Theorem pclfinN 40781

Description: The projective subspace closure of a set equals the union of the closures of its finite subsets. Analogous to Lemma 3.3.6 of [PtakPulmannova] p. 72. Compare the closed subspace version pclfinclN 40831. (Contributed by NM, 10-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pclfin.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pclfin.c	⊢ 𝑈 = (PCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pclfinN	⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑋) = ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑈   𝑦,𝐾   𝑦,𝑋

Proof of Theorem pclfinN

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
2		elin 3918	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ↔ (𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋))
3		elpwi 4567	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑦 ⊆ 𝑋)
4	3	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
5	2, 4	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
6		simpll 779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → 𝐾 ∈ AtLat)
7		sstr 3942	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
8	7	ancoms 464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
9	8	adantll 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
10		pclfin.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
11		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (PSubSp‘𝐾) = (PSubSp‘𝐾)
12		pclfin.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 = (PCl‘𝐾)
13	10, 11, 12	pclclN 40772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾))
14	6, 9, 13	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → (𝑈‘𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾))
15	10, 11	psubssat 40635	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑈‘𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾)) → (𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴)
16	6, 14, 15	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → (𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴)
17	16	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑦 ⊆ 𝑋 → (𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴))
18	5, 17	syl5 35	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴))
19	18	ralrimiv 3155	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴)
20		iunss 5007	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴)
21	19, 20	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴)
22		eliun 4958	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦))
23		fveq2 6882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑈‘𝑦) = (𝑈‘𝑤))
24	23	eleq2d 2848	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦) ↔ 𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤)))
25	24	cbvrexvw 3243	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦) ↔ ∃𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤))
26	22, 25	bitri 278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ↔ ∃𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤))
27		eliun 4958	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈‘𝑦))
28		fveq2 6882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑈‘𝑦) = (𝑈‘𝑣))
29	28	eleq2d 2848	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑞 ∈ (𝑈‘𝑦) ↔ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)))
30	29	cbvrexvw 3243	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈‘𝑦) ↔ ∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣))
31	27, 30	bitri 278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ↔ ∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣))
32	26, 31	anbi12i 640	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)) ↔ (∃𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ ∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)))
33		elin 3918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ↔ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 𝑋))
34		elpwi 4567	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑤 ⊆ 𝑋)
35	34	anim2i 629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋))
36	33, 35	sylbi 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋))
37		elin 3918	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ↔ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ 𝒫 𝑋))
38		elpwi 4567	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑣 ⊆ 𝑋)
39	38	anim2i 629	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋))
40	37, 39	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋))
41		simp2rl 1261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑤 ∈ Fin)
42		simp12l 1305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑣 ∈ Fin)
43		unfi 9169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ Fin) → (𝑤 ∪ 𝑣) ∈ Fin)
44	41, 42, 43	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑤 ∪ 𝑣) ∈ Fin)
45		simp2rr 1262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑤 ⊆ 𝑋)
46		simp12r 1306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑣 ⊆ 𝑋)
47	45, 46	unssd 4141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑤 ∪ 𝑣) ⊆ 𝑋)
48		vex 3457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝑤 ∈ V
49		vex 3457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝑣 ∈ V
50	48, 49	unex 7750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑤 ∪ 𝑣) ∈ V
51	50	elpw 4564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑤 ∪ 𝑣) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑤 ∪ 𝑣) ⊆ 𝑋)
52	47, 51	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑤 ∪ 𝑣) ∈ 𝒫 𝑋)
53	44, 52	elind 4149	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑤 ∪ 𝑣) ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋))
54		simp11l 1303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝐾 ∈ AtLat)
55		simp11r 1304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
56	45, 55	sstrd 3944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑤 ⊆ 𝐴)
57	46, 55	sstrd 3944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑣 ⊆ 𝐴)
58	56, 57	unssd 4141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑤 ∪ 𝑣) ⊆ 𝐴)
59	10, 11, 12	pclclN 40772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑤 ∪ 𝑣) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)) ∈ (PSubSp‘𝐾))
60	54, 58, 59	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)) ∈ (PSubSp‘𝐾))
61		simp3l 1220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑟 ∈ 𝐴)
62		ssun1 4127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝑤 ⊆ (𝑤 ∪ 𝑣)
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑤 ⊆ (𝑤 ∪ 𝑣))
64	10, 12	pclssN 40775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑤 ⊆ (𝑤 ∪ 𝑣) ∧ (𝑤 ∪ 𝑣) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑤) ⊆ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)))
65	54, 63, 58, 64	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑈‘𝑤) ⊆ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)))
66		simp2l 1218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤))
67	65, 66	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑝 ∈ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)))
68		ssun2 4128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝑣 ⊆ (𝑤 ∪ 𝑣)
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑣 ⊆ (𝑤 ∪ 𝑣))
70	10, 12	pclssN 40775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑣 ⊆ (𝑤 ∪ 𝑣) ∧ (𝑤 ∪ 𝑣) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑣) ⊆ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)))
71	54, 69, 58, 70	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑈‘𝑣) ⊆ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)))
72		simp13 1224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣))
73	71, 72	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑞 ∈ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)))
74		simp3r 1221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))
75		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
76		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
77	75, 76, 10, 11	psubspi2N 40629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)) ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)) ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑟 ∈ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)))
