Theorem pclfinN 39857

Description: The projective subspace closure of a set equals the union of the closures of its finite subsets. Analogous to Lemma 3.3.6 of [PtakPulmannova] p. 72. Compare the closed subspace version pclfinclN 39907. (Contributed by NM, 10-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pclfin.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pclfin.c	⊢ 𝑈 = (PCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pclfinN	⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑋) = ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑈   𝑦,𝐾   𝑦,𝑋

Proof of Theorem pclfinN

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
2		elin 3992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ↔ (𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋))
3		elpwi 4629	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑦 ⊆ 𝑋)
4	3	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
5	2, 4	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
6		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → 𝐾 ∈ AtLat)
7		sstr 4017	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
8	7	ancoms 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
9	8	adantll 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
10		pclfin.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
11		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (PSubSp‘𝐾) = (PSubSp‘𝐾)
12		pclfin.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 = (PCl‘𝐾)
13	10, 11, 12	pclclN 39848	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾))
14	6, 9, 13	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → (𝑈‘𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾))
15	10, 11	psubssat 39711	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑈‘𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾)) → (𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴)
16	6, 14, 15	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → (𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴)
17	16	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑦 ⊆ 𝑋 → (𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴))
18	5, 17	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴))
19	18	ralrimiv 3151	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴)
20		iunss 5068	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴)
21	19, 20	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴)
22		eliun 5019	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦))
23		fveq2 6920	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑈‘𝑦) = (𝑈‘𝑤))
24	23	eleq2d 2830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦) ↔ 𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤)))
25	24	cbvrexvw 3244	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦) ↔ ∃𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤))
26	22, 25	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ↔ ∃𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤))
27		eliun 5019	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈‘𝑦))
28		fveq2 6920	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑈‘𝑦) = (𝑈‘𝑣))
29	28	eleq2d 2830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑞 ∈ (𝑈‘𝑦) ↔ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)))
30	29	cbvrexvw 3244	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈‘𝑦) ↔ ∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣))
31	27, 30	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ↔ ∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣))
32	26, 31	anbi12i 627	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)) ↔ (∃𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ ∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)))
33		elin 3992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ↔ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 𝑋))
34		elpwi 4629	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑤 ⊆ 𝑋)
35	34	anim2i 616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋))
36	33, 35	sylbi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋))
37		elin 3992	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ↔ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ 𝒫 𝑋))
38		elpwi 4629	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑣 ⊆ 𝑋)
39	38	anim2i 616	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋))
40	37, 39	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋))
41		simp2rl 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑤 ∈ Fin)
42		simp12l 1286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑣 ∈ Fin)
43		unfi 9238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ Fin) → (𝑤 ∪ 𝑣) ∈ Fin)
44	41, 42, 43	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑤 ∪ 𝑣) ∈ Fin)
45		simp2rr 1243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑤 ⊆ 𝑋)
46		simp12r 1287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑣 ⊆ 𝑋)
47	45, 46	unssd 4215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑤 ∪ 𝑣) ⊆ 𝑋)
48		vex 3492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝑤 ∈ V
49		vex 3492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝑣 ∈ V
50	48, 49	unex 7779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑤 ∪ 𝑣) ∈ V
51	50	elpw 4626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑤 ∪ 𝑣) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑤 ∪ 𝑣) ⊆ 𝑋)
52	47, 51	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑤 ∪ 𝑣) ∈ 𝒫 𝑋)
53	44, 52	elind 4223	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑤 ∪ 𝑣) ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋))
54		simp11l 1284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝐾 ∈ AtLat)
55		simp11r 1285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
56	45, 55	sstrd 4019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑤 ⊆ 𝐴)
57	46, 55	sstrd 4019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑣 ⊆ 𝐴)
58	56, 57	unssd 4215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑤 ∪ 𝑣) ⊆ 𝐴)
59	10, 11, 12	pclclN 39848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑤 ∪ 𝑣) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)) ∈ (PSubSp‘𝐾))
60	54, 58, 59	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)) ∈ (PSubSp‘𝐾))
61		simp3l 1201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑟 ∈ 𝐴)
62		ssun1 4201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝑤 ⊆ (𝑤 ∪ 𝑣)
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑤 ⊆ (𝑤 ∪ 𝑣))
64	10, 12	pclssN 39851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑤 ⊆ (𝑤 ∪ 𝑣) ∧ (𝑤 ∪ 𝑣) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑤) ⊆ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)))
65	54, 63, 58, 64	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑈‘𝑤) ⊆ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)))
66		simp2l 1199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤))
67	65, 66	sseldd 4009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑝 ∈ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)))
68		ssun2 4202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝑣 ⊆ (𝑤 ∪ 𝑣)
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑣 ⊆ (𝑤 ∪ 𝑣))
70	10, 12	pclssN 39851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑣 ⊆ (𝑤 ∪ 𝑣) ∧ (𝑤 ∪ 𝑣) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑣) ⊆ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)))
71	54, 69, 58, 70	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑈‘𝑣) ⊆ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)))
72		simp13 1205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣))
73	71, 72	sseldd 4009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑞 ∈ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)))
74		simp3r 1202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))
75		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
76		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
77	75, 76, 10, 11	psubspi2N 39705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)) ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)) ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑟 ∈ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)))
78	54, 60, 61, 67, 73, 74, 77	syl33anc 1385	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑟 ∈ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)))
79		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = (𝑤 ∪ 𝑣) → (𝑈‘𝑦) = (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)))
80	79	eleq2d 2830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = (𝑤 ∪ 𝑣) → (𝑟 ∈ (𝑈‘𝑦) ↔ 𝑟 ∈ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣))))
81	80	rspcev 3635	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∪ 𝑣) ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣))) → ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑟 ∈ (𝑈‘𝑦))
82	53, 78, 81	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑟 ∈ (𝑈‘𝑦))
83		eliun 5019	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑟 ∈ (𝑈‘𝑦))
84	82, 83	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦))
85	84	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) → ((𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) → ((𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞)) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦))))
86	85	exp5c 444	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) → (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) → ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦))))))
87	86	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) → (𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣) → (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) → ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦))))))))
88	40, 87	syl5 34	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣) → (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) → ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦))))))))
89	88	rexlimdv 3159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣) → (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) → ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)))))))
90	89	com24 95	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋) → (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) → (∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)))))))
91	36, 90	syl5 34	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) → (∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)))))))
92	91	rexlimdv 3159	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (∃𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) → (∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦))))))
93	92	impd 410	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((∃𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ ∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)))))
94	32, 93	biimtrid 242	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((𝑝 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)))))
95	94	ralrimdv 3158	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((𝑝 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)) → ∀𝑟 ∈ 𝐴 (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦))))
96	95	ralrimivv 3206	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ∀𝑝 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)∀𝑞 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)∀𝑟 ∈ 𝐴 (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)))
97	75, 76, 10, 11	ispsubsp 39702	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → (∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾) ↔ (∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑝 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)∀𝑞 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)∀𝑟 ∈ 𝐴 (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)))))
98	97	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾) ↔ (∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑝 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)∀𝑞 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)∀𝑟 ∈ 𝐴 (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)))))
99	21, 96, 98	mpbir2and 712	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾))
100		snfi 9109	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑤} ∈ Fin
101	100	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → {𝑤} ∈ Fin)
102		snelpwi 5463	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑋 → {𝑤} ∈ 𝒫 𝑋)
103	102	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → {𝑤} ∈ 𝒫 𝑋)
104	101, 103	elind 4223	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → {𝑤} ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋))
105		vsnid 4685	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑤 ∈ {𝑤}
106		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝐾 ∈ AtLat)
107		ssel2 4003	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝑤 ∈ 𝐴)
108	107	adantll 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝑤 ∈ 𝐴)
109	10, 11	snatpsubN 39707	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → {𝑤} ∈ (PSubSp‘𝐾))
110	106, 108, 109	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → {𝑤} ∈ (PSubSp‘𝐾))
111	11, 12	pclidN 39853	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ {𝑤} ∈ (PSubSp‘𝐾)) → (𝑈‘{𝑤}) = {𝑤})
112	106, 110, 111	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝑈‘{𝑤}) = {𝑤})
113	105, 112	eleqtrrid 2851	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝑤 ∈ (𝑈‘{𝑤}))
114		fveq2 6920	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = {𝑤} → (𝑈‘𝑦) = (𝑈‘{𝑤}))
115	114	eleq2d 2830	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = {𝑤} → (𝑤 ∈ (𝑈‘𝑦) ↔ 𝑤 ∈ (𝑈‘{𝑤})))
116	115	rspcev 3635	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑤} ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈‘{𝑤})) → ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑤 ∈ (𝑈‘𝑦))
117	104, 113, 116	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑤 ∈ (𝑈‘𝑦))
118	117	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑤 ∈ 𝑋 → ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑤 ∈ (𝑈‘𝑦)))
119		eliun 5019	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑤 ∈ (𝑈‘𝑦))
120	118, 119	imbitrrdi 252	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑤 ∈ 𝑋 → 𝑤 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)))
121	120	ssrdv 4014	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦))
122		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
123		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
124	10, 12	pclssN 39851	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑦) ⊆ (𝑈‘𝑋))
125	6, 122, 123, 124	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → (𝑈‘𝑦) ⊆ (𝑈‘𝑋))
126	125	sseld 4007	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → (𝑤 ∈ (𝑈‘𝑦) → 𝑤 ∈ (𝑈‘𝑋)))
127	126	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑦 ⊆ 𝑋 → (𝑤 ∈ (𝑈‘𝑦) → 𝑤 ∈ (𝑈‘𝑋))))
128	5, 127	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑤 ∈ (𝑈‘𝑦) → 𝑤 ∈ (𝑈‘𝑋))))
129	128	rexlimdv 3159	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑤 ∈ (𝑈‘𝑦) → 𝑤 ∈ (𝑈‘𝑋)))
130	119, 129	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑤 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) → 𝑤 ∈ (𝑈‘𝑋)))
131	130	ssrdv 4014	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ⊆ (𝑈‘𝑋))
132	11, 12	pclbtwnN 39854	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾)) ∧ (𝑋 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ∧ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ⊆ (𝑈‘𝑋))) → ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) = (𝑈‘𝑋))
133	1, 99, 121, 131, 132	syl22anc 838	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) = (𝑈‘𝑋))
134	133	eqcomd 2746	1 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑋) = ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   ∪ cun 3974   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  𝒫 cpw 4622  {csn 4648  ∪ ciun 5015   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Fincfn 9003  lecple 17318  joincjn 18381  Atomscatm 39219  AtLatcal 39220  PSubSpcpsubsp 39453  PClcpclN 39844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-om 7904  df-1o 8522  df-en 9004  df-fin 9007  df-proset 18365  df-poset 18383  df-plt 18400  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-p0 18495  df-lat 18502  df-covers 39222  df-ats 39223  df-atl 39254  df-psubsp 39460  df-pclN 39845

This theorem is referenced by:  pclcmpatN  39858