Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ioorrnopnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioorrnopnlem 42788
 Description: The a point in an indexed product of open intervals is contained in an open ball that is contained in the indexed product of open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ioorrnopnlem.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
ioorrnopnlem.n (𝜑𝑋 ≠ ∅)
ioorrnopnlem.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
ioorrnopnlem.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
ioorrnopnlem.f (𝜑𝐹X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
ioorrnopnlem.h 𝐻 = ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))))
ioorrnopnlem.e 𝐸 = inf(𝐻, ℝ, < )
ioorrnopnlem.v 𝑉 = (𝐹(ball‘𝐷)𝐸)
ioorrnopnlem.d 𝐷 = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))
Assertion
Ref Expression
ioorrnopnlem (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝐹𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑣,𝐴   𝐵,𝑔   𝑣,𝐵   𝐷,𝑔,𝑖   𝑔,𝐸,𝑖   𝑔,𝐹,𝑖   𝑣,𝐹,𝑖   𝑣,𝑉   𝑓,𝑋,𝑔,𝑘   𝑖,𝑋,𝑣   𝜑,𝑓,𝑔,𝑘   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣)   𝐴(𝑓,𝑖,𝑘)   𝐵(𝑓,𝑖,𝑘)   𝐷(𝑣,𝑓,𝑘)   𝐸(𝑣,𝑓,𝑘)   𝐹(𝑓,𝑘)   𝐻(𝑣,𝑓,𝑔,𝑖,𝑘)   𝑉(𝑓,𝑔,𝑖,𝑘)

Proof of Theorem ioorrnopnlem
StepHypRef Expression
1 ioorrnopnlem.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2 ioorrnopnlem.d . . . . 5 𝐷 = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))
31, 2rrndsxmet 42787 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝑋)))
4 nfv 1916 . . . . . 6 𝑖𝜑
5 reex 10613 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
65a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ∈ V)
7 ioossre 12784 . . . . . . 7 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ⊆ ℝ
87a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ⊆ ℝ)
94, 6, 8ixpssmapc 41544 . . . . 5 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
10 ioorrnopnlem.f . . . . 5 (𝜑𝐹X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
119, 10sseldd 3952 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
12 ioorrnopnlem.e . . . . . 6 𝐸 = inf(𝐻, ℝ, < )
13 ioorrnopnlem.h . . . . . . . . 9 𝐻 = ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))))
1413a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 = ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))))
15 ioorrnopnlem.b . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
1615ffvelrnda 6832 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
1710adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝐹X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
18 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝑖𝑋)
19 fvixp2 41668 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
2017, 18, 19syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
217, 20sseldi 3949 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) ∈ ℝ)
2216, 21resubcld 11053 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ∈ ℝ)
23 ioorrnopnlem.a . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
2423ffvelrnda 6832 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
2524rexrd 10676 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ*)
2616rexrd 10676 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ*)
27 iooltub 41989 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) → (𝐹𝑖) < (𝐵𝑖))
2825, 26, 20, 27syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) < (𝐵𝑖))
2921, 16posdifd 11212 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) < (𝐵𝑖) ↔ 0 < ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖))))
3028, 29mpbid 235 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → 0 < ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)))
3122, 30elrpd 12414 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ∈ ℝ+)
3221, 24resubcld 11053 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)) ∈ ℝ)
33 ioogtlb 41974 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) → (𝐴𝑖) < (𝐹𝑖))
3425, 26, 20, 33syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) < (𝐹𝑖))
3524, 21posdifd 11212 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐴𝑖) < (𝐹𝑖) ↔ 0 < ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))))
3634, 35mpbid 235 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → 0 < ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))
3732, 36elrpd 12414 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)) ∈ ℝ+)
3831, 37ifcld 4493 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ℝ+)
3938ralrimiva 3176 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑖𝑋 if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ℝ+)
