HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  kbop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kbop 31678
Description: The outer product of two vectors, expressed as โˆฃ ๐ดโŸฉโŸจ๐ต โˆฃ in Dirac notation, is an operator. (Contributed by NM, 30-May-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
kbop ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ketbra ๐ต): โ„‹โŸถ โ„‹)

Proof of Theorem kbop
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kbfval 31677 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ketbra ๐ต) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด)))
2 hicl 30805 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทih ๐ต) โˆˆ โ„‚)
3 hvmulcl 30738 . . . 4 (((๐‘ฅ ยทih ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹)
42, 3sylan 579 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹)
54an31s 651 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹)
61, 5fmpt3d 7108 1 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ketbra ๐ต): โ„‹โŸถ โ„‹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆˆ wcel 2098  โŸถwf 6530  (class class class)co 7402  โ„‚cc 11105   โ„‹chba 30644   ยทโ„Ž csm 30646   ยทih csp 30647   ketbra ck 30682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418  ax-hilex 30724  ax-hfvmul 30730  ax-hfi 30804
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-kb 31576
This theorem is referenced by:  kbpj  31681  kbass2  31842  kbass5  31845
  Copyright terms: Public domain W3C validator