![]() |
Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > kbval | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The value of the operator resulting from the outer product โฃ ๐ดโฉ โจ๐ต โฃ of two vectors. Equation 8.1 of [Prugovecki] p. 376. (Contributed by NM, 15-May-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
kbval | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด ketbra ๐ต)โ๐ถ) = ((๐ถ ยทih ๐ต) ยทโ ๐ด)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | kbfval 31761 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด ketbra ๐ต) = (๐ฅ โ โ โฆ ((๐ฅ ยทih ๐ต) ยทโ ๐ด))) | |
2 | 1 | fveq1d 6899 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ด ketbra ๐ต)โ๐ถ) = ((๐ฅ โ โ โฆ ((๐ฅ ยทih ๐ต) ยทโ ๐ด))โ๐ถ)) |
3 | oveq1 7427 | . . . . 5 โข (๐ฅ = ๐ถ โ (๐ฅ ยทih ๐ต) = (๐ถ ยทih ๐ต)) | |
4 | 3 | oveq1d 7435 | . . . 4 โข (๐ฅ = ๐ถ โ ((๐ฅ ยทih ๐ต) ยทโ ๐ด) = ((๐ถ ยทih ๐ต) ยทโ ๐ด)) |
5 | eqid 2728 | . . . 4 โข (๐ฅ โ โ โฆ ((๐ฅ ยทih ๐ต) ยทโ ๐ด)) = (๐ฅ โ โ โฆ ((๐ฅ ยทih ๐ต) ยทโ ๐ด)) | |
6 | ovex 7453 | . . . 4 โข ((๐ถ ยทih ๐ต) ยทโ ๐ด) โ V | |
7 | 4, 5, 6 | fvmpt 7005 | . . 3 โข (๐ถ โ โ โ ((๐ฅ โ โ โฆ ((๐ฅ ยทih ๐ต) ยทโ ๐ด))โ๐ถ) = ((๐ถ ยทih ๐ต) ยทโ ๐ด)) |
8 | 2, 7 | sylan9eq 2788 | . 2 โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด ketbra ๐ต)โ๐ถ) = ((๐ถ ยทih ๐ต) ยทโ ๐ด)) |
9 | 8 | 3impa 1108 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด ketbra ๐ต)โ๐ถ) = ((๐ถ ยทih ๐ต) ยทโ ๐ด)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 โง w3a 1085 = wceq 1534 โ wcel 2099 โฆ cmpt 5231 โcfv 6548 (class class class)co 7420 โchba 30728 ยทโ csm 30730 ยทih csp 30731 ketbra ck 30766 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pr 5429 ax-hilex 30808 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-ral 3059 df-rex 3068 df-reu 3374 df-rab 3430 df-v 3473 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-nul 4324 df-if 4530 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4909 df-iun 4998 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-id 5576 df-xp 5684 df-rel 5685 df-cnv 5686 df-co 5687 df-dm 5688 df-rn 5689 df-res 5690 df-ima 5691 df-iota 6500 df-fun 6550 df-fn 6551 df-f 6552 df-f1 6553 df-fo 6554 df-f1o 6555 df-fv 6556 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-kb 31660 |
This theorem is referenced by: kbpj 31765 kbass1 31925 kbass2 31926 kbass5 31929 kbass6 31930 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |