Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ioorrnopnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioorrnopnlem 45751
Description: The a point in an indexed product of open intervals is contained in an open ball that is contained in the indexed product of open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ioorrnopnlem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
ioorrnopnlem.n (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
ioorrnopnlem.a (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
ioorrnopnlem.b (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
ioorrnopnlem.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)))
ioorrnopnlem.h 𝐻 = ran (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ if(((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) ≀ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)), ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)), ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–))))
ioorrnopnlem.e 𝐸 = inf(𝐻, ℝ, < )
ioorrnopnlem.v 𝑉 = (𝐹(ballβ€˜π·)𝐸)
ioorrnopnlem.d 𝐷 = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2)))
Assertion
Ref Expression
ioorrnopnlem (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))(𝐹 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑣,𝐴   𝐡,𝑔   𝑣,𝐡   𝐷,𝑔,𝑖   𝑔,𝐸,𝑖   𝑔,𝐹,𝑖   𝑣,𝐹,𝑖   𝑣,𝑉   𝑓,𝑋,𝑔,π‘˜   𝑖,𝑋,𝑣   πœ‘,𝑓,𝑔,π‘˜   πœ‘,𝑖
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑣)   𝐴(𝑓,𝑖,π‘˜)   𝐡(𝑓,𝑖,π‘˜)   𝐷(𝑣,𝑓,π‘˜)   𝐸(𝑣,𝑓,π‘˜)   𝐹(𝑓,π‘˜)   𝐻(𝑣,𝑓,𝑔,𝑖,π‘˜)   𝑉(𝑓,𝑔,𝑖,π‘˜)

Proof of Theorem ioorrnopnlem
StepHypRef Expression
1 ioorrnopnlem.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
2 ioorrnopnlem.d . . . . 5 𝐷 = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2)))
31, 2rrndsxmet 45750 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m 𝑋)))
4 nfv 1909 . . . . . 6 β„²π‘–πœ‘
5 reex 11224 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
65a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
7 ioossre 13412 . . . . . . 7 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)) βŠ† ℝ
87a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)) βŠ† ℝ)
94, 6, 8ixpssmapc 44499 . . . . 5 (πœ‘ β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)) βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
10 ioorrnopnlem.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)))
119, 10sseldd 3974 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
12 ioorrnopnlem.e . . . . . 6 𝐸 = inf(𝐻, ℝ, < )
13 ioorrnopnlem.h . . . . . . . . 9 𝐻 = ran (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ if(((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) ≀ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)), ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)), ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–))))
1413a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐻 = ran (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ if(((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) ≀ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)), ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)), ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)))))
15 ioorrnopnlem.b . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
1615ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘–) ∈ ℝ)
1710adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ 𝐹 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)))
18 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ 𝑖 ∈ 𝑋)
19 fvixp2 44632 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ∈ ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)))
2017, 18, 19syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ∈ ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)))
217, 20sselid 3971 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
2216, 21resubcld 11667 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) ∈ ℝ)
23 ioorrnopnlem.a . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
2423ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘–) ∈ ℝ)
2524rexrd 11289 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
2616rexrd 11289 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
27 iooltub 44954 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π΄β€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (π΅β€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π‘–) ∈ ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–))) β†’ (πΉβ€˜π‘–) < (π΅β€˜π‘–))
2825, 26, 20, 27syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘–) < (π΅β€˜π‘–))
2921, 16posdifd 11826 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘–) < (π΅β€˜π‘–) ↔ 0 < ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–))))
3028, 29mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ 0 < ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)))
3122, 30elrpd 13040 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) ∈ ℝ+)
3221, 24resubcld 11667 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)) ∈ ℝ)
33 ioogtlb 44939 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π΄β€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (π΅β€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π‘–) ∈ ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–))) β†’ (π΄β€˜π‘–) < (πΉβ€˜π‘–))
3425, 26, 20, 33syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘–) < (πΉβ€˜π‘–))
3524, 21posdifd 11826 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((π΄β€˜π‘–) < (πΉβ€˜π‘–) ↔ 0 < ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–))))
3634, 35mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ 0 < ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)))
3732, 36elrpd 13040 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)) ∈ ℝ+)
3831, 37ifcld 4571 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ if(((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) ≀ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)), ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)), ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–))) ∈ ℝ+)
