Theorem lcv1 37849

Description: Covering property of a subspace plus an atom. (chcv1 31586 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcv1.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcv1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lcv1.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lcv1.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lcv1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lcv1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lcv1.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lcv1	⊢ (𝜑 → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)))

Proof of Theorem lcv1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcv1.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
2		lcv1.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
3		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
5		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
6		lcv1.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
7	3, 4, 5, 6	islsat 37799	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
8	2, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
9	1, 8	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
10	9	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
11		lcv1.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
12		lcv1.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
13		lcv1.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
14	2	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
15	14	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → 𝑊 ∈ LVec)
16		lcv1.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
17	16	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
18	17	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → 𝑈 ∈ 𝑆)
19		eldifi 4125	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
20	19	3ad2ant2 1135	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
21		simp1r 1199	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈)
22		simp3 1139	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
23	22	sseq1d 4012	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → (𝑄 ⊆ 𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈))
24	21, 23	mtbid 324	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → ¬ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈)
25	3, 11, 4, 12, 13, 15, 18, 20, 24	lsmcv2 37837	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
26	22	oveq2d 7420	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → (𝑈 ⊕ 𝑄) = (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
27	25, 26	breqtrrd 5175	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄))
28	27	rexlimdv3a 3160	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) → (∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)))
29	10, 28	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) → 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄))
30	2	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)) → 𝑊 ∈ LVec)
31	16	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
32		lveclmod 20705	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
33	2, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
34	11, 6, 33, 1	lsatlssel 37805	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
35	11, 12	lsmcl 20682	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑄 ∈ 𝑆) → (𝑈 ⊕ 𝑄) ∈ 𝑆)
36	33, 16, 34, 35	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ 𝑄) ∈ 𝑆)
37	36	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)) → (𝑈 ⊕ 𝑄) ∈ 𝑆)
38		simpr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)) → 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄))
39	11, 13, 30, 31, 37, 38	lcvpss 37832	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)) → 𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ 𝑄))
40	11	lsssssubg 20557	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
41	33, 40	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
42	41, 16	sseldd 3982	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
43	41, 34	sseldd 3982	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊))
44	12, 42, 43	lssnle 19535	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ 𝑄)))
45	44	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)) → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ 𝑄)))
46	39, 45	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)) → ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈)
47	29, 46	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3071   ∖ cdif 3944   ⊆ wss 3947   ⊊ wpss 3948  {csn 4627   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404  Basecbs 17140  0_gc0g 17381  SubGrpcsubg 18994  LSSumclsm 19495  LModclmod 20459  LSubSpclss 20530  LSpanclspn 20570  LVecclvec 20701  LSAtomsclsa 37782   ⋖_L clcv 37826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-lsm 19497  df-cmn 19643  df-abl 19644  df-mgp 19980  df-ur 19997  df-ring 20049  df-oppr 20139  df-dvdsr 20160  df-unit 20161  df-invr 20191  df-drng 20306  df-lmod 20461  df-lss 20531  df-lsp 20571  df-lvec 20702  df-lsatoms 37784  df-lcv 37827

This theorem is referenced by:  lcv2  37850  lsatnle  37852  lsatcvat3  37860