Theorem ltweuz 13896

Description: < is a well-founded relation on any sequence of upper integers. (Contributed by Andrew Salmon, 13-Nov-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ltweuz	⊢ < We (ℤ≥‘𝐴)

Proof of Theorem ltweuz

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 7828	. . . . 5 ⊢ Ord ω
2		ordwe 6338	. . . . 5 ⊢ (Ord ω → E We ω)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ E We ω
4		rdgeq2 8353	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0) → rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) = rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)))
5	4	reseq1d 5945	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0) → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω))
6		isoeq1 7273	. . . . . . . 8 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐴)) ↔ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐴))))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐴)) ↔ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐴))))
8		fveq2 6842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0) → (ℤ≥‘𝐴) = (ℤ≥‘if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)))
9		isoeq5 7277	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℤ≥‘𝐴) = (ℤ≥‘if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐴)) ↔ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)))))
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐴)) ↔ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)))))
11		0z 12511	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
12	11	elimel 4551	. . . . . . . 8 ⊢ if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0) ∈ ℤ
13		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω)
14	12, 13	om2uzisoi 13889	. . . . . . 7 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)))
15	7, 10, 14	dedth2v 4544	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐴)))
16		isocnv 7286	. . . . . 6 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐴)) → ◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom < , E ((ℤ≥‘𝐴), ω))
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom < , E ((ℤ≥‘𝐴), ω))
18		dmres 5979	. . . . . . . 8 ⊢ dom (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) = (ω ∩ dom rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴))
19		omex 9564	. . . . . . . . 9 ⊢ ω ∈ V
20	19	inex1 5264	. . . . . . . 8 ⊢ (ω ∩ dom rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴)) ∈ V
21	18, 20	eqeltri 2833	. . . . . . 7 ⊢ dom (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) ∈ V
22		cnvimass 6049	. . . . . . 7 ⊢ (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) “ 𝑦) ⊆ dom (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω)
23	21, 22	ssexi 5269	. . . . . 6 ⊢ (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) “ 𝑦) ∈ V
24	23	ax-gen 1797	. . . . 5 ⊢ ∀𝑦(◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) “ 𝑦) ∈ V
25		isowe2 7306	. . . . 5 ⊢ ((◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom < , E ((ℤ≥‘𝐴), ω) ∧ ∀𝑦(◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) “ 𝑦) ∈ V) → ( E We ω → < We (ℤ≥‘𝐴)))
26	17, 24, 25	sylancl 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ( E We ω → < We (ℤ≥‘𝐴)))
27	3, 26	mpi 20	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → < We (ℤ≥‘𝐴))
28		uzf 12766	. . . 4 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
29	28	fdmi 6681	. . 3 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
30	27, 29	eleq2s 2855	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom ℤ≥ → < We (ℤ≥‘𝐴))
31		we0 5627	. . 3 ⊢ < We ∅
32		ndmfv 6874	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝐴) = ∅)
33		weeq2 5620	. . . 4 ⊢ ((ℤ≥‘𝐴) = ∅ → ( < We (ℤ≥‘𝐴) ↔ < We ∅))
34	32, 33	syl 17	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom ℤ≥ → ( < We (ℤ≥‘𝐴) ↔ < We ∅))
35	31, 34	mpbiri 258	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom ℤ≥ → < We (ℤ≥‘𝐴))
36	30, 35	pm2.61i 182	1 ⊢ < We (ℤ≥‘𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206  ∀wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ∩ cin 3902  ∅c0 4287  ifcif 4481  𝒫 cpw 4556   ↦ cmpt 5181   E cep 5531   We wwe 5584  ^◡ccnv 5631  dom cdm 5632   ↾ cres 5634   “ cima 5635  Ord word 6324  ‘cfv 6500   Isom wiso 6501  (class class class)co 7368  ωcom 7818  reccrdg 8350  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   < clt 11178  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764

This theorem is referenced by:  ltwenn  13897  ltwefz  13898  uzsinds  13922  bpolylem  15983  ltbwe  22011  dyadmax  25567  omeiunle  46875