Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pclfinN Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pclfinN 38759
Description: The projective subspace closure of a set equals the union of the closures of its finite subsets. Analogous to Lemma 3.3.6 of [PtakPulmannova] p. 72. Compare the closed subspace version pclfinclN 38809. (Contributed by NM, 10-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pclfin.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
pclfin.c π‘ˆ = (PClβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
pclfinN ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘‹) = βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,π‘ˆ   𝑦,𝐾   𝑦,𝑋
Proof of Theorem pclfinN
Dummy variables π‘ž 𝑝 π‘Ÿ 𝑣 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
2 elin 3963 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ↔ (𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋))
3 elpwi 4608 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 β†’ 𝑦 βŠ† 𝑋)
43adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑋)
52, 4sylbi 216 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑋)
6 simpll 765 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑦 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
7 sstr 3989 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑦 βŠ† 𝐴)
87ancoms 459 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑋) β†’ 𝑦 βŠ† 𝐴)
98adantll 712 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑦 βŠ† 𝑋) β†’ 𝑦 βŠ† 𝐴)
10 pclfin.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
11 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (PSubSpβ€˜πΎ) = (PSubSpβ€˜πΎ)
12 pclfin.c . . . . . . . . . . 11 π‘ˆ = (PClβ€˜πΎ)
1310, 11, 12pclclN 38750 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ (PSubSpβ€˜πΎ))
146, 9, 13syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑦 βŠ† 𝑋) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ (PSubSpβ€˜πΎ))
1510, 11psubssat 38613 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ (PSubSpβ€˜πΎ)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘¦) βŠ† 𝐴)
166, 14, 15syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑦 βŠ† 𝑋) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘¦) βŠ† 𝐴)
1716ex 413 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ (𝑦 βŠ† 𝑋 β†’ (π‘ˆβ€˜π‘¦) βŠ† 𝐴))
185, 17syl5 34 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘¦) βŠ† 𝐴))
1918ralrimiv 3145 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦) βŠ† 𝐴)
20 iunss 5047 . . . . 5 (βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦) βŠ† 𝐴 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦) βŠ† 𝐴)
2119, 20sylibr 233 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦) βŠ† 𝐴)
22 eliun 5000 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘¦))
23 fveq2 6888 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑀 β†’ (π‘ˆβ€˜π‘¦) = (π‘ˆβ€˜π‘€))
2423eleq2d 2819 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑀 β†’ (𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘¦) ↔ 𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘€)))
2524cbvrexvw 3235 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘¦ ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘¦) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘€))
2622, 25bitri 274 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘€))
27 eliun 5000 . . . . . . . . 9 (π‘ž ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)π‘ž ∈ (π‘ˆβ€˜π‘¦))
28 fveq2 6888 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑣 β†’ (π‘ˆβ€˜π‘¦) = (π‘ˆβ€˜π‘£))
2928eleq2d 2819 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑣 β†’ (π‘ž ∈ (π‘ˆβ€˜π‘¦) ↔ π‘ž ∈ (π‘ˆβ€˜π‘£)))
3029cbvrexvw 3235 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘¦ ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)π‘ž ∈ (π‘ˆβ€˜π‘¦) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)π‘ž ∈ (π‘ˆβ€˜π‘£))
3127, 30bitri 274 . . . . . . . 8 (π‘ž ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)π‘ž ∈ (π‘ˆβ€˜π‘£))
3226, 31anbi12i 627 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦) ∧ π‘ž ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦)) ↔ (βˆƒπ‘€ ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘€) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)π‘ž ∈ (π‘ˆβ€˜π‘£)))
33 elin 3963 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ↔ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝒫 𝑋))
34 elpwi 4608 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ 𝒫 𝑋 β†’ 𝑀 βŠ† 𝑋)
3534anim2i 617 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑀 βŠ† 𝑋))
3633, 35sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) β†’ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑀 βŠ† 𝑋))
37 elin 3963 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ↔ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ 𝒫 𝑋))
38 elpwi 4608 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∈ 𝒫 𝑋 β†’ 𝑣 βŠ† 𝑋)
3938anim2i 617 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 βŠ† 𝑋))
4037, 39sylbi 216 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) β†’ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 βŠ† 𝑋))
