Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ioorrnopnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioorrnopnlem 46260
Description: The a point in an indexed product of open intervals is contained in an open ball that is contained in the indexed product of open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ioorrnopnlem.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
ioorrnopnlem.n (𝜑𝑋 ≠ ∅)
ioorrnopnlem.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
ioorrnopnlem.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
ioorrnopnlem.f (𝜑𝐹X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
ioorrnopnlem.h 𝐻 = ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))))
ioorrnopnlem.e 𝐸 = inf(𝐻, ℝ, < )
ioorrnopnlem.v 𝑉 = (𝐹(ball‘𝐷)𝐸)
ioorrnopnlem.d 𝐷 = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))
Assertion
Ref Expression
ioorrnopnlem (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝐹𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑣,𝐴   𝐵,𝑔   𝑣,𝐵   𝐷,𝑔,𝑖   𝑔,𝐸,𝑖   𝑔,𝐹,𝑖   𝑣,𝐹,𝑖   𝑣,𝑉   𝑓,𝑋,𝑔,𝑘   𝑖,𝑋,𝑣   𝜑,𝑓,𝑔,𝑘   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣)   𝐴(𝑓,𝑖,𝑘)   𝐵(𝑓,𝑖,𝑘)   𝐷(𝑣,𝑓,𝑘)   𝐸(𝑣,𝑓,𝑘)   𝐹(𝑓,𝑘)   𝐻(𝑣,𝑓,𝑔,𝑖,𝑘)   𝑉(𝑓,𝑔,𝑖,𝑘)

Proof of Theorem ioorrnopnlem
StepHypRef Expression
1 ioorrnopnlem.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2 ioorrnopnlem.d . . . . 5 𝐷 = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))
31, 2rrndsxmet 46259 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝑋)))
4 nfv 1912 . . . . . 6 𝑖𝜑
5 reex 11244 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
65a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ∈ V)
7 ioossre 13445 . . . . . . 7 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ⊆ ℝ
87a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ⊆ ℝ)
94, 6, 8ixpssmapc 45013 . . . . 5 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
10 ioorrnopnlem.f . . . . 5 (𝜑𝐹X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
119, 10sseldd 3996 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
12 ioorrnopnlem.e . . . . . 6 𝐸 = inf(𝐻, ℝ, < )
13 ioorrnopnlem.h . . . . . . . . 9 𝐻 = ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))))
1413a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 = ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))))
15 ioorrnopnlem.b . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
1615ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
1710adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝐹X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
18 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝑖𝑋)
19 fvixp2 45142 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
2017, 18, 19syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
217, 20sselid 3993 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) ∈ ℝ)
2216, 21resubcld 11689 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ∈ ℝ)
23 ioorrnopnlem.a . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
2423ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
2524rexrd 11309 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ*)
2616rexrd 11309 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ*)
27 iooltub 45463 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) → (𝐹𝑖) < (𝐵𝑖))
2825, 26, 20, 27syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) < (𝐵𝑖))
2921, 16posdifd 11848 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) < (𝐵𝑖) ↔ 0 < ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖))))
3028, 29mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → 0 < ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)))
3122, 30elrpd 13072 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ∈ ℝ+)
3221, 24resubcld 11689 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)) ∈ ℝ)
33 ioogtlb 45448 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) → (𝐴𝑖) < (𝐹𝑖))
3425, 26, 20, 33syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) < (𝐹𝑖))
3524, 21posdifd 11848 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐴𝑖) < (𝐹𝑖) ↔ 0 < ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))))
3634, 35mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → 0 < ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))
3732, 36elrpd 13072 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)) ∈ ℝ+)
3831, 37ifcld 4577 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ℝ+)
3938ralrimiva 3144 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑖𝑋 if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ℝ+)
40 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))) = (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))))
4140rnmptss 7143 . . . . . . . . 9 (∀𝑖𝑋 if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ℝ+ → ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))) ⊆ ℝ+)
4239, 41syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))) ⊆ ℝ+)
4314, 42eqsstrd 4034 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 ⊆ ℝ+)
44 ltso 11339 . . . . . . . . 9 < Or ℝ
4544a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → < Or ℝ)
4640rnmptfi 45114 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ Fin → ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))) ∈ Fin)
471, 46syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))) ∈ Fin)
