HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  kbval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kbval 31194
Description: The value of the operator resulting from the outer product โˆฃ ๐ดโŸฉ โŸจ๐ต โˆฃ of two vectors. Equation 8.1 of [Prugovecki] p. 376. (Contributed by NM, 15-May-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
kbval ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ketbra ๐ต)โ€˜๐ถ) = ((๐ถ ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด))

Proof of Theorem kbval
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kbfval 31192 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ketbra ๐ต) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด)))
21fveq1d 6890 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ketbra ๐ต)โ€˜๐ถ) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด))โ€˜๐ถ))
3 oveq1 7412 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ถ โ†’ (๐‘ฅ ยทih ๐ต) = (๐ถ ยทih ๐ต))
43oveq1d 7420 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ถ โ†’ ((๐‘ฅ ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด) = ((๐ถ ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด))
5 eqid 2732 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด))
6 ovex 7438 . . . 4 ((๐ถ ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด) โˆˆ V
74, 5, 6fvmpt 6995 . . 3 (๐ถ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด))โ€˜๐ถ) = ((๐ถ ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด))
82, 7sylan9eq 2792 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ketbra ๐ต)โ€˜๐ถ) = ((๐ถ ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด))
983impa 1110 1 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ketbra ๐ต)โ€˜๐ถ) = ((๐ถ ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ†ฆ cmpt 5230  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   โ„‹chba 30159   ยทโ„Ž csm 30161   ยทih csp 30162   ketbra ck 30197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-hilex 30239
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-kb 31091
This theorem is referenced by:  kbpj  31196  kbass1  31356  kbass2  31357  kbass5  31360  kbass6  31361
  Copyright terms: Public domain W3C validator