MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltweuz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltweuz 13925
Description: < is a well-founded relation on any sequence of upper integers. (Contributed by Andrew Salmon, 13-Nov-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ltweuz < We (β„€β‰₯β€˜π΄)

Proof of Theorem ltweuz
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordom 7864 . . . . 5 Ord Ο‰
2 ordwe 6377 . . . . 5 (Ord Ο‰ β†’ E We Ο‰)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 E We Ο‰
4 rdgeq2 8411 . . . . . . . . 9 (𝐴 = if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0) β†’ rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) = rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)))
54reseq1d 5980 . . . . . . . 8 (𝐴 = if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0) β†’ (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) β†Ύ Ο‰) = (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)) β†Ύ Ο‰))
6 isoeq1 7313 . . . . . . . 8 ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) β†Ύ Ο‰) = (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)) β†Ύ Ο‰) β†’ ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) β†Ύ Ο‰) Isom E , < (Ο‰, (β„€β‰₯β€˜π΄)) ↔ (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)) β†Ύ Ο‰) Isom E , < (Ο‰, (β„€β‰₯β€˜π΄))))
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 = if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0) β†’ ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) β†Ύ Ο‰) Isom E , < (Ο‰, (β„€β‰₯β€˜π΄)) ↔ (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)) β†Ύ Ο‰) Isom E , < (Ο‰, (β„€β‰₯β€˜π΄))))
8 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (𝐴 = if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0) β†’ (β„€β‰₯β€˜π΄) = (β„€β‰₯β€˜if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)))
9 isoeq5 7317 . . . . . . . 8 ((β„€β‰₯β€˜π΄) = (β„€β‰₯β€˜if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)) β†’ ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)) β†Ύ Ο‰) Isom E , < (Ο‰, (β„€β‰₯β€˜π΄)) ↔ (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)) β†Ύ Ο‰) Isom E , < (Ο‰, (β„€β‰₯β€˜if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)))))
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 = if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0) β†’ ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)) β†Ύ Ο‰) Isom E , < (Ο‰, (β„€β‰₯β€˜π΄)) ↔ (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)) β†Ύ Ο‰) Isom E , < (Ο‰, (β„€β‰₯β€˜if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)))))
11 0z 12568 . . . . . . . . 9 0 ∈ β„€
1211elimel 4597 . . . . . . . 8 if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0) ∈ β„€
13 eqid 2732 . . . . . . . 8 (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)) β†Ύ Ο‰) = (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)) β†Ύ Ο‰)
1412, 13om2uzisoi 13918 . . . . . . 7 (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)) β†Ύ Ο‰) Isom E , < (Ο‰, (β„€β‰₯β€˜if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)))
157, 10, 14dedth2v 4590 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„€ β†’ (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) β†Ύ Ο‰) Isom E , < (Ο‰, (β„€β‰₯β€˜π΄)))
16 isocnv 7326 . . . . . 6 ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) β†Ύ Ο‰) Isom E , < (Ο‰, (β„€β‰₯β€˜π΄)) β†’ β—‘(rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) β†Ύ Ο‰) Isom < , E ((β„€β‰₯β€˜π΄), Ο‰))
1715, 16syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„€ β†’ β—‘(rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) β†Ύ Ο‰) Isom < , E ((β„€β‰₯β€˜π΄), Ο‰))
18 dmres 6003 . . . . . . . 8 dom (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) β†Ύ Ο‰) = (Ο‰ ∩ dom rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴))
19 omex 9637 . . . . . . . . 9 Ο‰ ∈ V
2019inex1 5317 . . . . . . . 8 (Ο‰ ∩ dom rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴)) ∈ V
2118, 20eqeltri 2829 . . . . . . 7 dom (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) β†Ύ Ο‰) ∈ V
22 cnvimass 6080 . . . . . . 7 (β—‘(rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) β†Ύ Ο‰) β€œ 𝑦) βŠ† dom (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) β†Ύ Ο‰)
2321, 22ssexi 5322 . . . . . 6 (β—‘(rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) β†Ύ Ο‰) β€œ 𝑦) ∈ V
2423ax-gen 1797 . . . . 5 βˆ€π‘¦(β—‘(rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) β†Ύ Ο‰) β€œ 𝑦) ∈ V
25 isowe2 7346 . . . . 5 ((β—‘(rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) β†Ύ Ο‰) Isom < , E ((β„€β‰₯β€˜π΄), Ο‰) ∧ βˆ€π‘¦(β—‘(rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) β†Ύ Ο‰) β€œ 𝑦) ∈ V) β†’ ( E We Ο‰ β†’ < We (β„€β‰₯β€˜π΄)))
2617, 24, 25sylancl 586 . . . 4 (𝐴 ∈ β„€ β†’ ( E We Ο‰ β†’ < We (β„€β‰₯β€˜π΄)))
273, 26mpi 20 . . 3 (𝐴 ∈ β„€ β†’ < We (β„€β‰₯β€˜π΄))
28 uzf 12824 . . . 4 β„€β‰₯:β„€βŸΆπ’« β„€
2928fdmi 6729 . . 3 dom β„€β‰₯ = β„€
3027, 29eleq2s 2851 . 2 (𝐴 ∈ dom β„€β‰₯ β†’ < We (β„€β‰₯β€˜π΄))
31 we0 5671 . . 3 < We βˆ…
32 ndmfv 6926 . . . 4 (Β¬ 𝐴 ∈ dom β„€β‰₯ β†’ (β„€β‰₯β€˜π΄) = βˆ…)
33 weeq2 5665 . . . 4 ((β„€β‰₯β€˜π΄) = βˆ… β†’ ( < We (β„€β‰₯β€˜π΄) ↔ < We βˆ…))
3432, 33syl 17 . . 3 (Β¬ 𝐴 ∈ dom β„€β‰₯ β†’ ( < We (β„€β‰₯β€˜π΄) ↔ < We βˆ…))
3531, 34mpbiri 257 . 2 (Β¬ 𝐴 ∈ dom β„€β‰₯ β†’ < We (β„€β‰₯β€˜π΄))
3630, 35pm2.61i 182 1 < We (β„€β‰₯β€˜π΄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205  βˆ€wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ∩ cin 3947  βˆ…c0 4322  ifcif 4528  π’« cpw 4602   ↦ cmpt 5231   E cep 5579   We wwe 5630  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679  Ord word 6363  β€˜cfv 6543   Isom wiso 6544  (class class class)co 7408  Ο‰com 7854  reccrdg 8408  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   < clt 11247  β„€cz 12557  β„€β‰₯cuz 12821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822
This theorem is referenced by:  ltwenn  13926  ltwefz  13927  uzsinds  13951  bpolylem  15991  ltbwe  21598  dyadmax  25114  omeiunle  45223
  Copyright terms: Public domain W3C validator