Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcv1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lcv1 38513
Description: Covering property of a subspace plus an atom. (chcv1 32164 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcv1.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lcv1.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lcv1.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lcv1.c 𝐢 = ( β‹–L β€˜π‘Š)
lcv1.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lcv1.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lcv1.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
lcv1 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ ↔ π‘ˆπΆ(π‘ˆ βŠ• 𝑄)))
Proof of Theorem lcv1
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcv1.q . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
2 lcv1.w . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
3 eqid 2728 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
4 eqid 2728 . . . . . . 7 (LSpanβ€˜π‘Š) = (LSpanβ€˜π‘Š)
5 eqid 2728 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
6 lcv1.a . . . . . . 7 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
73, 4, 5, 6islsat 38463 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LVec β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯})))
82, 7syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯})))
91, 8mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}))
109adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}))
11 lcv1.s . . . . . 6 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
12 lcv1.p . . . . . 6 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
13 lcv1.c . . . . . 6 𝐢 = ( β‹–L β€˜π‘Š)
142adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LVec)
15143ad2ant1 1131 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) ∧ 𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯})) β†’ π‘Š ∈ LVec)
16 lcv1.u . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
1716adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
18173ad2ant1 1131 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) ∧ 𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯})) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
19 eldifi 4125 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
20193ad2ant2 1132 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) ∧ 𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯})) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
21 simp1r 1196 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) ∧ 𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯})) β†’ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ)
22 simp3 1136 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) ∧ 𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯})) β†’ 𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}))
2322sseq1d 4011 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) ∧ 𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯})) β†’ (𝑄 βŠ† π‘ˆ ↔ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) βŠ† π‘ˆ))
2421, 23mtbid 324 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) ∧ 𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯})) β†’ Β¬ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) βŠ† π‘ˆ)
253, 11, 4, 12, 13, 15, 18, 20, 24lsmcv2 38501 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) ∧ 𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯})) β†’ π‘ˆπΆ(π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯})))
2622oveq2d 7436 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) ∧ 𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯})) β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑄) = (π‘ˆ βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯})))
2725, 26breqtrrd 5176 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) ∧ 𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯})) β†’ π‘ˆπΆ(π‘ˆ βŠ• 𝑄))
2827rexlimdv3a 3156 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) β†’ π‘ˆπΆ(π‘ˆ βŠ• 𝑄)))
2910, 28mpd 15 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆπΆ(π‘ˆ βŠ• 𝑄))
302adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘ˆπΆ(π‘ˆ βŠ• 𝑄)) β†’ π‘Š ∈ LVec)
3116adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘ˆπΆ(π‘ˆ βŠ• 𝑄)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
32 lveclmod 20990 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
332, 32syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
3411, 6, 33, 1lsatlssel 38469 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑆)
3511, 12lsmcl 20967 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑄 ∈ 𝑆) β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑄) ∈ 𝑆)
3633, 16, 34, 35syl3anc 1369 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑄) ∈ 𝑆)
3736adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘ˆπΆ(π‘ˆ βŠ• 𝑄)) β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑄) ∈ 𝑆)
38 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘ˆπΆ(π‘ˆ βŠ• 𝑄)) β†’ π‘ˆπΆ(π‘ˆ βŠ• 𝑄))
3911, 13, 30, 31, 37, 38lcvpss 38496 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘ˆπΆ(π‘ˆ βŠ• 𝑄)) β†’ π‘ˆ ⊊ (π‘ˆ βŠ• 𝑄))
4011lsssssubg 20841 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
4133, 40syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
4241, 16sseldd 3981 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
4341, 34sseldd 3981 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
4412, 42, 43lssnle 19628 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ ↔ π‘ˆ ⊊ (π‘ˆ βŠ• 𝑄)))
4544adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘ˆπΆ(π‘ˆ βŠ• 𝑄)) β†’ (Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ ↔ π‘ˆ ⊊ (π‘ˆ βŠ• 𝑄)))
4639, 45mpbird 257 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘ˆπΆ(π‘ˆ βŠ• 𝑄)) β†’ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ)
4729, 46impbida 800 1 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ ↔ π‘ˆπΆ(π‘ˆ βŠ• 𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆƒwrex 3067   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947   ⊊ wpss 3948  {csn 4629   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17179  0gc0g 17420  SubGrpcsubg 19074  LSSumclsm 19588  LModclmod 20742  LSubSpclss 20814  LSpanclspn 20854  LVecclvec 20986  LSAtomsclsa 38446   β‹–L clcv 38490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8231  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-subg 19077  df-cntz 19267  df-lsm 19590  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20272  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-drng 20625  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-lsp 20855  df-lvec 20987  df-lsatoms 38448  df-lcv 38491
This theorem is referenced by:  lcv2  38514  lsatnle  38516  lsatcvat3  38524
  Copyright terms: Public domain W3C validator