Theorem lsatcvat2 39514

Description: A subspace covered by the sum of two distinct atoms is an atom. (atcvat2i 32476 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatcvat2.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsatcvat2.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsatcvat2.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcvat2.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lsatcvat2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatcvat2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lsatcvat2.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatcvat2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
lsatcvat2.n	⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑅)
lsatcvat2.l	⊢ (𝜑 → 𝑈𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
lsatcvat2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lsatcvat2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. 2 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
2		lsatcvat2.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3		lsatcvat2.p	. 2 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
4		lsatcvat2.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
5		lsatcvat2.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
6		lsatcvat2.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
7		lsatcvat2.q	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
8		lsatcvat2.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
9		lsatcvat2.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑅)
10		lsatcvat2.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
11		lsatcvat2.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))
12	1, 3, 2, 4, 10, 5, 6, 7, 8, 11	lsatcv1 39511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 = {(0g‘𝑊)} ↔ 𝑄 = 𝑅))
13	12	necon3bid 2977	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ≠ {(0g‘𝑊)} ↔ 𝑄 ≠ 𝑅))
14	9, 13	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ {(0g‘𝑊)})
15		lveclmod 21096	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
16	5, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
17	2, 4, 16, 7	lsatlssel 39460	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
18	2, 4, 16, 8	lsatlssel 39460	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
19	2, 3	lsmcl 21073	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑄 ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ 𝑆) → (𝑄 ⊕ 𝑅) ∈ 𝑆)
20	16, 17, 18, 19	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ⊕ 𝑅) ∈ 𝑆)
21	2, 10, 5, 6, 20, 11	lcvpss 39487	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑄 ⊕ 𝑅))
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 21	lsatcvat 39513	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {csn 4568   class class class wbr 5086  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  0_gc0g 17396  LSSumclsm 19603  LModclmod 20849  LSubSpclss 20920  LVecclvec 21092  LSAtomsclsa 39437   ⋖_L clcv 39481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-0g 17398  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-submnd 18746  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-subg 19093  df-cntz 19286  df-oppg 19315  df-lsm 19605  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-oppr 20311  df-dvdsr 20331  df-unit 20332  df-invr 20362  df-drng 20702  df-lmod 20851  df-lss 20921  df-lsp 20961  df-lvec 21093  df-lsatoms 39439  df-lcv 39482

This theorem is referenced by:  lsatcvat3  39515