40 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))) = (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))))
4140rnmptss 6867 . . . . . . . . 9 (∀𝑖𝑋 if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ℝ+ → ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))) ⊆ ℝ+)
4239, 41syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))) ⊆ ℝ+)
4314, 42eqsstrd 3989 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 ⊆ ℝ+)
44 ltso 10706 . . . . . . . . 9 < Or ℝ
4544a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → < Or ℝ)
4640rnmptfi 41634 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ Fin → ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))) ∈ Fin)
471, 46syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))) ∈ Fin)
4813, 47eqeltrid 2920 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 ∈ Fin)
4938elexd 3499 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ V)
50 ioorrnopnlem.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
514, 49, 40, 50rnmptn0 41691 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))) ≠ ∅)
5214, 51eqnetrd 3080 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 ≠ ∅)
53 rpssre 12382 . . . . . . . . . 10 + ⊆ ℝ
5453a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
5543, 54sstrd 3961 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 ⊆ ℝ)
56 fiinfcl 8949 . . . . . . . 8 (( < Or ℝ ∧ (𝐻 ∈ Fin ∧ 𝐻 ≠ ∅ ∧ 𝐻 ⊆ ℝ)) → inf(𝐻, ℝ, < ) ∈ 𝐻)
5745, 48, 52, 55, 56syl13anc 1369 . . . . . . 7 (𝜑 → inf(𝐻, ℝ, < ) ∈ 𝐻)
5843, 57sseldd 3952 . . . . . 6 (𝜑 → inf(𝐻, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
5912, 58eqeltrid 2920 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
60 rpxr 12384 . . . . 5 (𝐸 ∈ ℝ+𝐸 ∈ ℝ*)
6159, 60syl 17 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℝ*)
62 eqid 2824 . . . . 5 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
6362blopn 23096 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝐸 ∈ ℝ*) → (𝐹(ball‘𝐷)𝐸) ∈ (MetOpen‘𝐷))
643, 11, 61, 63syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝐹(ball‘𝐷)𝐸) ∈ (MetOpen‘𝐷))
65 ioorrnopnlem.v . . . . 5 𝑉 = (𝐹(ball‘𝐷)𝐸)
6665a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑉 = (𝐹(ball‘𝐷)𝐸))
671rrxtopnfi 42771 . . . . 5 (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = (MetOpen‘(𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))))
682eqcomi 2833 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))) = 𝐷
6968a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))) = 𝐷)
7069fveq2d 6655 . . . . 5 (𝜑 → (MetOpen‘(𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))) = (MetOpen‘𝐷))
7167, 70eqtrd 2859 . . . 4 (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = (MetOpen‘𝐷))
7266, 71eleq12d 2910 . . 3 (𝜑 → (𝑉 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ↔ (𝐹(ball‘𝐷)𝐸) ∈ (MetOpen‘𝐷)))
7364, 72mpbird 260 . 2 (𝜑𝑉 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
74 xmetpsmet 22944 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝑋)) → 𝐷 ∈ (PsMet‘(ℝ ↑m 𝑋)))
753, 74syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ (PsMet‘(ℝ ↑m 𝑋)))
76 blcntrps 23008 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMet‘(ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (𝐹(ball‘𝐷)𝐸))
7775, 11, 59, 76syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐹(ball‘𝐷)𝐸))
7866eqcomd 2830 . . . 4 (𝜑 → (𝐹(ball‘𝐷)𝐸) = 𝑉)
7977, 78eleqtrd 2918 . . 3 (𝜑𝐹𝑉)
80 nfv 1916 . . . . 5 𝑔𝜑
81 elmapfn 8412 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) → 𝑔 Fn 𝑋)
82813ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) → 𝑔 Fn 𝑋)
83253ad2antl1 1182 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ*)
84263ad2antl1 1182 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ*)
85 simpl2 1189 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
86 simpr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑖𝑋)
87 elmapi 8411 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) → 𝑔:𝑋⟶ℝ)
8887adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑔:𝑋⟶ℝ)
89 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑖𝑋)
9088, 89ffvelrnd 6833 . . . . . . . . . 10 ((𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑔𝑖) ∈ ℝ)
9185, 86, 90syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑔𝑖) ∈ ℝ)
92243ad2antl1 1182 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
9353, 59sseldi 3949 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
9493adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝐸 ∈ ℝ)
9521, 94resubcld 11053 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − 𝐸) ∈ ℝ)
96953ad2antl1 1182 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − 𝐸) ∈ ℝ)
