Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
||
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > kbfval | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The outer product of two vectors, expressed as โฃ ๐ดโฉโจ๐ต โฃ in Dirac notation. See df-kb 30501. (Contributed by NM, 15-May-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
kbfval | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด ketbra ๐ต) = (๐ฅ โ โ โฆ ((๐ฅ ยทih ๐ต) ยทโ ๐ด))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | oveq2 7345 | . . 3 โข (๐ฆ = ๐ด โ ((๐ฅ ยทih ๐ง) ยทโ ๐ฆ) = ((๐ฅ ยทih ๐ง) ยทโ ๐ด)) | |
2 | 1 | mpteq2dv 5194 | . 2 โข (๐ฆ = ๐ด โ (๐ฅ โ โ โฆ ((๐ฅ ยทih ๐ง) ยทโ ๐ฆ)) = (๐ฅ โ โ โฆ ((๐ฅ ยทih ๐ง) ยทโ ๐ด))) |
3 | oveq2 7345 | . . . 4 โข (๐ง = ๐ต โ (๐ฅ ยทih ๐ง) = (๐ฅ ยทih ๐ต)) | |
4 | 3 | oveq1d 7352 | . . 3 โข (๐ง = ๐ต โ ((๐ฅ ยทih ๐ง) ยทโ ๐ด) = ((๐ฅ ยทih ๐ต) ยทโ ๐ด)) |
5 | 4 | mpteq2dv 5194 | . 2 โข (๐ง = ๐ต โ (๐ฅ โ โ โฆ ((๐ฅ ยทih ๐ง) ยทโ ๐ด)) = (๐ฅ โ โ โฆ ((๐ฅ ยทih ๐ต) ยทโ ๐ด))) |
6 | df-kb 30501 | . 2 โข ketbra = (๐ฆ โ โ, ๐ง โ โ โฆ (๐ฅ โ โ โฆ ((๐ฅ ยทih ๐ง) ยทโ ๐ฆ))) | |
7 | ax-hilex 29649 | . . 3 โข โ โ V | |
8 | 7 | mptex 7155 | . 2 โข (๐ฅ โ โ โฆ ((๐ฅ ยทih ๐ต) ยทโ ๐ด)) โ V |
9 | 2, 5, 6, 8 | ovmpo 7495 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด ketbra ๐ต) = (๐ฅ โ โ โฆ ((๐ฅ ยทih ๐ต) ยทโ ๐ด))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 396 = wceq 1540 โ wcel 2105 โฆ cmpt 5175 (class class class)co 7337 โchba 29569 ยทโ csm 29571 ยทih csp 29572 ketbra ck 29607 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1912 ax-6 1970 ax-7 2010 ax-8 2107 ax-9 2115 ax-10 2136 ax-11 2153 ax-12 2170 ax-ext 2707 ax-rep 5229 ax-sep 5243 ax-nul 5250 ax-pr 5372 ax-hilex 29649 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2067 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2814 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3350 df-rab 3404 df-v 3443 df-sbc 3728 df-csb 3844 df-dif 3901 df-un 3903 df-in 3905 df-ss 3915 df-nul 4270 df-if 4474 df-sn 4574 df-pr 4576 df-op 4580 df-uni 4853 df-iun 4943 df-br 5093 df-opab 5155 df-mpt 5176 df-id 5518 df-xp 5626 df-rel 5627 df-cnv 5628 df-co 5629 df-dm 5630 df-rn 5631 df-res 5632 df-ima 5633 df-iota 6431 df-fun 6481 df-fn 6482 df-f 6483 df-f1 6484 df-fo 6485 df-f1o 6486 df-fv 6487 df-ov 7340 df-oprab 7341 df-mpo 7342 df-kb 30501 |
This theorem is referenced by: kbop 30603 kbval 30604 kbmul 30605 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |