Theorem ixpssmap2g 8869

Description: An infinite Cartesian product is a subset of set exponentiation. This version of ixpssmapg 8870 avoids ax-rep 5202. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ixpssmap2g	⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ixpssmap2g

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpf 8862	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → 𝑓:𝐴⟶∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
2	1	adantl 483	. . . 4 ⊢ ((∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝑓:𝐴⟶∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
3		n0i 4271	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → ¬ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∅)
4		ixpprc 8861	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∅)
5	3, 4	nsyl2 141	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
6		elmapg 8780	. . . . 5 ⊢ ((∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑓 ∈ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴) ↔ 𝑓:𝐴⟶∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵))
7	5, 6	sylan2 600	. . . 4 ⊢ ((∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → (𝑓 ∈ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴) ↔ 𝑓:𝐴⟶∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵))
8	2, 7	mpbird 259	. . 3 ⊢ ((∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝑓 ∈ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴))
9	8	ex 414	. 2 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → 𝑓 ∈ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴)))
10	9	ssrdv 3923	1 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  Vcvv 3433   ⊆ wss 3885  ∅c0 4264  ∪ ciun 4924  ⟶wf 6485  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8767  Xcixp 8839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-fv 6497  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-map 8769  df-ixp 8840

This theorem is referenced by:  ixpssmapg  8870  ixpfi  9253  ixpiunwdom  9499  prdsval  17413  prdsbas  17415  ixpssmapc  45536