HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  brafnmul Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem brafnmul 31713
Description: Anti-linearity property of bra functional for multiplication. (Contributed by NM, 31-May-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
brafnmul ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (braβ€˜(𝐴 Β·β„Ž 𝐡)) = ((βˆ—β€˜π΄) Β·fn (braβ€˜π΅)))
Proof of Theorem brafnmul
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hvmulcl 30775 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (𝐴 Β·β„Ž 𝐡) ∈ β„‹)
2 brafval 31705 . . 3 ((𝐴 Β·β„Ž 𝐡) ∈ β„‹ β†’ (braβ€˜(𝐴 Β·β„Ž 𝐡)) = (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih (𝐴 Β·β„Ž 𝐡))))
31, 2syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (braβ€˜(𝐴 Β·β„Ž 𝐡)) = (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih (𝐴 Β·β„Ž 𝐡))))
4 cjcl 15058 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (βˆ—β€˜π΄) ∈ β„‚)
5 brafn 31709 . . . 4 (𝐡 ∈ β„‹ β†’ (braβ€˜π΅): β„‹βŸΆβ„‚)
6 hfmmval 31501 . . . 4 (((βˆ—β€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (braβ€˜π΅): β„‹βŸΆβ„‚) β†’ ((βˆ—β€˜π΄) Β·fn (braβ€˜π΅)) = (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ ((βˆ—β€˜π΄) Β· ((braβ€˜π΅)β€˜π‘₯))))
74, 5, 6syl2an 595 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ ((βˆ—β€˜π΄) Β·fn (braβ€˜π΅)) = (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ ((βˆ—β€˜π΄) Β· ((braβ€˜π΅)β€˜π‘₯))))
8 his5 30848 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·ih (𝐴 Β·β„Ž 𝐡)) = ((βˆ—β€˜π΄) Β· (π‘₯ Β·ih 𝐡)))
983expa 1115 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·ih (𝐴 Β·β„Ž 𝐡)) = ((βˆ—β€˜π΄) Β· (π‘₯ Β·ih 𝐡)))
109an32s 649 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·ih (𝐴 Β·β„Ž 𝐡)) = ((βˆ—β€˜π΄) Β· (π‘₯ Β·ih 𝐡)))
11 braval 31706 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((braβ€˜π΅)β€˜π‘₯) = (π‘₯ Β·ih 𝐡))
1211adantll 711 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((braβ€˜π΅)β€˜π‘₯) = (π‘₯ Β·ih 𝐡))
1312oveq2d 7421 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((βˆ—β€˜π΄) Β· ((braβ€˜π΅)β€˜π‘₯)) = ((βˆ—β€˜π΄) Β· (π‘₯ Β·ih 𝐡)))
1410, 13eqtr4d 2769 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·ih (𝐴 Β·β„Ž 𝐡)) = ((βˆ—β€˜π΄) Β· ((braβ€˜π΅)β€˜π‘₯)))
1514mpteq2dva 5241 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih (𝐴 Β·β„Ž 𝐡))) = (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ ((βˆ—β€˜π΄) Β· ((braβ€˜π΅)β€˜π‘₯))))
167, 15eqtr4d 2769 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ ((βˆ—β€˜π΄) Β·fn (braβ€˜π΅)) = (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ Β·ih (𝐴 Β·β„Ž 𝐡))))
173, 16eqtr4d 2769 1 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (braβ€˜(𝐴 Β·β„Ž 𝐡)) = ((βˆ—β€˜π΄) Β·fn (braβ€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ↦ cmpt 5224  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110   Β· cmul 11117  βˆ—ccj 15049   β„‹chba 30681   Β·β„Ž csm 30683   Β·ih csp 30684   Β·fn chft 30704  bracbr 30718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-hilex 30761  ax-hfvmul 30767  ax-hfi 30841  ax-his1 30844  ax-his3 30846
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-2 12279  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-hfmul 31496  df-bra 31612
This theorem is referenced by:  cnvbramul  31877
  Copyright terms: Public domain W3C validator