41 simp2rl 1242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 βŠ† 𝑋) ∧ π‘ž ∈ (π‘ˆβ€˜π‘£)) ∧ (𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘€) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑀 βŠ† 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ 𝑀 ∈ Fin)
42 simp12l 1286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 βŠ† 𝑋) ∧ π‘ž ∈ (π‘ˆβ€˜π‘£)) ∧ (𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘€) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑀 βŠ† 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ 𝑣 ∈ Fin)
43 unfi 9168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ Fin) β†’ (𝑀 βˆͺ 𝑣) ∈ Fin)
4441, 42, 43syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 βŠ† 𝑋) ∧ π‘ž ∈ (π‘ˆβ€˜π‘£)) ∧ (𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘€) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑀 βŠ† 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ (𝑀 βˆͺ 𝑣) ∈ Fin)
45 simp2rr 1243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 βŠ† 𝑋) ∧ π‘ž ∈ (π‘ˆβ€˜π‘£)) ∧ (𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘€) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑀 βŠ† 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ 𝑀 βŠ† 𝑋)
46 simp12r 1287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 βŠ† 𝑋) ∧ π‘ž ∈ (π‘ˆβ€˜π‘£)) ∧ (𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘€) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑀 βŠ† 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ 𝑣 βŠ† 𝑋)
4745, 46unssd 4185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 βŠ† 𝑋) ∧ π‘ž ∈ (π‘ˆβ€˜π‘£)) ∧ (𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘€) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑀 βŠ† 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ (𝑀 βˆͺ 𝑣) βŠ† 𝑋)
48 vex 3478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑀 ∈ V
49 vex 3478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑣 ∈ V
5048, 49unex 7729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 βˆͺ 𝑣) ∈ V
5150elpw 4605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 βˆͺ 𝑣) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑀 βˆͺ 𝑣) βŠ† 𝑋)
5247, 51sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 βŠ† 𝑋) ∧ π‘ž ∈ (π‘ˆβ€˜π‘£)) ∧ (𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘€) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑀 βŠ† 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ (𝑀 βˆͺ 𝑣) ∈ 𝒫 𝑋)
5344, 52elind 4193 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 βŠ† 𝑋) ∧ π‘ž ∈ (π‘ˆβ€˜π‘£)) ∧ (𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘€) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑀 βŠ† 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ (𝑀 βˆͺ 𝑣) ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋))
54 simp11l 1284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 βŠ† 𝑋) ∧ π‘ž ∈ (π‘ˆβ€˜π‘£)) ∧ (𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘€) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑀 βŠ† 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
55 simp11r 1285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 βŠ† 𝑋) ∧ π‘ž ∈ (π‘ˆβ€˜π‘£)) ∧ (𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘€) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑀 βŠ† 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
5645, 55sstrd 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 βŠ† 𝑋) ∧ π‘ž ∈ (π‘ˆβ€˜π‘£)) ∧ (𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘€) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑀 βŠ† 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ 𝑀 βŠ† 𝐴)
5746, 55sstrd 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 βŠ† 𝑋) ∧ π‘ž ∈ (π‘ˆβ€˜π‘£)) ∧ (𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘€) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑀 βŠ† 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ 𝑣 βŠ† 𝐴)
5856, 57unssd 4185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 βŠ† 𝑋) ∧ π‘ž ∈ (π‘ˆβ€˜π‘£)) ∧ (𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘€) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑀 βŠ† 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ (𝑀 βˆͺ 𝑣) βŠ† 𝐴)
5910, 11, 12pclclN 38750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑀 βˆͺ 𝑣) βŠ† 𝐴) β†’ (π‘ˆβ€˜(𝑀 βˆͺ 𝑣)) ∈ (PSubSpβ€˜πΎ))
6054, 58, 59syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 βŠ† 𝑋) ∧ π‘ž ∈ (π‘ˆβ€˜π‘£)) ∧ (𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘€) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑀 βŠ† 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ (π‘ˆβ€˜(𝑀 βˆͺ 𝑣)) ∈ (PSubSpβ€˜πΎ))
61 simp3l 1201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 βŠ† 𝑋) ∧ π‘ž ∈ (π‘ˆβ€˜π‘£)) ∧ (𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘€) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑀 βŠ† 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐴)
62 ssun1 4171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑀 βŠ† (𝑀 βˆͺ 𝑣)
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 βŠ† 𝑋) ∧ π‘ž ∈ (π‘ˆβ€˜π‘£)) ∧ (𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘€) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑀 βŠ† 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ 𝑀 βŠ† (𝑀 βˆͺ 𝑣))
6410, 12pclssN 38753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑀 βŠ† (𝑀 βˆͺ 𝑣) ∧ (𝑀 βˆͺ 𝑣) βŠ† 𝐴) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘€) βŠ† (π‘ˆβ€˜(𝑀 βˆͺ 𝑣)))
6554, 63, 58, 64syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 βŠ† 𝑋) ∧ π‘ž ∈ (π‘ˆβ€˜π‘£)) ∧ (𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘€) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑀 βŠ† 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘€) βŠ† (π‘ˆβ€˜(𝑀 βˆͺ 𝑣)))
66 simp2l 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 βŠ† 𝑋) ∧ π‘ž ∈ (π‘ˆβ€˜π‘£)) ∧ (𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘€) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑀 βŠ† 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ 𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘€))
6765, 66sseldd 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 βŠ† 𝑋) ∧ π‘ž ∈ (π‘ˆβ€˜π‘£)) ∧ (𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘€) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑀 βŠ† 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ 𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜(𝑀 βˆͺ 𝑣)))
68 ssun2 4172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑣 βŠ† (𝑀 βˆͺ 𝑣)
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 βŠ† 𝑋) ∧ π‘ž ∈ (π‘ˆβ€˜π‘£)) ∧ (𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘€) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑀 βŠ† 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ 𝑣 βŠ† (𝑀 βˆͺ 𝑣))
7010, 12pclssN 38753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑣 βŠ† (𝑀 βˆͺ 𝑣) ∧ (𝑀 βˆͺ 𝑣) βŠ† 𝐴) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘£) βŠ† (π‘ˆβ€˜(𝑀 βˆͺ 𝑣)))
7154, 69, 58, 70syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 βŠ† 𝑋) ∧ π‘ž ∈ (π‘ˆβ€˜π‘£)) ∧ (𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘€) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑀 βŠ† 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘£) βŠ† (π‘ˆβ€˜(𝑀 βˆͺ 𝑣)))
72 simp13 1205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 βŠ† 𝑋) ∧ π‘ž ∈ (π‘ˆβ€˜π‘£)) ∧ (𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘€) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑀 βŠ† 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ π‘ž ∈ (π‘ˆβ€˜π‘£))
7371, 72sseldd 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 βŠ† 𝑋) ∧ π‘ž ∈ (π‘ˆβ€˜π‘£)) ∧ (𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘€) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑀 βŠ† 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ π‘ž ∈ (π‘ˆβ€˜(𝑀 βˆͺ 𝑣)))
74 simp3r 1202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 βŠ† 𝑋) ∧ π‘ž ∈ (π‘ˆβ€˜π‘£)) ∧ (𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘€) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑀 βŠ† 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
75 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
76 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
7775, 76, 10, 11psubspi2N 38607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ (π‘ˆβ€˜(𝑀 βˆͺ 𝑣)) ∈ (PSubSpβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜(𝑀 βˆͺ 𝑣)) ∧ π‘ž ∈ (π‘ˆβ€˜(𝑀 βˆͺ 𝑣)) ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ π‘Ÿ ∈ (π‘ˆβ€˜(𝑀 βˆͺ 𝑣)))
7854, 60, 61, 67, 73, 74, 77syl33anc 1385 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 βŠ† 𝑋) ∧ π‘ž ∈ (π‘ˆβ€˜π‘£)) ∧ (𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘€) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑀 βŠ† 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ π‘Ÿ ∈ (π‘ˆβ€˜(𝑀 βˆͺ 𝑣)))
79 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (𝑀 βˆͺ 𝑣) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘¦) = (π‘ˆβ€˜(𝑀 βˆͺ 𝑣)))
8079eleq2d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (𝑀 βˆͺ 𝑣) β†’ (π‘Ÿ ∈ (π‘ˆβ€˜π‘¦) ↔ π‘Ÿ ∈ (π‘ˆβ€˜(𝑀 βˆͺ 𝑣))))
8180rspcev 3612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 βˆͺ 𝑣) ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘ˆβ€˜(𝑀 βˆͺ 𝑣))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)π‘Ÿ ∈ (π‘ˆβ€˜π‘¦))
8253, 78, 81syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 βŠ† 𝑋) ∧ π‘ž ∈ (π‘ˆβ€˜π‘£)) ∧ (𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘€) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑀 βŠ† 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)π‘Ÿ ∈ (π‘ˆβ€˜π‘¦))
83 eliun 5000 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ÿ ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)π‘Ÿ ∈ (π‘ˆβ€˜π‘¦))
8482, 83sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 βŠ† 𝑋) ∧ π‘ž ∈ (π‘ˆβ€˜π‘£)) ∧ (𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘€) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑀 βŠ† 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ π‘Ÿ ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦))
