Theorem ixpconst 8965

Description: Infinite Cartesian product of a constant 𝐵. (Contributed by NM, 28-Sep-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ixpconst.1	⊢ 𝐴 ∈ V
ixpconst.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ixpconst	⊢ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵 ↑m 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ixpconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpconst.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		ixpconst.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		ixpconstg 8964	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵 ↑m 𝐴))
4	1, 2, 3	mp2an 691	1 ⊢ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵 ↑m 𝐴)

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  (class class class)co 7448   ↑_m cmap 8884  Xcixp 8955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-map 8886  df-ixp 8956

This theorem is referenced by:  pwcfsdom  10652  prdsvallem  17514  wunfunc  17965  wunfuncOLD  17966  wunnat  18024  wunnatOLD  18025  poimirlem30  37610  poimirlem32  37612  ovnovollem1  46577  ovnovollem2  46578