![]() |
Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > kbop | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The outer product of two vectors, expressed as โฃ ๐ดโฉโจ๐ต โฃ in Dirac notation, is an operator. (Contributed by NM, 30-May-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
kbop | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด ketbra ๐ต): โโถ โ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | kbfval 31677 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด ketbra ๐ต) = (๐ฅ โ โ โฆ ((๐ฅ ยทih ๐ต) ยทโ ๐ด))) | |
2 | hicl 30805 | . . . 4 โข ((๐ฅ โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ฅ ยทih ๐ต) โ โ) | |
3 | hvmulcl 30738 | . . . 4 โข (((๐ฅ ยทih ๐ต) โ โ โง ๐ด โ โ) โ ((๐ฅ ยทih ๐ต) ยทโ ๐ด) โ โ) | |
4 | 2, 3 | sylan 579 | . . 3 โข (((๐ฅ โ โ โง ๐ต โ โ) โง ๐ด โ โ) โ ((๐ฅ ยทih ๐ต) ยทโ ๐ด) โ โ) |
5 | 4 | an31s 651 | . 2 โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง ๐ฅ โ โ) โ ((๐ฅ ยทih ๐ต) ยทโ ๐ด) โ โ) |
6 | 1, 5 | fmpt3d 7108 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด ketbra ๐ต): โโถ โ) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 โ wcel 2098 โถwf 6530 (class class class)co 7402 โcc 11105 โchba 30644 ยทโ csm 30646 ยทih csp 30647 ketbra ck 30682 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-rep 5276 ax-sep 5290 ax-nul 5297 ax-pr 5418 ax-hilex 30724 ax-hfvmul 30730 ax-hfi 30804 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-ral 3054 df-rex 3063 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3771 df-csb 3887 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-nul 4316 df-if 4522 df-sn 4622 df-pr 4624 df-op 4628 df-uni 4901 df-iun 4990 df-br 5140 df-opab 5202 df-mpt 5223 df-id 5565 df-xp 5673 df-rel 5674 df-cnv 5675 df-co 5676 df-dm 5677 df-rn 5678 df-res 5679 df-ima 5680 df-iota 6486 df-fun 6536 df-fn 6537 df-f 6538 df-f1 6539 df-fo 6540 df-f1o 6541 df-fv 6542 df-ov 7405 df-oprab 7406 df-mpo 7407 df-kb 31576 |
This theorem is referenced by: kbpj 31681 kbass2 31842 kbass5 31845 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |