Theorem lsatcveq0 37307

Description: A subspace covered by an atom must be the zero subspace. (atcveq0 30998 analog.) (Contributed by NM, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatcveq0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatcveq0.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsatcveq0.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcveq0.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lsatcveq0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatcveq0.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lsatcveq0.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lsatcveq0	⊢ (𝜑 → (𝑈𝐶𝑄 ↔ 𝑈 = { 0 }))

Proof of Theorem lsatcveq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatcveq0.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2		lsatcveq0.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
3		lsatcveq0.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4	3	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶𝑄) → 𝑊 ∈ LVec)
5		lsatcveq0.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
6	5	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶𝑄) → 𝑈 ∈ 𝑆)
7		lsatcveq0.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
8		lveclmod 20474	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
9	3, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
10		lsatcveq0.q	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
11	1, 7, 9, 10	lsatlssel 37272	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
12	11	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶𝑄) → 𝑄 ∈ 𝑆)
13		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶𝑄) → 𝑈𝐶𝑄)
14	1, 2, 4, 6, 12, 13	lcvpss 37299	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶𝑄) → 𝑈 ⊊ 𝑄)
15	14	ex 413	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈𝐶𝑄 → 𝑈 ⊊ 𝑄))
16		lsatcveq0.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
17	16, 7, 2, 3, 10	lsatcv0 37306	. . . 4 ⊢ (𝜑 → { 0 }𝐶𝑄)
18	3	3ad2ant1 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑈 ⊊ 𝑄) → 𝑊 ∈ LVec)
19	16, 1	lsssn0 20315	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ∈ 𝑆)
20	9, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ 𝑆)
21	20	3ad2ant1 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑈 ⊊ 𝑄) → { 0 } ∈ 𝑆)
22	11	3ad2ant1 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑈 ⊊ 𝑄) → 𝑄 ∈ 𝑆)
23	5	3ad2ant1 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑈 ⊊ 𝑄) → 𝑈 ∈ 𝑆)
24		simp2 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑈 ⊊ 𝑄) → { 0 }𝐶𝑄)
25	16, 1	lss0ss 20316	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → { 0 } ⊆ 𝑈)
26	9, 5, 25	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ 𝑈)
27	26	3ad2ant1 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑈 ⊊ 𝑄) → { 0 } ⊆ 𝑈)
28		simp3 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑈 ⊊ 𝑄) → 𝑈 ⊊ 𝑄)
29	1, 2, 18, 21, 22, 23, 24, 27, 28	lcvnbtwn3 37303	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑈 ⊊ 𝑄) → 𝑈 = { 0 })
30	29	3exp 1118	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({ 0 }𝐶𝑄 → (𝑈 ⊊ 𝑄 → 𝑈 = { 0 })))
31	17, 30	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊊ 𝑄 → 𝑈 = { 0 }))
32	15, 31	syld 47	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈𝐶𝑄 → 𝑈 = { 0 }))
33		breq1 5095	. . 3 ⊢ (𝑈 = { 0 } → (𝑈𝐶𝑄 ↔ { 0 }𝐶𝑄))
34	17, 33	syl5ibrcom 246	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 = { 0 } → 𝑈𝐶𝑄))
35	32, 34	impbid 211	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈𝐶𝑄 ↔ 𝑈 = { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3898   ⊊ wpss 3899  {csn 4573   class class class wbr 5092  ‘cfv 6479  0_gc0g 17247  LModclmod 20229  LSubSpclss 20299  LVecclvec 20470  LSAtomsclsa 37249   ⋖_L clcv 37293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-tpos 8112  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-0g 17249  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-grp 18676  df-minusg 18677  df-sbg 18678  df-cmn 19483  df-abl 19484  df-mgp 19816  df-ur 19833  df-ring 19880  df-oppr 19957  df-dvdsr 19978  df-unit 19979  df-invr 20009  df-drng 20095  df-lmod 20231  df-lss 20300  df-lsp 20340  df-lvec 20471  df-lsatoms 37251  df-lcv 37294

This theorem is referenced by:  lcvp  37315  lsatcv1  37323