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Theorem pclfinN 36514
Description: The projective subspace closure of a set equals the union of the closures of its finite subsets. Analogous to Lemma 3.3.6 of [PtakPulmannova] p. 72. Compare the closed subspace version pclfinclN 36564. (Contributed by NM, 10-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pclfin.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pclfin.c 𝑈 = (PCl‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
pclfinN ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (𝑈𝑋) = 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑈   𝑦,𝐾   𝑦,𝑋

Proof of Theorem pclfinN
Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 475 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
2 elin 4052 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ↔ (𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋))
3 elpwi 4427 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋)
43adantl 474 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑦𝑋)
52, 4sylbi 209 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → 𝑦𝑋)
6 simpll 755 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑋) → 𝐾 ∈ AtLat)
7 sstr 3861 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦𝑋𝑋𝐴) → 𝑦𝐴)
87ancoms 451 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐴𝑦𝑋) → 𝑦𝐴)
98adantll 702 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑦𝐴)
10 pclfin.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
11 eqid 2773 . . . . . . . . . . 11 (PSubSp‘𝐾) = (PSubSp‘𝐾)
12 pclfin.c . . . . . . . . . . 11 𝑈 = (PCl‘𝐾)
1310, 11, 12pclclN 36505 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑦𝐴) → (𝑈𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾))
146, 9, 13syl2anc 576 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑈𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾))
1510, 11psubssat 36368 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑈𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾)) → (𝑈𝑦) ⊆ 𝐴)
166, 14, 15syl2anc 576 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑈𝑦) ⊆ 𝐴)
1716ex 405 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (𝑦𝑋 → (𝑈𝑦) ⊆ 𝐴))
185, 17syl5 34 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑈𝑦) ⊆ 𝐴))
1918ralrimiv 3126 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → ∀𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ⊆ 𝐴)
20 iunss 4832 . . . . 5 ( 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ⊆ 𝐴)
2119, 20sylibr 226 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ⊆ 𝐴)
22 eliun 4793 . . . . . . . . 9 (𝑝 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈𝑦))
23 fveq2 6497 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑤 → (𝑈𝑦) = (𝑈𝑤))
2423eleq2d 2846 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑤 → (𝑝 ∈ (𝑈𝑦) ↔ 𝑝 ∈ (𝑈𝑤)))
2524cbvrexv 3379 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈𝑦) ↔ ∃𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈𝑤))
2622, 25bitri 267 . . . . . . . 8 (𝑝 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ↔ ∃𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈𝑤))
27 eliun 4793 . . . . . . . . 9 (𝑞 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈𝑦))
28 fveq2 6497 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑣 → (𝑈𝑦) = (𝑈𝑣))
2928eleq2d 2846 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑣 → (𝑞 ∈ (𝑈𝑦) ↔ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)))
3029cbvrexv 3379 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈𝑦) ↔ ∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈𝑣))
3127, 30bitri 267 . . . . . . . 8 (𝑞 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ↔ ∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈𝑣))
3226, 31anbi12i 618 . . . . . . 7 ((𝑝 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ∧ 𝑞 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)) ↔ (∃𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ ∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈𝑣)))
33 elin 4052 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ↔ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 𝑋))
34 elpwi 4427 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ 𝒫 𝑋𝑤𝑋)
3534anim2i 608 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋))
3633, 35sylbi 209 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋))
37 elin 4052 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ↔ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ 𝒫 𝑋))
38 elpwi 4427 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∈ 𝒫 𝑋𝑣𝑋)
3938anim2i 608 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋))
4037, 39sylbi 209 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋))
41 simp2rl 1223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑤 ∈ Fin)
42 simp12l 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑣 ∈ Fin)
43 unfi 8579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ Fin) → (𝑤𝑣) ∈ Fin)
4441, 42, 43syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑤𝑣) ∈ Fin)
45 simp2rr 1224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑤𝑋)
46 simp12r 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑣𝑋)
4745, 46unssd 4045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑤𝑣) ⊆ 𝑋)
48 vex 3413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑤 ∈ V
49 vex 3413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑣 ∈ V
5048, 49unex 7285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤𝑣) ∈ V
5150elpw 4423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑤𝑣) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑤𝑣) ⊆ 𝑋)
5247, 51sylibr 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑤𝑣) ∈ 𝒫 𝑋)
5344, 52elind 4054 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑤𝑣) ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋))
54 simp11l 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝐾 ∈ AtLat)
55 simp11r 1266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑋𝐴)
5645, 55sstrd 3863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑤𝐴)
5746, 55sstrd 3863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑣𝐴)
5856, 57unssd 4045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑤𝑣) ⊆ 𝐴)
5910, 11, 12pclclN 36505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑤𝑣) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘(𝑤𝑣)) ∈ (PSubSp‘𝐾))
6054, 58, 59syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑈‘(𝑤𝑣)) ∈ (PSubSp‘𝐾))
61 simp3l 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑟𝐴)
62 ssun1 4032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑤 ⊆ (𝑤𝑣)
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑤 ⊆ (𝑤𝑣))
6410, 12pclssN 36508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑤 ⊆ (𝑤𝑣) ∧ (𝑤𝑣) ⊆ 𝐴) → (𝑈𝑤) ⊆ (𝑈‘(𝑤𝑣)))
6554, 63, 58, 64syl3anc 1352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑈𝑤) ⊆ (𝑈‘(𝑤𝑣)))
66 simp2l 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑝 ∈ (𝑈𝑤))
6765, 66sseldd 3854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑝 ∈ (𝑈‘(𝑤𝑣)))
68 ssun2 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑣 ⊆ (𝑤𝑣)
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑣 ⊆ (𝑤𝑣))
7010, 12pclssN 36508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑣 ⊆ (𝑤𝑣) ∧ (𝑤𝑣) ⊆ 𝐴) → (𝑈𝑣) ⊆ (𝑈‘(𝑤𝑣)))
7154, 69, 58, 70syl3anc 1352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑈𝑣) ⊆ (𝑈‘(𝑤𝑣)))
72 simp13 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑞 ∈ (𝑈𝑣))
7371, 72sseldd 3854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑞 ∈ (𝑈‘(𝑤𝑣)))
74 simp3r 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))
75 eqid 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
76 eqid 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
7775, 76, 10, 11psubspi2N 36362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑈‘(𝑤𝑣)) ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘(𝑤𝑣)) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘(𝑤𝑣)) ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑟 ∈ (𝑈‘(𝑤𝑣)))
7854, 60, 61, 67, 73, 74, 77syl33anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑟 ∈ (𝑈‘(𝑤𝑣)))
79 fveq2 6497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (𝑤𝑣) → (𝑈𝑦) = (𝑈‘(𝑤𝑣)))
8079eleq2d 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (𝑤𝑣) → (𝑟 ∈ (𝑈𝑦) ↔ 𝑟 ∈ (𝑈‘(𝑤𝑣))))
8180rspcev 3530 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤𝑣) ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈‘(𝑤𝑣))) → ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑟 ∈ (𝑈𝑦))
8253, 78, 81syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑟 ∈ (𝑈𝑦))
83 eliun 4793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑟 ∈ (𝑈𝑦))
8482, 83sylibr 226 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦))
85843exp 1100 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) → ((𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) → ((𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞)) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦))))
8685exp5c 437 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) → (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) → ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋) → (𝑟𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦))))))
87863exp 1100 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → ((𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) → (𝑞 ∈ (𝑈𝑣) → (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) → ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋) → (𝑟𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦))))))))
8840, 87syl5 34 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑞 ∈ (𝑈𝑣) → (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) → ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋) → (𝑟𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦))))))))
8988rexlimdv 3223 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈𝑣) → (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) → ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋) → (𝑟𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)))))))
9089com24 95 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋) → (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) → (∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈𝑣) → (𝑟𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)))))))
9136, 90syl5 34 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) → (∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈𝑣) → (𝑟𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)))))))
9291rexlimdv 3223 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (∃𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈𝑤) → (∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈𝑣) → (𝑟𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦))))))
9392impd 402 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → ((∃𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ ∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) → (𝑟𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)))))
9432, 93syl5bi 234 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → ((𝑝 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ∧ 𝑞 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)) → (𝑟𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)))))
9594ralrimdv 3133 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → ((𝑝 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ∧ 𝑞 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)) → ∀𝑟𝐴 (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦))))
9695ralrimivv 3135 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → ∀𝑝 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)∀𝑞 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)∀𝑟𝐴 (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)))
9775, 76, 10, 11ispsubsp 36359 . . . . 5 (𝐾 ∈ AtLat → ( 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾) ↔ ( 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑝 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)∀𝑞 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)∀𝑟𝐴 (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)))))
9897adantr 473 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → ( 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾) ↔ ( 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑝 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)∀𝑞 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)∀𝑟𝐴 (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)))))
9921, 96, 98mpbir2and 701 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾))
100 snfi 8390 . . . . . . . . 9 {𝑤} ∈ Fin
101100a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑤𝑋) → {𝑤} ∈ Fin)
102 snelpwi 5190 . . . . . . . . 9 (𝑤𝑋 → {𝑤} ∈ 𝒫 𝑋)
103102adantl 474 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑤𝑋) → {𝑤} ∈ 𝒫 𝑋)
104101, 103elind 4054 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑤𝑋) → {𝑤} ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋))
105 vsnid 4471 . . . . . . . 8 𝑤 ∈ {𝑤}
106 simpll 755 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑤𝑋) → 𝐾 ∈ AtLat)
107 ssel2 3848 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐴𝑤𝑋) → 𝑤𝐴)
108107adantll 702 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑤𝑋) → 𝑤𝐴)
10910, 11snatpsubN 36364 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑤𝐴) → {𝑤} ∈ (PSubSp‘𝐾))
110106, 108, 109syl2anc 576 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑤𝑋) → {𝑤} ∈ (PSubSp‘𝐾))
11111, 12pclidN 36510 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ {𝑤} ∈ (PSubSp‘𝐾)) → (𝑈‘{𝑤}) = {𝑤})
112106, 110, 111syl2anc 576 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑤𝑋) → (𝑈‘{𝑤}) = {𝑤})
113105, 112syl5eleqr 2868 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑤𝑋) → 𝑤 ∈ (𝑈‘{𝑤}))
114 fveq2 6497 . . . . . . . . 9 (𝑦 = {𝑤} → (𝑈𝑦) = (𝑈‘{𝑤}))
115114eleq2d 2846 . . . . . . . 8 (𝑦 = {𝑤} → (𝑤 ∈ (𝑈𝑦) ↔ 𝑤 ∈ (𝑈‘{𝑤})))
116115rspcev 3530 . . . . . . 7 (({𝑤} ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈‘{𝑤})) → ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑤 ∈ (𝑈𝑦))
117104, 113, 116syl2anc 576 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑤𝑋) → ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑤 ∈ (𝑈𝑦))
118117ex 405 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (𝑤𝑋 → ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑤 ∈ (𝑈𝑦)))
119 eliun 4793 . . . . 5 (𝑤 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑤 ∈ (𝑈𝑦))
120118, 119syl6ibr 244 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (𝑤𝑋𝑤 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)))
121120ssrdv 3859 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦))
122 simpr 477 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑦𝑋)
123 simplr 757 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑋𝐴)
12410, 12pclssN 36508 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑦𝑋𝑋𝐴) → (𝑈𝑦) ⊆ (𝑈𝑋))
1256, 122, 123, 124syl3anc 1352 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑈𝑦) ⊆ (𝑈𝑋))
126125sseld 3852 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑤 ∈ (𝑈𝑦) → 𝑤 ∈ (𝑈𝑋)))
127126ex 405 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (𝑦𝑋 → (𝑤 ∈ (𝑈𝑦) → 𝑤 ∈ (𝑈𝑋))))
1285, 127syl5 34 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑤 ∈ (𝑈𝑦) → 𝑤 ∈ (𝑈𝑋))))
129128rexlimdv 3223 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑤 ∈ (𝑈𝑦) → 𝑤 ∈ (𝑈𝑋)))
130119, 129syl5bi 234 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (𝑤 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) → 𝑤 ∈ (𝑈𝑋)))
131130ssrdv 3859 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ⊆ (𝑈𝑋))
13211, 12pclbtwnN 36511 . . 3 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾)) ∧ (𝑋 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ∧ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ⊆ (𝑈𝑋))) → 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) = (𝑈𝑋))
1331, 99, 121, 131, 132syl22anc 827 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) = (𝑈𝑋))
134133eqcomd 2779 1 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (𝑈𝑋) = 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1069   = wceq 1508  wcel 2051  wral 3083  wrex 3084  cun 3822  cin 3823  wss 3824  𝒫 cpw 4417  {csn 4436   ciun 4789   class class class wbr 4926  cfv 6186  (class class class)co 6975  Fincfn 8305  lecple 16427  joincjn 17425  Atomscatm 35877  AtLatcal 35878  PSubSpcpsubsp 36110  PClcpclN 36501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-rep 5046  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-int 4747  df-iun 4791  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-om 7396  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-1o 7904  df-oadd 7908  df-er 8088  df-en 8306  df-fin 8309  df-proset 17409  df-poset 17427  df-plt 17439  df-lub 17455  df-glb 17456  df-join 17457  df-meet 17458  df-p0 17520  df-lat 17527  df-covers 35880  df-ats 35881  df-atl 35912  df-psubsp 36117  df-pclN 36502
This theorem is referenced by:  pclcmpatN  36515
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