4813, 47eqeltrid 2843 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 ∈ Fin)
49 ioorrnopnlem.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
504, 38, 40, 49rnmptn0 6266 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))) ≠ ∅)
5114, 50eqnetrd 3006 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 ≠ ∅)
52 rpssre 13040 . . . . . . . . . 10 + ⊆ ℝ
5352a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
5443, 53sstrd 4006 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 ⊆ ℝ)
55 fiinfcl 9539 . . . . . . . 8 (( < Or ℝ ∧ (𝐻 ∈ Fin ∧ 𝐻 ≠ ∅ ∧ 𝐻 ⊆ ℝ)) → inf(𝐻, ℝ, < ) ∈ 𝐻)
5645, 48, 51, 54, 55syl13anc 1371 . . . . . . 7 (𝜑 → inf(𝐻, ℝ, < ) ∈ 𝐻)
5743, 56sseldd 3996 . . . . . 6 (𝜑 → inf(𝐻, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
5812, 57eqeltrid 2843 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
59 rpxr 13042 . . . . 5 (𝐸 ∈ ℝ+𝐸 ∈ ℝ*)
6058, 59syl 17 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℝ*)
61 eqid 2735 . . . . 5 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
6261blopn 24529 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝐸 ∈ ℝ*) → (𝐹(ball‘𝐷)𝐸) ∈ (MetOpen‘𝐷))
633, 11, 60, 62syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → (𝐹(ball‘𝐷)𝐸) ∈ (MetOpen‘𝐷))
64 ioorrnopnlem.v . . . . 5 𝑉 = (𝐹(ball‘𝐷)𝐸)
6564a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑉 = (𝐹(ball‘𝐷)𝐸))
661rrxtopnfi 46243 . . . . 5 (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = (MetOpen‘(𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))))
672eqcomi 2744 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))) = 𝐷
6867a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))) = 𝐷)
6968fveq2d 6911 . . . . 5 (𝜑 → (MetOpen‘(𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))) = (MetOpen‘𝐷))
7066, 69eqtrd 2775 . . . 4 (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = (MetOpen‘𝐷))
7165, 70eleq12d 2833 . . 3 (𝜑 → (𝑉 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ↔ (𝐹(ball‘𝐷)𝐸) ∈ (MetOpen‘𝐷)))
7263, 71mpbird 257 . 2 (𝜑𝑉 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
73 xmetpsmet 24374 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝑋)) → 𝐷 ∈ (PsMet‘(ℝ ↑m 𝑋)))
743, 73syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ (PsMet‘(ℝ ↑m 𝑋)))
75 blcntrps 24438 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMet‘(ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (𝐹(ball‘𝐷)𝐸))
7674, 11, 58, 75syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐹(ball‘𝐷)𝐸))
7765eqcomd 2741 . . . 4 (𝜑 → (𝐹(ball‘𝐷)𝐸) = 𝑉)
7876, 77eleqtrd 2841 . . 3 (𝜑𝐹𝑉)
79 nfv 1912 . . . . 5 𝑔𝜑
80 elmapfn 8904 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) → 𝑔 Fn 𝑋)
81803ad2ant2 1133 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) → 𝑔 Fn 𝑋)
82253ad2antl1 1184 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ*)
83263ad2antl1 1184 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ*)
84 simpl2 1191 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
85 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑖𝑋)
86 elmapi 8888 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) → 𝑔:𝑋⟶ℝ)
8786adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑔:𝑋⟶ℝ)
88 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑖𝑋)
8987, 88ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . 10 ((𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑔𝑖) ∈ ℝ)
9084, 85, 89syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑔𝑖) ∈ ℝ)
91243ad2antl1 1184 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
9252, 58sselid 3993 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
9392adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝐸 ∈ ℝ)
9421, 93resubcld 11689 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − 𝐸) ∈ ℝ)
95943ad2antl1 1184 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − 𝐸) ∈ ℝ)
9652, 38sselid 3993 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ℝ)
9712a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐸 = inf(𝐻, ℝ, < ))
98 infxrrefi 45332 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐻 ⊆ ℝ ∧ 𝐻 ∈ Fin ∧ 𝐻 ≠ ∅) → inf(𝐻, ℝ*, < ) = inf(𝐻, ℝ, < ))
9954, 48, 51, 98syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → inf(𝐻, ℝ*, < ) = inf(𝐻, ℝ, < ))
10099eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → inf(𝐻, ℝ, < ) = inf(𝐻, ℝ*, < ))
10197, 100eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐸 = inf(𝐻, ℝ*, < ))
102101adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝐸 = inf(𝐻, ℝ*, < ))
103 ressxr 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℝ ⊆ ℝ*
104103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
10554, 104sstrd 4006 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐻 ⊆ ℝ*)
106105adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝐻 ⊆ ℝ*)
10738elexd 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖𝑋) → if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ V)
10840elrnmpt1 5974 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖𝑋 ∧ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ V) → if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))))
10918, 107, 108syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖𝑋) → if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))))
110109, 13eleqtrrdi 2850 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ 𝐻)