9753, 38sseldi 3949 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ℝ)
9812a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐸 = inf(𝐻, ℝ, < ))
99 infxrrefi 41858 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐻 ⊆ ℝ ∧ 𝐻 ∈ Fin ∧ 𝐻 ≠ ∅) → inf(𝐻, ℝ*, < ) = inf(𝐻, ℝ, < ))
10055, 48, 52, 99syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → inf(𝐻, ℝ*, < ) = inf(𝐻, ℝ, < ))
101100eqcomd 2830 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → inf(𝐻, ℝ, < ) = inf(𝐻, ℝ*, < ))
10298, 101eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐸 = inf(𝐻, ℝ*, < ))
103102adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝐸 = inf(𝐻, ℝ*, < ))
104 ressxr 10670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℝ ⊆ ℝ*
105104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
10655, 105sstrd 3961 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐻 ⊆ ℝ*)
107106adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝐻 ⊆ ℝ*)
10840elrnmpt1 5811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖𝑋 ∧ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ V) → if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))))
10918, 49, 108syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖𝑋) → if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))))
110109, 13eleqtrrdi 2927 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ 𝐻)
111 infxrlb 12713 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐻 ⊆ ℝ* ∧ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ 𝐻) → inf(𝐻, ℝ*, < ) ≤ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))))
112107, 110, 111syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑋) → inf(𝐻, ℝ*, < ) ≤ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))))
113103, 112eqbrtrd 5069 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝐸 ≤ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))))
114 min2 12569 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)) ∈ ℝ) → if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))
11522, 32, 114syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))
11694, 97, 32, 113, 115letrd 10782 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝐸 ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))
11794, 21, 24, 116lesubd 11229 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ≤ ((𝐹𝑖) − 𝐸))
1181173ad2antl1 1182 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ≤ ((𝐹𝑖) − 𝐸))
11921adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) ∈ ℝ)
12090adantll 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑔𝑖) ∈ ℝ)
121119, 120resubcld 11053 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖)) ∈ ℝ)
1221213adantl3 1165 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖)) ∈ ℝ)
1231, 2rrndsmet 42786 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝑋)))
124123ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝑋)))
12511ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
126 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
127 metcl 22928 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) → (𝐹𝐷𝑔) ∈ ℝ)
128124, 125, 126, 127syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐹𝐷𝑔) ∈ ℝ)
1291283adantl3 1165 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐹𝐷𝑔) ∈ ℝ)
13094adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → 𝐸 ∈ ℝ)
1311303adantl3 1165 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → 𝐸 ∈ ℝ)
132121recnd 10654 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖)) ∈ ℂ)
133132abscld 14785 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → (abs‘((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖))) ∈ ℝ)
134121leabsd 14763 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖)) ≤ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖))))
1351ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑋 ∈ Fin)
136 ixpf 8467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) → 𝐹:𝑋 𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
13710, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹:𝑋 𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
1388ralrimiva 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∀𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ⊆ ℝ)
139 iunss 4950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ( 𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ⊆ ℝ ↔ ∀𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ⊆ ℝ)
140138, 139sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ⊆ ℝ)
141137, 140fssd 6509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
142141ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