3938ralrimiva 3136 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 if(((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) ≀ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)), ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)), ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–))) ∈ ℝ+)
40 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ if(((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) ≀ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)), ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)), ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)))) = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ if(((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) ≀ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)), ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)), ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–))))
4140rnmptss 7126 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 if(((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) ≀ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)), ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)), ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–))) ∈ ℝ+ β†’ ran (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ if(((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) ≀ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)), ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)), ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)))) βŠ† ℝ+)
4239, 41syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ran (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ if(((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) ≀ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)), ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)), ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)))) βŠ† ℝ+)
4314, 42eqsstrd 4012 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐻 βŠ† ℝ+)
44 ltso 11319 . . . . . . . . 9 < Or ℝ
4544a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ < Or ℝ)
4640rnmptfi 44604 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ Fin β†’ ran (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ if(((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) ≀ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)), ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)), ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)))) ∈ Fin)
471, 46syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ran (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ if(((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) ≀ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)), ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)), ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)))) ∈ Fin)
4813, 47eqeltrid 2829 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Fin)
49 ioorrnopnlem.n . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
504, 38, 40, 49rnmptn0 6244 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ran (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ if(((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) ≀ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)), ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)), ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)))) β‰  βˆ…)
5114, 50eqnetrd 2998 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐻 β‰  βˆ…)
52 rpssre 13008 . . . . . . . . . 10 ℝ+ βŠ† ℝ
5352a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ℝ+ βŠ† ℝ)
5443, 53sstrd 3984 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐻 βŠ† ℝ)
55 fiinfcl 9519 . . . . . . . 8 (( < Or ℝ ∧ (𝐻 ∈ Fin ∧ 𝐻 β‰  βˆ… ∧ 𝐻 βŠ† ℝ)) β†’ inf(𝐻, ℝ, < ) ∈ 𝐻)
5645, 48, 51, 54, 55syl13anc 1369 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ inf(𝐻, ℝ, < ) ∈ 𝐻)
5743, 56sseldd 3974 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ inf(𝐻, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
5812, 57eqeltrid 2829 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
59 rpxr 13010 . . . . 5 (𝐸 ∈ ℝ+ β†’ 𝐸 ∈ ℝ*)
6058, 59syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ*)
61 eqid 2725 . . . . 5 (MetOpenβ€˜π·) = (MetOpenβ€˜π·)
6261blopn 24422 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝐸 ∈ ℝ*) β†’ (𝐹(ballβ€˜π·)𝐸) ∈ (MetOpenβ€˜π·))
633, 11, 60, 62syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹(ballβ€˜π·)𝐸) ∈ (MetOpenβ€˜π·))
64 ioorrnopnlem.v . . . . 5 𝑉 = (𝐹(ballβ€˜π·)𝐸)
6564a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑉 = (𝐹(ballβ€˜π·)𝐸))
661rrxtopnfi 45734 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) = (MetOpenβ€˜(𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2)))))
672eqcomi 2734 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))) = 𝐷
6867a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))) = 𝐷)
6968fveq2d 6894 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (MetOpenβ€˜(𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2)))) = (MetOpenβ€˜π·))
7066, 69eqtrd 2765 . . . 4 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) = (MetOpenβ€˜π·))
7165, 70eleq12d 2819 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑉 ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ↔ (𝐹(ballβ€˜π·)𝐸) ∈ (MetOpenβ€˜π·)))
7263, 71mpbird 256 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))
73 xmetpsmet 24267 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m 𝑋)) β†’ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜(ℝ ↑m 𝑋)))
743, 73syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜(ℝ ↑m 𝑋)))
75 blcntrps 24331 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜(ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) β†’ 𝐹 ∈ (𝐹(ballβ€˜π·)𝐸))
7674, 11, 58, 75syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐹(ballβ€˜π·)𝐸))
7765eqcomd 2731 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹(ballβ€˜π·)𝐸) = 𝑉)
7876, 77eleqtrd 2827 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
79 nfv 1909 . . . . 5 β„²π‘”πœ‘
80 elmapfn 8877 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) β†’ 𝑔 Fn 𝑋)
81803ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) β†’ 𝑔 Fn 𝑋)
82253ad2antl1 1182 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
83263ad2antl1 1182 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
