𝑀 ∩ dom 𝐹)
114 inss2 4221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∩ dom 𝐹) βŠ† dom 𝐹
115112fndmd 6644 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺)) β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
116114, 115sseqtrid 4026 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺)) β†’ (𝑀 ∩ dom 𝐹) βŠ† 𝐴)
117113, 116eqsstrid 4022 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺)) β†’ dom (𝐹 β†Ύ 𝑀) βŠ† 𝐴)
118 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑀)
119109, 115eleqtrrd 2828 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺)) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝐹)
120113elin2 4189 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝑀) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹))
121118, 119, 120sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺)) β†’ π‘₯ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝑀))
122 fnfvima 7226 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ dom (𝐹 β†Ύ 𝑀) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝑀)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐹 β€œ dom (𝐹 β†Ύ 𝑀)))
123112, 117, 121, 122syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐹 β€œ dom (𝐹 β†Ύ 𝑀)))
124 imadmres 6223 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 β€œ dom (𝐹 β†Ύ 𝑀)) = (𝐹 β€œ 𝑀)
125123, 124eleqtrdi 2835 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐹 β€œ 𝑀))
126125, 118opelxpd 5705 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺)) β†’ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), π‘₯⟩ ∈ ((𝐹 β€œ 𝑀) Γ— 𝑀))
127110, 126eqeltrd 2825 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐹 β€œ 𝑀) Γ— 𝑀))
128104, 127sylan2b 593 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom (𝐺 β†Ύ 𝑀)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐹 β€œ 𝑀) Γ— 𝑀))
129128ralrimiva 3138 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ dom (𝐺 β†Ύ 𝑀)(πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐹 β€œ 𝑀) Γ— 𝑀))
130 f1fun 6779 . . . . . . . . . 10 (𝐺:𝐴–1-1β†’(𝐡 Γ— 𝐴) β†’ Fun 𝐺)
1311, 34, 1303syl 18 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Fun 𝐺)
132 resss 5996 . . . . . . . . . 10 (𝐺 β†Ύ 𝑀) βŠ† 𝐺
133 dmss 5892 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 β†Ύ 𝑀) βŠ† 𝐺 β†’ dom (𝐺 β†Ύ 𝑀) βŠ† dom 𝐺)
134132, 133ax-mp 5 . . . . . . . . 9 dom (𝐺 β†Ύ 𝑀) βŠ† dom 𝐺
135 funimass4 6946 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐺 ∧ dom (𝐺 β†Ύ 𝑀) βŠ† dom 𝐺) β†’ ((𝐺 β€œ dom (𝐺 β†Ύ 𝑀)) βŠ† ((𝐹 β€œ 𝑀) Γ— 𝑀) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ dom (𝐺 β†Ύ 𝑀)(πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐹 β€œ 𝑀) Γ— 𝑀)))
136131, 134, 135sylancl 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐺 β€œ dom (𝐺 β†Ύ 𝑀)) βŠ† ((𝐹 β€œ 𝑀) Γ— 𝑀) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ dom (𝐺 β†Ύ 𝑀)(πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐹 β€œ 𝑀) Γ— 𝑀)))
137129, 136mpbird 257 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐺 β€œ dom (𝐺 β†Ύ 𝑀)) βŠ† ((𝐹 β€œ 𝑀) Γ— 𝑀))
138102, 137eqsstrrid 4023 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺 β€œ 𝑀) βŠ† ((𝐹 β€œ 𝑀) Γ— 𝑀))
139101, 138ssexd 5314 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺 β€œ 𝑀) ∈ V)
14097, 139eqeltrid 2829 . . . 4 (πœ‘ β†’ (◑◑𝐺 β€œ 𝑀) ∈ V)
141140alrimiv 1922 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€(◑◑𝐺 β€œ 𝑀) ∈ V)
142 isowe2 7339 . . 3 ((◑◑𝐺 Isom 𝑇, 𝑄 (𝐴, ran 𝐺) ∧ βˆ€π‘€(◑◑𝐺 β€œ 𝑀) ∈ V) β†’ (𝑄 We ran 𝐺 β†’ 𝑇 We 𝐴))
14396, 141, 142syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑄 We ran 𝐺 β†’ 𝑇 We 𝐴))
14415, 143mpd 15 1 (πœ‘ β†’ 𝑇 We 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844  βˆ€wal 1531   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  Vcvv 3466   ∩ cin 3939   βŠ† wss 3940  βŸ¨cop 4626   class class class wbr 5138  {copab 5200   ↦ cmpt 5221   We wwe 5620   Γ— cxp 5664  β—‘ccnv 5665  dom cdm 5666  ran crn 5667   β†Ύ cres 5668   β€œ cima 5669  Rel wrel 5671  Fun wfun 6527   Fn wfn 6528  βŸΆwf 6529  β€“1-1β†’wf1 6530  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6532  β€˜cfv 6533   Isom wiso 6534  1st c1st 7966  2nd c2nd 7967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-1st 7968  df-2nd 7969
This theorem is referenced by:  fnwe  8112
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