MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltweuz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltweuz 13875
Description: < is a well-founded relation on any sequence of upper integers. (Contributed by Andrew Salmon, 13-Nov-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ltweuz < We (β„€β‰₯β€˜π΄)

Proof of Theorem ltweuz
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordom 7816 . . . . 5 Ord Ο‰
2 ordwe 6334 . . . . 5 (Ord Ο‰ β†’ E We Ο‰)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 E We Ο‰
4 rdgeq2 8362 . . . . . . . . 9 (𝐴 = if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0) β†’ rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) = rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)))
54reseq1d 5940 . . . . . . . 8 (𝐴 = if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0) β†’ (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) β†Ύ Ο‰) = (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)) β†Ύ Ο‰))
6 isoeq1 7266 . . . . . . . 8 ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) β†Ύ Ο‰) = (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)) β†Ύ Ο‰) β†’ ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) β†Ύ Ο‰) Isom E , < (Ο‰, (β„€β‰₯β€˜π΄)) ↔ (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)) β†Ύ Ο‰) Isom E , < (Ο‰, (β„€β‰₯β€˜π΄))))
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 = if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0) β†’ ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) β†Ύ Ο‰) Isom E , < (Ο‰, (β„€β‰₯β€˜π΄)) ↔ (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)) β†Ύ Ο‰) Isom E , < (Ο‰, (β„€β‰₯β€˜π΄))))
8 fveq2 6846 . . . . . . . 8 (𝐴 = if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0) β†’ (β„€β‰₯β€˜π΄) = (β„€β‰₯β€˜if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)))
9 isoeq5 7270 . . . . . . . 8 ((β„€β‰₯β€˜π΄) = (β„€β‰₯β€˜if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)) β†’ ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)) β†Ύ Ο‰) Isom E , < (Ο‰, (β„€β‰₯β€˜π΄)) ↔ (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)) β†Ύ Ο‰) Isom E , < (Ο‰, (β„€β‰₯β€˜if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)))))
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 = if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0) β†’ ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)) β†Ύ Ο‰) Isom E , < (Ο‰, (β„€β‰₯β€˜π΄)) ↔ (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)) β†Ύ Ο‰) Isom E , < (Ο‰, (β„€β‰₯β€˜if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)))))
11 0z 12518 . . . . . . . . 9 0 ∈ β„€
1211elimel 4559 . . . . . . . 8 if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0) ∈ β„€
13 eqid 2733 . . . . . . . 8 (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)) β†Ύ Ο‰) = (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)) β†Ύ Ο‰)
1412, 13om2uzisoi 13868 . . . . . . 7 (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)) β†Ύ Ο‰) Isom E , < (Ο‰, (β„€β‰₯β€˜if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)))
157, 10, 14dedth2v 4552 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„€ β†’ (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) β†Ύ Ο‰) Isom E , < (Ο‰, (β„€β‰₯β€˜π΄)))
16 isocnv 7279 . . . . . 6 ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) β†Ύ Ο‰) Isom E , < (Ο‰, (β„€β‰₯β€˜π΄)) β†’ β—‘(rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) β†Ύ Ο‰) Isom < , E ((β„€β‰₯β€˜π΄), Ο‰))
1715, 16syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„€ β†’ β—‘(rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) β†Ύ Ο‰) Isom < , E ((β„€β‰₯β€˜π΄), Ο‰))
18 dmres 5963 . . . . . . . 8 dom (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) β†Ύ Ο‰) = (Ο‰ ∩ dom rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴))
19 omex 9587 . . . . . . . . 9 Ο‰ ∈ V
2019inex1 5278 . . . . . . . 8 (Ο‰ ∩ dom rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴)) ∈ V
2118, 20eqeltri 2830 . . . . . . 7 dom (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) β†Ύ Ο‰) ∈ V
22 cnvimass 6037 . . . . . . 7 (β—‘(rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) β†Ύ Ο‰) β€œ 𝑦) βŠ† dom (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) β†Ύ Ο‰)
2321, 22ssexi 5283 . . . . . 6 (β—‘(rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) β†Ύ Ο‰) β€œ 𝑦) ∈ V
2423ax-gen 1798 . . . . 5 βˆ€π‘¦(β—‘(rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) β†Ύ Ο‰) β€œ 𝑦) ∈ V
25 isowe2 7299 . . . . 5 ((β—‘(rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) β†Ύ Ο‰) Isom < , E ((β„€β‰₯β€˜π΄), Ο‰) ∧ βˆ€π‘¦(β—‘(rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) β†Ύ Ο‰) β€œ 𝑦) ∈ V) β†’ ( E We Ο‰ β†’ < We (β„€β‰₯β€˜π΄)))
2617, 24, 25sylancl 587 . . . 4 (𝐴 ∈ β„€ β†’ ( E We Ο‰ β†’ < We (β„€β‰₯β€˜π΄)))
273, 26mpi 20 . . 3 (𝐴 ∈ β„€ β†’ < We (β„€β‰₯β€˜π΄))
28 uzf 12774 . . . 4 β„€β‰₯:β„€βŸΆπ’« β„€
2928fdmi 6684 . . 3 dom β„€β‰₯ = β„€
3027, 29eleq2s 2852 . 2 (𝐴 ∈ dom β„€β‰₯ β†’ < We (β„€β‰₯β€˜π΄))
31 we0 5632 . . 3 < We βˆ…
32 ndmfv 6881 . . . 4 (Β¬ 𝐴 ∈ dom β„€β‰₯ β†’ (β„€β‰₯β€˜π΄) = βˆ…)
33 weeq2 5626 . . . 4 ((β„€β‰₯β€˜π΄) = βˆ… β†’ ( < We (β„€β‰₯β€˜π΄) ↔ < We βˆ…))
3432, 33syl 17 . . 3 (Β¬ 𝐴 ∈ dom β„€β‰₯ β†’ ( < We (β„€β‰₯β€˜π΄) ↔ < We βˆ…))
3531, 34mpbiri 258 . 2 (Β¬ 𝐴 ∈ dom β„€β‰₯ β†’ < We (β„€β‰₯β€˜π΄))
3630, 35pm2.61i 182 1 < We (β„€β‰₯β€˜π΄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205  βˆ€wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447   ∩ cin 3913  βˆ…c0 4286  ifcif 4490  π’« cpw 4564   ↦ cmpt 5192   E cep 5540   We wwe 5591  β—‘ccnv 5636  dom cdm 5637   β†Ύ cres 5639   β€œ cima 5640  Ord word 6320  β€˜cfv 6500   Isom wiso 6501  (class class class)co 7361  Ο‰com 7806  reccrdg 8359  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   < clt 11197  β„€cz 12507  β„€β‰₯cuz 12771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772
This theorem is referenced by:  ltwenn  13876  ltwefz  13877  uzsinds  13901  bpolylem  15939  ltbwe  21468  dyadmax  24985  omeiunle  44848
  Copyright terms: Public domain W3C validator