111 infxrlb 13373 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐻 ⊆ ℝ* ∧ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ 𝐻) → inf(𝐻, ℝ*, < ) ≤ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))))
112106, 110, 111syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑋) → inf(𝐻, ℝ*, < ) ≤ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))))
113102, 112eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝐸 ≤ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))))
114 min2 13229 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)) ∈ ℝ) → if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))
11522, 32, 114syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))
11693, 96, 32, 113, 115letrd 11416 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝐸 ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))
11793, 21, 24, 116lesubd 11865 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ≤ ((𝐹𝑖) − 𝐸))
1181173ad2antl1 1184 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ≤ ((𝐹𝑖) − 𝐸))
11921adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) ∈ ℝ)
12089adantll 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑔𝑖) ∈ ℝ)
121119, 120resubcld 11689 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖)) ∈ ℝ)
1221213adantl3 1167 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖)) ∈ ℝ)
1231, 2rrndsmet 46258 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝑋)))
124123ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝑋)))
12511ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
126 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
127 metcl 24358 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) → (𝐹𝐷𝑔) ∈ ℝ)
128124, 125, 126, 127syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐹𝐷𝑔) ∈ ℝ)
1291283adantl3 1167 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐹𝐷𝑔) ∈ ℝ)
13093adantlr 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → 𝐸 ∈ ℝ)
1311303adantl3 1167 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → 𝐸 ∈ ℝ)
132121recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖)) ∈ ℂ)
133132abscld 15472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → (abs‘((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖))) ∈ ℝ)
134121leabsd 15450 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖)) ≤ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖))))
1351ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑋 ∈ Fin)
136 ixpf 8959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) → 𝐹:𝑋 𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
13710, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹:𝑋 𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
1388ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∀𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ⊆ ℝ)
139 iunss 5050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ( 𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ⊆ ℝ ↔ ∀𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ⊆ ℝ)
140138, 139sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ⊆ ℝ)
141137, 140fssd 6754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
142141ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
143126, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑔:𝑋⟶ℝ)
144 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑖𝑋)
145 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (dist‘(ℝ^‘𝑋)) = (dist‘(ℝ^‘𝑋))
146135, 142, 143, 144, 145rrnprjdstle 46257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → (abs‘((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖))) ≤ (𝐹(dist‘(ℝ^‘𝑋))𝑔))
147 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (ℝ^‘𝑋) = (ℝ^‘𝑋)
148 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (ℝ ↑m 𝑋) = (ℝ ↑m 𝑋)
149147, 148rrxdsfi 25459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑋 ∈ Fin → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
1501, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
151150, 68eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) = 𝐷)
152151oveqd 7448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹(dist‘(ℝ^‘𝑋))𝑔) = (𝐹𝐷𝑔))
153152ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐹(dist‘(ℝ^‘𝑋))𝑔) = (𝐹𝐷𝑔))
154146, 153breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → (abs‘((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖))) ≤ (𝐹𝐷𝑔))
155121, 133, 128, 134, 154letrd 11416 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖)) ≤ (𝐹𝐷𝑔))
1561553adantl3 1167 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖)) ≤ (𝐹𝐷𝑔))
157 simpl3 1192 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸)
158122, 129, 131, 156, 157lelttrd 11417 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖)) < 𝐸)
159 ltsub23 11741 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝑔𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖)) < 𝐸 ↔ ((𝐹𝑖) − 𝐸) < (𝑔𝑖)))
160119, 120, 130, 159syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → (((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖)) < 𝐸 ↔ ((𝐹𝑖) − 𝐸) < (𝑔𝑖)))
1611603adantl3 1167 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖)) < 𝐸 ↔ ((𝐹𝑖) − 𝐸) < (𝑔𝑖)))
162158, 161mpbid 232 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − 𝐸) < (𝑔𝑖))
16391, 95, 90, 118, 162lelttrd 11417 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) < (𝑔𝑖))
16421, 93readdcld 11288 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) + 𝐸) ∈ ℝ)