143126, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑔:𝑋⟶ℝ)
144 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑖𝑋)
145 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (dist‘(ℝ^‘𝑋)) = (dist‘(ℝ^‘𝑋))
146135, 142, 143, 144, 145rrnprjdstle 42785 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → (abs‘((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖))) ≤ (𝐹(dist‘(ℝ^‘𝑋))𝑔))
147 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (ℝ^‘𝑋) = (ℝ^‘𝑋)
148 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (ℝ ↑m 𝑋) = (ℝ ↑m 𝑋)
149147, 148rrxdsfi 24004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑋 ∈ Fin → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
1501, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
151150, 69eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) = 𝐷)
152151oveqd 7155 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹(dist‘(ℝ^‘𝑋))𝑔) = (𝐹𝐷𝑔))
153152ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐹(dist‘(ℝ^‘𝑋))𝑔) = (𝐹𝐷𝑔))
154146, 153breqtrd 5073 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → (abs‘((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖))) ≤ (𝐹𝐷𝑔))
155121, 133, 128, 134, 154letrd 10782 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖)) ≤ (𝐹𝐷𝑔))
1561553adantl3 1165 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖)) ≤ (𝐹𝐷𝑔))
157 simpl3 1190 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸)
158122, 129, 131, 156, 157lelttrd 10783 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖)) < 𝐸)
159 ltsub23 11105 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝑔𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖)) < 𝐸 ↔ ((𝐹𝑖) − 𝐸) < (𝑔𝑖)))
160119, 120, 130, 159syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → (((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖)) < 𝐸 ↔ ((𝐹𝑖) − 𝐸) < (𝑔𝑖)))
1611603adantl3 1165 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖)) < 𝐸 ↔ ((𝐹𝑖) − 𝐸) < (𝑔𝑖)))
162158, 161mpbid 235 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − 𝐸) < (𝑔𝑖))
16392, 96, 91, 118, 162lelttrd 10783 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) < (𝑔𝑖))
16421, 94readdcld 10655 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) + 𝐸) ∈ ℝ)
1651643ad2antl1 1182 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) + 𝐸) ∈ ℝ)
166163ad2antl1 1182 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
167120, 119resubcld 11053 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝑔𝑖) − (𝐹𝑖)) ∈ ℝ)
1681673adantl3 1165 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝑔𝑖) − (𝐹𝑖)) ∈ ℝ)
169167leabsd 14763 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝑔𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ (abs‘((𝑔𝑖) − (𝐹𝑖))))
170120recnd 10654 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑔𝑖) ∈ ℂ)
171119recnd 10654 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) ∈ ℂ)
172170, 171abssubd 14802 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → (abs‘((𝑔𝑖) − (𝐹𝑖))) = (abs‘((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖))))
173169, 172breqtrd 5073 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝑔𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖))))
174167, 133, 128, 173, 154letrd 10782 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝑔𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ (𝐹𝐷𝑔))
1751743adantl3 1165 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝑔𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ (𝐹𝐷𝑔))
176168, 129, 131, 175, 157lelttrd 10783 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝑔𝑖) − (𝐹𝑖)) < 𝐸)
1771193adantl3 1165 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) ∈ ℝ)
17891, 177, 131ltsubadd2d 11223 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (((𝑔𝑖) − (𝐹𝑖)) < 𝐸 ↔ (𝑔𝑖) < ((𝐹𝑖) + 𝐸)))
179176, 178mpbid 235 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑔𝑖) < ((𝐹𝑖) + 𝐸))
180 min1 12568 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)) ∈ ℝ) → if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)))
18122, 32, 180syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)))
18294, 97, 22, 113, 181letrd 10782 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝐸 ≤ ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)))
18321, 94, 16leaddsub2d 11227 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → (((𝐹𝑖) + 𝐸) ≤ (𝐵𝑖) ↔ 𝐸 ≤ ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖))))
184182, 183mpbird 260 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) + 𝐸) ≤ (𝐵𝑖))
1851843ad2antl1 1182 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) + 𝐸) ≤ (𝐵𝑖))
