Theorem pclfinN 40399

Description: The projective subspace closure of a set equals the union of the closures of its finite subsets. Analogous to Lemma 3.3.6 of [PtakPulmannova] p. 72. Compare the closed subspace version pclfinclN 40449. (Contributed by NM, 10-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pclfin.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pclfin.c	⊢ 𝑈 = (PCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pclfinN	⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑋) = ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑈   𝑦,𝐾   𝑦,𝑋

Proof of Theorem pclfinN

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
2		elin 3906	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ↔ (𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋))
3		elpwi 4543	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑦 ⊆ 𝑋)
4	3	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
5	2, 4	sylbi 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
6		simpll 772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → 𝐾 ∈ AtLat)
7		sstr 3930	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
8	7	ancoms 459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
9	8	adantll 720	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
10		pclfin.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
11		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (PSubSp‘𝐾) = (PSubSp‘𝐾)
12		pclfin.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 = (PCl‘𝐾)
13	10, 11, 12	pclclN 40390	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾))
14	6, 9, 13	syl2anc 590	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → (𝑈‘𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾))
15	10, 11	psubssat 40253	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑈‘𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾)) → (𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴)
16	6, 14, 15	syl2anc 590	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → (𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴)
17	16	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑦 ⊆ 𝑋 → (𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴))
18	5, 17	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴))
19	18	ralrimiv 3131	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴)
20		iunss 4981	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴)
21	19, 20	sylibr 235	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴)
22		eliun 4932	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦))
23		fveq2 6834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑈‘𝑦) = (𝑈‘𝑤))
24	23	eleq2d 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦) ↔ 𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤)))
25	24	cbvrexvw 3219	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦) ↔ ∃𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤))
26	22, 25	bitri 276	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ↔ ∃𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤))
27		eliun 4932	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈‘𝑦))
28		fveq2 6834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑈‘𝑦) = (𝑈‘𝑣))
29	28	eleq2d 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑞 ∈ (𝑈‘𝑦) ↔ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)))
30	29	cbvrexvw 3219	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈‘𝑦) ↔ ∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣))
31	27, 30	bitri 276	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ↔ ∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣))
32	26, 31	anbi12i 634	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)) ↔ (∃𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ ∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)))
33		elin 3906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ↔ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 𝑋))
34		elpwi 4543	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑤 ⊆ 𝑋)
35	34	anim2i 623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋))
36	33, 35	sylbi 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋))
37		elin 3906	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ↔ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ 𝒫 𝑋))
38		elpwi 4543	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑣 ⊆ 𝑋)
39	38	anim2i 623	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋))
40	37, 39	sylbi 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋))
41		simp2rl 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑤 ∈ Fin)
42		simp12l 1293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑣 ∈ Fin)
43		unfi 9102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ Fin) → (𝑤 ∪ 𝑣) ∈ Fin)
44	41, 42, 43	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑤 ∪ 𝑣) ∈ Fin)
45		simp2rr 1250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑤 ⊆ 𝑋)
46		simp12r 1294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑣 ⊆ 𝑋)
47	45, 46	unssd 4128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑤 ∪ 𝑣) ⊆ 𝑋)
48		vex 3436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝑤 ∈ V
49		vex 3436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝑣 ∈ V
50	48, 49	unex 7694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑤 ∪ 𝑣) ∈ V
51	50	elpw 4540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑤 ∪ 𝑣) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑤 ∪ 𝑣) ⊆ 𝑋)
52	47, 51	sylibr 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑤 ∪ 𝑣) ∈ 𝒫 𝑋)
53	44, 52	elind 4136	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑤 ∪ 𝑣) ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋))
54		simp11l 1291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝐾 ∈ AtLat)
55		simp11r 1292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
56	45, 55	sstrd 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑤 ⊆ 𝐴)
57	46, 55	sstrd 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑣 ⊆ 𝐴)
58	56, 57	unssd 4128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑤 ∪ 𝑣) ⊆ 𝐴)
59	10, 11, 12	pclclN 40390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑤 ∪ 𝑣) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)) ∈ (PSubSp‘𝐾))
60	54, 58, 59	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)) ∈ (PSubSp‘𝐾))
61		simp3l 1208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑟 ∈ 𝐴)
62		ssun1 4114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝑤 ⊆ (𝑤 ∪ 𝑣)
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑤 ⊆ (𝑤 ∪ 𝑣))
64	10, 12	pclssN 40393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑤 ⊆ (𝑤 ∪ 𝑣) ∧ (𝑤 ∪ 𝑣) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑤) ⊆ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)))
65	54, 63, 58, 64	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑈‘𝑤) ⊆ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)))
66		simp2l 1206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤))
67	65, 66	sseldd 3923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑝 ∈ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)))
68		ssun2 4115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝑣 ⊆ (𝑤 ∪ 𝑣)
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑣 ⊆ (𝑤 ∪ 𝑣))
70	10, 12	pclssN 40393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑣 ⊆ (𝑤 ∪ 𝑣) ∧ (𝑤 ∪ 𝑣) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑣) ⊆ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)))
71	54, 69, 58, 70	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑈‘𝑣) ⊆ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)))
72		simp13 1212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣))
73	71, 72	sseldd 3923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑞 ∈ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)))
74		simp3r 1209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))
75		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
76		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
77	75, 76, 10, 11	psubspi2N 40247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)) ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)) ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑟 ∈ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)))