1651643ad2antl1 1184 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) + 𝐸) ∈ ℝ)
166163ad2antl1 1184 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
167120, 119resubcld 11689 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝑔𝑖) − (𝐹𝑖)) ∈ ℝ)
1681673adantl3 1167 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝑔𝑖) − (𝐹𝑖)) ∈ ℝ)
169167leabsd 15450 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝑔𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ (abs‘((𝑔𝑖) − (𝐹𝑖))))
170120recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑔𝑖) ∈ ℂ)
171119recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) ∈ ℂ)
172170, 171abssubd 15489 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → (abs‘((𝑔𝑖) − (𝐹𝑖))) = (abs‘((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖))))
173169, 172breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝑔𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖))))
174167, 133, 128, 173, 154letrd 11416 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝑔𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ (𝐹𝐷𝑔))
1751743adantl3 1167 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝑔𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ (𝐹𝐷𝑔))
176168, 129, 131, 175, 157lelttrd 11417 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝑔𝑖) − (𝐹𝑖)) < 𝐸)
1771193adantl3 1167 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) ∈ ℝ)
17890, 177, 131ltsubadd2d 11859 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (((𝑔𝑖) − (𝐹𝑖)) < 𝐸 ↔ (𝑔𝑖) < ((𝐹𝑖) + 𝐸)))
179176, 178mpbid 232 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑔𝑖) < ((𝐹𝑖) + 𝐸))
180 min1 13228 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)) ∈ ℝ) → if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)))
18122, 32, 180syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)))
18293, 96, 22, 113, 181letrd 11416 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝐸 ≤ ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)))
18321, 93, 16leaddsub2d 11863 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → (((𝐹𝑖) + 𝐸) ≤ (𝐵𝑖) ↔ 𝐸 ≤ ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖))))
184182, 183mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) + 𝐸) ≤ (𝐵𝑖))
1851843ad2antl1 1184 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) + 𝐸) ≤ (𝐵𝑖))
18690, 165, 166, 179, 185ltletrd 11419 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑔𝑖) < (𝐵𝑖))
18782, 83, 90, 163, 186eliood 45451 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑔𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
188187ralrimiva 3144 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) → ∀𝑖𝑋 (𝑔𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
18981, 188jca 511 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) → (𝑔 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑔𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
190 vex 3482 . . . . . . 7 𝑔 ∈ V
191190elixp 8943 . . . . . 6 (𝑔X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ↔ (𝑔 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑔𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
192189, 191sylibr 234 . . . . 5 ((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) → 𝑔X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
19379, 74, 11, 60, 192ballss3 45033 . . . 4 (𝜑 → (𝐹(ball‘𝐷)𝐸) ⊆ X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
19465, 193eqsstrd 4034 . . 3 (𝜑𝑉X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
19578, 194jca 511 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑉𝑉X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
196 eleq2 2828 . . . 4 (𝑣 = 𝑉 → (𝐹𝑣𝐹𝑉))
197 sseq1 4021 . . . 4 (𝑣 = 𝑉 → (𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ↔ 𝑉X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
198196, 197anbi12d 632 . . 3 (𝑣 = 𝑉 → ((𝐹𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) ↔ (𝐹𝑉𝑉X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))))
199198rspcev 3622 . 2 ((𝑉 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∧ (𝐹𝑉𝑉X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))) → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝐹𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
20072, 195, 199syl2anc 584 1 (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝐹𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3478  wss 3963  c0 4339  ifcif 4531   ciun 4996   class class class wbr 5148  cmpt 5231   Or wor 5596  ran crn 5690   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  m cmap 8865  Xcixp 8936  Fincfn 8984  infcinf 9479  cr 11152  0cc0 11153   + caddc 11156  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  2c2 12319  +crp 13032  (,)cioo 13384  cexp 14099  csqrt 15269  abscabs 15270  Σcsu 15719  distcds 17307  TopOpenctopn 17468  PsMetcpsmet 21366  ∞Metcxmet 21367  Metcmet 21368  ballcbl 21369  MetOpencmopn 21372  ℝ^crrx 25431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-drng 20748  df-field 20749  df-staf 20857  df-srng 20858  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-refld 21641  df-dsmm 21770  df-frlm 21785  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-nm 24611  df-tng 24613  df-tcph 25217  df-rrx 25433
This theorem is referenced by:  ioorrnopn  46261
  Copyright terms: Public domain W3C validator