HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  brafnmul Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem brafnmul 31191
Description: Anti-linearity property of bra functional for multiplication. (Contributed by NM, 31-May-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
brafnmul ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (braβ€˜(𝐴 Β·β„Ž 𝐡)) = ((βˆ—β€˜π΄) Β·fn (braβ€˜π΅)))
Proof of Theorem brafnmul
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hvmulcl 30253 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (𝐴 Β·β„Ž 𝐡) ∈ β„‹)
2 brafval 31183 . . 3 ((𝐴 Β·β„Ž 𝐡) ∈ β„‹ β†’ (braβ€˜(𝐴 Β·β„Ž 𝐡)) = (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih (𝐴 Β·β„Ž 𝐡))))
31, 2syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (braβ€˜(𝐴 Β·β„Ž 𝐡)) = (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih (𝐴 Β·β„Ž 𝐡))))
4 cjcl 15048 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (βˆ—β€˜π΄) ∈ β„‚)
5 brafn 31187 . . . 4 (𝐡 ∈ β„‹ β†’ (braβ€˜π΅): β„‹βŸΆβ„‚)
6 hfmmval 30979 . . . 4 (((βˆ—β€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (braβ€˜π΅): β„‹βŸΆβ„‚) β†’ ((βˆ—β€˜π΄) Β·fn (braβ€˜π΅)) = (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ ((βˆ—β€˜π΄) Β· ((braβ€˜π΅)β€˜π‘₯))))
74, 5, 6syl2an 596 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ ((βˆ—β€˜π΄) Β·fn (braβ€˜π΅)) = (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ ((βˆ—β€˜π΄) Β· ((braβ€˜π΅)β€˜π‘₯))))
8 his5 30326 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·ih (𝐴 Β·β„Ž 𝐡)) = ((βˆ—β€˜π΄) Β· (π‘₯ Β·ih 𝐡)))
983expa 1118 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·ih (𝐴 Β·β„Ž 𝐡)) = ((βˆ—β€˜π΄) Β· (π‘₯ Β·ih 𝐡)))
109an32s 650 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·ih (𝐴 Β·β„Ž 𝐡)) = ((βˆ—β€˜π΄) Β· (π‘₯ Β·ih 𝐡)))
11 braval 31184 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((braβ€˜π΅)β€˜π‘₯) = (π‘₯ Β·ih 𝐡))
1211adantll 712 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((braβ€˜π΅)β€˜π‘₯) = (π‘₯ Β·ih 𝐡))
1312oveq2d 7421 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((βˆ—β€˜π΄) Β· ((braβ€˜π΅)β€˜π‘₯)) = ((βˆ—β€˜π΄) Β· (π‘₯ Β·ih 𝐡)))
1410, 13eqtr4d 2775 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·ih (𝐴 Β·β„Ž 𝐡)) = ((βˆ—β€˜π΄) Β· ((braβ€˜π΅)β€˜π‘₯)))
1514mpteq2dva 5247 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih (𝐴 Β·β„Ž 𝐡))) = (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ ((βˆ—β€˜π΄) Β· ((braβ€˜π΅)β€˜π‘₯))))
167, 15eqtr4d 2775 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ ((βˆ—β€˜π΄) Β·fn (braβ€˜π΅)) = (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih (𝐴 Β·β„Ž 𝐡))))
173, 16eqtr4d 2775 1 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (braβ€˜(𝐴 Β·β„Ž 𝐡)) = ((βˆ—β€˜π΄) Β·fn (braβ€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104   Β· cmul 11111  βˆ—ccj 15039   β„‹chba 30159   Β·β„Ž csm 30161   Β·ih csp 30162   Β·fn chft 30182  bracbr 30196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-hilex 30239  ax-hfvmul 30245  ax-hfi 30319  ax-his1 30322  ax-his3 30324
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-2 12271  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-hfmul 30974  df-bra 31090
This theorem is referenced by:  cnvbramul  31355
  Copyright terms: Public domain W3C validator