Theorem lsatcvat2 39885

Description: A subspace covered by the sum of two distinct atoms is an atom. (atcvat2i 32812 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatcvat2.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsatcvat2.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsatcvat2.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcvat2.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lsatcvat2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatcvat2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lsatcvat2.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatcvat2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
lsatcvat2.n	⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑅)
lsatcvat2.l	⊢ (𝜑 → 𝑈𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
lsatcvat2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lsatcvat2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. 2 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
2		lsatcvat2.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3		lsatcvat2.p	. 2 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
4		lsatcvat2.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
5		lsatcvat2.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
6		lsatcvat2.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
7		lsatcvat2.q	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
8		lsatcvat2.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
9		lsatcvat2.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑅)
10		lsatcvat2.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
11		lsatcvat2.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))
12	1, 3, 2, 4, 10, 5, 6, 7, 8, 11	lsatcv1 39882	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 = {(0g‘𝑊)} ↔ 𝑄 = 𝑅))
13	12	necon3bid 3004	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ≠ {(0g‘𝑊)} ↔ 𝑄 ≠ 𝑅))
14	9, 13	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ {(0g‘𝑊)})
15		lveclmod 21279	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
16	5, 15	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
17	2, 4, 16, 7	lsatlssel 39831	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
18	2, 4, 16, 8	lsatlssel 39831	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
19	2, 3	lsmcl 21256	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑄 ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ 𝑆) → (𝑄 ⊕ 𝑅) ∈ 𝑆)
20	16, 17, 18, 19	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ⊕ 𝑅) ∈ 𝑆)
21	2, 10, 5, 6, 20, 11	lcvpss 39858	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑄 ⊕ 𝑅))
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 21	lsatcvat 39884	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  {csn 4591   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  0_gc0g 17516  LSSumclsm 19750  LModclmod 21033  LSubSpclss 21104  LVecclvec 21275  LSAtomsclsa 39808   ⋖_L clcv 39852

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-0g 17518  df-mre 17662  df-mrc 17663  df-acs 17665  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-submnd 18881  df-grp 19049  df-minusg 19050  df-sbg 19051  df-subg 19235  df-cntz 19433  df-oppg 19462  df-lsm 19752  df-cmn 19898  df-abl 19899  df-mgp 20263  df-rng 20277  df-ur 20310  df-ring 20363  df-oppr 20467  df-dvdsr 20487  df-unit 20488  df-invr 20518  df-drng 20881  df-lmod 21035  df-lss 21105  df-lsp 21145  df-lvec 21276  df-lsatoms 39810  df-lcv 39853

This theorem is used by:  lsatcvat3  39886