Theorem lsatcvat2 38434

Description: A subspace covered by the sum of two distinct atoms is an atom. (atcvat2i 32149 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatcvat2.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsatcvat2.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsatcvat2.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcvat2.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lsatcvat2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatcvat2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lsatcvat2.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatcvat2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
lsatcvat2.n	⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑅)
lsatcvat2.l	⊢ (𝜑 → 𝑈𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
lsatcvat2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lsatcvat2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2726	. 2 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
2		lsatcvat2.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3		lsatcvat2.p	. 2 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
4		lsatcvat2.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
5		lsatcvat2.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
6		lsatcvat2.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
7		lsatcvat2.q	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
8		lsatcvat2.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
9		lsatcvat2.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑅)
10		lsatcvat2.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
11		lsatcvat2.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))
12	1, 3, 2, 4, 10, 5, 6, 7, 8, 11	lsatcv1 38431	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 = {(0g‘𝑊)} ↔ 𝑄 = 𝑅))
13	12	necon3bid 2979	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ≠ {(0g‘𝑊)} ↔ 𝑄 ≠ 𝑅))
14	9, 13	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ {(0g‘𝑊)})
15		lveclmod 20954	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
16	5, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
17	2, 4, 16, 7	lsatlssel 38380	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
18	2, 4, 16, 8	lsatlssel 38380	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
19	2, 3	lsmcl 20931	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑄 ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ 𝑆) → (𝑄 ⊕ 𝑅) ∈ 𝑆)
20	16, 17, 18, 19	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ⊕ 𝑅) ∈ 𝑆)
21	2, 10, 5, 6, 20, 11	lcvpss 38407	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑄 ⊕ 𝑅))
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 21	lsatcvat 38433	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  {csn 4623   class class class wbr 5141  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  0_gc0g 17394  LSSumclsm 19554  LModclmod 20706  LSubSpclss 20778  LVecclvec 20950  LSAtomsclsa 38357   ⋖_L clcv 38401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-0g 17396  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-cntz 19233  df-oppg 19262  df-lsm 19556  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lvec 20951  df-lsatoms 38359  df-lcv 38402

This theorem is referenced by:  lsatcvat3  38435