Theorem lcv1 39042

Description: Covering property of a subspace plus an atom. (chcv1 32374 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcv1.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcv1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lcv1.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lcv1.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lcv1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lcv1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lcv1.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lcv1	⊢ (𝜑 → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)))

Proof of Theorem lcv1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcv1.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
2		lcv1.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
3		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
5		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
6		lcv1.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
7	3, 4, 5, 6	islsat 38992	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
8	2, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
9	1, 8	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
10	9	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
11		lcv1.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
12		lcv1.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
13		lcv1.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
14	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
15	14	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → 𝑊 ∈ LVec)
16		lcv1.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
18	17	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → 𝑈 ∈ 𝑆)
19		eldifi 4131	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
20	19	3ad2ant2 1135	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
21		simp1r 1199	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈)
22		simp3 1139	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
23	22	sseq1d 4015	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → (𝑄 ⊆ 𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈))
24	21, 23	mtbid 324	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → ¬ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈)
25	3, 11, 4, 12, 13, 15, 18, 20, 24	lsmcv2 39030	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
26	22	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → (𝑈 ⊕ 𝑄) = (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
27	25, 26	breqtrrd 5171	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄))
28	27	rexlimdv3a 3159	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) → (∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)))
29	10, 28	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) → 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄))
30	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)) → 𝑊 ∈ LVec)
31	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
32		lveclmod 21105	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
33	2, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
34	11, 6, 33, 1	lsatlssel 38998	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
35	11, 12	lsmcl 21082	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑄 ∈ 𝑆) → (𝑈 ⊕ 𝑄) ∈ 𝑆)
36	33, 16, 34, 35	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ 𝑄) ∈ 𝑆)
37	36	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)) → (𝑈 ⊕ 𝑄) ∈ 𝑆)
38		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)) → 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄))
39	11, 13, 30, 31, 37, 38	lcvpss 39025	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)) → 𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ 𝑄))
40	11	lsssssubg 20956	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
41	33, 40	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
42	41, 16	sseldd 3984	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
43	41, 34	sseldd 3984	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊))
44	12, 42, 43	lssnle 19692	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ 𝑄)))
45	44	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)) → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ 𝑄)))
46	39, 45	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)) → ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈)
47	29, 46	impbida 801	1 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070   ∖ cdif 3948   ⊆ wss 3951   ⊊ wpss 3952  {csn 4626   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  0_gc0g 17484  SubGrpcsubg 19138  LSSumclsm 19652  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929  LSpanclspn 20969  LVecclvec 21101  LSAtomsclsa 38975   ⋖_L clcv 39019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-lsm 19654  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lvec 21102  df-lsatoms 38977  df-lcv 39020

This theorem is referenced by:  lcv2  39043  lsatnle  39045  lsatcvat3  39053