Theorem ixpssmap2g 8861

Description: An infinite Cartesian product is a subset of set exponentiation. This version of ixpssmapg 8862 avoids ax-rep 5221. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ixpssmap2g	⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ixpssmap2g

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpf 8854	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → 𝑓:𝐴⟶∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝑓:𝐴⟶∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
3		n0i 4293	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → ¬ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∅)
4		ixpprc 8853	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∅)
5	3, 4	nsyl2 141	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
6		elmapg 8773	. . . . 5 ⊢ ((∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑓 ∈ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴) ↔ 𝑓:𝐴⟶∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵))
7	5, 6	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → (𝑓 ∈ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴) ↔ 𝑓:𝐴⟶∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵))
8	2, 7	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝑓 ∈ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴))
9	8	ex 412	. 2 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → 𝑓 ∈ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴)))
10	9	ssrdv 3943	1 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  ∪ ciun 4944  ⟶wf 6482  (class class class)co 7353   ↑_m cmap 8760  Xcixp 8831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-map 8762  df-ixp 8832

This theorem is referenced by:  ixpssmapg  8862  ixpfi  9258  ixpiunwdom  9501  prdsval  17377  prdsbas  17379  ixpssmapc  45051