18691, 165, 166, 179, 185ltletrd 10785 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑔𝑖) < (𝐵𝑖))
18783, 84, 91, 163, 186eliood 41977 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑔𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
188187ralrimiva 3176 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) → ∀𝑖𝑋 (𝑔𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
18982, 188jca 515 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) → (𝑔 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑔𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
190 vex 3482 . . . . . . 7 𝑔 ∈ V
191190elixp 8451 . . . . . 6 (𝑔X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ↔ (𝑔 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑔𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
192189, 191sylibr 237 . . . . 5 ((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) → 𝑔X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
19380, 75, 11, 61, 192ballss3 41567 . . . 4 (𝜑 → (𝐹(ball‘𝐷)𝐸) ⊆ X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
19466, 193eqsstrd 3989 . . 3 (𝜑𝑉X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
19579, 194jca 515 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑉𝑉X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
196 eleq2 2904 . . . 4 (𝑣 = 𝑉 → (𝐹𝑣𝐹𝑉))
197 sseq1 3976 . . . 4 (𝑣 = 𝑉 → (𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ↔ 𝑉X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
198196, 197anbi12d 633 . . 3 (𝑣 = 𝑉 → ((𝐹𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) ↔ (𝐹𝑉𝑉X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))))
199198rspcev 3608 . 2 ((𝑉 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∧ (𝐹𝑉𝑉X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))) → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝐹𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
20073, 195, 199syl2anc 587 1 (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝐹𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3013  ∀wral 3132  ∃wrex 3133  Vcvv 3479   ⊆ wss 3918  ∅c0 4274  ifcif 4448  ∪ ciun 4900   class class class wbr 5047   ↦ cmpt 5127   Or wor 5454  ran crn 5537   Fn wfn 6331  ⟶wf 6332  ‘cfv 6336  (class class class)co 7138   ∈ cmpo 7140   ↑m cmap 8389  Xcixp 8444  Fincfn 8492  infcinf 8889  ℝcr 10521  0cc0 10522   + caddc 10525  ℝ*cxr 10659   < clt 10660   ≤ cle 10661   − cmin 10855  2c2 11678  ℝ+crp 12375  (,)cioo 12724  ↑cexp 13423  √csqrt 14581  abscabs 14582  Σcsu 15031  distcds 16563  TopOpenctopn 16684  PsMetcpsmet 20515  ∞Metcxmet 20516  Metcmet 20517  ballcbl 20518  MetOpencmopn 20521  ℝ^crrx 23976 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-inf2 9088  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-pre-sup 10600  ax-addf 10601  ax-mulf 10602 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-se 5496  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-of 7392  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-supp 7814  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-5 11689  df-6 11690  df-7 11691  df-8 11692  df-9 11693  df-n0 11884  df-z 11968  df-dec 12085  df-uz 12230  df-q 12335  df-rp 12376  df-xneg 12493  df-xadd 12494  df-xmul 12495  df-ioo 12728  df-ico 12730  df-fz 12884  df-fzo 13027  df-seq 13363  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14447  df-re 14448  df-im 14449  df-sqrt 14583  df-abs 14584  df-clim 14834  df-sum 15032  df-struct 16474  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-sets 16479  df-ress 16480  df-plusg 16567  df-mulr 16568  df-starv 16569  df-sca 16570  df-vsca 16571  df-ip 16572  df-tset 16573  df-ple 16574  df-ds 16576  df-unif 16577  df-hom 16578  df-cco 16579  df-rest 16685  df-topn 16686  df-0g 16704  df-gsum 16705  df-topgen 16706  df-prds 16710  df-pws 16712  df-mgm 17841  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-mhm 17945  df-grp 18095  df-minusg 18096  df-sbg 18097  df-subg 18265  df-ghm 18345  df-cntz 18436  df-cmn 18897  df-abl 18898  df-mgp 19229  df-ur 19241  df-ring 19288  df-cring 19289  df-oppr 19362  df-dvdsr 19380  df-unit 19381  df-invr 19411  df-dvr 19422  df-rnghom 19456  df-drng 19490  df-field 19491  df-subrg 19519  df-staf 19602  df-srng 19603  df-lmod 19622  df-lss 19690  df-sra 19930  df-rgmod 19931  df-psmet 20523  df-xmet 20524  df-met 20525  df-bl 20526  df-mopn 20527  df-cnfld 20532  df-refld 20735  df-dsmm 20862  df-frlm 20877  df-top 21488  df-topon 21505  df-bases 21540  df-nm 23178  df-tng 23180  df-tcph 23763  df-rrx 23978 This theorem is referenced by:  ioorrnopn  42789
 Copyright terms: Public domain W3C validator