Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  brafnmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brafnmul 29737
 Description: Anti-linearity property of bra functional for multiplication. (Contributed by NM, 31-May-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
brafnmul ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (bra‘(𝐴 · 𝐵)) = ((∗‘𝐴) ·fn (bra‘𝐵)))

Proof of Theorem brafnmul
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hvmulcl 28799 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ)
2 brafval 29729 . . 3 ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ → (bra‘(𝐴 · 𝐵)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih (𝐴 · 𝐵))))
31, 2syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (bra‘(𝐴 · 𝐵)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih (𝐴 · 𝐵))))
4 cjcl 14459 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
5 brafn 29733 . . . 4 (𝐵 ∈ ℋ → (bra‘𝐵): ℋ⟶ℂ)
6 hfmmval 29525 . . . 4 (((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (bra‘𝐵): ℋ⟶ℂ) → ((∗‘𝐴) ·fn (bra‘𝐵)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((∗‘𝐴) · ((bra‘𝐵)‘𝑥))))
74, 5, 6syl2an 598 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((∗‘𝐴) ·fn (bra‘𝐵)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((∗‘𝐴) · ((bra‘𝐵)‘𝑥))))
8 his5 28872 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝐴 · 𝐵)) = ((∗‘𝐴) · (𝑥 ·ih 𝐵)))
983expa 1115 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝐴 · 𝐵)) = ((∗‘𝐴) · (𝑥 ·ih 𝐵)))
109an32s 651 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝐴 · 𝐵)) = ((∗‘𝐴) · (𝑥 ·ih 𝐵)))
11 braval 29730 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐵)‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝐵))
1211adantll 713 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐵)‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝐵))
1312oveq2d 7155 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((∗‘𝐴) · ((bra‘𝐵)‘𝑥)) = ((∗‘𝐴) · (𝑥 ·ih 𝐵)))
1410, 13eqtr4d 2839 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝐴 · 𝐵)) = ((∗‘𝐴) · ((bra‘𝐵)‘𝑥)))
1514mpteq2dva 5128 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih (𝐴 · 𝐵))) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((∗‘𝐴) · ((bra‘𝐵)‘𝑥))))
167, 15eqtr4d 2839 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((∗‘𝐴) ·fn (bra‘𝐵)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih (𝐴 · 𝐵))))
173, 16eqtr4d 2839 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (bra‘(𝐴 · 𝐵)) = ((∗‘𝐴) ·fn (bra‘𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ↦ cmpt 5113  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℂcc 10528   · cmul 10535  ∗ccj 14450   ℋchba 28705   ·ℎ csm 28707   ·ih csp 28708   ·fn chft 28728  bracbr 28742 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-hilex 28785  ax-hfvmul 28791  ax-hfi 28865  ax-his1 28868  ax-his3 28870 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-2 11692  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-hfmul 29520  df-bra 29636 This theorem is referenced by:  cnvbramul  29901
 Copyright terms: Public domain W3C validator