Theorem ixpssmap2g 8946

Description: An infinite Cartesian product is a subset of set exponentiation. This version of ixpssmapg 8947 avoids ax-rep 5254. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ixpssmap2g	⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ixpssmap2g

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpf 8939	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → 𝑓:𝐴⟶∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝑓:𝐴⟶∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
3		n0i 4320	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → ¬ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∅)
4		ixpprc 8938	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∅)
5	3, 4	nsyl2 141	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
6		elmapg 8858	. . . . 5 ⊢ ((∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑓 ∈ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴) ↔ 𝑓:𝐴⟶∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵))
7	5, 6	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → (𝑓 ∈ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴) ↔ 𝑓:𝐴⟶∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵))
8	2, 7	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝑓 ∈ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴))
9	8	ex 412	. 2 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → 𝑓 ∈ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴)))
10	9	ssrdv 3969	1 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464   ⊆ wss 3931  ∅c0 4313  ∪ ciun 4972  ⟶wf 6532  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8845  Xcixp 8916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-map 8847  df-ixp 8917

This theorem is referenced by:  ixpssmapg  8947  ixpfi  9366  ixpiunwdom  9609  prdsval  17474  prdsbas  17476  ixpssmapc  45064