Theorem lsatcveq0 35045

Description: A subspace covered by an atom must be the zero subspace. (atcveq0 29724 analog.) (Contributed by NM, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatcveq0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatcveq0.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsatcveq0.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcveq0.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lsatcveq0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatcveq0.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lsatcveq0.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lsatcveq0	⊢ (𝜑 → (𝑈𝐶𝑄 ↔ 𝑈 = { 0 }))

Proof of Theorem lsatcveq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatcveq0.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2		lsatcveq0.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
3		lsatcveq0.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4	3	adantr 473	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶𝑄) → 𝑊 ∈ LVec)
5		lsatcveq0.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
6	5	adantr 473	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶𝑄) → 𝑈 ∈ 𝑆)
7		lsatcveq0.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
8		lveclmod 19424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
9	3, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
10		lsatcveq0.q	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
11	1, 7, 9, 10	lsatlssel 35010	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
12	11	adantr 473	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶𝑄) → 𝑄 ∈ 𝑆)
13		simpr 478	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶𝑄) → 𝑈𝐶𝑄)
14	1, 2, 4, 6, 12, 13	lcvpss 35037	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶𝑄) → 𝑈 ⊊ 𝑄)
15	14	ex 402	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈𝐶𝑄 → 𝑈 ⊊ 𝑄))
16		lsatcveq0.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
17	16, 7, 2, 3, 10	lsatcv0 35044	. . . 4 ⊢ (𝜑 → { 0 }𝐶𝑄)
18	3	3ad2ant1 1164	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑈 ⊊ 𝑄) → 𝑊 ∈ LVec)
19	16, 1	lsssn0 19263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ∈ 𝑆)
20	9, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ 𝑆)
21	20	3ad2ant1 1164	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑈 ⊊ 𝑄) → { 0 } ∈ 𝑆)
22	11	3ad2ant1 1164	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑈 ⊊ 𝑄) → 𝑄 ∈ 𝑆)
23	5	3ad2ant1 1164	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑈 ⊊ 𝑄) → 𝑈 ∈ 𝑆)
24		simp2 1168	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑈 ⊊ 𝑄) → { 0 }𝐶𝑄)
25	16, 1	lss0ss 19264	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → { 0 } ⊆ 𝑈)
26	9, 5, 25	syl2anc 580	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ 𝑈)
27	26	3ad2ant1 1164	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑈 ⊊ 𝑄) → { 0 } ⊆ 𝑈)
28		simp3 1169	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑈 ⊊ 𝑄) → 𝑈 ⊊ 𝑄)
29	1, 2, 18, 21, 22, 23, 24, 27, 28	lcvnbtwn3 35041	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑈 ⊊ 𝑄) → 𝑈 = { 0 })
30	29	3exp 1149	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({ 0 }𝐶𝑄 → (𝑈 ⊊ 𝑄 → 𝑈 = { 0 })))
31	17, 30	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊊ 𝑄 → 𝑈 = { 0 }))
32	15, 31	syld 47	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈𝐶𝑄 → 𝑈 = { 0 }))
33		breq1 4844	. . 3 ⊢ (𝑈 = { 0 } → (𝑈𝐶𝑄 ↔ { 0 }𝐶𝑄))
34	17, 33	syl5ibrcom 239	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 = { 0 } → 𝑈𝐶𝑄))
35	32, 34	impbid 204	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈𝐶𝑄 ↔ 𝑈 = { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 385   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ⊆ wss 3767   ⊊ wpss 3768  {csn 4366   class class class wbr 4841  ‘cfv 6099  0_gc0g 16412  LModclmod 19178  LSubSpclss 19247  LVecclvec 19420  LSAtomsclsa 34987   ⋖_L clcv 35031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-tpos 7588  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-ndx 16184  df-slot 16185  df-base 16187  df-sets 16188  df-ress 16189  df-plusg 16277  df-mulr 16278  df-0g 16414  df-mgm 17554  df-sgrp 17596  df-mnd 17607  df-grp 17738  df-minusg 17739  df-sbg 17740  df-cmn 18507  df-abl 18508  df-mgp 18803  df-ur 18815  df-ring 18862  df-oppr 18936  df-dvdsr 18954  df-unit 18955  df-invr 18985  df-drng 19064  df-lmod 19180  df-lss 19248  df-lsp 19290  df-lvec 19421  df-lsatoms 34989  df-lcv 35032

This theorem is referenced by:  lcvp  35053  lsatcv1  35061