![]() |
Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > kbfval | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The outer product of two vectors, expressed as โฃ ๐ดโฉโจ๐ต โฃ in Dirac notation. See df-kb 31104. (Contributed by NM, 15-May-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
kbfval | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด ketbra ๐ต) = (๐ฅ โ โ โฆ ((๐ฅ ยทih ๐ต) ยทโ ๐ด))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | oveq2 7417 | . . 3 โข (๐ฆ = ๐ด โ ((๐ฅ ยทih ๐ง) ยทโ ๐ฆ) = ((๐ฅ ยทih ๐ง) ยทโ ๐ด)) | |
2 | 1 | mpteq2dv 5251 | . 2 โข (๐ฆ = ๐ด โ (๐ฅ โ โ โฆ ((๐ฅ ยทih ๐ง) ยทโ ๐ฆ)) = (๐ฅ โ โ โฆ ((๐ฅ ยทih ๐ง) ยทโ ๐ด))) |
3 | oveq2 7417 | . . . 4 โข (๐ง = ๐ต โ (๐ฅ ยทih ๐ง) = (๐ฅ ยทih ๐ต)) | |
4 | 3 | oveq1d 7424 | . . 3 โข (๐ง = ๐ต โ ((๐ฅ ยทih ๐ง) ยทโ ๐ด) = ((๐ฅ ยทih ๐ต) ยทโ ๐ด)) |
5 | 4 | mpteq2dv 5251 | . 2 โข (๐ง = ๐ต โ (๐ฅ โ โ โฆ ((๐ฅ ยทih ๐ง) ยทโ ๐ด)) = (๐ฅ โ โ โฆ ((๐ฅ ยทih ๐ต) ยทโ ๐ด))) |
6 | df-kb 31104 | . 2 โข ketbra = (๐ฆ โ โ, ๐ง โ โ โฆ (๐ฅ โ โ โฆ ((๐ฅ ยทih ๐ง) ยทโ ๐ฆ))) | |
7 | ax-hilex 30252 | . . 3 โข โ โ V | |
8 | 7 | mptex 7225 | . 2 โข (๐ฅ โ โ โฆ ((๐ฅ ยทih ๐ต) ยทโ ๐ด)) โ V |
9 | 2, 5, 6, 8 | ovmpo 7568 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด ketbra ๐ต) = (๐ฅ โ โ โฆ ((๐ฅ ยทih ๐ต) ยทโ ๐ด))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 โฆ cmpt 5232 (class class class)co 7409 โchba 30172 ยทโ csm 30174 ยทih csp 30175 ketbra ck 30210 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5286 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pr 5428 ax-hilex 30252 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-ral 3063 df-rex 3072 df-reu 3378 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-nul 4324 df-if 4530 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4910 df-iun 5000 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-id 5575 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fn 6547 df-f 6548 df-f1 6549 df-fo 6550 df-f1o 6551 df-fv 6552 df-ov 7412 df-oprab 7413 df-mpo 7414 df-kb 31104 |
This theorem is referenced by: kbop 31206 kbval 31207 kbmul 31208 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |