Theorem pclfinN 37038

Description: The projective subspace closure of a set equals the union of the closures of its finite subsets. Analogous to Lemma 3.3.6 of [PtakPulmannova] p. 72. Compare the closed subspace version pclfinclN 37088. (Contributed by NM, 10-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pclfin.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pclfin.c	⊢ 𝑈 = (PCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pclfinN	⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑋) = ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑈   𝑦,𝐾   𝑦,𝑋

Proof of Theorem pclfinN

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 485	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
2		elin 4171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ↔ (𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋))
3		elpwi 4550	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑦 ⊆ 𝑋)
4	3	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
5	2, 4	sylbi 219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
6		simpll 765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → 𝐾 ∈ AtLat)
7		sstr 3977	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
8	7	ancoms 461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
9	8	adantll 712	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
10		pclfin.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
11		eqid 2823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (PSubSp‘𝐾) = (PSubSp‘𝐾)
12		pclfin.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 = (PCl‘𝐾)
13	10, 11, 12	pclclN 37029	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾))
14	6, 9, 13	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → (𝑈‘𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾))
15	10, 11	psubssat 36892	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑈‘𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾)) → (𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴)
16	6, 14, 15	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → (𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴)
17	16	ex 415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑦 ⊆ 𝑋 → (𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴))
18	5, 17	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴))
19	18	ralrimiv 3183	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴)
20		iunss 4971	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴)
21	19, 20	sylibr 236	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴)
22		eliun 4925	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦))
23		fveq2 6672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑈‘𝑦) = (𝑈‘𝑤))
24	23	eleq2d 2900	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦) ↔ 𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤)))
25	24	cbvrexvw 3452	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦) ↔ ∃𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤))
26	22, 25	bitri 277	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ↔ ∃𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤))
27		eliun 4925	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈‘𝑦))
28		fveq2 6672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑈‘𝑦) = (𝑈‘𝑣))
29	28	eleq2d 2900	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑞 ∈ (𝑈‘𝑦) ↔ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)))
30	29	cbvrexvw 3452	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈‘𝑦) ↔ ∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣))
31	27, 30	bitri 277	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ↔ ∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣))
32	26, 31	anbi12i 628	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)) ↔ (∃𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ ∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)))
33		elin 4171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ↔ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 𝑋))
34		elpwi 4550	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑤 ⊆ 𝑋)
35	34	anim2i 618	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋))
36	33, 35	sylbi 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋))
37		elin 4171	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ↔ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ 𝒫 𝑋))
38		elpwi 4550	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑣 ⊆ 𝑋)
39	38	anim2i 618	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋))
40	37, 39	sylbi 219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋))
41		simp2rl 1238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑤 ∈ Fin)
42		simp12l 1282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑣 ∈ Fin)
43		unfi 8787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ Fin) → (𝑤 ∪ 𝑣) ∈ Fin)
44	41, 42, 43	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑤 ∪ 𝑣) ∈ Fin)
45		simp2rr 1239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑤 ⊆ 𝑋)
46		simp12r 1283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑣 ⊆ 𝑋)
47	45, 46	unssd 4164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑤 ∪ 𝑣) ⊆ 𝑋)
48		vex 3499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝑤 ∈ V
49		vex 3499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝑣 ∈ V
50	48, 49	unex 7471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑤 ∪ 𝑣) ∈ V
51	50	elpw 4545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑤 ∪ 𝑣) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑤 ∪ 𝑣) ⊆ 𝑋)
52	47, 51	sylibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑤 ∪ 𝑣) ∈ 𝒫 𝑋)
53	44, 52	elind 4173	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑤 ∪ 𝑣) ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋))
54		simp11l 1280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝐾 ∈ AtLat)
55		simp11r 1281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
56	45, 55	sstrd 3979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑤 ⊆ 𝐴)
57	46, 55	sstrd 3979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑣 ⊆ 𝐴)
58	56, 57	unssd 4164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑤 ∪ 𝑣) ⊆ 𝐴)
59	10, 11, 12	pclclN 37029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑤 ∪ 𝑣) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)) ∈ (PSubSp‘𝐾))
60	54, 58, 59	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)) ∈ (PSubSp‘𝐾))
61		simp3l 1197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑟 ∈ 𝐴)
62		ssun1 4150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝑤 ⊆ (𝑤 ∪ 𝑣)
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑤 ⊆ (𝑤 ∪ 𝑣))
64	10, 12	pclssN 37032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑤 ⊆ (𝑤 ∪ 𝑣) ∧ (𝑤 ∪ 𝑣) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑤) ⊆ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)))
65	54, 63, 58, 64	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑈‘𝑤) ⊆ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)))
66		simp2l 1195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤))
67	65, 66	sseldd 3970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑝 ∈ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)))
68		ssun2 4151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝑣 ⊆ (𝑤 ∪ 𝑣)
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑣 ⊆ (𝑤 ∪ 𝑣))
70	10, 12	pclssN 37032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑣 ⊆ (𝑤 ∪ 𝑣) ∧ (𝑤 ∪ 𝑣) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑣) ⊆ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)))
71	54, 69, 58, 70	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑈‘𝑣) ⊆ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)))
72		simp13 1201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣))
73	71, 72	sseldd 3970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑞 ∈ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)))
74		simp3r 1198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))
75		eqid 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
76		eqid 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
77	75, 76, 10, 11	psubspi2N 36886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)) ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)) ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑟 ∈ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)))
78	54, 60, 61, 67, 73, 74, 77	syl33anc 1381	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑟 ∈ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)))
79		fveq2 6672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = (𝑤 ∪ 𝑣) → (𝑈‘𝑦) = (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)))
80	79	eleq2d 2900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = (𝑤 ∪ 𝑣) → (𝑟 ∈ (𝑈‘𝑦) ↔ 𝑟 ∈ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣))))
81	80	rspcev 3625	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∪ 𝑣) ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣))) → ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑟 ∈ (𝑈‘𝑦))
82	53, 78, 81	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑟 ∈ (𝑈‘𝑦))
83		eliun 4925	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑟 ∈ (𝑈‘𝑦))
84	82, 83	sylibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦))
85	84	3exp 1115	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) → ((𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) → ((𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞)) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦))))
86	85	exp5c 447	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) → (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) → ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦))))))
87	86	3exp 1115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) → (𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣) → (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) → ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦))))))))
88	40, 87	syl5 34	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣) → (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) → ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦))))))))
89	88	rexlimdv 3285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣) → (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) → ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)))))))
90	89	com24 95	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋) → (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) → (∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)))))))
91	36, 90	syl5 34	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) → (∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)))))))
92	91	rexlimdv 3285	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (∃𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) → (∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦))))))
93	92	impd 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((∃𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ ∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)))))
94	32, 93	syl5bi 244	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((𝑝 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)))))
95	94	ralrimdv 3190	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((𝑝 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)) → ∀𝑟 ∈ 𝐴 (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦))))
96	95	ralrimivv 3192	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ∀𝑝 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)∀𝑞 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)∀𝑟 ∈ 𝐴 (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)))
97	75, 76, 10, 11	ispsubsp 36883	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → (∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾) ↔ (∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑝 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)∀𝑞 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)∀𝑟 ∈ 𝐴 (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)))))
98	97	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾) ↔ (∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑝 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)∀𝑞 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)∀𝑟 ∈ 𝐴 (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)))))
99	21, 96, 98	mpbir2and 711	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾))
100		snfi 8596	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑤} ∈ Fin
101	100	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → {𝑤} ∈ Fin)
102		snelpwi 5339	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑋 → {𝑤} ∈ 𝒫 𝑋)
103	102	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → {𝑤} ∈ 𝒫 𝑋)
104	101, 103	elind 4173	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → {𝑤} ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋))
105		vsnid 4604	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑤 ∈ {𝑤}
106		simpll 765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝐾 ∈ AtLat)
107		ssel2 3964	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝑤 ∈ 𝐴)
108	107	adantll 712	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝑤 ∈ 𝐴)
109	10, 11	snatpsubN 36888	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → {𝑤} ∈ (PSubSp‘𝐾))
110	106, 108, 109	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → {𝑤} ∈ (PSubSp‘𝐾))
111	11, 12	pclidN 37034	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ {𝑤} ∈ (PSubSp‘𝐾)) → (𝑈‘{𝑤}) = {𝑤})
112	106, 110, 111	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝑈‘{𝑤}) = {𝑤})
113	105, 112	eleqtrrid 2922	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝑤 ∈ (𝑈‘{𝑤}))
114		fveq2 6672	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = {𝑤} → (𝑈‘𝑦) = (𝑈‘{𝑤}))
115	114	eleq2d 2900	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = {𝑤} → (𝑤 ∈ (𝑈‘𝑦) ↔ 𝑤 ∈ (𝑈‘{𝑤})))
116	115	rspcev 3625	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑤} ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈‘{𝑤})) → ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑤 ∈ (𝑈‘𝑦))
117	104, 113, 116	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑤 ∈ (𝑈‘𝑦))
118	117	ex 415	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑤 ∈ 𝑋 → ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑤 ∈ (𝑈‘𝑦)))
119		eliun 4925	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑤 ∈ (𝑈‘𝑦))
120	118, 119	syl6ibr 254	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑤 ∈ 𝑋 → 𝑤 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)))
121	120	ssrdv 3975	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦))
122		simpr 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
123		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
124	10, 12	pclssN 37032	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑦) ⊆ (𝑈‘𝑋))
125	6, 122, 123, 124	syl3anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → (𝑈‘𝑦) ⊆ (𝑈‘𝑋))
126	125	sseld 3968	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → (𝑤 ∈ (𝑈‘𝑦) → 𝑤 ∈ (𝑈‘𝑋)))
127	126	ex 415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑦 ⊆ 𝑋 → (𝑤 ∈ (𝑈‘𝑦) → 𝑤 ∈ (𝑈‘𝑋))))
128	5, 127	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑤 ∈ (𝑈‘𝑦) → 𝑤 ∈ (𝑈‘𝑋))))
129	128	rexlimdv 3285	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑤 ∈ (𝑈‘𝑦) → 𝑤 ∈ (𝑈‘𝑋)))
130	119, 129	syl5bi 244	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑤 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) → 𝑤 ∈ (𝑈‘𝑋)))
131	130	ssrdv 3975	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ⊆ (𝑈‘𝑋))
132	11, 12	pclbtwnN 37035	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾)) ∧ (𝑋 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ∧ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ⊆ (𝑈‘𝑋))) → ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) = (𝑈‘𝑋))
133	1, 99, 121, 131, 132	syl22anc 836	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) = (𝑈‘𝑋))
134	133	eqcomd 2829	1 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑋) = ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140  ∃wrex 3141   ∪ cun 3936   ∩ cin 3937   ⊆ wss 3938  𝒫 cpw 4541  {csn 4569  ∪ ciun 4921   class class class wbr 5068  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Fincfn 8511  lecple 16574  joincjn 17556  Atomscatm 36401  AtLatcal 36402  PSubSpcpsubsp 36634  PClcpclN 37025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-en 8512  df-fin 8515  df-proset 17540  df-poset 17558  df-plt 17570  df-lub 17586  df-glb 17587  df-join 17588  df-meet 17589  df-p0 17651  df-lat 17658  df-covers 36404  df-ats 36405  df-atl 36436  df-psubsp 36641  df-pclN 37026

This theorem is referenced by:  pclcmpatN  37039