78	54, 60, 61, 67, 73, 74, 77	syl33anc 1412	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑟 ∈ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)))
79		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = (𝑤 ∪ 𝑣) → (𝑈‘𝑦) = (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)))
80	79	eleq2d 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = (𝑤 ∪ 𝑣) → (𝑟 ∈ (𝑈‘𝑦) ↔ 𝑟 ∈ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣))))
81	80	rspcev 3579	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∪ 𝑣) ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣))) → ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑟 ∈ (𝑈‘𝑦))
82	53, 78, 81	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑟 ∈ (𝑈‘𝑦))
83		eliun 4958	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑟 ∈ (𝑈‘𝑦))
84	82, 83	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦))
85	84	3exp 1137	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) → ((𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) → ((𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞)) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦))))
86	85	exp5c 450	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) → (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) → ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦))))))
87	86	3exp 1137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) → (𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣) → (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) → ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦))))))))
88	40, 87	syl5 35	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣) → (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) → ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦))))))))
89	88	rexlimdv 3163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣) → (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) → ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)))))))
90	89	com24 96	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋) → (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) → (∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)))))))
91	36, 90	syl5 35	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) → (∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)))))))
92	91	rexlimdv 3163	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (∃𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) → (∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦))))))
93	92	impd 416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((∃𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ ∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)))))
94	32, 93	biimtrid 245	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((𝑝 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)))))
95	94	ralrimdv 3162	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((𝑝 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)) → ∀𝑟 ∈ 𝐴 (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦))))
96	95	ralrimivv 3205	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ∀𝑝 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)∀𝑞 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)∀𝑟 ∈ 𝐴 (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)))
97	75, 76, 10, 11	ispsubsp 40626	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → (∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾) ↔ (∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑝 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)∀𝑞 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)∀𝑟 ∈ 𝐴 (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)))))
98	97	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾) ↔ (∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑝 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)∀𝑞 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)∀𝑟 ∈ 𝐴 (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)))))
99	21, 96, 98	mpbir2and 726	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾))
100		snfi 9054	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑤} ∈ Fin
101	100	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → {𝑤} ∈ Fin)
102		snelpwi 5423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑋 → {𝑤} ∈ 𝒫 𝑋)
103	102	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → {𝑤} ∈ 𝒫 𝑋)
104	101, 103	elind 4149	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → {𝑤} ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋))
105		vsnid 4627	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑤 ∈ {𝑤}
106		simpll 779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝐾 ∈ AtLat)
107		ssel2 3929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝑤 ∈ 𝐴)
108	107	adantll 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝑤 ∈ 𝐴)
109	10, 11	snatpsubN 40631	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → {𝑤} ∈ (PSubSp‘𝐾))
110	106, 108, 109	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → {𝑤} ∈ (PSubSp‘𝐾))
111	11, 12	pclidN 40777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ {𝑤} ∈ (PSubSp‘𝐾)) → (𝑈‘{𝑤}) = {𝑤})
112	106, 110, 111	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝑈‘{𝑤}) = {𝑤})
113	105, 112	eleqtrrid 2869	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝑤 ∈ (𝑈‘{𝑤}))
114		fveq2 6882	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = {𝑤} → (𝑈‘𝑦) = (𝑈‘{𝑤}))
115	114	eleq2d 2848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = {𝑤} → (𝑤 ∈ (𝑈‘𝑦) ↔ 𝑤 ∈ (𝑈‘{𝑤})))
116	115	rspcev 3579	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑤} ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈‘{𝑤})) → ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑤 ∈ (𝑈‘𝑦))
117	104, 113, 116	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑤 ∈ (𝑈‘𝑦))
118	117	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑤 ∈ 𝑋 → ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑤 ∈ (𝑈‘𝑦)))
119		eliun 4958	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑤 ∈ (𝑈‘𝑦))
120	118, 119	imbitrrdi 255	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑤 ∈ 𝑋 → 𝑤 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)))
121	120	ssrdv 3940	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦))
122		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
123		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
124	10, 12	pclssN 40775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑦) ⊆ (𝑈‘𝑋))
125	6, 122, 123, 124	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → (𝑈‘𝑦) ⊆ (𝑈‘𝑋))
126	125	sseld 3933	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → (𝑤 ∈ (𝑈‘𝑦) → 𝑤 ∈ (𝑈‘𝑋)))
127	126	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑦 ⊆ 𝑋 → (𝑤 ∈ (𝑈‘𝑦) → 𝑤 ∈ (𝑈‘𝑋))))
128	5, 127	syl5 35	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑤 ∈ (𝑈‘𝑦) → 𝑤 ∈ (𝑈‘𝑋))))
129	128	rexlimdv 3163	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑤 ∈ (𝑈‘𝑦) → 𝑤 ∈ (𝑈‘𝑋)))
130	119, 129	biimtrid 245	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑤 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) → 𝑤 ∈ (𝑈‘𝑋)))
131	130	ssrdv 3940	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ⊆ (𝑈‘𝑋))
132	11, 12	pclbtwnN 40778	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾)) ∧ (𝑋 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ∧ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ⊆ (𝑈‘𝑋))) → ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) = (𝑈‘𝑋))
133	1, 99, 121, 131, 132	syl22anc 852	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) = (𝑈‘𝑋))
134	133	eqcomd 2768	1 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑋) = ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   ∪ cun 3900   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4560  {csn 4587  ∪ ciun 4954   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Fincfn 8956  lecple 17355  joincjn 18405  Atomscatm 40144  AtLatcal 40145  PSubSpcpsubsp 40377  PClcpclN 40768

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-om 7867  df-1o 8459  df-en 8957  df-fin 8960  df-proset 18388  df-poset 18407  df-plt 18422  df-lub 18438  df-glb 18439  df-join 18440  df-meet 18441  df-p0 18517  df-lat 18526  df-covers 40147  df-ats 40148  df-atl 40179  df-psubsp 40384  df-pclN 40769

This theorem is used by:  pclcmpatN  40782