MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltweuz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltweuz 13011
Description: < is a well-founded relation on any sequence of upper integers. (Contributed by Andrew Salmon, 13-Nov-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ltweuz < We (ℤ𝐴)

Proof of Theorem ltweuz
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordom 7306 . . . . 5 Ord ω
2 ordwe 5952 . . . . 5 (Ord ω → E We ω)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 E We ω
4 rdgeq2 7745 . . . . . . . . 9 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0) → rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) = rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)))
54reseq1d 5597 . . . . . . . 8 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0) → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω))
6 isoeq1 6793 . . . . . . . 8 ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ𝐴)) ↔ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ𝐴))))
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ𝐴)) ↔ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ𝐴))))
8 fveq2 6409 . . . . . . . 8 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0) → (ℤ𝐴) = (ℤ‘if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)))
9 isoeq5 6797 . . . . . . . 8 ((ℤ𝐴) = (ℤ‘if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ𝐴)) ↔ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ‘if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)))))
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ𝐴)) ↔ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ‘if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)))))
11 0z 11673 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
1211elimel 4342 . . . . . . . 8 if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0) ∈ ℤ
13 eqid 2797 . . . . . . . 8 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω)
1412, 13om2uzisoi 13004 . . . . . . 7 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ‘if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)))
157, 10, 14dedth2v 4335 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ𝐴)))
16 isocnv 6806 . . . . . 6 ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ𝐴)) → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom < , E ((ℤ𝐴), ω))
1715, 16syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom < , E ((ℤ𝐴), ω))
18 dmres 5627 . . . . . . . 8 dom (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) = (ω ∩ dom rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴))
19 omex 8788 . . . . . . . . 9 ω ∈ V
2019inex1 4992 . . . . . . . 8 (ω ∩ dom rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴)) ∈ V
2118, 20eqeltri 2872 . . . . . . 7 dom (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) ∈ V
22 cnvimass 5700 . . . . . . 7 ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) “ 𝑦) ⊆ dom (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω)
2321, 22ssexi 4996 . . . . . 6 ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) “ 𝑦) ∈ V
2423ax-gen 1891 . . . . 5 𝑦((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) “ 𝑦) ∈ V
25 isowe2 6826 . . . . 5 (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom < , E ((ℤ𝐴), ω) ∧ ∀𝑦((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) “ 𝑦) ∈ V) → ( E We ω → < We (ℤ𝐴)))
2617, 24, 25sylancl 581 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → ( E We ω → < We (ℤ𝐴)))
273, 26mpi 20 . . 3 (𝐴 ∈ ℤ → < We (ℤ𝐴))
28 uzf 11929 . . . 4 :ℤ⟶𝒫 ℤ
2928fdmi 6264 . . 3 dom ℤ = ℤ
3027, 29eleq2s 2894 . 2 (𝐴 ∈ dom ℤ → < We (ℤ𝐴))
31 we0 5305 . . 3 < We ∅
32 ndmfv 6439 . . . 4 𝐴 ∈ dom ℤ → (ℤ𝐴) = ∅)
33 weeq2 5299 . . . 4 ((ℤ𝐴) = ∅ → ( < We (ℤ𝐴) ↔ < We ∅))
3432, 33syl 17 . . 3 𝐴 ∈ dom ℤ → ( < We (ℤ𝐴) ↔ < We ∅))
3531, 34mpbiri 250 . 2 𝐴 ∈ dom ℤ → < We (ℤ𝐴))
3630, 35pm2.61i 177 1 < We (ℤ𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wal 1651   = wceq 1653  wcel 2157  Vcvv 3383  cin 3766  c0 4113  ifcif 4275  𝒫 cpw 4347  cmpt 4920   E cep 5222   We wwe 5268  ccnv 5309  dom cdm 5310  cres 5312  cima 5313  Ord word 5938  cfv 6099   Isom wiso 6100  (class class class)co 6876  ωcom 7297  reccrdg 7742  0cc0 10222  1c1 10223   + caddc 10225   < clt 10361  cz 11662  cuz 11926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2375  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-inf2 8786  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-isom 6108  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11311  df-n0 11577  df-z 11663  df-uz 11927
This theorem is referenced by:  ltwenn  13012  ltwefz  13013  uzsinds  13037  bpolylem  15111  ltbwe  19791  dyadmax  23702  omeiunle  41464
  Copyright terms: Public domain W3C validator