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Theorem linepsubN 38623
Description: A line is a projective subspace. (Contributed by NM, 16-Oct-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
linepsub.n 𝑁 = (Linesβ€˜πΎ)
linepsub.s 𝑆 = (PSubSpβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
linepsubN ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
Proof of Theorem linepsubN
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑝 π‘ž π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4078 . . . . . . . 8 {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)} βŠ† (Atomsβ€˜πΎ)
2 sseq1 4008 . . . . . . . 8 (𝑋 = {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)} β†’ (𝑋 βŠ† (Atomsβ€˜πΎ) ↔ {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)} βŠ† (Atomsβ€˜πΎ)))
31, 2mpbiri 258 . . . . . . 7 (𝑋 = {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)} β†’ 𝑋 βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
43a1i 11 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘Ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑏 ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) β†’ (𝑋 = {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)} β†’ 𝑋 βŠ† (Atomsβ€˜πΎ)))
5 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
6 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
75, 6atbase 38159 . . . . . . . . 9 (π‘Ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΎ))
85, 6atbase 38159 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
97, 8anim12i 614 . . . . . . . 8 ((π‘Ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑏 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΎ)))
10 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
115, 10latjcl 18392 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
12113expb 1121 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
139, 12sylan2 594 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘Ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑏 ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) β†’ (π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
14 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑋 = {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)} β†’ (𝑝 ∈ 𝑋 ↔ 𝑝 ∈ {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)}))
15 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑐 = 𝑝 β†’ (𝑐(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏) ↔ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)))
1615elrab 3684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 ∈ {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)} ↔ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)))
175, 6atbase 38159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) β†’ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1817anim1i 616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)) β†’ (𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)))
1916, 18sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 ∈ {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)} β†’ (𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)))
2014, 19syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑋 = {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)} β†’ (𝑝 ∈ 𝑋 β†’ (𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏))))
21 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑋 = {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)} β†’ (π‘ž ∈ 𝑋 ↔ π‘ž ∈ {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)}))
22 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑐 = π‘ž β†’ (𝑐(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏) ↔ π‘ž(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)))
2322elrab 3684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘ž ∈ {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)} ↔ (π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)))
245, 6atbase 38159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ) β†’ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2524anim1i 616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)) β†’ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)))
2623, 25sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘ž ∈ {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)} β†’ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)))
2721, 26syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑋 = {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)} β†’ (π‘ž ∈ 𝑋 β†’ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏))))
2820, 27anim12d 610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 = {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)} β†’ ((𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋) β†’ ((𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)))))
29 an4 655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)) ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏))) ↔ ((𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏) ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏))))
3028, 29imbitrdi 250 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 = {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)} β†’ ((𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋) β†’ ((𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏) ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)))))
3130imp 408 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 = {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)} ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏) ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏))))
3231anim2i 618 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑋 = {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)} ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋))) β†’ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏) ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)))))
3332anassrs 469 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑋 = {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)}) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏) ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)))))
345, 6atbase 38159 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ) β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
35 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
365, 35, 10latjle12 18403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏) ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)) ↔ (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)))
3736biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏) ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)) β†’ (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)))
38373exp2 1355 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ Lat β†’ (𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ) β†’ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ) β†’ ((π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜πΎ) β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏) ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)) β†’ (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏))))))
3938impd 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ Lat β†’ ((𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜πΎ) β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏) ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)) β†’ (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)))))
4039com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ Lat β†’ ((π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜πΎ) β†’ ((𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏) ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)) β†’ (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)))))
4140imp43 429 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏) ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)))) β†’ (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏))
