HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  kbmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kbmul 31195
Description: Multiplication property of outer product. (Contributed by NM, 31-May-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
kbmul ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) ketbra ๐ถ) = (๐ต ketbra ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทโ„Ž ๐ถ)))

Proof of Theorem kbmul
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hvmulcl 30253 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹)
2 kbfval 31192 . . 3 (((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) ketbra ๐ถ) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ ยทih ๐ถ) ยทโ„Ž (๐ด ยทโ„Ž ๐ต))))
31, 2stoic3 1778 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) ketbra ๐ถ) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ ยทih ๐ถ) ยทโ„Ž (๐ด ยทโ„Ž ๐ต))))
4 simp2 1137 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‹)
5 cjcl 15048 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
653ad2ant1 1133 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (โˆ—โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
7 simp3 1138 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‹)
8 hvmulcl 30253 . . . . 5 (((โˆ—โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทโ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹)
96, 7, 8syl2anc 584 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทโ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹)
10 kbfval 31192 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทโ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ต ketbra ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทโ„Ž ๐ถ)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ ยทih ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทโ„Ž ๐ถ)) ยทโ„Ž ๐ต)))
114, 9, 10syl2anc 584 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ต ketbra ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทโ„Ž ๐ถ)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ ยทih ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทโ„Ž ๐ถ)) ยทโ„Ž ๐ต)))
12 simpr 485 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
13 simpl3 1193 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‹)
14 hicl 30320 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทih ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
1512, 13, 14syl2anc 584 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทih ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
16 simpl1 1191 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
17 simpl2 1192 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‹)
18 ax-hvmulass 30247 . . . . . 6 (((๐‘ฅ ยทih ๐ถ) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘ฅ ยทih ๐ถ) ยท ๐ด) ยทโ„Ž ๐ต) = ((๐‘ฅ ยทih ๐ถ) ยทโ„Ž (๐ด ยทโ„Ž ๐ต)))
1915, 16, 17, 18syl3anc 1371 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘ฅ ยทih ๐ถ) ยท ๐ด) ยทโ„Ž ๐ต) = ((๐‘ฅ ยทih ๐ถ) ยทโ„Ž (๐ด ยทโ„Ž ๐ต)))
2015, 16mulcomd 11231 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทih ๐ถ) ยท ๐ด) = (๐ด ยท (๐‘ฅ ยทih ๐ถ)))
21 his52 30327 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทih ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทโ„Ž ๐ถ)) = (๐ด ยท (๐‘ฅ ยทih ๐ถ)))
2216, 12, 13, 21syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทih ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทโ„Ž ๐ถ)) = (๐ด ยท (๐‘ฅ ยทih ๐ถ)))
2320, 22eqtr4d 2775 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทih ๐ถ) ยท ๐ด) = (๐‘ฅ ยทih ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทโ„Ž ๐ถ)))
2423oveq1d 7420 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘ฅ ยทih ๐ถ) ยท ๐ด) ยทโ„Ž ๐ต) = ((๐‘ฅ ยทih ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทโ„Ž ๐ถ)) ยทโ„Ž ๐ต))
2519, 24eqtr3d 2774 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทih ๐ถ) ยทโ„Ž (๐ด ยทโ„Ž ๐ต)) = ((๐‘ฅ ยทih ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทโ„Ž ๐ถ)) ยทโ„Ž ๐ต))
2625mpteq2dva 5247 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ ยทih ๐ถ) ยทโ„Ž (๐ด ยทโ„Ž ๐ต))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ ยทih ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทโ„Ž ๐ถ)) ยทโ„Ž ๐ต)))
2711, 26eqtr4d 2775 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ต ketbra ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทโ„Ž ๐ถ)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†ฆ ((๐‘ฅ ยทih ๐ถ) ยทโ„Ž (๐ด ยทโ„Ž ๐ต))))
283, 27eqtr4d 2775 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) ketbra ๐ถ) = (๐ต ketbra ((โˆ—โ€˜๐ด) ยทโ„Ž ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ†ฆ cmpt 5230  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11104   ยท cmul 11111  โˆ—ccj 15039   โ„‹chba 30159   ยทโ„Ž csm 30161   ยทih csp 30162   ketbra ck 30197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-hilex 30239  ax-hfvmul 30245  ax-hvmulass 30247  ax-hfi 30319  ax-his1 30322  ax-his3 30324
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-2 12271  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-kb 31091
This theorem is referenced by:  kbass6  31361
  Copyright terms: Public domain W3C validator