Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcveq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatcveq0 39014
Description: A subspace covered by an atom must be the zero subspace. (atcveq0 32377 analog.) (Contributed by NM, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcveq0.o 0 = (0g𝑊)
lsatcveq0.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsatcveq0.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcveq0.c 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
lsatcveq0.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsatcveq0.u (𝜑𝑈𝑆)
lsatcveq0.q (𝜑𝑄𝐴)
Assertion
Ref Expression
lsatcveq0 (𝜑 → (𝑈𝐶𝑄𝑈 = { 0 }))

Proof of Theorem lsatcveq0
StepHypRef Expression
1 lsatcveq0.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2 lsatcveq0.c . . . . 5 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
3 lsatcveq0.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
43adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑈𝐶𝑄) → 𝑊 ∈ LVec)
5 lsatcveq0.u . . . . . 6 (𝜑𝑈𝑆)
65adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑈𝐶𝑄) → 𝑈𝑆)
7 lsatcveq0.a . . . . . . 7 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
8 lveclmod 21123 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
93, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
10 lsatcveq0.q . . . . . . 7 (𝜑𝑄𝐴)
111, 7, 9, 10lsatlssel 38979 . . . . . 6 (𝜑𝑄𝑆)
1211adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑈𝐶𝑄) → 𝑄𝑆)
13 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑈𝐶𝑄) → 𝑈𝐶𝑄)
141, 2, 4, 6, 12, 13lcvpss 39006 . . . 4 ((𝜑𝑈𝐶𝑄) → 𝑈𝑄)
1514ex 412 . . 3 (𝜑 → (𝑈𝐶𝑄𝑈𝑄))
16 lsatcveq0.o . . . . 5 0 = (0g𝑊)
1716, 7, 2, 3, 10lsatcv0 39013 . . . 4 (𝜑 → { 0 }𝐶𝑄)
1833ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑄𝑈𝑄) → 𝑊 ∈ LVec)
1916, 1lsssn0 20964 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ∈ 𝑆)
209, 19syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → { 0 } ∈ 𝑆)
21203ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑄𝑈𝑄) → { 0 } ∈ 𝑆)
22113ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑄𝑈𝑄) → 𝑄𝑆)
2353ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑄𝑈𝑄) → 𝑈𝑆)
24 simp2 1136 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑄𝑈𝑄) → { 0 }𝐶𝑄)
2516, 1lss0ss 20965 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → { 0 } ⊆ 𝑈)
269, 5, 25syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → { 0 } ⊆ 𝑈)
27263ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑄𝑈𝑄) → { 0 } ⊆ 𝑈)
28 simp3 1137 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑄𝑈𝑄) → 𝑈𝑄)
291, 2, 18, 21, 22, 23, 24, 27, 28lcvnbtwn3 39010 . . . . 5 ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑄𝑈𝑄) → 𝑈 = { 0 })
30293exp 1118 . . . 4 (𝜑 → ({ 0 }𝐶𝑄 → (𝑈𝑄𝑈 = { 0 })))
3117, 30mpd 15 . . 3 (𝜑 → (𝑈𝑄𝑈 = { 0 }))
3215, 31syld 47 . 2 (𝜑 → (𝑈𝐶𝑄𝑈 = { 0 }))
33 breq1 5151 . . 3 (𝑈 = { 0 } → (𝑈𝐶𝑄 ↔ { 0 }𝐶𝑄))
3417, 33syl5ibrcom 247 . 2 (𝜑 → (𝑈 = { 0 } → 𝑈𝐶𝑄))
3532, 34impbid 212 1 (𝜑 → (𝑈𝐶𝑄𝑈 = { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963  wpss 3964  {csn 4631   class class class wbr 5148  cfv 6563  0gc0g 17486  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947  LVecclvec 21119  LSAtomsclsa 38956  L clcv 39000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lvec 21120  df-lsatoms 38958  df-lcv 39001
This theorem is referenced by:  lcvp  39022  lsatcv1  39030
  Copyright terms: Public domain W3C validator