85843exp 1119 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 βŠ† 𝑋) ∧ π‘ž ∈ (π‘ˆβ€˜π‘£)) β†’ ((𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘€) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑀 βŠ† 𝑋)) β†’ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) β†’ π‘Ÿ ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦))))
8685exp5c 445 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 βŠ† 𝑋) ∧ π‘ž ∈ (π‘ˆβ€˜π‘£)) β†’ (𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘€) β†’ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑀 βŠ† 𝑋) β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) β†’ π‘Ÿ ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦))))))
87863exp 1119 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ ((𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 βŠ† 𝑋) β†’ (π‘ž ∈ (π‘ˆβ€˜π‘£) β†’ (𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘€) β†’ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑀 βŠ† 𝑋) β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) β†’ π‘Ÿ ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦))))))))
8840, 87syl5 34 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ (𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) β†’ (π‘ž ∈ (π‘ˆβ€˜π‘£) β†’ (𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘€) β†’ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑀 βŠ† 𝑋) β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) β†’ π‘Ÿ ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦))))))))
8988rexlimdv 3153 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)π‘ž ∈ (π‘ˆβ€˜π‘£) β†’ (𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘€) β†’ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑀 βŠ† 𝑋) β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) β†’ π‘Ÿ ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦)))))))
9089com24 95 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑀 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘€) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)π‘ž ∈ (π‘ˆβ€˜π‘£) β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) β†’ π‘Ÿ ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦)))))))
9136, 90syl5 34 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) β†’ (𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘€) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)π‘ž ∈ (π‘ˆβ€˜π‘£) β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) β†’ π‘Ÿ ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦)))))))
9291rexlimdv 3153 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘€) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)π‘ž ∈ (π‘ˆβ€˜π‘£) β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) β†’ π‘Ÿ ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦))))))
9392impd 411 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ ((βˆƒπ‘€ ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘€) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)π‘ž ∈ (π‘ˆβ€˜π‘£)) β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) β†’ π‘Ÿ ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦)))))
9432, 93biimtrid 241 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ ((𝑝 ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦) ∧ π‘ž ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦)) β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) β†’ π‘Ÿ ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦)))))
9594ralrimdv 3152 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ ((𝑝 ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦) ∧ π‘ž ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦)) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐴 (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) β†’ π‘Ÿ ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦))))
9695ralrimivv 3198 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ βˆ€π‘ ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦)βˆ€π‘ž ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦)βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐴 (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) β†’ π‘Ÿ ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦)))
9775, 76, 10, 11ispsubsp 38604 . . . . 5 (𝐾 ∈ AtLat β†’ (βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ (PSubSpβ€˜πΎ) ↔ (βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦) βŠ† 𝐴 ∧ βˆ€π‘ ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦)βˆ€π‘ž ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦)βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐴 (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) β†’ π‘Ÿ ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦)))))
9897adantr 481 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ (βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ (PSubSpβ€˜πΎ) ↔ (βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦) βŠ† 𝐴 ∧ βˆ€π‘ ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦)βˆ€π‘ž ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦)βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐴 (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) β†’ π‘Ÿ ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦)))))
9921, 96, 98mpbir2and 711 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ (PSubSpβ€˜πΎ))