78	54, 60, 61, 67, 73, 74, 77	syl33anc 1393	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑟 ∈ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)))
79		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = (𝑤 ∪ 𝑣) → (𝑈‘𝑦) = (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)))
80	79	eleq2d 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = (𝑤 ∪ 𝑣) → (𝑟 ∈ (𝑈‘𝑦) ↔ 𝑟 ∈ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣))))
81	80	rspcev 3567	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∪ 𝑣) ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣))) → ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑟 ∈ (𝑈‘𝑦))
82	53, 78, 81	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑟 ∈ (𝑈‘𝑦))
83		eliun 4932	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑟 ∈ (𝑈‘𝑦))
84	82, 83	sylibr 235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦))
85	84	3exp 1125	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) → ((𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) → ((𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞)) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦))))
86	85	exp5c 445	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) → (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) → ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦))))))
87	86	3exp 1125	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) → (𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣) → (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) → ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦))))))))
88	40, 87	syl5 34	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣) → (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) → ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦))))))))
89	88	rexlimdv 3139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣) → (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) → ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)))))))
90	89	com24 95	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋) → (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) → (∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)))))))
91	36, 90	syl5 34	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) → (∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)))))))
92	91	rexlimdv 3139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (∃𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) → (∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦))))))
93	92	impd 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((∃𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ ∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)))))
94	32, 93	biimtrid 243	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((𝑝 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)))))
95	94	ralrimdv 3138	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((𝑝 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)) → ∀𝑟 ∈ 𝐴 (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦))))
96	95	ralrimivv 3181	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ∀𝑝 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)∀𝑞 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)∀𝑟 ∈ 𝐴 (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)))
97	75, 76, 10, 11	ispsubsp 40244	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → (∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾) ↔ (∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑝 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)∀𝑞 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)∀𝑟 ∈ 𝐴 (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)))))
98	97	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾) ↔ (∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑝 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)∀𝑞 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)∀𝑟 ∈ 𝐴 (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)))))
99	21, 96, 98	mpbir2and 719	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾))
100		snfi 8987	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑤} ∈ Fin
101	100	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → {𝑤} ∈ Fin)
102		snelpwi 5390	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑋 → {𝑤} ∈ 𝒫 𝑋)
103	102	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → {𝑤} ∈ 𝒫 𝑋)
104	101, 103	elind 4136	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → {𝑤} ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋))
105		vsnid 4602	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑤 ∈ {𝑤}
106		simpll 772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝐾 ∈ AtLat)
107		ssel2 3917	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝑤 ∈ 𝐴)
108	107	adantll 720	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝑤 ∈ 𝐴)
109	10, 11	snatpsubN 40249	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → {𝑤} ∈ (PSubSp‘𝐾))
110	106, 108, 109	syl2anc 590	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → {𝑤} ∈ (PSubSp‘𝐾))
111	11, 12	pclidN 40395	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ {𝑤} ∈ (PSubSp‘𝐾)) → (𝑈‘{𝑤}) = {𝑤})
112	106, 110, 111	syl2anc 590	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝑈‘{𝑤}) = {𝑤})
113	105, 112	eleqtrrid 2847	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝑤 ∈ (𝑈‘{𝑤}))
114		fveq2 6834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = {𝑤} → (𝑈‘𝑦) = (𝑈‘{𝑤}))
115	114	eleq2d 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = {𝑤} → (𝑤 ∈ (𝑈‘𝑦) ↔ 𝑤 ∈ (𝑈‘{𝑤})))
116	115	rspcev 3567	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑤} ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈‘{𝑤})) → ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑤 ∈ (𝑈‘𝑦))
117	104, 113, 116	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑤 ∈ (𝑈‘𝑦))
118	117	ex 413	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑤 ∈ 𝑋 → ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑤 ∈ (𝑈‘𝑦)))
119		eliun 4932	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑤 ∈ (𝑈‘𝑦))
120	118, 119	imbitrrdi 253	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑤 ∈ 𝑋 → 𝑤 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)))
121	120	ssrdv 3928	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦))
122		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
123		simplr 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
124	10, 12	pclssN 40393	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑦) ⊆ (𝑈‘𝑋))
125	6, 122, 123, 124	syl3anc 1379	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → (𝑈‘𝑦) ⊆ (𝑈‘𝑋))
126	125	sseld 3921	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → (𝑤 ∈ (𝑈‘𝑦) → 𝑤 ∈ (𝑈‘𝑋)))
127	126	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑦 ⊆ 𝑋 → (𝑤 ∈ (𝑈‘𝑦) → 𝑤 ∈ (𝑈‘𝑋))))
128	5, 127	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑤 ∈ (𝑈‘𝑦) → 𝑤 ∈ (𝑈‘𝑋))))
129	128	rexlimdv 3139	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑤 ∈ (𝑈‘𝑦) → 𝑤 ∈ (𝑈‘𝑋)))
130	119, 129	biimtrid 243	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑤 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) → 𝑤 ∈ (𝑈‘𝑋)))
131	130	ssrdv 3928	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ⊆ (𝑈‘𝑋))
132	11, 12	pclbtwnN 40396	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾)) ∧ (𝑋 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ∧ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ⊆ (𝑈‘𝑋))) → ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) = (𝑈‘𝑋))
133	1, 99, 121, 131, 132	syl22anc 844	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) = (𝑈‘𝑋))
134	133	eqcomd 2746	1 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑋) = ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054  ∃wrex 3064   ∪ cun 3888   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  𝒫 cpw 4536  {csn 4562  ∪ ciun 4928   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Fincfn 8890  lecple 17225  joincjn 18275  Atomscatm 39762  AtLatcal 39763  PSubSpcpsubsp 39995  PClcpclN 40386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-om 7814  df-1o 8402  df-en 8891  df-fin 8894  df-proset 18258  df-poset 18277  df-plt 18292  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-p0 18387  df-lat 18396  df-covers 39765  df-ats 39766  df-atl 39797  df-psubsp 40002  df-pclN 40387

This theorem is referenced by:  pclcmpatN  40400