Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | psubspset.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
2 | | psubspset.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
3 | | psubspset.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
4 | | psubspset.s |
. . . 4
β’ π = (PSubSpβπΎ) |
5 | 1, 2, 3, 4 | psubspset 38257 |
. . 3
β’ (πΎ β π· β π = {π₯ β£ (π₯ β π΄ β§ βπ β π₯ βπ β π₯ βπ β π΄ (π β€ (π β¨ π) β π β π₯))}) |
6 | 5 | eleq2d 2820 |
. 2
β’ (πΎ β π· β (π β π β π β {π₯ β£ (π₯ β π΄ β§ βπ β π₯ βπ β π₯ βπ β π΄ (π β€ (π β¨ π) β π β π₯))})) |
7 | 3 | fvexi 6860 |
. . . . 5
β’ π΄ β V |
8 | 7 | ssex 5282 |
. . . 4
β’ (π β π΄ β π β V) |
9 | 8 | adantr 482 |
. . 3
β’ ((π β π΄ β§ βπ β π βπ β π βπ β π΄ (π β€ (π β¨ π) β π β π)) β π β V) |
10 | | sseq1 3973 |
. . . 4
β’ (π₯ = π β (π₯ β π΄ β π β π΄)) |
11 | | eleq2 2823 |
. . . . . . . 8
β’ (π₯ = π β (π β π₯ β π β π)) |
12 | 11 | imbi2d 341 |
. . . . . . 7
β’ (π₯ = π β ((π β€ (π β¨ π) β π β π₯) β (π β€ (π β¨ π) β π β π))) |
13 | 12 | ralbidv 3171 |
. . . . . 6
β’ (π₯ = π β (βπ β π΄ (π β€ (π β¨ π) β π β π₯) β βπ β π΄ (π β€ (π β¨ π) β π β π))) |
14 | 13 | raleqbi1dv 3306 |
. . . . 5
β’ (π₯ = π β (βπ β π₯ βπ β π΄ (π β€ (π β¨ π) β π β π₯) β βπ β π βπ β π΄ (π β€ (π β¨ π) β π β π))) |
15 | 14 | raleqbi1dv 3306 |
. . . 4
β’ (π₯ = π β (βπ β π₯ βπ β π₯ βπ β π΄ (π β€ (π β¨ π) β π β π₯) β βπ β π βπ β π βπ β π΄ (π β€ (π β¨ π) β π β π))) |
16 | 10, 15 | anbi12d 632 |
. . 3
β’ (π₯ = π β ((π₯ β π΄ β§ βπ β π₯ βπ β π₯ βπ β π΄ (π β€ (π β¨ π) β π β π₯)) β (π β π΄ β§ βπ β π βπ β π βπ β π΄ (π β€ (π β¨ π) β π β π)))) |
17 | 9, 16 | elab3 3642 |
. 2
β’ (π β {π₯ β£ (π₯ β π΄ β§ βπ β π₯ βπ β π₯ βπ β π΄ (π β€ (π β¨ π) β π β π₯))} β (π β π΄ β§ βπ β π βπ β π βπ β π΄ (π β€ (π β¨ π) β π β π))) |
18 | 6, 17 | bitrdi 287 |
1
β’ (πΎ β π· β (π β π β (π β π΄ β§ βπ β π βπ β π βπ β π΄ (π β€ (π β¨ π) β π β π)))) |