4241adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏) ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)))) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏))
435, 10latjcl 18392 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
44433expib 1123 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ Lat β†’ ((𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∈ (Baseβ€˜πΎ)))
455, 35lattr 18397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)) β†’ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)))
46453exp2 1355 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ Lat β†’ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ) β†’ ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∈ (Baseβ€˜πΎ) β†’ ((π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜πΎ) β†’ ((π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)) β†’ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏))))))
4746com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ Lat β†’ ((π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜πΎ) β†’ ((𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∈ (Baseβ€˜πΎ) β†’ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ) β†’ ((π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)) β†’ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏))))))
4844, 47syl5d 73 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ Lat β†’ ((π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜πΎ) β†’ ((𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ) β†’ ((π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)) β†’ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏))))))
4948imp41 427 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ))) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)) β†’ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)))
5049adantlrr 720 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏) ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)))) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)) β†’ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)))
5142, 50mpan2d 693 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ ((𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏) ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)))) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) β†’ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)))
5233, 34, 51syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑋 = {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)}) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) ∧ π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) β†’ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)))
53 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑋 = {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)}) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) ∧ π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
5452, 53jctild 527 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑋 = {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)}) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) ∧ π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) β†’ (π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏))))
55 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 = {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)} β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ↔ π‘Ÿ ∈ {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)}))
56 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = π‘Ÿ β†’ (𝑐(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏) ↔ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)))
5756elrab 3684 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ÿ ∈ {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)} ↔ (π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)))
5855, 57bitrdi 287 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 = {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)} β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ↔ (π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏))))
5958ad3antlr 730 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑋 = {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)}) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) ∧ π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ↔ (π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏))))
6054, 59sylibrd 259 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑋 = {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)}) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) ∧ π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝑋))
6160ralrimiva 3147 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑋 = {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)}) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝑋))
6261ralrimivva 3201 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑋 = {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)}) β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 βˆ€π‘ž ∈ 𝑋 βˆ€π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝑋))
6362ex 414 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 = {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)} β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 βˆ€π‘ž ∈ 𝑋 βˆ€π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝑋)))
6413, 63syldan 592 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘Ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑏 ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) β†’ (𝑋 = {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)} β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 βˆ€π‘ž ∈ 𝑋 βˆ€π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝑋)))
654, 64jcad 514 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘Ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑏 ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) β†’ (𝑋 = {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)} β†’ (𝑋 βŠ† (Atomsβ€˜πΎ) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 βˆ€π‘ž ∈ 𝑋 βˆ€π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝑋))))
6665adantld 492 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘Ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑏 ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) β†’ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ 𝑋 = {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)}) β†’ (𝑋 βŠ† (Atomsβ€˜πΎ) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 βˆ€π‘ž ∈ 𝑋 βˆ€π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝑋))))
6766rexlimdvva 3212 . . 3 (𝐾 ∈ Lat β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)βˆƒπ‘ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(π‘Ž β‰  𝑏 ∧ 𝑋 = {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)}) β†’ (𝑋 βŠ† (Atomsβ€˜πΎ) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 βˆ€π‘ž ∈ 𝑋 βˆ€π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝑋))))
68 linepsub.n . . . 4 𝑁 = (Linesβ€˜πΎ)
6935, 10, 6, 68isline 38610 . . 3 (𝐾 ∈ Lat β†’ (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)βˆƒπ‘ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(π‘Ž β‰  𝑏 ∧ 𝑋 = {𝑐 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑐(leβ€˜πΎ)(π‘Ž(joinβ€˜πΎ)𝑏)})))
70 linepsub.s . . . 4 𝑆 = (PSubSpβ€˜πΎ)
7135, 10, 6, 70ispsubsp 38616 . . 3 (𝐾 ∈ Lat β†’ (𝑋 ∈ 𝑆 ↔ (𝑋 βŠ† (Atomsβ€˜πΎ) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 βˆ€π‘ž ∈ 𝑋 βˆ€π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝑋))))
7267, 69, 713imtr4d 294 . 2 (𝐾 ∈ Lat β†’ (𝑋 ∈ 𝑁 β†’ 𝑋 ∈ 𝑆))
7372imp 408 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  lecple 17204  joincjn 18264  Latclat 18384  Atomscatm 38133  Linesclines 38365  PSubSpcpsubsp 38367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-poset 18266  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-lat 18385  df-ats 38137  df-lines 38372  df-psubsp 38374
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