HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  brafnmul Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem brafnmul 31777
Description: Anti-linearity property of bra functional for multiplication. (Contributed by NM, 31-May-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
brafnmul ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (braβ€˜(𝐴 Β·β„Ž 𝐡)) = ((βˆ—β€˜π΄) Β·fn (braβ€˜π΅)))
Proof of Theorem brafnmul
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hvmulcl 30839 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (𝐴 Β·β„Ž 𝐡) ∈ β„‹)
2 brafval 31769 . . 3 ((𝐴 Β·β„Ž 𝐡) ∈ β„‹ β†’ (braβ€˜(𝐴 Β·β„Ž 𝐡)) = (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih (𝐴 Β·β„Ž 𝐡))))
31, 2syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (braβ€˜(𝐴 Β·β„Ž 𝐡)) = (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih (𝐴 Β·β„Ž 𝐡))))
4 cjcl 15082 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (βˆ—β€˜π΄) ∈ β„‚)
5 brafn 31773 . . . 4 (𝐡 ∈ β„‹ β†’ (braβ€˜π΅): β„‹βŸΆβ„‚)
6 hfmmval 31565 . . . 4 (((βˆ—β€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (braβ€˜π΅): β„‹βŸΆβ„‚) β†’ ((βˆ—β€˜π΄) Β·fn (braβ€˜π΅)) = (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ ((βˆ—β€˜π΄) Β· ((braβ€˜π΅)β€˜π‘₯))))
74, 5, 6syl2an 594 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ ((βˆ—β€˜π΄) Β·fn (braβ€˜π΅)) = (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ ((βˆ—β€˜π΄) Β· ((braβ€˜π΅)β€˜π‘₯))))
8 his5 30912 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·ih (𝐴 Β·β„Ž 𝐡)) = ((βˆ—β€˜π΄) Β· (π‘₯ Β·ih 𝐡)))
983expa 1115 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·ih (𝐴 Β·β„Ž 𝐡)) = ((βˆ—β€˜π΄) Β· (π‘₯ Β·ih 𝐡)))
109an32s 650 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·ih (𝐴 Β·β„Ž 𝐡)) = ((βˆ—β€˜π΄) Β· (π‘₯ Β·ih 𝐡)))
11 braval 31770 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((braβ€˜π΅)β€˜π‘₯) = (π‘₯ Β·ih 𝐡))
1211adantll 712 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((braβ€˜π΅)β€˜π‘₯) = (π‘₯ Β·ih 𝐡))
1312oveq2d 7430 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((βˆ—β€˜π΄) Β· ((braβ€˜π΅)β€˜π‘₯)) = ((βˆ—β€˜π΄) Β· (π‘₯ Β·ih 𝐡)))
1410, 13eqtr4d 2768 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·ih (𝐴 Β·β„Ž 𝐡)) = ((βˆ—β€˜π΄) Β· ((braβ€˜π΅)β€˜π‘₯)))
1514mpteq2dva 5241 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih (𝐴 Β·β„Ž 𝐡))) = (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ ((βˆ—β€˜π΄) Β· ((braβ€˜π΅)β€˜π‘₯))))
167, 15eqtr4d 2768 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ ((βˆ—β€˜π΄) Β·fn (braβ€˜π΅)) = (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih (𝐴 Β·β„Ž 𝐡))))
173, 16eqtr4d 2768 1 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (braβ€˜(𝐴 Β·β„Ž 𝐡)) = ((βˆ—β€˜π΄) Β·fn (braβ€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ↦ cmpt 5224  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7414  β„‚cc 11134   Β· cmul 11141  βˆ—ccj 15073   β„‹chba 30745   Β·β„Ž csm 30747   Β·ih csp 30748   Β·fn chft 30768  bracbr 30782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-hilex 30825  ax-hfvmul 30831  ax-hfi 30905  ax-his1 30908  ax-his3 30910
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5568  df-po 5582  df-so 5583  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-2 12303  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-hfmul 31560  df-bra 31676
This theorem is referenced by:  cnvbramul  31941
  Copyright terms: Public domain W3C validator