Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcveq0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lsatcveq0 38206
Description: A subspace covered by an atom must be the zero subspace. (atcveq0 31869 analog.) (Contributed by NM, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcveq0.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lsatcveq0.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lsatcveq0.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lsatcveq0.c 𝐢 = ( β‹–L β€˜π‘Š)
lsatcveq0.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lsatcveq0.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lsatcveq0.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
lsatcveq0 (πœ‘ β†’ (π‘ˆπΆπ‘„ ↔ π‘ˆ = { 0 }))
Proof of Theorem lsatcveq0
StepHypRef Expression
1 lsatcveq0.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
2 lsatcveq0.c . . . . 5 𝐢 = ( β‹–L β€˜π‘Š)
3 lsatcveq0.w . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
43adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘ˆπΆπ‘„) β†’ π‘Š ∈ LVec)
5 lsatcveq0.u . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
65adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘ˆπΆπ‘„) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
7 lsatcveq0.a . . . . . . 7 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
8 lveclmod 20862 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
93, 8syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
10 lsatcveq0.q . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
111, 7, 9, 10lsatlssel 38171 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑆)
1211adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘ˆπΆπ‘„) β†’ 𝑄 ∈ 𝑆)
13 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘ˆπΆπ‘„) β†’ π‘ˆπΆπ‘„)
141, 2, 4, 6, 12, 13lcvpss 38198 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘ˆπΆπ‘„) β†’ π‘ˆ ⊊ 𝑄)
1514ex 412 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆπΆπ‘„ β†’ π‘ˆ ⊊ 𝑄))
16 lsatcveq0.o . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘Š)
1716, 7, 2, 3, 10lsatcv0 38205 . . . 4 (πœ‘ β†’ { 0 }𝐢𝑄)
1833ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ { 0 }𝐢𝑄 ∧ π‘ˆ ⊊ 𝑄) β†’ π‘Š ∈ LVec)
1916, 1lsssn0 20703 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ { 0 } ∈ 𝑆)
209, 19syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ { 0 } ∈ 𝑆)
21203ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ { 0 }𝐢𝑄 ∧ π‘ˆ ⊊ 𝑄) β†’ { 0 } ∈ 𝑆)
22113ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ { 0 }𝐢𝑄 ∧ π‘ˆ ⊊ 𝑄) β†’ 𝑄 ∈ 𝑆)
2353ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ { 0 }𝐢𝑄 ∧ π‘ˆ ⊊ 𝑄) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
24 simp2 1136 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ { 0 }𝐢𝑄 ∧ π‘ˆ ⊊ 𝑄) β†’ { 0 }𝐢𝑄)
2516, 1lss0ss 20704 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ { 0 } βŠ† π‘ˆ)
269, 5, 25syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ { 0 } βŠ† π‘ˆ)
27263ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ { 0 }𝐢𝑄 ∧ π‘ˆ ⊊ 𝑄) β†’ { 0 } βŠ† π‘ˆ)
28 simp3 1137 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ { 0 }𝐢𝑄 ∧ π‘ˆ ⊊ 𝑄) β†’ π‘ˆ ⊊ 𝑄)
291, 2, 18, 21, 22, 23, 24, 27, 28lcvnbtwn3 38202 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ { 0 }𝐢𝑄 ∧ π‘ˆ ⊊ 𝑄) β†’ π‘ˆ = { 0 })
30293exp 1118 . . . 4 (πœ‘ β†’ ({ 0 }𝐢𝑄 β†’ (π‘ˆ ⊊ 𝑄 β†’ π‘ˆ = { 0 })))
3117, 30mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ⊊ 𝑄 β†’ π‘ˆ = { 0 }))
3215, 31syld 47 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ˆπΆπ‘„ β†’ π‘ˆ = { 0 }))
33 breq1 5151 . . 3 (π‘ˆ = { 0 } β†’ (π‘ˆπΆπ‘„ ↔ { 0 }𝐢𝑄))
3417, 33syl5ibrcom 246 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ = { 0 } β†’ π‘ˆπΆπ‘„))
3532, 34impbid 211 1 (πœ‘ β†’ (π‘ˆπΆπ‘„ ↔ π‘ˆ = { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   βŠ† wss 3948   ⊊ wpss 3949  {csn 4628   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  0gc0g 17390  LModclmod 20615  LSubSpclss 20687  LVecclvec 20858  LSAtomsclsa 38148   β‹–L clcv 38192
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8215  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-drng 20503  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-lsp 20728  df-lvec 20859  df-lsatoms 38150  df-lcv 38193
This theorem is referenced by:  lcvp  38214  lsatcv1  38222
  Copyright terms: Public domain W3C validator