HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  kbfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kbfval 30602
Description: The outer product of two vectors, expressed as โˆฃ ๐ดโŸฉโŸจ๐ต โˆฃ in Dirac notation. See df-kb 30501. (Contributed by NM, 15-May-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
kbfval ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ketbra ๐ต) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต

Proof of Theorem kbfval
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7345 . . 3 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ ((๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) ยทโ„Ž ๐‘ฆ) = ((๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) ยทโ„Ž ๐ด))
21mpteq2dv 5194 . 2 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) ยทโ„Ž ๐ด)))
3 oveq2 7345 . . . 4 (๐‘ง = ๐ต โ†’ (๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยทih ๐ต))
43oveq1d 7352 . . 3 (๐‘ง = ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) ยทโ„Ž ๐ด) = ((๐‘ฅ ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด))
54mpteq2dv 5194 . 2 (๐‘ง = ๐ต โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) ยทโ„Ž ๐ด)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด)))
6 df-kb 30501 . 2 ketbra = (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹, ๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) ยทโ„Ž ๐‘ฆ)))
7 ax-hilex 29649 . . 3 โ„‹ โˆˆ V
87mptex 7155 . 2 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด)) โˆˆ V
92, 5, 6, 8ovmpo 7495 1 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ketbra ๐ต) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โ†ฆ cmpt 5175  (class class class)co 7337   โ„‹chba 29569   ยทโ„Ž csm 29571   ยทih csp 29572   ketbra ck 29607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pr 5372  ax-hilex 29649
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-kb 30501
This theorem is referenced by:  kbop  30603  kbval  30604  kbmul  30605
  Copyright terms: Public domain W3C validator