Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcv1 35708
Description: Covering property of a subspace plus an atom. (chcv1 29823 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcv1.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcv1.p = (LSSum‘𝑊)
lcv1.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lcv1.c 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
lcv1.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lcv1.u (𝜑𝑈𝑆)
lcv1.q (𝜑𝑄𝐴)
Assertion
Ref Expression
lcv1 (𝜑 → (¬ 𝑄𝑈𝑈𝐶(𝑈 𝑄)))

Proof of Theorem lcv1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcv1.q . . . . 5 (𝜑𝑄𝐴)
2 lcv1.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
3 eqid 2795 . . . . . . 7 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4 eqid 2795 . . . . . . 7 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
5 eqid 2795 . . . . . . 7 (0g𝑊) = (0g𝑊)
6 lcv1.a . . . . . . 7 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
73, 4, 5, 6islsat 35658 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → (𝑄𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
82, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
91, 8mpbid 233 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
109adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
11 lcv1.s . . . . . 6 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
12 lcv1.p . . . . . 6 = (LSSum‘𝑊)
13 lcv1.c . . . . . 6 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
142adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
15143ad2ant1 1126 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → 𝑊 ∈ LVec)
16 lcv1.u . . . . . . . 8 (𝜑𝑈𝑆)
1716adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) → 𝑈𝑆)
18173ad2ant1 1126 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → 𝑈𝑆)
19 eldifi 4024 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)}) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
20193ad2ant2 1127 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
21 simp1r 1191 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → ¬ 𝑄𝑈)
22 simp3 1131 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
2322sseq1d 3919 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → (𝑄𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈))
2421, 23mtbid 325 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → ¬ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈)
253, 11, 4, 12, 13, 15, 18, 20, 24lsmcv2 35696 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → 𝑈𝐶(𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
2622oveq2d 7032 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → (𝑈 𝑄) = (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
2725, 26breqtrrd 4990 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → 𝑈𝐶(𝑈 𝑄))
2827rexlimdv3a 3249 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) → (∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → 𝑈𝐶(𝑈 𝑄)))
2910, 28mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) → 𝑈𝐶(𝑈 𝑄))
302adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑈𝐶(𝑈 𝑄)) → 𝑊 ∈ LVec)
3116adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑈𝐶(𝑈 𝑄)) → 𝑈𝑆)
32 lveclmod 19568 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
332, 32syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
3411, 6, 33, 1lsatlssel 35664 . . . . . 6 (𝜑𝑄𝑆)
3511, 12lsmcl 19545 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑄𝑆) → (𝑈 𝑄) ∈ 𝑆)
3633, 16, 34, 35syl3anc 1364 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 𝑄) ∈ 𝑆)
3736adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑈𝐶(𝑈 𝑄)) → (𝑈 𝑄) ∈ 𝑆)
38 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝑈𝐶(𝑈 𝑄)) → 𝑈𝐶(𝑈 𝑄))
3911, 13, 30, 31, 37, 38lcvpss 35691 . . 3 ((𝜑𝑈𝐶(𝑈 𝑄)) → 𝑈 ⊊ (𝑈 𝑄))
4011lsssssubg 19420 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
4133, 40syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
4241, 16sseldd 3890 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
4341, 34sseldd 3890 . . . . 5 (𝜑𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊))
4412, 42, 43lssnle 18527 . . . 4 (𝜑 → (¬ 𝑄𝑈𝑈 ⊊ (𝑈 𝑄)))
4544adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑈𝐶(𝑈 𝑄)) → (¬ 𝑄𝑈𝑈 ⊊ (𝑈 𝑄)))
4639, 45mpbird 258 . 2 ((𝜑𝑈𝐶(𝑈 𝑄)) → ¬ 𝑄𝑈)
4729, 46impbida 797 1 (𝜑 → (¬ 𝑄𝑈𝑈𝐶(𝑈 𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  wrex 3106  cdif 3856  wss 3859  wpss 3860  {csn 4472   class class class wbr 4962  cfv 6225  (class class class)co 7016  Basecbs 16312  0gc0g 16542  SubGrpcsubg 18027  LSSumclsm 18489  LModclmod 19324  LSubSpclss 19393  LSpanclspn 19433  LVecclvec 19564  LSAtomsclsa 35641  L clcv 35685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-tpos 7743  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-0g 16544  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-submnd 17775  df-grp 17864  df-minusg 17865  df-sbg 17866  df-subg 18030  df-cntz 18188  df-lsm 18491  df-cmn 18635  df-abl 18636  df-mgp 18930  df-ur 18942  df-ring 18989  df-oppr 19063  df-dvdsr 19081  df-unit 19082  df-invr 19112  df-drng 19194  df-lmod 19326  df-lss 19394  df-lsp 19434  df-lvec 19565  df-lsatoms 35643  df-lcv 35686
This theorem is referenced by:  lcv2  35709  lsatnle  35711  lsatcvat3  35719
  Copyright terms: Public domain W3C validator