Theorem lsatcveq0 40196

Description: A subspace covered by an atom must be the zero subspace. (atcveq0 32957 analog.) (Contributed by NM, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatcveq0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatcveq0.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsatcveq0.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcveq0.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lsatcveq0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatcveq0.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lsatcveq0.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lsatcveq0	⊢ (𝜑 → (𝑈𝐶𝑄 ↔ 𝑈 = { 0 }))

Proof of Theorem lsatcveq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatcveq0.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2		lsatcveq0.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
3		lsatcveq0.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶𝑄) → 𝑊 ∈ LVec)
5		lsatcveq0.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
6	5	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶𝑄) → 𝑈 ∈ 𝑆)
7		lsatcveq0.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
8		lveclmod 21388	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
9	3, 8	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
10		lsatcveq0.q	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
11	1, 7, 9, 10	lsatlssel 40161	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
12	11	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶𝑄) → 𝑄 ∈ 𝑆)
13		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶𝑄) → 𝑈𝐶𝑄)
14	1, 2, 4, 6, 12, 13	lcvpss 40188	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶𝑄) → 𝑈 ⊊ 𝑄)
15	14	ex 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈𝐶𝑄 → 𝑈 ⊊ 𝑄))
16		lsatcveq0.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
17	16, 7, 2, 3, 10	lsatcv0 40195	. . . 4 ⊢ (𝜑 → { 0 }𝐶𝑄)
18	3	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑈 ⊊ 𝑄) → 𝑊 ∈ LVec)
19	16, 1	lsssn0 21230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ∈ 𝑆)
20	9, 19	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ 𝑆)
21	20	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑈 ⊊ 𝑄) → { 0 } ∈ 𝑆)
22	11	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑈 ⊊ 𝑄) → 𝑄 ∈ 𝑆)
23	5	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑈 ⊊ 𝑄) → 𝑈 ∈ 𝑆)
24		simp2 1155	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑈 ⊊ 𝑄) → { 0 }𝐶𝑄)
25	16, 1	lss0ss 21231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → { 0 } ⊆ 𝑈)
26	9, 5, 25	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ 𝑈)
27	26	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑈 ⊊ 𝑄) → { 0 } ⊆ 𝑈)
28		simp3 1156	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑈 ⊊ 𝑄) → 𝑈 ⊊ 𝑄)
29	1, 2, 18, 21, 22, 23, 24, 27, 28	lcvnbtwn3 40192	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑈 ⊊ 𝑄) → 𝑈 = { 0 })
30	29	3exp 1137	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({ 0 }𝐶𝑄 → (𝑈 ⊊ 𝑄 → 𝑈 = { 0 })))
31	17, 30	mpd 16	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊊ 𝑄 → 𝑈 = { 0 }))
32	15, 31	syld 48	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈𝐶𝑄 → 𝑈 = { 0 }))
33		breq1 5105	. . 3 ⊢ (𝑈 = { 0 } → (𝑈𝐶𝑄 ↔ { 0 }𝐶𝑄))
34	17, 33	syl5ibrcom 250	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 = { 0 } → 𝑈𝐶𝑄))
35	32, 34	impbid 215	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈𝐶𝑄 ↔ 𝑈 = { 0 }))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896   ⊊ wpss 4012  {csn 4584   class class class wbr 5102  ‘cfv 6541  0_gc0g 17617  LModclmod 21142  LSubSpclss 21213  LVecclvec 21384  LSAtomsclsa 40138   ⋖_L clcv 40182

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-tpos 8248  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-sets 17349  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-ress 17416  df-plusg 17448  df-mulr 17449  df-0g 17619  df-mgm 18823  df-sgrp 18915  df-mnd 18931  df-grp 19154  df-minusg 19155  df-sbg 19156  df-cmn 20003  df-abl 20004  df-mgp 20368  df-rng 20382  df-ur 20415  df-ring 20468  df-oppr 20574  df-dvdsr 20594  df-unit 20595  df-invr 20625  df-drng 20989  df-lmod 21144  df-lss 21214  df-lsp 21254  df-lvec 21385  df-lsatoms 40140  df-lcv 40183

This theorem is used by:  lcvp  40204  lsatcv1  40212