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Theorem pmapsub 39095
Description: The projective map of a Hilbert lattice maps to projective subspaces. Part of Theorem 15.5 of [MaedaMaeda] p. 62. (Contributed by NM, 17-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapsub.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
pmapsub.s 𝑆 = (PSubSpβ€˜πΎ)
pmapsub.m 𝑀 = (pmapβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
pmapsub ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑆)
Proof of Theorem pmapsub
Dummy variables π‘ž 𝑝 π‘Ÿ 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pmapsub.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2724 . . 3 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
3 eqid 2724 . . 3 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
4 pmapsub.m . . 3 𝑀 = (pmapβ€˜πΎ)
51, 2, 3, 4pmapval 39084 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘€β€˜π‘‹) = {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)𝑋})
6 breq1 5141 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = 𝑝 β†’ (𝑐(leβ€˜πΎ)𝑋 ↔ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋))
76elrab 3675 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 ∈ {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)𝑋} ↔ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋))
81, 3atbase 38615 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
98anim1i 614 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋) β†’ (𝑝 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋))
107, 9sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)𝑋} β†’ (𝑝 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋))
11 breq1 5141 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = π‘ž β†’ (𝑐(leβ€˜πΎ)𝑋 ↔ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋))
1211elrab 3675 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ž ∈ {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)𝑋} ↔ (π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋))
131, 3atbase 38615 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ) β†’ π‘ž ∈ 𝐡)
1413anim1i 614 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋) β†’ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋))
1512, 14sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ž ∈ {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)𝑋} β†’ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋))
1610, 15anim12i 612 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)𝑋} ∧ π‘ž ∈ {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)𝑋}) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋) ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋)))
17 an4 653 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋) ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋)) ↔ ((𝑝 ∈ 𝐡 ∧ π‘ž ∈ 𝐡) ∧ (𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋)))
1816, 17sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)𝑋} ∧ π‘ž ∈ {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)𝑋}) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐡 ∧ π‘ž ∈ 𝐡) ∧ (𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋)))
1918anim2i 616 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)𝑋} ∧ π‘ž ∈ {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)𝑋})) β†’ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐡 ∧ π‘ž ∈ 𝐡) ∧ (𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋))))
201, 3atbase 38615 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐡)
21 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
221, 2, 21latjle12 18402 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐡 ∧ π‘ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋) ↔ (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋))
2322biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐡 ∧ π‘ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋) β†’ (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋))
24233exp2 1351 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ Lat β†’ (𝑝 ∈ 𝐡 β†’ (π‘ž ∈ 𝐡 β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋) β†’ (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)))))
2524impd 410 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ Lat β†’ ((𝑝 ∈ 𝐡 ∧ π‘ž ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋) β†’ (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋))))
2625com23 86 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ Lat β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ ((𝑝 ∈ 𝐡 ∧ π‘ž ∈ 𝐡) β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋) β†’ (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋))))
2726imp43 427 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐡 ∧ π‘ž ∈ 𝐡) ∧ (𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋))) β†’ (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)
2827adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐡 ∧ π‘ž ∈ 𝐡) ∧ (𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡) β†’ (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)
291, 21latjcl 18391 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑝 ∈ 𝐡 ∧ π‘ž ∈ 𝐡) β†’ (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∈ 𝐡)
30293expib 1119 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ Lat β†’ ((𝑝 ∈ 𝐡 ∧ π‘ž ∈ 𝐡) β†’ (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∈ 𝐡))
311, 2lattr 18396 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐡 ∧ (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋) β†’ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋))
32313exp2 1351 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ Lat β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝐡 β†’ ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∈ 𝐡 β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ ((π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋) β†’ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋)))))
3332com24 95 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ Lat β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∈ 𝐡 β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝐡 β†’ ((π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋) β†’ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋)))))
3430, 33syl5d 73 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ Lat β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ ((𝑝 ∈ 𝐡 ∧ π‘ž ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝐡 β†’ ((π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋) β†’ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋)))))
3534imp41 425 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐡 ∧ π‘ž ∈ 𝐡)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋) β†’ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋))
3635adantlrr 718 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐡 ∧ π‘ž ∈ 𝐡) ∧ (𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋) β†’ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋))
3728, 36mpan2d 691 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐡 ∧ π‘ž ∈ 𝐡) ∧ (𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) β†’ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋))
3819, 20, 37syl2an 595 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)𝑋} ∧ π‘ž ∈ {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)𝑋})) ∧ π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) β†’ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋))
39 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)𝑋} ∧ π‘ž ∈ {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)𝑋})) ∧ π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
4038, 39jctild 525 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)𝑋} ∧ π‘ž ∈ {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)𝑋})) ∧ π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) β†’ (π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋)))
41 breq1 5141 . . . . . . . 8 (𝑐 = π‘Ÿ β†’ (𝑐(leβ€˜πΎ)𝑋 ↔ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋))
4241elrab 3675 . . . . . . 7 (π‘Ÿ ∈ {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)𝑋} ↔ (π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋))
4340, 42imbitrrdi 251 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)𝑋} ∧ π‘ž ∈ {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)𝑋})) ∧ π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) β†’ π‘Ÿ ∈ {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)𝑋}))
4443ralrimiva 3138 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)𝑋} ∧ π‘ž ∈ {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)𝑋})) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) β†’ π‘Ÿ ∈ {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)𝑋}))
4544ralrimivva 3192 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘ ∈ {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)𝑋}βˆ€π‘ž ∈ {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)𝑋}βˆ€π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) β†’ π‘Ÿ ∈ {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)𝑋}))
46 ssrab2 4069 . . . 4 {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)𝑋} βŠ† (Atomsβ€˜πΎ)
4745, 46jctil 519 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ({𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)𝑋} βŠ† (Atomsβ€˜πΎ) ∧ βˆ€π‘ ∈ {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)𝑋}βˆ€π‘ž ∈ {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)𝑋}βˆ€π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) β†’ π‘Ÿ ∈ {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)𝑋})))
48 pmapsub.s . . . . 5 𝑆 = (PSubSpβ€˜πΎ)
492, 21, 3, 48ispsubsp 39072 . . . 4 (𝐾 ∈ Lat β†’ ({𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)𝑋} ∈ 𝑆 ↔ ({𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)𝑋} βŠ† (Atomsβ€˜πΎ) ∧ βˆ€π‘ ∈ {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)𝑋}βˆ€π‘ž ∈ {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)𝑋}βˆ€π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) β†’ π‘Ÿ ∈ {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)𝑋}))))
5049adantr 480 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ({𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)𝑋} ∈ 𝑆 ↔ ({𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)𝑋} βŠ† (Atomsβ€˜πΎ) ∧ βˆ€π‘ ∈ {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)𝑋}βˆ€π‘ž ∈ {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)𝑋}βˆ€π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) β†’ π‘Ÿ ∈ {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)𝑋}))))
5147, 50mpbird 257 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)𝑋} ∈ 𝑆)
525, 51eqeltrd 2825 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  {crab 3424   βŠ† wss 3940   class class class wbr 5138  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18263  Latclat 18383  Atomscatm 38589  PSubSpcpsubsp 38823  pmapcpmap 38824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-poset 18265  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-lat 18384  df-ats 38593  df-psubsp 38830  df-pmap 38831
This theorem is referenced by:  hlmod1i  39183  polsubN  39234  pl42lem4N  39309
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