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Theorem pclfinN 37196
Description: The projective subspace closure of a set equals the union of the closures of its finite subsets. Analogous to Lemma 3.3.6 of [PtakPulmannova] p. 72. Compare the closed subspace version pclfinclN 37246. (Contributed by NM, 10-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pclfin.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pclfin.c 𝑈 = (PCl‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
pclfinN ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (𝑈𝑋) = 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑈   𝑦,𝐾   𝑦,𝑋

Proof of Theorem pclfinN
Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
2 elin 3897 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ↔ (𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋))
3 elpwi 4506 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋)
43adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑦𝑋)
52, 4sylbi 220 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → 𝑦𝑋)
6 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑋) → 𝐾 ∈ AtLat)
7 sstr 3923 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦𝑋𝑋𝐴) → 𝑦𝐴)
87ancoms 462 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐴𝑦𝑋) → 𝑦𝐴)
98adantll 713 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑦𝐴)
10 pclfin.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
11 eqid 2798 . . . . . . . . . . 11 (PSubSp‘𝐾) = (PSubSp‘𝐾)
12 pclfin.c . . . . . . . . . . 11 𝑈 = (PCl‘𝐾)
1310, 11, 12pclclN 37187 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑦𝐴) → (𝑈𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾))
146, 9, 13syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑈𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾))
1510, 11psubssat 37050 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑈𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾)) → (𝑈𝑦) ⊆ 𝐴)
166, 14, 15syl2anc 587 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑈𝑦) ⊆ 𝐴)
1716ex 416 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (𝑦𝑋 → (𝑈𝑦) ⊆ 𝐴))
185, 17syl5 34 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑈𝑦) ⊆ 𝐴))
1918ralrimiv 3148 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → ∀𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ⊆ 𝐴)
20 iunss 4932 . . . . 5 ( 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ⊆ 𝐴)
2119, 20sylibr 237 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ⊆ 𝐴)
22 eliun 4885 . . . . . . . . 9 (𝑝 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈𝑦))
23 fveq2 6645 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑤 → (𝑈𝑦) = (𝑈𝑤))
2423eleq2d 2875 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑤 → (𝑝 ∈ (𝑈𝑦) ↔ 𝑝 ∈ (𝑈𝑤)))
2524cbvrexvw 3397 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈𝑦) ↔ ∃𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈𝑤))
2622, 25bitri 278 . . . . . . . 8 (𝑝 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ↔ ∃𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈𝑤))
27 eliun 4885 . . . . . . . . 9 (𝑞 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈𝑦))
28 fveq2 6645 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑣 → (𝑈𝑦) = (𝑈𝑣))
2928eleq2d 2875 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑣 → (𝑞 ∈ (𝑈𝑦) ↔ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)))
3029cbvrexvw 3397 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈𝑦) ↔ ∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈𝑣))
3127, 30bitri 278 . . . . . . . 8 (𝑞 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ↔ ∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈𝑣))
3226, 31anbi12i 629 . . . . . . 7 ((𝑝 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ∧ 𝑞 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)) ↔ (∃𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ ∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈𝑣)))
33 elin 3897 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ↔ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 𝑋))
34 elpwi 4506 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ 𝒫 𝑋𝑤𝑋)
3534anim2i 619 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋))
3633, 35sylbi 220 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋))
37 elin 3897 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ↔ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ 𝒫 𝑋))
38 elpwi 4506 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∈ 𝒫 𝑋𝑣𝑋)
3938anim2i 619 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋))
4037, 39sylbi 220 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋))
41 simp2rl 1239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑤 ∈ Fin)
42 simp12l 1283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑣 ∈ Fin)
43 unfi 8769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ Fin) → (𝑤𝑣) ∈ Fin)
4441, 42, 43syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑤𝑣) ∈ Fin)
45 simp2rr 1240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑤𝑋)
46 simp12r 1284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑣𝑋)
4745, 46unssd 4113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑤𝑣) ⊆ 𝑋)
48 vex 3444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑤 ∈ V
49 vex 3444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑣 ∈ V
5048, 49unex 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤𝑣) ∈ V
5150elpw 4501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑤𝑣) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑤𝑣) ⊆ 𝑋)
