HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  kbval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kbval 31763
Description: The value of the operator resulting from the outer product โˆฃ ๐ดโŸฉ โŸจ๐ต โˆฃ of two vectors. Equation 8.1 of [Prugovecki] p. 376. (Contributed by NM, 15-May-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
kbval ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ketbra ๐ต)โ€˜๐ถ) = ((๐ถ ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด))

Proof of Theorem kbval
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kbfval 31761 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ketbra ๐ต) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด)))
21fveq1d 6899 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ketbra ๐ต)โ€˜๐ถ) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด))โ€˜๐ถ))
3 oveq1 7427 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ถ โ†’ (๐‘ฅ ยทih ๐ต) = (๐ถ ยทih ๐ต))
43oveq1d 7435 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ถ โ†’ ((๐‘ฅ ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด) = ((๐ถ ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด))
5 eqid 2728 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด))
6 ovex 7453 . . . 4 ((๐ถ ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด) โˆˆ V
74, 5, 6fvmpt 7005 . . 3 (๐ถ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด))โ€˜๐ถ) = ((๐ถ ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด))
82, 7sylan9eq 2788 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ketbra ๐ต)โ€˜๐ถ) = ((๐ถ ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด))
983impa 1108 1 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ketbra ๐ต)โ€˜๐ถ) = ((๐ถ ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   โ„‹chba 30728   ยทโ„Ž csm 30730   ยทih csp 30731   ketbra ck 30766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429  ax-hilex 30808
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-kb 31660
This theorem is referenced by:  kbpj  31765  kbass1  31925  kbass2  31926  kbass5  31929  kbass6  31930
  Copyright terms: Public domain W3C validator