Theorem lcv1 39059

Description: Covering property of a subspace plus an atom. (chcv1 32336 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcv1.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcv1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lcv1.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lcv1.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lcv1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lcv1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lcv1.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lcv1	⊢ (𝜑 → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)))

Proof of Theorem lcv1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcv1.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
2		lcv1.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
3		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
5		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
6		lcv1.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
7	3, 4, 5, 6	islsat 39009	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
8	2, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
9	1, 8	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
10	9	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
11		lcv1.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
12		lcv1.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
13		lcv1.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
14	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
15	14	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → 𝑊 ∈ LVec)
16		lcv1.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
18	17	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → 𝑈 ∈ 𝑆)
19		eldifi 4106	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
20	19	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
21		simp1r 1199	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈)
22		simp3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
23	22	sseq1d 3990	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → (𝑄 ⊆ 𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈))
24	21, 23	mtbid 324	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → ¬ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈)
25	3, 11, 4, 12, 13, 15, 18, 20, 24	lsmcv2 39047	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
26	22	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → (𝑈 ⊕ 𝑄) = (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
27	25, 26	breqtrrd 5147	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄))
28	27	rexlimdv3a 3145	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) → (∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)))
29	10, 28	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) → 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄))
30	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)) → 𝑊 ∈ LVec)
31	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
32		lveclmod 21064	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
33	2, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
34	11, 6, 33, 1	lsatlssel 39015	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
35	11, 12	lsmcl 21041	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑄 ∈ 𝑆) → (𝑈 ⊕ 𝑄) ∈ 𝑆)
36	33, 16, 34, 35	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ 𝑄) ∈ 𝑆)
37	36	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)) → (𝑈 ⊕ 𝑄) ∈ 𝑆)
38		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)) → 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄))
39	11, 13, 30, 31, 37, 38	lcvpss 39042	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)) → 𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ 𝑄))
40	11	lsssssubg 20915	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
41	33, 40	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
42	41, 16	sseldd 3959	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
43	41, 34	sseldd 3959	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊))
44	12, 42, 43	lssnle 19655	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ 𝑄)))
45	44	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)) → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ 𝑄)))
46	39, 45	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)) → ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈)
47	29, 46	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3060   ∖ cdif 3923   ⊆ wss 3926   ⊊ wpss 3927  {csn 4601   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228  0_gc0g 17453  SubGrpcsubg 19103  LSSumclsm 19615  LModclmod 20817  LSubSpclss 20888  LSpanclspn 20928  LVecclvec 21060  LSAtomsclsa 38992   ⋖_L clcv 39036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-submnd 18762  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-subg 19106  df-cntz 19300  df-lsm 19617  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-oppr 20297  df-dvdsr 20317  df-unit 20318  df-invr 20348  df-drng 20691  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-lsp 20929  df-lvec 21061  df-lsatoms 38994  df-lcv 39037

This theorem is referenced by:  lcv2  39060  lsatnle  39062  lsatcvat3  39070