Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcv1 34929
Description: Covering property of a subspace plus an atom. (chcv1 29605 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcv1.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcv1.p = (LSSum‘𝑊)
lcv1.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lcv1.c 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
lcv1.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lcv1.u (𝜑𝑈𝑆)
lcv1.q (𝜑𝑄𝐴)
Assertion
Ref Expression
lcv1 (𝜑 → (¬ 𝑄𝑈𝑈𝐶(𝑈 𝑄)))

Proof of Theorem lcv1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcv1.q . . . . 5 (𝜑𝑄𝐴)
2 lcv1.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
3 eqid 2765 . . . . . . 7 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4 eqid 2765 . . . . . . 7 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
5 eqid 2765 . . . . . . 7 (0g𝑊) = (0g𝑊)
6 lcv1.a . . . . . . 7 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
73, 4, 5, 6islsat 34879 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → (𝑄𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
82, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
91, 8mpbid 223 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
109adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
11 lcv1.s . . . . . 6 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
12 lcv1.p . . . . . 6 = (LSSum‘𝑊)
13 lcv1.c . . . . . 6 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
142adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
15143ad2ant1 1163 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → 𝑊 ∈ LVec)
16 lcv1.u . . . . . . . 8 (𝜑𝑈𝑆)
1716adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) → 𝑈𝑆)
18173ad2ant1 1163 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → 𝑈𝑆)
19 eldifi 3894 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)}) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
20193ad2ant2 1164 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
21 simp1r 1255 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → ¬ 𝑄𝑈)
22 simp3 1168 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
2322sseq1d 3792 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → (𝑄𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈))
2421, 23mtbid 315 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → ¬ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈)
253, 11, 4, 12, 13, 15, 18, 20, 24lsmcv2 34917 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → 𝑈𝐶(𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
2622oveq2d 6858 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → (𝑈 𝑄) = (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
2725, 26breqtrrd 4837 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → 𝑈𝐶(𝑈 𝑄))
2827rexlimdv3a 3180 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) → (∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → 𝑈𝐶(𝑈 𝑄)))
2910, 28mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) → 𝑈𝐶(𝑈 𝑄))
302adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑈𝐶(𝑈 𝑄)) → 𝑊 ∈ LVec)
3116adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑈𝐶(𝑈 𝑄)) → 𝑈𝑆)
32 lveclmod 19378 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
332, 32syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
3411, 6, 33, 1lsatlssel 34885 . . . . . 6 (𝜑𝑄𝑆)
3511, 12lsmcl 19355 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑄𝑆) → (𝑈 𝑄) ∈ 𝑆)
3633, 16, 34, 35syl3anc 1490 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 𝑄) ∈ 𝑆)
3736adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑈𝐶(𝑈 𝑄)) → (𝑈 𝑄) ∈ 𝑆)
38 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝑈𝐶(𝑈 𝑄)) → 𝑈𝐶(𝑈 𝑄))
3911, 13, 30, 31, 37, 38lcvpss 34912 . . 3 ((𝜑𝑈𝐶(𝑈 𝑄)) → 𝑈 ⊊ (𝑈 𝑄))
4011lsssssubg 19230 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
4133, 40syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
4241, 16sseldd 3762 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
4341, 34sseldd 3762 . . . . 5 (𝜑𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊))
4412, 42, 43lssnle 18353 . . . 4 (𝜑 → (¬ 𝑄𝑈𝑈 ⊊ (𝑈 𝑄)))
4544adantr 472 . . 3 ((𝜑𝑈𝐶(𝑈 𝑄)) → (¬ 𝑄𝑈𝑈 ⊊ (𝑈 𝑄)))
4639, 45mpbird 248 . 2 ((𝜑𝑈𝐶(𝑈 𝑄)) → ¬ 𝑄𝑈)
4729, 46impbida 835 1 (𝜑 → (¬ 𝑄𝑈𝑈𝐶(𝑈 𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wrex 3056  cdif 3729  wss 3732  wpss 3733  {csn 4334   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  Basecbs 16132  0gc0g 16368  SubGrpcsubg 17854  LSSumclsm 18315  LModclmod 19132  LSubSpclss 19201  LSpanclspn 19243  LVecclvec 19374  LSAtomsclsa 34862  L clcv 34906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-tpos 7555  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-ress 16140  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-0g 16370  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-submnd 17604  df-grp 17694  df-minusg 17695  df-sbg 17696  df-subg 17857  df-cntz 18015  df-lsm 18317  df-cmn 18461  df-abl 18462  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-ring 18816  df-oppr 18890  df-dvdsr 18908  df-unit 18909  df-invr 18939  df-drng 19018  df-lmod 19134  df-lss 19202  df-lsp 19244  df-lvec 19375  df-lsatoms 34864  df-lcv 34907
This theorem is referenced by:  lcv2  34930  lsatnle  34932  lsatcvat3  34940
  Copyright terms: Public domain W3C validator