Theorem lcv1 39533

Description: Covering property of a subspace plus an atom. (chcv1 32444 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcv1.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcv1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lcv1.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lcv1.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lcv1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lcv1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lcv1.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lcv1	⊢ (𝜑 → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)))

Proof of Theorem lcv1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcv1.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
2		lcv1.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
3		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
5		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
6		lcv1.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
7	3, 4, 5, 6	islsat 39483	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
8	2, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
9	1, 8	mpbid 233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
10	9	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
11		lcv1.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
12		lcv1.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
13		lcv1.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
14	2	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
15	14	3ad2ant1 1139	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → 𝑊 ∈ LVec)
16		lcv1.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
17	16	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
18	17	3ad2ant1 1139	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → 𝑈 ∈ 𝑆)
19		eldifi 4061	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
20	19	3ad2ant2 1140	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
21		simp1r 1205	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈)
22		simp3 1144	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
23	22	sseq1d 3946	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → (𝑄 ⊆ 𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈))
24	21, 23	mtbid 325	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → ¬ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈)
25	3, 11, 4, 12, 13, 15, 18, 20, 24	lsmcv2 39521	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
26	22	oveq2d 7372	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → (𝑈 ⊕ 𝑄) = (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
27	25, 26	breqtrrd 5100	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄))
28	27	rexlimdv3a 3144	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) → (∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)))
29	10, 28	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) → 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄))
30	2	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)) → 𝑊 ∈ LVec)
31	16	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
32		lveclmod 21096	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
33	2, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
34	11, 6, 33, 1	lsatlssel 39489	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
35	11, 12	lsmcl 21073	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑄 ∈ 𝑆) → (𝑈 ⊕ 𝑄) ∈ 𝑆)
36	33, 16, 34, 35	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ 𝑄) ∈ 𝑆)
37	36	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)) → (𝑈 ⊕ 𝑄) ∈ 𝑆)
38		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)) → 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄))
39	11, 13, 30, 31, 37, 38	lcvpss 39516	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)) → 𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ 𝑄))
40	11	lsssssubg 20948	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
41	33, 40	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
42	41, 16	sseldd 3916	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
43	41, 34	sseldd 3916	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊))
44	12, 42, 43	lssnle 19640	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ 𝑄)))
45	44	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)) → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ 𝑄)))
46	39, 45	mpbird 258	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)) → ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈)
47	29, 46	impbida 806	1 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3063   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883   ⊊ wpss 3884  {csn 4555   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  0_gc0g 17393  SubGrpcsubg 19087  LSSumclsm 19600  LModclmod 20850  LSubSpclss 20921  LSpanclspn 20961  LVecclvec 21092  LSAtomsclsa 39466   ⋖_L clcv 39510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-subg 19090  df-cntz 19283  df-lsm 19602  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-drng 20703  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lsp 20962  df-lvec 21093  df-lsatoms 39468  df-lcv 39511

This theorem is referenced by:  lcv2  39534  lsatnle  39536  lsatcvat3  39544