MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltweuz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltweuz 13926
Description: < is a well-founded relation on any sequence of upper integers. (Contributed by Andrew Salmon, 13-Nov-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ltweuz < We (β„€β‰₯β€˜π΄)

Proof of Theorem ltweuz
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordom 7865 . . . . 5 Ord Ο‰
2 ordwe 6378 . . . . 5 (Ord Ο‰ β†’ E We Ο‰)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 E We Ο‰
4 rdgeq2 8412 . . . . . . . . 9 (𝐴 = if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0) β†’ rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) = rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)))
54reseq1d 5981 . . . . . . . 8 (𝐴 = if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0) β†’ (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) β†Ύ Ο‰) = (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)) β†Ύ Ο‰))
6 isoeq1 7314 . . . . . . . 8 ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) β†Ύ Ο‰) = (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)) β†Ύ Ο‰) β†’ ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) β†Ύ Ο‰) Isom E , < (Ο‰, (β„€β‰₯β€˜π΄)) ↔ (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)) β†Ύ Ο‰) Isom E , < (Ο‰, (β„€β‰₯β€˜π΄))))
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 = if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0) β†’ ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) β†Ύ Ο‰) Isom E , < (Ο‰, (β„€β‰₯β€˜π΄)) ↔ (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)) β†Ύ Ο‰) Isom E , < (Ο‰, (β„€β‰₯β€˜π΄))))
8 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (𝐴 = if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0) β†’ (β„€β‰₯β€˜π΄) = (β„€β‰₯β€˜if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)))
9 isoeq5 7318 . . . . . . . 8 ((β„€β‰₯β€˜π΄) = (β„€β‰₯β€˜if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)) β†’ ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)) β†Ύ Ο‰) Isom E , < (Ο‰, (β„€β‰₯β€˜π΄)) ↔ (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)) β†Ύ Ο‰) Isom E , < (Ο‰, (β„€β‰₯β€˜if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)))))
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 = if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0) β†’ ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)) β†Ύ Ο‰) Isom E , < (Ο‰, (β„€β‰₯β€˜π΄)) ↔ (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)) β†Ύ Ο‰) Isom E , < (Ο‰, (β„€β‰₯β€˜if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)))))
11 0z 12569 . . . . . . . . 9 0 ∈ β„€
1211elimel 4598 . . . . . . . 8 if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0) ∈ β„€
13 eqid 2733 . . . . . . . 8 (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)) β†Ύ Ο‰) = (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)) β†Ύ Ο‰)
1412, 13om2uzisoi 13919 . . . . . . 7 (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)) β†Ύ Ο‰) Isom E , < (Ο‰, (β„€β‰₯β€˜if(𝐴 ∈ β„€, 𝐴, 0)))
157, 10, 14dedth2v 4591 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„€ β†’ (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) β†Ύ Ο‰) Isom E , < (Ο‰, (β„€β‰₯β€˜π΄)))
16 isocnv 7327 . . . . . 6 ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) β†Ύ Ο‰) Isom E , < (Ο‰, (β„€β‰₯β€˜π΄)) β†’ β—‘(rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) β†Ύ Ο‰) Isom < , E ((β„€β‰₯β€˜π΄), Ο‰))
1715, 16syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„€ β†’ β—‘(rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) β†Ύ Ο‰) Isom < , E ((β„€β‰₯β€˜π΄), Ο‰))
18 dmres 6004 . . . . . . . 8 dom (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) β†Ύ Ο‰) = (Ο‰ ∩ dom rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴))
19 omex 9638 . . . . . . . . 9 Ο‰ ∈ V
2019inex1 5318 . . . . . . . 8 (Ο‰ ∩ dom rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴)) ∈ V
2118, 20eqeltri 2830 . . . . . . 7 dom (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) β†Ύ Ο‰) ∈ V
22 cnvimass 6081 . . . . . . 7 (β—‘(rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) β†Ύ Ο‰) β€œ 𝑦) βŠ† dom (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) β†Ύ Ο‰)
2321, 22ssexi 5323 . . . . . 6 (β—‘(rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) β†Ύ Ο‰) β€œ 𝑦) ∈ V
2423ax-gen 1798 . . . . 5 βˆ€π‘¦(β—‘(rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) β†Ύ Ο‰) β€œ 𝑦) ∈ V
25 isowe2 7347 . . . . 5 ((β—‘(rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) β†Ύ Ο‰) Isom < , E ((β„€β‰₯β€˜π΄), Ο‰) ∧ βˆ€π‘¦(β—‘(rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 𝐴) β†Ύ Ο‰) β€œ 𝑦) ∈ V) β†’ ( E We Ο‰ β†’ < We (β„€β‰₯β€˜π΄)))
2617, 24, 25sylancl 587 . . . 4 (𝐴 ∈ β„€ β†’ ( E We Ο‰ β†’ < We (β„€β‰₯β€˜π΄)))
273, 26mpi 20 . . 3 (𝐴 ∈ β„€ β†’ < We (β„€β‰₯β€˜π΄))
28 uzf 12825 . . . 4 β„€β‰₯:β„€βŸΆπ’« β„€
2928fdmi 6730 . . 3 dom β„€β‰₯ = β„€
3027, 29eleq2s 2852 . 2 (𝐴 ∈ dom β„€β‰₯ β†’ < We (β„€β‰₯β€˜π΄))
31 we0 5672 . . 3 < We βˆ…
32 ndmfv 6927 . . . 4 (Β¬ 𝐴 ∈ dom β„€β‰₯ β†’ (β„€β‰₯β€˜π΄) = βˆ…)
33 weeq2 5666 . . . 4 ((β„€β‰₯β€˜π΄) = βˆ… β†’ ( < We (β„€β‰₯β€˜π΄) ↔ < We βˆ…))
3432, 33syl 17 . . 3 (Β¬ 𝐴 ∈ dom β„€β‰₯ β†’ ( < We (β„€β‰₯β€˜π΄) ↔ < We βˆ…))
3531, 34mpbiri 258 . 2 (Β¬ 𝐴 ∈ dom β„€β‰₯ β†’ < We (β„€β‰₯β€˜π΄))
3630, 35pm2.61i 182 1 < We (β„€β‰₯β€˜π΄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205  βˆ€wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ∩ cin 3948  βˆ…c0 4323  ifcif 4529  π’« cpw 4603   ↦ cmpt 5232   E cep 5580   We wwe 5631  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677   β†Ύ cres 5679   β€œ cima 5680  Ord word 6364  β€˜cfv 6544   Isom wiso 6545  (class class class)co 7409  Ο‰com 7855  reccrdg 8409  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   < clt 11248  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823
This theorem is referenced by:  ltwenn  13927  ltwefz  13928  uzsinds  13952  bpolylem  15992  ltbwe  21599  dyadmax  25115  omeiunle  45233
  Copyright terms: Public domain W3C validator