5247, 51sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑤𝑣) ∈ 𝒫 𝑋)
5344, 52elind 4121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑤𝑣) ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋))
54 simp11l 1281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝐾 ∈ AtLat)
55 simp11r 1282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑋𝐴)
5645, 55sstrd 3925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑤𝐴)
5746, 55sstrd 3925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑣𝐴)
5856, 57unssd 4113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑤𝑣) ⊆ 𝐴)
5910, 11, 12pclclN 37187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑤𝑣) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘(𝑤𝑣)) ∈ (PSubSp‘𝐾))
6054, 58, 59syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑈‘(𝑤𝑣)) ∈ (PSubSp‘𝐾))
61 simp3l 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑟𝐴)
62 ssun1 4099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑤 ⊆ (𝑤𝑣)
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑤 ⊆ (𝑤𝑣))
6410, 12pclssN 37190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑤 ⊆ (𝑤𝑣) ∧ (𝑤𝑣) ⊆ 𝐴) → (𝑈𝑤) ⊆ (𝑈‘(𝑤𝑣)))
6554, 63, 58, 64syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑈𝑤) ⊆ (𝑈‘(𝑤𝑣)))
66 simp2l 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑝 ∈ (𝑈𝑤))
6765, 66sseldd 3916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑝 ∈ (𝑈‘(𝑤𝑣)))
68 ssun2 4100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑣 ⊆ (𝑤𝑣)
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑣 ⊆ (𝑤𝑣))
7010, 12pclssN 37190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑣 ⊆ (𝑤𝑣) ∧ (𝑤𝑣) ⊆ 𝐴) → (𝑈𝑣) ⊆ (𝑈‘(𝑤𝑣)))
7154, 69, 58, 70syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑈𝑣) ⊆ (𝑈‘(𝑤𝑣)))
72 simp13 1202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑞 ∈ (𝑈𝑣))
7371, 72sseldd 3916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑞 ∈ (𝑈‘(𝑤𝑣)))
74 simp3r 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))
75 eqid 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
76 eqid 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
7775, 76, 10, 11psubspi2N 37044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑈‘(𝑤𝑣)) ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘(𝑤𝑣)) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘(𝑤𝑣)) ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑟 ∈ (𝑈‘(𝑤𝑣)))
7854, 60, 61, 67, 73, 74, 77syl33anc 1382 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑟 ∈ (𝑈‘(𝑤𝑣)))
79 fveq2 6645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (𝑤𝑣) → (𝑈𝑦) = (𝑈‘(𝑤𝑣)))
8079eleq2d 2875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (𝑤𝑣) → (𝑟 ∈ (𝑈𝑦) ↔ 𝑟 ∈ (𝑈‘(𝑤𝑣))))
8180rspcev 3571 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤𝑣) ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈‘(𝑤𝑣))) → ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑟 ∈ (𝑈𝑦))
8253, 78, 81syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑟 ∈ (𝑈𝑦))
83 eliun 4885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑟 ∈ (𝑈𝑦))
8482, 83sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦))
85843exp 1116 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) → ((𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) → ((𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞)) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦))))
8685exp5c 448 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) → (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) → ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋) → (𝑟𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦))))))
87863exp 1116 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → ((𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) → (𝑞 ∈ (𝑈𝑣) → (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) → ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋) → (𝑟𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦))))))))
8840, 87syl5 34 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑞 ∈ (𝑈𝑣) → (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) → ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋) → (𝑟𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦))))))))
8988rexlimdv 3242 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈𝑣) → (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) → ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋) → (𝑟𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)))))))
9089com24 95 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋) → (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) → (∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈𝑣) → (𝑟𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)))))))
9136, 90syl5 34 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) → (∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈𝑣) → (𝑟𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)))))))
9291rexlimdv 3242 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (∃𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈𝑤) → (∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈𝑣) → (𝑟𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦))))))
9392impd 414 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → ((∃𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ ∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) → (𝑟𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)))))
