HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  kbmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kbmul 30897
Description: Multiplication property of outer product. (Contributed by NM, 31-May-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
kbmul ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐵) ketbra 𝐶) = (𝐵 ketbra ((∗‘𝐴) · 𝐶)))

Proof of Theorem kbmul
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hvmulcl 29955 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ)
2 kbfval 30894 . . 3 (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐵) ketbra 𝐶) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑥 ·ih 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))))
31, 2stoic3 1778 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐵) ketbra 𝐶) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑥 ·ih 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))))
4 simp2 1137 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → 𝐵 ∈ ℋ)
5 cjcl 14990 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
653ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
7 simp3 1138 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → 𝐶 ∈ ℋ)
8 hvmulcl 29955 . . . . 5 (((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((∗‘𝐴) · 𝐶) ∈ ℋ)
96, 7, 8syl2anc 584 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((∗‘𝐴) · 𝐶) ∈ ℋ)
10 kbfval 30894 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ ((∗‘𝐴) · 𝐶) ∈ ℋ) → (𝐵 ketbra ((∗‘𝐴) · 𝐶)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑥 ·ih ((∗‘𝐴) · 𝐶)) · 𝐵)))
114, 9, 10syl2anc 584 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ketbra ((∗‘𝐴) · 𝐶)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑥 ·ih ((∗‘𝐴) · 𝐶)) · 𝐵)))
12 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
13 simpl3 1193 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐶 ∈ ℋ)
14 hicl 30022 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝐶) ∈ ℂ)
1512, 13, 14syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝐶) ∈ ℂ)
16 simpl1 1191 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐴 ∈ ℂ)
17 simpl2 1192 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐵 ∈ ℋ)
18 ax-hvmulass 29949 . . . . . 6 (((𝑥 ·ih 𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝑥 ·ih 𝐶) · 𝐴) · 𝐵) = ((𝑥 ·ih 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)))
1915, 16, 17, 18syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑥 ·ih 𝐶) · 𝐴) · 𝐵) = ((𝑥 ·ih 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)))
2015, 16mulcomd 11176 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih 𝐶) · 𝐴) = (𝐴 · (𝑥 ·ih 𝐶)))
21 his52 30029 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih ((∗‘𝐴) · 𝐶)) = (𝐴 · (𝑥 ·ih 𝐶)))
2216, 12, 13, 21syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih ((∗‘𝐴) · 𝐶)) = (𝐴 · (𝑥 ·ih 𝐶)))
2320, 22eqtr4d 2779 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih 𝐶) · 𝐴) = (𝑥 ·ih ((∗‘𝐴) · 𝐶)))
2423oveq1d 7372 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑥 ·ih 𝐶) · 𝐴) · 𝐵) = ((𝑥 ·ih ((∗‘𝐴) · 𝐶)) · 𝐵))
2519, 24eqtr3d 2778 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)) = ((𝑥 ·ih ((∗‘𝐴) · 𝐶)) · 𝐵))
2625mpteq2dva 5205 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑥 ·ih 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑥 ·ih ((∗‘𝐴) · 𝐶)) · 𝐵)))
2711, 26eqtr4d 2779 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ketbra ((∗‘𝐴) · 𝐶)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑥 ·ih 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))))
283, 27eqtr4d 2779 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐵) ketbra 𝐶) = (𝐵 ketbra ((∗‘𝐴) · 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049   · cmul 11056  ccj 14981  chba 29861   · csm 29863   ·ih csp 29864   ketbra ck 29899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-hilex 29941  ax-hfvmul 29947  ax-hvmulass 29949  ax-hfi 30021  ax-his1 30024  ax-his3 30026
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-2 12216  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-kb 30793
This theorem is referenced by:  kbass6  31063
  Copyright terms: Public domain W3C validator