84 simpl2 1189 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
85 simpr 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ 𝑖 ∈ 𝑋)
86 elmapi 8861 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) β†’ 𝑔:π‘‹βŸΆβ„)
8786adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ 𝑔:π‘‹βŸΆβ„)
88 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ 𝑖 ∈ 𝑋)
8987, 88ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . 10 ((𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘”β€˜π‘–) ∈ ℝ)
9084, 85, 89syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘”β€˜π‘–) ∈ ℝ)
91243ad2antl1 1182 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘–) ∈ ℝ)
9252, 58sselid 3971 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
9392adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
9421, 93resubcld 11667 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ 𝐸) ∈ ℝ)
95943ad2antl1 1182 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ 𝐸) ∈ ℝ)
9652, 38sselid 3971 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ if(((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) ≀ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)), ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)), ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–))) ∈ ℝ)
9712a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐸 = inf(𝐻, ℝ, < ))
98 infxrrefi 44823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐻 βŠ† ℝ ∧ 𝐻 ∈ Fin ∧ 𝐻 β‰  βˆ…) β†’ inf(𝐻, ℝ*, < ) = inf(𝐻, ℝ, < ))
9954, 48, 51, 98syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ inf(𝐻, ℝ*, < ) = inf(𝐻, ℝ, < ))
10099eqcomd 2731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ inf(𝐻, ℝ, < ) = inf(𝐻, ℝ*, < ))
10197, 100eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐸 = inf(𝐻, ℝ*, < ))
102101adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ 𝐸 = inf(𝐻, ℝ*, < ))
103 ressxr 11283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℝ βŠ† ℝ*
104103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† ℝ*)
10554, 104sstrd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐻 βŠ† ℝ*)
106105adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ 𝐻 βŠ† ℝ*)
10738elexd 3485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ if(((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) ≀ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)), ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)), ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–))) ∈ V)
10840elrnmpt1 5955 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ 𝑋 ∧ if(((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) ≀ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)), ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)), ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–))) ∈ V) β†’ if(((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) ≀ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)), ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)), ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–))) ∈ ran (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ if(((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) ≀ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)), ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)), ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)))))
10918, 107, 108syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ if(((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) ≀ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)), ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)), ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–))) ∈ ran (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ if(((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) ≀ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)), ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)), ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)))))
110109, 13eleqtrrdi 2836 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ if(((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) ≀ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)), ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)), ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–))) ∈ 𝐻)
111 infxrlb 13340 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐻 βŠ† ℝ* ∧ if(((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) ≀ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)), ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)), ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–))) ∈ 𝐻) β†’ inf(𝐻, ℝ*, < ) ≀ if(((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) ≀ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)), ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)), ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–))))
112106, 110, 111syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ inf(𝐻, ℝ*, < ) ≀ if(((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) ≀ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)), ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)), ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–))))
113102, 112eqbrtrd 5166 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ 𝐸 ≀ if(((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) ≀ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)), ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)), ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–))))
114 min2 13196 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)) ∈ ℝ) β†’ if(((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) ≀ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)), ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)), ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–))) ≀ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)))
11522, 32, 114syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ if(((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) ≀ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)), ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)), ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–))) ≀ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)))
11693, 96, 32, 113, 115letrd 11396 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ 𝐸 ≀ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)))
11793, 21, 24, 116lesubd 11843 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘–) ≀ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ 𝐸))
1181173ad2antl1 1182 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘–) ≀ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ 𝐸))
11921adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
12089adantll 712 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘”β€˜π‘–) ∈ ℝ)
121119, 120resubcld 11667 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π‘”β€˜π‘–)) ∈ ℝ)
1221213adantl3 1165 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π‘”β€˜π‘–)) ∈ ℝ)
1231, 2rrndsmet 45749 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m 𝑋)))
124123ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m 𝑋)))
12511ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
126 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
127 metcl 24251 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) β†’ (𝐹𝐷𝑔) ∈ ℝ)
128124, 125, 126, 127syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹𝐷𝑔) ∈ ℝ)
1291283adantl3 1165 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹𝐷𝑔) ∈ ℝ)
13093adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
1311303adantl3 1165 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
132121recnd 11267 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π‘”β€˜π‘–)) ∈ β„‚)
133132abscld 15410 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π‘”β€˜π‘–))) ∈ ℝ)
134121leabsd 15388 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π‘”β€˜π‘–)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π‘”β€˜π‘–))))
1351ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
136 ixpf 8932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβˆͺ 𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)))
13710, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβˆͺ 𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)))
1388ralrimiva 3136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)) βŠ† ℝ)
139 iunss 5044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)) βŠ† ℝ ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)) βŠ† ℝ)
140138, 139sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)) βŠ† ℝ)
141137, 140fssd 6734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
142141ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
143126, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ 𝑔:π‘‹βŸΆβ„)
144 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ 𝑖 ∈ 𝑋)
145 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) = (distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))
146135, 142, 143, 144, 145rrnprjdstle 45748 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π‘”β€˜π‘–))) ≀ (𝐹(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))𝑔))
147 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (ℝ^β€˜π‘‹) = (ℝ^β€˜π‘‹)
148 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (ℝ ↑m 𝑋) = (ℝ ↑m 𝑋)
149147, 148rrxdsfi 25352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑋 ∈ Fin β†’ (distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))))
1501, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))))
151150, 68eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) = 𝐷)
152151oveqd 7430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝐹(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))𝑔) = (𝐹𝐷𝑔))
153152ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))𝑔) = (𝐹𝐷𝑔))
154146, 153breqtrd 5170 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π‘”β€˜π‘–))) ≀ (𝐹𝐷𝑔))
155121, 133, 128, 134, 154letrd 11396 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π‘”β€˜π‘–)) ≀ (𝐹𝐷𝑔))
1561553adantl3 1165 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π‘”β€˜π‘–)) ≀ (𝐹𝐷𝑔))
157 simpl3 1190 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸)
158122, 129, 131, 156, 157lelttrd 11397 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π‘”β€˜π‘–)) < 𝐸)
159 ltsub23 11719 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΉβ€˜π‘–) ∈ ℝ ∧ (π‘”β€˜π‘–) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) β†’ (((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π‘”β€˜π‘–)) < 𝐸 ↔ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ 𝐸) < (π‘”β€˜π‘–)))
160119, 120, 130, 159syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π‘”β€˜π‘–)) < 𝐸 ↔ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ 𝐸) < (π‘”β€˜π‘–)))
1611603adantl3 1165 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π‘”β€˜π‘–)) < 𝐸 ↔ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ 𝐸) < (π‘”β€˜π‘–)))
162158, 161mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ 𝐸) < (π‘”β€˜π‘–))
16391, 95, 90, 118, 162lelttrd 11397 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘–) < (π‘”β€˜π‘–))
16421, 93readdcld 11268 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘–) + 𝐸) ∈ ℝ)
1651643ad2antl1 1182 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘–) + 𝐸) ∈ ℝ)
166163ad2antl1 1182 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘–) ∈ ℝ)
167120, 119resubcld 11667 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘”β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) ∈ ℝ)
1681673adantl3 1165 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘”β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) ∈ ℝ)
169167leabsd 15388 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘”β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) ≀ (absβ€˜((π‘”β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–))))
170120recnd 11267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘”β€˜π‘–) ∈ β„‚)
171119recnd 11267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ∈ β„‚)
172170, 171abssubd 15427 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜((π‘”β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–))) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π‘”β€˜π‘–))))
173169, 172breqtrd 5170 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘”β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π‘”β€˜π‘–))))
