Theorem ixpconst 8494

Description: Infinite Cartesian product of a constant 𝐵. (Contributed by NM, 28-Sep-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ixpconst.1	⊢ 𝐴 ∈ V
ixpconst.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ixpconst	⊢ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵 ↑m 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ixpconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpconst.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		ixpconst.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		ixpconstg 8493	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵 ↑m 𝐴))
4	1, 2, 3	mp2an 691	1 ⊢ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵 ↑m 𝐴)

Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409  (class class class)co 7155   ↑_m cmap 8421  Xcixp 8484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ral 3075  df-rex 3076  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-id 5433  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-fv 6347  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-map 8423  df-ixp 8485

This theorem is referenced by:  pwcfsdom  10048  prdsval  16791  wunfunc  17233  wunnat  17290  poimirlem30  35393  poimirlem32  35395  ovnovollem1  43689  ovnovollem2  43690