![]() |
Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > kbval | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The value of the operator resulting from the outer product โฃ ๐ดโฉ โจ๐ต โฃ of two vectors. Equation 8.1 of [Prugovecki] p. 376. (Contributed by NM, 15-May-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
kbval | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด ketbra ๐ต)โ๐ถ) = ((๐ถ ยทih ๐ต) ยทโ ๐ด)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | kbfval 31192 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด ketbra ๐ต) = (๐ฅ โ โ โฆ ((๐ฅ ยทih ๐ต) ยทโ ๐ด))) | |
2 | 1 | fveq1d 6890 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ด ketbra ๐ต)โ๐ถ) = ((๐ฅ โ โ โฆ ((๐ฅ ยทih ๐ต) ยทโ ๐ด))โ๐ถ)) |
3 | oveq1 7412 | . . . . 5 โข (๐ฅ = ๐ถ โ (๐ฅ ยทih ๐ต) = (๐ถ ยทih ๐ต)) | |
4 | 3 | oveq1d 7420 | . . . 4 โข (๐ฅ = ๐ถ โ ((๐ฅ ยทih ๐ต) ยทโ ๐ด) = ((๐ถ ยทih ๐ต) ยทโ ๐ด)) |
5 | eqid 2732 | . . . 4 โข (๐ฅ โ โ โฆ ((๐ฅ ยทih ๐ต) ยทโ ๐ด)) = (๐ฅ โ โ โฆ ((๐ฅ ยทih ๐ต) ยทโ ๐ด)) | |
6 | ovex 7438 | . . . 4 โข ((๐ถ ยทih ๐ต) ยทโ ๐ด) โ V | |
7 | 4, 5, 6 | fvmpt 6995 | . . 3 โข (๐ถ โ โ โ ((๐ฅ โ โ โฆ ((๐ฅ ยทih ๐ต) ยทโ ๐ด))โ๐ถ) = ((๐ถ ยทih ๐ต) ยทโ ๐ด)) |
8 | 2, 7 | sylan9eq 2792 | . 2 โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด ketbra ๐ต)โ๐ถ) = ((๐ถ ยทih ๐ต) ยทโ ๐ด)) |
9 | 8 | 3impa 1110 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด ketbra ๐ต)โ๐ถ) = ((๐ถ ยทih ๐ต) ยทโ ๐ด)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 396 โง w3a 1087 = wceq 1541 โ wcel 2106 โฆ cmpt 5230 โcfv 6540 (class class class)co 7405 โchba 30159 ยทโ csm 30161 ยทih csp 30162 ketbra ck 30197 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-rep 5284 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pr 5426 ax-hilex 30239 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-nul 4322 df-if 4528 df-sn 4628 df-pr 4630 df-op 4634 df-uni 4908 df-iun 4998 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-id 5573 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-iota 6492 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-kb 31091 |
This theorem is referenced by: kbpj 31196 kbass1 31356 kbass2 31357 kbass5 31360 kbass6 31361 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |