HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  kbop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kbop 31756
Description: The outer product of two vectors, expressed as โˆฃ ๐ดโŸฉโŸจ๐ต โˆฃ in Dirac notation, is an operator. (Contributed by NM, 30-May-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
kbop ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ketbra ๐ต): โ„‹โŸถ โ„‹)

Proof of Theorem kbop
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kbfval 31755 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ketbra ๐ต) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด)))
2 hicl 30883 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทih ๐ต) โˆˆ โ„‚)
3 hvmulcl 30816 . . . 4 (((๐‘ฅ ยทih ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹)
42, 3sylan 579 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹)
54an31s 653 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹)
61, 5fmpt3d 7120 1 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ketbra ๐ต): โ„‹โŸถ โ„‹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆˆ wcel 2099  โŸถwf 6538  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11130   โ„‹chba 30722   ยทโ„Ž csm 30724   ยทih csp 30725   ketbra ck 30760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423  ax-hilex 30802  ax-hfvmul 30808  ax-hfi 30882
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-kb 31654
This theorem is referenced by:  kbpj  31759  kbass2  31920  kbass5  31923
  Copyright terms: Public domain W3C validator