100 snfi 9040 . . . . . . . . 9 {𝑀} ∈ Fin
101100a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ {𝑀} ∈ Fin)
102 snelpwi 5442 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ 𝑋 β†’ {𝑀} ∈ 𝒫 𝑋)
103102adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ {𝑀} ∈ 𝒫 𝑋)
104101, 103elind 4193 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ {𝑀} ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋))
105 vsnid 4664 . . . . . . . 8 𝑀 ∈ {𝑀}
106 simpll 765 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
107 ssel2 3976 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ 𝑀 ∈ 𝐴)
108107adantll 712 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ 𝑀 ∈ 𝐴)
10910, 11snatpsubN 38609 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ {𝑀} ∈ (PSubSpβ€˜πΎ))
110106, 108, 109syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ {𝑀} ∈ (PSubSpβ€˜πΎ))
11111, 12pclidN 38755 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ {𝑀} ∈ (PSubSpβ€˜πΎ)) β†’ (π‘ˆβ€˜{𝑀}) = {𝑀})
112106, 110, 111syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ (π‘ˆβ€˜{𝑀}) = {𝑀})
113105, 112eleqtrrid 2840 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ 𝑀 ∈ (π‘ˆβ€˜{𝑀}))
114 fveq2 6888 . . . . . . . . 9 (𝑦 = {𝑀} β†’ (π‘ˆβ€˜π‘¦) = (π‘ˆβ€˜{𝑀}))
115114eleq2d 2819 . . . . . . . 8 (𝑦 = {𝑀} β†’ (𝑀 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘¦) ↔ 𝑀 ∈ (π‘ˆβ€˜{𝑀})))
116115rspcev 3612 . . . . . . 7 (({𝑀} ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘ˆβ€˜{𝑀})) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑀 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘¦))
117104, 113, 116syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑀 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘¦))
118117ex 413 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 ∈ 𝑋 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑀 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘¦)))
119 eliun 5000 . . . . 5 (𝑀 ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑀 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘¦))
120118, 119syl6ibr 251 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 ∈ 𝑋 β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦)))
121120ssrdv 3987 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑋 βŠ† βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦))
122 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑦 βŠ† 𝑋) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑋)
123 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑦 βŠ† 𝑋) β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
12410, 12pclssN 38753 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘¦) βŠ† (π‘ˆβ€˜π‘‹))
1256, 122, 123, 124syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑦 βŠ† 𝑋) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘¦) βŠ† (π‘ˆβ€˜π‘‹))
126125sseld 3980 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑦 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑀 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘¦) β†’ 𝑀 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘‹)))
127126ex 413 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ (𝑦 βŠ† 𝑋 β†’ (𝑀 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘¦) β†’ 𝑀 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘‹))))
1285, 127syl5 34 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) β†’ (𝑀 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘¦) β†’ 𝑀 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘‹))))
129128rexlimdv 3153 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑀 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘¦) β†’ 𝑀 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘‹)))
130119, 129biimtrid 241 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦) β†’ 𝑀 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘‹)))
131130ssrdv 3987 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦) βŠ† (π‘ˆβ€˜π‘‹))
13211, 12pclbtwnN 38756 . . 3 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ (PSubSpβ€˜πΎ)) ∧ (𝑋 βŠ† βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦) ∧ βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦) βŠ† (π‘ˆβ€˜π‘‹))) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦) = (π‘ˆβ€˜π‘‹))
1331, 99, 121, 131, 132syl22anc 837 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦) = (π‘ˆβ€˜π‘‹))
134133eqcomd 2738 1 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘‹) = βˆͺ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(π‘ˆβ€˜π‘¦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  {csn 4627  βˆͺ ciun 4996   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Fincfn 8935  lecple 17200  joincjn 18260  Atomscatm 38121  AtLatcal 38122  PSubSpcpsubsp 38355  PClcpclN 38746
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-om 7852  df-1o 8462  df-en 8936  df-fin 8939  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-lat 18381  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-psubsp 38362  df-pclN 38747
This theorem is referenced by:  pclcmpatN  38760
  Copyright terms: Public domain W3C validator