HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  brafnmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brafnmul 30292
Description: Anti-linearity property of bra functional for multiplication. (Contributed by NM, 31-May-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
brafnmul ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (bra‘(𝐴 · 𝐵)) = ((∗‘𝐴) ·fn (bra‘𝐵)))

Proof of Theorem brafnmul
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hvmulcl 29354 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ)
2 brafval 30284 . . 3 ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ → (bra‘(𝐴 · 𝐵)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih (𝐴 · 𝐵))))
31, 2syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (bra‘(𝐴 · 𝐵)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih (𝐴 · 𝐵))))
4 cjcl 14797 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
5 brafn 30288 . . . 4 (𝐵 ∈ ℋ → (bra‘𝐵): ℋ⟶ℂ)
6 hfmmval 30080 . . . 4 (((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (bra‘𝐵): ℋ⟶ℂ) → ((∗‘𝐴) ·fn (bra‘𝐵)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((∗‘𝐴) · ((bra‘𝐵)‘𝑥))))
74, 5, 6syl2an 595 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((∗‘𝐴) ·fn (bra‘𝐵)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((∗‘𝐴) · ((bra‘𝐵)‘𝑥))))
8 his5 29427 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝐴 · 𝐵)) = ((∗‘𝐴) · (𝑥 ·ih 𝐵)))
983expa 1116 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝐴 · 𝐵)) = ((∗‘𝐴) · (𝑥 ·ih 𝐵)))
109an32s 648 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝐴 · 𝐵)) = ((∗‘𝐴) · (𝑥 ·ih 𝐵)))
11 braval 30285 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐵)‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝐵))
1211adantll 710 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐵)‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝐵))
1312oveq2d 7284 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((∗‘𝐴) · ((bra‘𝐵)‘𝑥)) = ((∗‘𝐴) · (𝑥 ·ih 𝐵)))
1410, 13eqtr4d 2782 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝐴 · 𝐵)) = ((∗‘𝐴) · ((bra‘𝐵)‘𝑥)))
1514mpteq2dva 5178 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih (𝐴 · 𝐵))) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((∗‘𝐴) · ((bra‘𝐵)‘𝑥))))
167, 15eqtr4d 2782 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((∗‘𝐴) ·fn (bra‘𝐵)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih (𝐴 · 𝐵))))
173, 16eqtr4d 2782 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (bra‘(𝐴 · 𝐵)) = ((∗‘𝐴) ·fn (bra‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1541  wcel 2109  cmpt 5161  wf 6426  cfv 6430  (class class class)co 7268  cc 10853   · cmul 10860  ccj 14788  chba 29260   · csm 29262   ·ih csp 29263   ·fn chft 29283  bracbr 29297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-hilex 29340  ax-hfvmul 29346  ax-hfi 29420  ax-his1 29423  ax-his3 29425
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-po 5502  df-so 5503  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-er 8472  df-map 8591  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-2 12019  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-hfmul 30075  df-bra 30191
This theorem is referenced by:  cnvbramul  30456
  Copyright terms: Public domain W3C validator