Theorem lsatcveq0 40355

Description: A subspace covered by an atom must be the zero subspace. (atcveq0 33007 analog.) (Contributed by NM, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatcveq0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatcveq0.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsatcveq0.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcveq0.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lsatcveq0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatcveq0.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lsatcveq0.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lsatcveq0	⊢ (𝜑 → (𝑈𝐶𝑄 ↔ 𝑈 = { 0 }))

Proof of Theorem lsatcveq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatcveq0.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2		lsatcveq0.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
3		lsatcveq0.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶𝑄) → 𝑊 ∈ LVec)
5		lsatcveq0.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
6	5	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶𝑄) → 𝑈 ∈ 𝑆)
7		lsatcveq0.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
8		lveclmod 21432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
9	3, 8	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
10		lsatcveq0.q	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
11	1, 7, 9, 10	lsatlssel 40320	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
12	11	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶𝑄) → 𝑄 ∈ 𝑆)
13		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶𝑄) → 𝑈𝐶𝑄)
14	1, 2, 4, 6, 12, 13	lcvpss 40347	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶𝑄) → 𝑈 ⊊ 𝑄)
15	14	ex 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈𝐶𝑄 → 𝑈 ⊊ 𝑄))
16		lsatcveq0.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
17	16, 7, 2, 3, 10	lsatcv0 40354	. . . 4 ⊢ (𝜑 → { 0 }𝐶𝑄)
18	3	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑈 ⊊ 𝑄) → 𝑊 ∈ LVec)
19	16, 1	lsssn0 21274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ∈ 𝑆)
20	9, 19	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ 𝑆)
21	20	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑈 ⊊ 𝑄) → { 0 } ∈ 𝑆)
22	11	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑈 ⊊ 𝑄) → 𝑄 ∈ 𝑆)
23	5	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑈 ⊊ 𝑄) → 𝑈 ∈ 𝑆)
24		simp2 1155	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑈 ⊊ 𝑄) → { 0 }𝐶𝑄)
25	16, 1	lss0ss 21275	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → { 0 } ⊆ 𝑈)
26	9, 5, 25	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ 𝑈)
27	26	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑈 ⊊ 𝑄) → { 0 } ⊆ 𝑈)
28		simp3 1156	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑈 ⊊ 𝑄) → 𝑈 ⊊ 𝑄)
29	1, 2, 18, 21, 22, 23, 24, 27, 28	lcvnbtwn3 40351	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑈 ⊊ 𝑄) → 𝑈 = { 0 })
30	29	3exp 1137	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({ 0 }𝐶𝑄 → (𝑈 ⊊ 𝑄 → 𝑈 = { 0 })))
31	17, 30	mpd 16	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊊ 𝑄 → 𝑈 = { 0 }))
32	15, 31	syld 48	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈𝐶𝑄 → 𝑈 = { 0 }))
33		breq1 5111	. . 3 ⊢ (𝑈 = { 0 } → (𝑈𝐶𝑄 ↔ { 0 }𝐶𝑄))
34	17, 33	syl5ibrcom 250	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 = { 0 } → 𝑈𝐶𝑄))
35	32, 34	impbid 215	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈𝐶𝑄 ↔ 𝑈 = { 0 }))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ⊊ wpss 4016  {csn 4588   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  0_gc0g 17660  LModclmod 21186  LSubSpclss 21257  LVecclvec 21428  LSAtomsclsa 40297   ⋖_L clcv 40341

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-tpos 8281  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-oppr 20618  df-dvdsr 20638  df-unit 20639  df-invr 20669  df-drng 21033  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-lsp 21298  df-lvec 21429  df-lsatoms 40299  df-lcv 40342

This theorem is used by:  lcvp  40363  lsatcv1  40371