Theorem ixpssmap2g 8868

Description: An infinite Cartesian product is a subset of set exponentiation. This version of ixpssmapg 8869 avoids ax-rep 5212. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ixpssmap2g	⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ixpssmap2g

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpf 8861	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → 𝑓:𝐴⟶∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝑓:𝐴⟶∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
3		n0i 4281	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → ¬ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∅)
4		ixpprc 8860	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∅)
5	3, 4	nsyl2 141	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
6		elmapg 8779	. . . . 5 ⊢ ((∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑓 ∈ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴) ↔ 𝑓:𝐴⟶∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵))
7	5, 6	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → (𝑓 ∈ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴) ↔ 𝑓:𝐴⟶∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵))
8	2, 7	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝑓 ∈ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴))
9	8	ex 412	. 2 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → 𝑓 ∈ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴)))
10	9	ssrdv 3928	1 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  ∪ ciun 4934  ⟶wf 6488  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8766  Xcixp 8838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-map 8768  df-ixp 8839

This theorem is referenced by:  ixpssmapg  8869  ixpfi  9252  ixpiunwdom  9498  prdsval  17409  prdsbas  17411  ixpssmapc  45522