9432, 93syl5bi 245 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → ((𝑝 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ∧ 𝑞 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)) → (𝑟𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)))))
9594ralrimdv 3153 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → ((𝑝 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ∧ 𝑞 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)) → ∀𝑟𝐴 (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦))))
9695ralrimivv 3155 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → ∀𝑝 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)∀𝑞 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)∀𝑟𝐴 (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)))
9775, 76, 10, 11ispsubsp 37041 . . . . 5 (𝐾 ∈ AtLat → ( 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾) ↔ ( 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑝 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)∀𝑞 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)∀𝑟𝐴 (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)))))
9897adantr 484 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → ( 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾) ↔ ( 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑝 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)∀𝑞 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)∀𝑟𝐴 (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)))))
9921, 96, 98mpbir2and 712 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾))
100 snfi 8577 . . . . . . . . 9 {𝑤} ∈ Fin
101100a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑤𝑋) → {𝑤} ∈ Fin)
102 snelpwi 5302 . . . . . . . . 9 (𝑤𝑋 → {𝑤} ∈ 𝒫 𝑋)
103102adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑤𝑋) → {𝑤} ∈ 𝒫 𝑋)
104101, 103elind 4121 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑤𝑋) → {𝑤} ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋))
105 vsnid 4562 . . . . . . . 8 𝑤 ∈ {𝑤}
106 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑤𝑋) → 𝐾 ∈ AtLat)
107 ssel2 3910 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐴𝑤𝑋) → 𝑤𝐴)
108107adantll 713 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑤𝑋) → 𝑤𝐴)
10910, 11snatpsubN 37046 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑤𝐴) → {𝑤} ∈ (PSubSp‘𝐾))
110106, 108, 109syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑤𝑋) → {𝑤} ∈ (PSubSp‘𝐾))
11111, 12pclidN 37192 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ {𝑤} ∈ (PSubSp‘𝐾)) → (𝑈‘{𝑤}) = {𝑤})
112106, 110, 111syl2anc 587 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑤𝑋) → (𝑈‘{𝑤}) = {𝑤})
113105, 112eleqtrrid 2897 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑤𝑋) → 𝑤 ∈ (𝑈‘{𝑤}))
114 fveq2 6645 . . . . . . . . 9 (𝑦 = {𝑤} → (𝑈𝑦) = (𝑈‘{𝑤}))
115114eleq2d 2875 . . . . . . . 8 (𝑦 = {𝑤} → (𝑤 ∈ (𝑈𝑦) ↔ 𝑤 ∈ (𝑈‘{𝑤})))
116115rspcev 3571 . . . . . . 7 (({𝑤} ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈‘{𝑤})) → ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑤 ∈ (𝑈𝑦))
117104, 113, 116syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑤𝑋) → ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑤 ∈ (𝑈𝑦))
118117ex 416 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (𝑤𝑋 → ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑤 ∈ (𝑈𝑦)))
119 eliun 4885 . . . . 5 (𝑤 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑤 ∈ (𝑈𝑦))
120118, 119syl6ibr 255 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (𝑤𝑋𝑤 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)))
121120ssrdv 3921 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦))
122 simpr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑦𝑋)
123 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑋𝐴)
12410, 12pclssN 37190 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑦𝑋𝑋𝐴) → (𝑈𝑦) ⊆ (𝑈𝑋))
1256, 122, 123, 124syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑈𝑦) ⊆ (𝑈𝑋))
126125sseld 3914 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑤 ∈ (𝑈𝑦) → 𝑤 ∈ (𝑈𝑋)))
127126ex 416 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (𝑦𝑋 → (𝑤 ∈ (𝑈𝑦) → 𝑤 ∈ (𝑈𝑋))))
1285, 127syl5 34 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑤 ∈ (𝑈𝑦) → 𝑤 ∈ (𝑈𝑋))))
129128rexlimdv 3242 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑤 ∈ (𝑈𝑦) → 𝑤 ∈ (𝑈𝑋)))
130119, 129syl5bi 245 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (𝑤 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) → 𝑤 ∈ (𝑈𝑋)))
131130ssrdv 3921 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ⊆ (𝑈𝑋))
13211, 12pclbtwnN 37193 . . 3 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾)) ∧ (𝑋 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ∧ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ⊆ (𝑈𝑋))) → 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) = (𝑈𝑋))
1331, 99, 121, 131, 132syl22anc 837 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) = (𝑈𝑋))
134133eqcomd 2804 1 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (𝑈𝑋) = 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2111  wral 3106  wrex 3107  cun 3879  cin 3880  wss 3881  𝒫 cpw 4497  {csn 4525   ciun 4881   class class class wbr 5030  cfv 6324  (class class class)co 7135  Fincfn 8492  lecple 16564  joincjn 17546  Atomscatm 36559  AtLatcal 36560  PSubSpcpsubsp 36792  PClcpclN 37183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-fin 8496  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-lat 17648  df-covers 36562  df-ats 36563  df-atl 36594  df-psubsp 36799  df-pclN 37184
This theorem is referenced by:  pclcmpatN  37197
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