Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcvat2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatcvat2 36067
Description: A subspace covered by the sum of two distinct atoms is an atom. (atcvat2i 30091 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcvat2.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsatcvat2.p = (LSSum‘𝑊)
lsatcvat2.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcvat2.c 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
lsatcvat2.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsatcvat2.u (𝜑𝑈𝑆)
lsatcvat2.q (𝜑𝑄𝐴)
lsatcvat2.r (𝜑𝑅𝐴)
lsatcvat2.n (𝜑𝑄𝑅)
lsatcvat2.l (𝜑𝑈𝐶(𝑄 𝑅))
Assertion
Ref Expression
lsatcvat2 (𝜑𝑈𝐴)

Proof of Theorem lsatcvat2
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . 2 (0g𝑊) = (0g𝑊)
2 lsatcvat2.s . 2 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3 lsatcvat2.p . 2 = (LSSum‘𝑊)
4 lsatcvat2.a . 2 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
5 lsatcvat2.w . 2 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
6 lsatcvat2.u . 2 (𝜑𝑈𝑆)
7 lsatcvat2.q . 2 (𝜑𝑄𝐴)
8 lsatcvat2.r . 2 (𝜑𝑅𝐴)
9 lsatcvat2.n . . 3 (𝜑𝑄𝑅)
10 lsatcvat2.c . . . . 5 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
11 lsatcvat2.l . . . . 5 (𝜑𝑈𝐶(𝑄 𝑅))
121, 3, 2, 4, 10, 5, 6, 7, 8, 11lsatcv1 36064 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 = {(0g𝑊)} ↔ 𝑄 = 𝑅))
1312necon3bid 3057 . . 3 (𝜑 → (𝑈 ≠ {(0g𝑊)} ↔ 𝑄𝑅))
149, 13mpbird 258 . 2 (𝜑𝑈 ≠ {(0g𝑊)})
15 lveclmod 19807 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
165, 15syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
172, 4, 16, 7lsatlssel 36013 . . . 4 (𝜑𝑄𝑆)
182, 4, 16, 8lsatlssel 36013 . . . 4 (𝜑𝑅𝑆)
192, 3lsmcl 19784 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑄𝑆𝑅𝑆) → (𝑄 𝑅) ∈ 𝑆)
2016, 17, 18, 19syl3anc 1363 . . 3 (𝜑 → (𝑄 𝑅) ∈ 𝑆)
212, 10, 5, 6, 20, 11lcvpss 36040 . 2 (𝜑𝑈 ⊊ (𝑄 𝑅))
221, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 21lsatcvat 36066 1 (𝜑𝑈𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  {csn 4557   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  0gc0g 16701  LSSumclsm 18688  LModclmod 19563  LSubSpclss 19632  LVecclvec 19803  LSAtomsclsa 35990  L clcv 36034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-0g 16703  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-subg 18214  df-cntz 18385  df-oppg 18412  df-lsm 18690  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-drng 19433  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-lsp 19673  df-lvec 19804  df-lsatoms 35992  df-lcv 36035
This theorem is referenced by:  lsatcvat3  36068
  Copyright terms: Public domain W3C validator