Theorem ltweuz 13866

Description: < is a well-founded relation on any sequence of upper integers. (Contributed by Andrew Salmon, 13-Nov-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ltweuz	⊢ < We (ℤ≥‘𝐴)

Proof of Theorem ltweuz

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 7812	. . . . 5 ⊢ Ord ω
2		ordwe 6330	. . . . 5 ⊢ (Ord ω → E We ω)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ E We ω
4		rdgeq2 8358	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0) → rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) = rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)))
5	4	reseq1d 5936	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0) → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω))
6		isoeq1 7262	. . . . . . . 8 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐴)) ↔ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐴))))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐴)) ↔ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐴))))
8		fveq2 6842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0) → (ℤ≥‘𝐴) = (ℤ≥‘if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)))
9		isoeq5 7266	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℤ≥‘𝐴) = (ℤ≥‘if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐴)) ↔ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)))))
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐴)) ↔ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)))))
11		0z 12510	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
12	11	elimel 4555	. . . . . . . 8 ⊢ if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0) ∈ ℤ
13		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω)
14	12, 13	om2uzisoi 13859	. . . . . . 7 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)))
15	7, 10, 14	dedth2v 4548	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐴)))
16		isocnv 7275	. . . . . 6 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐴)) → ◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom < , E ((ℤ≥‘𝐴), ω))
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom < , E ((ℤ≥‘𝐴), ω))
18		dmres 5959	. . . . . . . 8 ⊢ dom (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) = (ω ∩ dom rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴))
19		omex 9579	. . . . . . . . 9 ⊢ ω ∈ V
20	19	inex1 5274	. . . . . . . 8 ⊢ (ω ∩ dom rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴)) ∈ V
21	18, 20	eqeltri 2834	. . . . . . 7 ⊢ dom (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) ∈ V
22		cnvimass 6033	. . . . . . 7 ⊢ (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) “ 𝑦) ⊆ dom (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω)
23	21, 22	ssexi 5279	. . . . . 6 ⊢ (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) “ 𝑦) ∈ V
24	23	ax-gen 1797	. . . . 5 ⊢ ∀𝑦(◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) “ 𝑦) ∈ V
25		isowe2 7295	. . . . 5 ⊢ ((◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom < , E ((ℤ≥‘𝐴), ω) ∧ ∀𝑦(◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) “ 𝑦) ∈ V) → ( E We ω → < We (ℤ≥‘𝐴)))
26	17, 24, 25	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ( E We ω → < We (ℤ≥‘𝐴)))
27	3, 26	mpi 20	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → < We (ℤ≥‘𝐴))
28		uzf 12766	. . . 4 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
29	28	fdmi 6680	. . 3 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
30	27, 29	eleq2s 2856	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom ℤ≥ → < We (ℤ≥‘𝐴))
31		we0 5628	. . 3 ⊢ < We ∅
32		ndmfv 6877	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝐴) = ∅)
33		weeq2 5622	. . . 4 ⊢ ((ℤ≥‘𝐴) = ∅ → ( < We (ℤ≥‘𝐴) ↔ < We ∅))
34	32, 33	syl 17	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom ℤ≥ → ( < We (ℤ≥‘𝐴) ↔ < We ∅))
35	31, 34	mpbiri 257	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom ℤ≥ → < We (ℤ≥‘𝐴))
36	30, 35	pm2.61i 182	1 ⊢ < We (ℤ≥‘𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205  ∀wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3445   ∩ cin 3909  ∅c0 4282  ifcif 4486  𝒫 cpw 4560   ↦ cmpt 5188   E cep 5536   We wwe 5587  ^◡ccnv 5632  dom cdm 5633   ↾ cres 5635   “ cima 5636  Ord word 6316  ‘cfv 6496   Isom wiso 6497  (class class class)co 7357  ωcom 7802  reccrdg 8355  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189  ℤcz 12499  ℤ_≥cuz 12763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764

This theorem is referenced by:  ltwenn  13867  ltwefz  13868  uzsinds  13892  bpolylem  15931  ltbwe  21445  dyadmax  24962  omeiunle  44748