Theorem pclfinN 39882

Description: The projective subspace closure of a set equals the union of the closures of its finite subsets. Analogous to Lemma 3.3.6 of [PtakPulmannova] p. 72. Compare the closed subspace version pclfinclN 39932. (Contributed by NM, 10-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pclfin.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pclfin.c	⊢ 𝑈 = (PCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pclfinN	⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑋) = ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑈   𝑦,𝐾   𝑦,𝑋

Proof of Theorem pclfinN

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
2		elin 3978	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ↔ (𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋))
3		elpwi 4611	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑦 ⊆ 𝑋)
4	3	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
5	2, 4	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
6		simpll 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → 𝐾 ∈ AtLat)
7		sstr 4003	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
8	7	ancoms 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
9	8	adantll 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
10		pclfin.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
11		eqid 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (PSubSp‘𝐾) = (PSubSp‘𝐾)
12		pclfin.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 = (PCl‘𝐾)
13	10, 11, 12	pclclN 39873	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾))
14	6, 9, 13	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → (𝑈‘𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾))
15	10, 11	psubssat 39736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑈‘𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾)) → (𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴)
16	6, 14, 15	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → (𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴)
17	16	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑦 ⊆ 𝑋 → (𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴))
18	5, 17	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴))
19	18	ralrimiv 3142	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴)
20		iunss 5049	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴)
21	19, 20	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴)
22		eliun 4999	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦))
23		fveq2 6906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑈‘𝑦) = (𝑈‘𝑤))
24	23	eleq2d 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦) ↔ 𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤)))
25	24	cbvrexvw 3235	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦) ↔ ∃𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤))
26	22, 25	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ↔ ∃𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤))
27		eliun 4999	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈‘𝑦))
28		fveq2 6906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑈‘𝑦) = (𝑈‘𝑣))
29	28	eleq2d 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑞 ∈ (𝑈‘𝑦) ↔ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)))
30	29	cbvrexvw 3235	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈‘𝑦) ↔ ∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣))
31	27, 30	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ↔ ∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣))
32	26, 31	anbi12i 628	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)) ↔ (∃𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ ∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)))
33		elin 3978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ↔ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 𝑋))
34		elpwi 4611	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑤 ⊆ 𝑋)
35	34	anim2i 617	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋))
36	33, 35	sylbi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋))
37		elin 3978	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ↔ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ 𝒫 𝑋))
38		elpwi 4611	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑣 ⊆ 𝑋)
39	38	anim2i 617	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋))
40	37, 39	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋))
41		simp2rl 1241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑤 ∈ Fin)
42		simp12l 1285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑣 ∈ Fin)
43		unfi 9209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ Fin) → (𝑤 ∪ 𝑣) ∈ Fin)
44	41, 42, 43	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑤 ∪ 𝑣) ∈ Fin)
45		simp2rr 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑤 ⊆ 𝑋)
46		simp12r 1286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑣 ⊆ 𝑋)
47	45, 46	unssd 4201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑤 ∪ 𝑣) ⊆ 𝑋)
48		vex 3481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝑤 ∈ V
49		vex 3481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝑣 ∈ V
50	48, 49	unex 7762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑤 ∪ 𝑣) ∈ V
51	50	elpw 4608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑤 ∪ 𝑣) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑤 ∪ 𝑣) ⊆ 𝑋)
52	47, 51	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑤 ∪ 𝑣) ∈ 𝒫 𝑋)
53	44, 52	elind 4209	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑤 ∪ 𝑣) ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋))
54		simp11l 1283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝐾 ∈ AtLat)
55		simp11r 1284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
56	45, 55	sstrd 4005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑤 ⊆ 𝐴)
57	46, 55	sstrd 4005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑣 ⊆ 𝐴)
58	56, 57	unssd 4201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑤 ∪ 𝑣) ⊆ 𝐴)
59	10, 11, 12	pclclN 39873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑤 ∪ 𝑣) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)) ∈ (PSubSp‘𝐾))
60	54, 58, 59	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)) ∈ (PSubSp‘𝐾))
61		simp3l 1200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑟 ∈ 𝐴)
62		ssun1 4187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝑤 ⊆ (𝑤 ∪ 𝑣)
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑤 ⊆ (𝑤 ∪ 𝑣))
64	10, 12	pclssN 39876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑤 ⊆ (𝑤 ∪ 𝑣) ∧ (𝑤 ∪ 𝑣) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑤) ⊆ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)))
65	54, 63, 58, 64	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑈‘𝑤) ⊆ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)))
66		simp2l 1198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤))
67	65, 66	sseldd 3995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑝 ∈ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)))
68		ssun2 4188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝑣 ⊆ (𝑤 ∪ 𝑣)
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑣 ⊆ (𝑤 ∪ 𝑣))
70	10, 12	pclssN 39876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑣 ⊆ (𝑤 ∪ 𝑣) ∧ (𝑤 ∪ 𝑣) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑣) ⊆ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)))
71	54, 69, 58, 70	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑈‘𝑣) ⊆ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)))
72		simp13 1204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣))
73	71, 72	sseldd 3995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑞 ∈ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)))
74		simp3r 1201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))
75		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
76		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
77	75, 76, 10, 11	psubspi2N 39730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)) ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)) ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑟 ∈ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)))
78	54, 60, 61, 67, 73, 74, 77	syl33anc 1384	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑟 ∈ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)))
79		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = (𝑤 ∪ 𝑣) → (𝑈‘𝑦) = (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣)))
80	79	eleq2d 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = (𝑤 ∪ 𝑣) → (𝑟 ∈ (𝑈‘𝑦) ↔ 𝑟 ∈ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣))))
81	80	rspcev 3621	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∪ 𝑣) ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈‘(𝑤 ∪ 𝑣))) → ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑟 ∈ (𝑈‘𝑦))
82	53, 78, 81	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑟 ∈ (𝑈‘𝑦))
83		eliun 4999	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑟 ∈ (𝑈‘𝑦))
84	82, 83	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦))
85	84	3exp 1118	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) → ((𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋)) → ((𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞)) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦))))
86	85	exp5c 444	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) → (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) → ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦))))))
87	86	3exp 1118	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ⊆ 𝑋) → (𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣) → (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) → ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦))))))))
88	40, 87	syl5 34	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣) → (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) → ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦))))))))
89	88	rexlimdv 3150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣) → (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) → ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)))))))
90	89	com24 95	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝑋) → (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) → (∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)))))))
91	36, 90	syl5 34	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) → (∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)))))))
92	91	rexlimdv 3150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (∃𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) → (∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦))))))
93	92	impd 410	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((∃𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈‘𝑤) ∧ ∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈‘𝑣)) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)))))
94	32, 93	biimtrid 242	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((𝑝 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)) → (𝑟 ∈ 𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)))))