174167, 133, 128, 173, 154letrd 11396 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘”β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) ≀ (𝐹𝐷𝑔))
1751743adantl3 1165 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘”β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) ≀ (𝐹𝐷𝑔))
176168, 129, 131, 175, 157lelttrd 11397 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘”β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) < 𝐸)
1771193adantl3 1165 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
17890, 177, 131ltsubadd2d 11837 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘”β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) < 𝐸 ↔ (π‘”β€˜π‘–) < ((πΉβ€˜π‘–) + 𝐸)))
179176, 178mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘”β€˜π‘–) < ((πΉβ€˜π‘–) + 𝐸))
180 min1 13195 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)) ∈ ℝ) β†’ if(((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) ≀ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)), ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)), ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–))) ≀ ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)))
18122, 32, 180syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ if(((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) ≀ ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)), ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)), ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–))) ≀ ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)))
18293, 96, 22, 113, 181letrd 11396 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ 𝐸 ≀ ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)))
18321, 93, 16leaddsub2d 11841 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (((πΉβ€˜π‘–) + 𝐸) ≀ (π΅β€˜π‘–) ↔ 𝐸 ≀ ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–))))
184182, 183mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘–) + 𝐸) ≀ (π΅β€˜π‘–))
1851843ad2antl1 1182 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘–) + 𝐸) ≀ (π΅β€˜π‘–))
18690, 165, 166, 179, 185ltletrd 11399 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘”β€˜π‘–) < (π΅β€˜π‘–))
18782, 83, 90, 163, 186eliood 44942 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘”β€˜π‘–) ∈ ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)))
188187ralrimiva 3136 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘”β€˜π‘–) ∈ ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)))
18981, 188jca 510 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) β†’ (𝑔 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘”β€˜π‘–) ∈ ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–))))
190 vex 3467 . . . . . . 7 𝑔 ∈ V
191190elixp 8916 . . . . . 6 (𝑔 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)) ↔ (𝑔 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘”β€˜π‘–) ∈ ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–))))
192189, 191sylibr 233 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) β†’ 𝑔 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)))
19379, 74, 11, 60, 192ballss3 44520 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹(ballβ€˜π·)𝐸) βŠ† X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)))
19465, 193eqsstrd 4012 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑉 βŠ† X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)))
19578, 194jca 510 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑉 βŠ† X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–))))
196 eleq2 2814 . . . 4 (𝑣 = 𝑉 β†’ (𝐹 ∈ 𝑣 ↔ 𝐹 ∈ 𝑉))
197 sseq1 3999 . . . 4 (𝑣 = 𝑉 β†’ (𝑣 βŠ† X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)) ↔ 𝑉 βŠ† X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–))))
198196, 197anbi12d 630 . . 3 (𝑣 = 𝑉 β†’ ((𝐹 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–))) ↔ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑉 βŠ† X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)))))
199198rspcev 3603 . 2 ((𝑉 ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑉 βŠ† X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)))) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))(𝐹 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–))))
20072, 195, 199syl2anc 582 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))(𝐹 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  Vcvv 3463   βŠ† wss 3941  βˆ…c0 4319  ifcif 4525  βˆͺ ciun 4992   class class class wbr 5144   ↦ cmpt 5227   Or wor 5584  ran crn 5674   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415   ↑m cmap 8838  Xcixp 8909  Fincfn 8957  infcinf 9459  β„cr 11132  0cc0 11133   + caddc 11136  β„*cxr 11272   < clt 11273   ≀ cle 11274   βˆ’ cmin 11469  2c2 12292  β„+crp 13001  (,)cioo 13351  β†‘cexp 14053  βˆšcsqrt 15207  abscabs 15208  Ξ£csu 15659  distcds 17236  TopOpenctopn 17397  PsMetcpsmet 21262  βˆžMetcxmet 21263  Metcmet 21264  ballcbl 21265  MetOpencmopn 21268  β„^crrx 25324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-addf 11212  ax-mulf 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-ioo 13355  df-ico 13357  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-exp 14054  df-hash 14317  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-clim 15459  df-sum 15660  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17398  df-topn 17399  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-topgen 17419  df-prds 17423  df-pws 17425  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-subg 19077  df-ghm 19167  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-oppr 20272  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-dvr 20339  df-rhm 20410  df-subrng 20482  df-subrg 20507  df-drng 20625  df-field 20626  df-staf 20724  df-srng 20725  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-sra 21057  df-rgmod 21058  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-cnfld 21279  df-refld 21536  df-dsmm 21665  df-frlm 21680  df-top 22809  df-topon 22826  df-bases 22862  df-nm 24504  df-tng 24506  df-tcph 25110  df-rrx 25326
This theorem is referenced by:  ioorrnopn  45752
  Copyright terms: Public domain W3C validator