Theorem ltweuz 13681

Description: < is a well-founded relation on any sequence of upper integers. (Contributed by Andrew Salmon, 13-Nov-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ltweuz	⊢ < We (ℤ≥‘𝐴)

Proof of Theorem ltweuz

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 7722	. . . . 5 ⊢ Ord ω
2		ordwe 6279	. . . . 5 ⊢ (Ord ω → E We ω)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ E We ω
4		rdgeq2 8243	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0) → rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) = rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)))
5	4	reseq1d 5890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0) → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω))
6		isoeq1 7188	. . . . . . . 8 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐴)) ↔ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐴))))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐴)) ↔ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐴))))
8		fveq2 6774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0) → (ℤ≥‘𝐴) = (ℤ≥‘if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)))
9		isoeq5 7192	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℤ≥‘𝐴) = (ℤ≥‘if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐴)) ↔ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)))))
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐴)) ↔ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)))))
11		0z 12330	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
12	11	elimel 4528	. . . . . . . 8 ⊢ if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0) ∈ ℤ
13		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω)
14	12, 13	om2uzisoi 13674	. . . . . . 7 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘if(𝐴 ∈ ℤ, 𝐴, 0)))
15	7, 10, 14	dedth2v 4521	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐴)))
16		isocnv 7201	. . . . . 6 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐴)) → ◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom < , E ((ℤ≥‘𝐴), ω))
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom < , E ((ℤ≥‘𝐴), ω))
18		dmres 5913	. . . . . . . 8 ⊢ dom (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) = (ω ∩ dom rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴))
19		omex 9401	. . . . . . . . 9 ⊢ ω ∈ V
20	19	inex1 5241	. . . . . . . 8 ⊢ (ω ∩ dom rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴)) ∈ V
21	18, 20	eqeltri 2835	. . . . . . 7 ⊢ dom (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) ∈ V
22		cnvimass 5989	. . . . . . 7 ⊢ (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) “ 𝑦) ⊆ dom (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω)
23	21, 22	ssexi 5246	. . . . . 6 ⊢ (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) “ 𝑦) ∈ V
24	23	ax-gen 1798	. . . . 5 ⊢ ∀𝑦(◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) “ 𝑦) ∈ V
25		isowe2 7221	. . . . 5 ⊢ ((◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) Isom < , E ((ℤ≥‘𝐴), ω) ∧ ∀𝑦(◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω) “ 𝑦) ∈ V) → ( E We ω → < We (ℤ≥‘𝐴)))
26	17, 24, 25	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ( E We ω → < We (ℤ≥‘𝐴)))
27	3, 26	mpi 20	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → < We (ℤ≥‘𝐴))
28		uzf 12585	. . . 4 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
29	28	fdmi 6612	. . 3 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
30	27, 29	eleq2s 2857	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom ℤ≥ → < We (ℤ≥‘𝐴))
31		we0 5584	. . 3 ⊢ < We ∅
32		ndmfv 6804	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝐴) = ∅)
33		weeq2 5578	. . . 4 ⊢ ((ℤ≥‘𝐴) = ∅ → ( < We (ℤ≥‘𝐴) ↔ < We ∅))
34	32, 33	syl 17	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom ℤ≥ → ( < We (ℤ≥‘𝐴) ↔ < We ∅))
35	31, 34	mpbiri 257	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom ℤ≥ → < We (ℤ≥‘𝐴))
36	30, 35	pm2.61i 182	1 ⊢ < We (ℤ≥‘𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205  ∀wal 1537   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ∩ cin 3886  ∅c0 4256  ifcif 4459  𝒫 cpw 4533   ↦ cmpt 5157   E cep 5494   We wwe 5543  ^◡ccnv 5588  dom cdm 5589   ↾ cres 5591   “ cima 5592  Ord word 6265  ‘cfv 6433   Isom wiso 6434  (class class class)co 7275  ωcom 7712  reccrdg 8240  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   < clt 11009  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583

This theorem is referenced by:  ltwenn  13682  ltwefz  13683  uzsinds  13707  bpolylem  15758  ltbwe  21245  dyadmax  24762  omeiunle  44055