Theorem brafnmul 32568

Description: Anti-linearity property of bra functional for multiplication. (Contributed by NM, 31-May-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
brafnmul	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (bra‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = ((∗‘𝐴) ·fn (bra‘𝐵)))

Proof of Theorem brafnmul

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvmulcl 31630	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
2		brafval 32560	. . 3 ⊢ ((𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ → (bra‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih (𝐴 ·ℎ 𝐵))))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (bra‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih (𝐴 ·ℎ 𝐵))))
4		cjcl 15287	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
5		brafn 32564	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (bra‘𝐵): ℋ⟶ℂ)
6		hfmmval 32356	. . . 4 ⊢ (((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (bra‘𝐵): ℋ⟶ℂ) → ((∗‘𝐴) ·fn (bra‘𝐵)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((∗‘𝐴) · ((bra‘𝐵)‘𝑥))))
7	4, 5, 6	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((∗‘𝐴) ·fn (bra‘𝐵)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((∗‘𝐴) · ((bra‘𝐵)‘𝑥))))
8		his5 31703	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝐴 ·ℎ 𝐵)) = ((∗‘𝐴) · (𝑥 ·ih 𝐵)))
9	8	3expa 1136	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝐴 ·ℎ 𝐵)) = ((∗‘𝐴) · (𝑥 ·ih 𝐵)))
10	9	an32s 665	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝐴 ·ℎ 𝐵)) = ((∗‘𝐴) · (𝑥 ·ih 𝐵)))
11		braval 32561	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐵)‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝐵))
12	11	adantll 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐵)‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝐵))
13	12	oveq2d 7446	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((∗‘𝐴) · ((bra‘𝐵)‘𝑥)) = ((∗‘𝐴) · (𝑥 ·ih 𝐵)))
14	10, 13	eqtr4d 2801	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝐴 ·ℎ 𝐵)) = ((∗‘𝐴) · ((bra‘𝐵)‘𝑥)))
15	14	mpteq2dva 5201	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih (𝐴 ·ℎ 𝐵))) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((∗‘𝐴) · ((bra‘𝐵)‘𝑥))))
16	7, 15	eqtr4d 2801	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((∗‘𝐴) ·fn (bra‘𝐵)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih (𝐴 ·ℎ 𝐵))))
17	3, 16	eqtr4d 2801	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (bra‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = ((∗‘𝐴) ·fn (bra‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ↦ cmpt 5189  ⟶wf 6543  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  ℂcc 11211   · cmul 11218  ∗ccj 15278   ℋchba 31536   ·_ℎ csm 31538   ·_ih csp 31539   ·_fn chft 31559  bracbr 31573

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-hilex 31616  ax-hfvmul 31622  ax-hfi 31696  ax-his1 31699  ax-his3 31701

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8731  df-map 8863  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-cj 15281  df-re 15282  df-im 15283  df-hfmul 32351  df-bra 32467

This theorem is used by:  cnvbramul  32732