Theorem ltweuz 13863

Description: < is a well-founded relation on any sequence of upper integers. (Contributed by Andrew Salmon, 13-Nov-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ltweuz	⊢ < We (ℤ≥‘𝐴)

Proof of Theorem ltweuz

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 7801	. . . . 5 ⊢ Ord ω
2		ordwe 6314	. . . . 5 ⊢ (Ord ω → E We ω)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ E We ω
4		rdgeq2 8326	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0) → rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) = rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)))
5	4	reseq1d 5922	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0) → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω))
6		isoeq1 7246	. . . . . . . 8 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐴)) ↔ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐴))))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐴)) ↔ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐴))))
8		fveq2 6817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0) → (ℤ≥‘𝐴) = (ℤ≥‘if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)))
9		isoeq5 7250	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℤ≥‘𝐴) = (ℤ≥‘if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐴)) ↔ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)))))
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐴)) ↔ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)))))
11		0z 12474	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
12	11	elimel 4540	. . . . . . . 8 ⊢ if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0) ∈ ℤ
13		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω)
14	12, 13	om2uzisoi 13856	. . . . . . 7 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)))
15	7, 10, 14	dedth2v 4533	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐴)))
16		isocnv 7259	. . . . . 6 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐴)) → ◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom < , E ((ℤ≥‘𝐴), ω))
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom < , E ((ℤ≥‘𝐴), ω))
18		dmres 5956	. . . . . . . 8 ⊢ dom (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) = (ω ∩ dom rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴))
19		omex 9528	. . . . . . . . 9 ⊢ ω ∈ V
20	19	inex1 5250	. . . . . . . 8 ⊢ (ω ∩ dom rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴)) ∈ V
21	18, 20	eqeltri 2827	. . . . . . 7 ⊢ dom (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) ∈ V
22		cnvimass 6026	. . . . . . 7 ⊢ (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) “ 𝑦) ⊆ dom (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω)
23	21, 22	ssexi 5255	. . . . . 6 ⊢ (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) “ 𝑦) ∈ V
24	23	ax-gen 1796	. . . . 5 ⊢ ∀𝑦(◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) “ 𝑦) ∈ V
25		isowe2 7279	. . . . 5 ⊢ ((◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom < , E ((ℤ≥‘𝐴), ω) ∧ ∀𝑦(◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) “ 𝑦) ∈ V) → ( E We ω → < We (ℤ≥‘𝐴)))
26	17, 24, 25	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ( E We ω → < We (ℤ≥‘𝐴)))
27	3, 26	mpi 20	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → < We (ℤ≥‘𝐴))
28		uzf 12730	. . . 4 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
29	28	fdmi 6657	. . 3 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
30	27, 29	eleq2s 2849	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom ℤ≥ → < We (ℤ≥‘𝐴))
31		we0 5606	. . 3 ⊢ < We ∅
32		ndmfv 6849	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝐴) = ∅)
33		weeq2 5599	. . . 4 ⊢ ((ℤ≥‘𝐴) = ∅ → ( < We (ℤ≥‘𝐴) ↔ < We ∅))
34	32, 33	syl 17	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom ℤ≥ → ( < We (ℤ≥‘𝐴) ↔ < We ∅))
35	31, 34	mpbiri 258	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom ℤ≥ → < We (ℤ≥‘𝐴))
36	30, 35	pm2.61i 182	1 ⊢ < We (ℤ≥‘𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206  ∀wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ∩ cin 3896  ∅c0 4278  ifcif 4470  𝒫 cpw 4545   ↦ cmpt 5167   E cep 5510   We wwe 5563  ^◡ccnv 5610  dom cdm 5611   ↾ cres 5613   “ cima 5614  Ord word 6300  ‘cfv 6476   Isom wiso 6477  (class class class)co 7341  ωcom 7791  reccrdg 8323  0cc0 11001  1c1 11002   + caddc 11004   < clt 11141  ℤcz 12463  ℤ_≥cuz 12727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728

This theorem is referenced by:  ltwenn  13864  ltwefz  13865  uzsinds  13889  bpolylem  15950  ltbwe  21974  dyadmax  25521  omeiunle  46555