Theorem brafnmul 29382

Description: Anti-linearity property of bra functional for multiplication. (Contributed by NM, 31-May-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
brafnmul	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (bra‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = ((∗‘𝐴) ·fn (bra‘𝐵)))

Proof of Theorem brafnmul

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvmulcl 28442	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
2		brafval 29374	. . 3 ⊢ ((𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ → (bra‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih (𝐴 ·ℎ 𝐵))))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (bra‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih (𝐴 ·ℎ 𝐵))))
4		cjcl 14252	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
5		brafn 29378	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (bra‘𝐵): ℋ⟶ℂ)
6		hfmmval 29170	. . . 4 ⊢ (((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (bra‘𝐵): ℋ⟶ℂ) → ((∗‘𝐴) ·fn (bra‘𝐵)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((∗‘𝐴) · ((bra‘𝐵)‘𝑥))))
7	4, 5, 6	syl2an 589	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((∗‘𝐴) ·fn (bra‘𝐵)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((∗‘𝐴) · ((bra‘𝐵)‘𝑥))))
8		his5 28515	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝐴 ·ℎ 𝐵)) = ((∗‘𝐴) · (𝑥 ·ih 𝐵)))
9	8	3expa 1108	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝐴 ·ℎ 𝐵)) = ((∗‘𝐴) · (𝑥 ·ih 𝐵)))
10	9	an32s 642	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝐴 ·ℎ 𝐵)) = ((∗‘𝐴) · (𝑥 ·ih 𝐵)))
11		braval 29375	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐵)‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝐵))
12	11	adantll 704	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐵)‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝐵))
13	12	oveq2d 6938	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((∗‘𝐴) · ((bra‘𝐵)‘𝑥)) = ((∗‘𝐴) · (𝑥 ·ih 𝐵)))
14	10, 13	eqtr4d 2817	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝐴 ·ℎ 𝐵)) = ((∗‘𝐴) · ((bra‘𝐵)‘𝑥)))
15	14	mpteq2dva 4979	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih (𝐴 ·ℎ 𝐵))) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((∗‘𝐴) · ((bra‘𝐵)‘𝑥))))
16	7, 15	eqtr4d 2817	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((∗‘𝐴) ·fn (bra‘𝐵)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih (𝐴 ·ℎ 𝐵))))
17	3, 16	eqtr4d 2817	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (bra‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = ((∗‘𝐴) ·fn (bra‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ↦ cmpt 4965  ⟶wf 6131  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ℂcc 10270   · cmul 10277  ∗ccj 14243   ℋchba 28348   ·_ℎ csm 28350   ·_ih csp 28351   ·_fn chft 28371  bracbr 28385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-hilex 28428  ax-hfvmul 28434  ax-hfi 28508  ax-his1 28511  ax-his3 28513

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-2 11438  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-hfmul 29165  df-bra 29281

This theorem is referenced by:  cnvbramul  29546