Theorem ltweuz 14012

Description: < is a well-founded relation on any sequence of upper integers. (Contributed by Andrew Salmon, 13-Nov-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ltweuz	⊢ < We (ℤ≥‘𝐴)

Proof of Theorem ltweuz

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 7913	. . . . 5 ⊢ Ord ω
2		ordwe 6408	. . . . 5 ⊢ (Ord ω → E We ω)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ E We ω
4		rdgeq2 8468	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0) → rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) = rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)))
5	4	reseq1d 6008	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0) → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω))
6		isoeq1 7353	. . . . . . . 8 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐴)) ↔ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐴))))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐴)) ↔ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐴))))
8		fveq2 6920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0) → (ℤ≥‘𝐴) = (ℤ≥‘if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)))
9		isoeq5 7357	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℤ≥‘𝐴) = (ℤ≥‘if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐴)) ↔ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)))))
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐴)) ↔ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)))))
11		0z 12650	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
12	11	elimel 4617	. . . . . . . 8 ⊢ if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0) ∈ ℤ
13		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω)
14	12, 13	om2uzisoi 14005	. . . . . . 7 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)))
15	7, 10, 14	dedth2v 4610	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐴)))
16		isocnv 7366	. . . . . 6 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐴)) → ◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom < , E ((ℤ≥‘𝐴), ω))
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom < , E ((ℤ≥‘𝐴), ω))
18		dmres 6041	. . . . . . . 8 ⊢ dom (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) = (ω ∩ dom rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴))
19		omex 9712	. . . . . . . . 9 ⊢ ω ∈ V
20	19	inex1 5335	. . . . . . . 8 ⊢ (ω ∩ dom rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴)) ∈ V
21	18, 20	eqeltri 2840	. . . . . . 7 ⊢ dom (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) ∈ V
22		cnvimass 6111	. . . . . . 7 ⊢ (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) “ 𝑦) ⊆ dom (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω)
23	21, 22	ssexi 5340	. . . . . 6 ⊢ (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) “ 𝑦) ∈ V
24	23	ax-gen 1793	. . . . 5 ⊢ ∀𝑦(◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) “ 𝑦) ∈ V
25		isowe2 7386	. . . . 5 ⊢ ((◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom < , E ((ℤ≥‘𝐴), ω) ∧ ∀𝑦(◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) “ 𝑦) ∈ V) → ( E We ω → < We (ℤ≥‘𝐴)))
26	17, 24, 25	sylancl 585	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ( E We ω → < We (ℤ≥‘𝐴)))
27	3, 26	mpi 20	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → < We (ℤ≥‘𝐴))
28		uzf 12906	. . . 4 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
29	28	fdmi 6758	. . 3 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
30	27, 29	eleq2s 2862	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom ℤ≥ → < We (ℤ≥‘𝐴))
31		we0 5695	. . 3 ⊢ < We ∅
32		ndmfv 6955	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝐴) = ∅)
33		weeq2 5688	. . . 4 ⊢ ((ℤ≥‘𝐴) = ∅ → ( < We (ℤ≥‘𝐴) ↔ < We ∅))
34	32, 33	syl 17	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom ℤ≥ → ( < We (ℤ≥‘𝐴) ↔ < We ∅))
35	31, 34	mpbiri 258	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom ℤ≥ → < We (ℤ≥‘𝐴))
36	30, 35	pm2.61i 182	1 ⊢ < We (ℤ≥‘𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206  ∀wal 1535   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ∩ cin 3975  ∅c0 4352  ifcif 4548  𝒫 cpw 4622   ↦ cmpt 5249   E cep 5598   We wwe 5651  ^◡ccnv 5699  dom cdm 5700   ↾ cres 5702   “ cima 5703  Ord word 6394  ‘cfv 6573   Isom wiso 6574  (class class class)co 7448  ωcom 7903  reccrdg 8465  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   < clt 11324  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904

This theorem is referenced by:  ltwenn  14013  ltwefz  14014  uzsinds  14038  bpolylem  16096  ltbwe  22085  dyadmax  25652  omeiunle  46438