95	94	ralrimdv 3149	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((𝑝 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)) → ∀𝑟 ∈ 𝐴 (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦))))
96	95	ralrimivv 3197	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ∀𝑝 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)∀𝑞 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)∀𝑟 ∈ 𝐴 (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)))
97	75, 76, 10, 11	ispsubsp 39727	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → (∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾) ↔ (∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑝 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)∀𝑞 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)∀𝑟 ∈ 𝐴 (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)))))
98	97	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾) ↔ (∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑝 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)∀𝑞 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)∀𝑟 ∈ 𝐴 (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)))))
99	21, 96, 98	mpbir2and 713	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾))
100		snfi 9081	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑤} ∈ Fin
101	100	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → {𝑤} ∈ Fin)
102		snelpwi 5453	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑋 → {𝑤} ∈ 𝒫 𝑋)
103	102	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → {𝑤} ∈ 𝒫 𝑋)
104	101, 103	elind 4209	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → {𝑤} ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋))
105		vsnid 4667	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑤 ∈ {𝑤}
106		simpll 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝐾 ∈ AtLat)
107		ssel2 3989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝑤 ∈ 𝐴)
108	107	adantll 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝑤 ∈ 𝐴)
109	10, 11	snatpsubN 39732	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → {𝑤} ∈ (PSubSp‘𝐾))
110	106, 108, 109	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → {𝑤} ∈ (PSubSp‘𝐾))
111	11, 12	pclidN 39878	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ {𝑤} ∈ (PSubSp‘𝐾)) → (𝑈‘{𝑤}) = {𝑤})
112	106, 110, 111	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝑈‘{𝑤}) = {𝑤})
113	105, 112	eleqtrrid 2845	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝑤 ∈ (𝑈‘{𝑤}))
114		fveq2 6906	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = {𝑤} → (𝑈‘𝑦) = (𝑈‘{𝑤}))
115	114	eleq2d 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = {𝑤} → (𝑤 ∈ (𝑈‘𝑦) ↔ 𝑤 ∈ (𝑈‘{𝑤})))
116	115	rspcev 3621	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑤} ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈‘{𝑤})) → ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑤 ∈ (𝑈‘𝑦))
117	104, 113, 116	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑤 ∈ (𝑈‘𝑦))
118	117	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑤 ∈ 𝑋 → ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑤 ∈ (𝑈‘𝑦)))
119		eliun 4999	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑤 ∈ (𝑈‘𝑦))
120	118, 119	imbitrrdi 252	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑤 ∈ 𝑋 → 𝑤 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦)))
121	120	ssrdv 4000	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦))
122		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
123		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
124	10, 12	pclssN 39876	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑦) ⊆ (𝑈‘𝑋))
125	6, 122, 123, 124	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → (𝑈‘𝑦) ⊆ (𝑈‘𝑋))
126	125	sseld 3993	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → (𝑤 ∈ (𝑈‘𝑦) → 𝑤 ∈ (𝑈‘𝑋)))
127	126	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑦 ⊆ 𝑋 → (𝑤 ∈ (𝑈‘𝑦) → 𝑤 ∈ (𝑈‘𝑋))))
128	5, 127	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑤 ∈ (𝑈‘𝑦) → 𝑤 ∈ (𝑈‘𝑋))))
129	128	rexlimdv 3150	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑤 ∈ (𝑈‘𝑦) → 𝑤 ∈ (𝑈‘𝑋)))
130	119, 129	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑤 ∈ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) → 𝑤 ∈ (𝑈‘𝑋)))
131	130	ssrdv 4000	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ⊆ (𝑈‘𝑋))
132	11, 12	pclbtwnN 39879	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾)) ∧ (𝑋 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ∧ ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) ⊆ (𝑈‘𝑋))) → ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) = (𝑈‘𝑋))
133	1, 99, 121, 131, 132	syl22anc 839	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦) = (𝑈‘𝑋))
134	133	eqcomd 2740	1 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑋) = ∪ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈‘𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ∀wral 3058  ∃wrex 3067   ∪ cun 3960   ∩ cin 3961   ⊆ wss 3962  𝒫 cpw 4604  {csn 4630  ∪ ciun 4995   class class class wbr 5147  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  lecple 17304  joincjn 18368  Atomscatm 39244  AtLatcal 39245  PSubSpcpsubsp 39478  PClcpclN 39869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-om 7887  df-1o 8504  df-en 8984  df-fin 8987  df-proset 18351  df-poset 18370  df-plt 18387  df-lub 18403  df-glb 18404  df-join 18405  df-meet 18406  df-p0 18482  df-lat 18489  df-covers 39247  df-ats 39248  df-atl 39279  df-psubsp 39485  df-pclN 39870

This theorem is referenced by:  pclcmpatN  39883