Theorem lcv1 39487

Description: Covering property of a subspace plus an atom. (chcv1 32426 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcv1.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcv1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lcv1.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lcv1.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lcv1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lcv1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lcv1.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lcv1	⊢ (𝜑 → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)))

Proof of Theorem lcv1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcv1.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
2		lcv1.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
3		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
5		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
6		lcv1.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
7	3, 4, 5, 6	islsat 39437	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
8	2, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
9	1, 8	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
10	9	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
11		lcv1.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
12		lcv1.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
13		lcv1.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
14	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
15	14	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → 𝑊 ∈ LVec)
16		lcv1.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
18	17	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → 𝑈 ∈ 𝑆)
19		eldifi 4071	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
20	19	3ad2ant2 1135	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
21		simp1r 1200	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈)
22		simp3 1139	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
23	22	sseq1d 3953	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → (𝑄 ⊆ 𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈))
24	21, 23	mtbid 324	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → ¬ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈)
25	3, 11, 4, 12, 13, 15, 18, 20, 24	lsmcv2 39475	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
26	22	oveq2d 7383	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → (𝑈 ⊕ 𝑄) = (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
27	25, 26	breqtrrd 5113	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄))
28	27	rexlimdv3a 3142	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) → (∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)))
29	10, 28	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈) → 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄))
30	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)) → 𝑊 ∈ LVec)
31	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
32		lveclmod 21101	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
33	2, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
34	11, 6, 33, 1	lsatlssel 39443	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
35	11, 12	lsmcl 21078	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑄 ∈ 𝑆) → (𝑈 ⊕ 𝑄) ∈ 𝑆)
36	33, 16, 34, 35	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ 𝑄) ∈ 𝑆)
37	36	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)) → (𝑈 ⊕ 𝑄) ∈ 𝑆)
38		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)) → 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄))
39	11, 13, 30, 31, 37, 38	lcvpss 39470	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)) → 𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ 𝑄))
40	11	lsssssubg 20953	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
41	33, 40	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
42	41, 16	sseldd 3922	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
43	41, 34	sseldd 3922	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊))
44	12, 42, 43	lssnle 19649	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ 𝑄)))
45	44	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)) → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ 𝑄)))
46	39, 45	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)) → ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈)
47	29, 46	impbida 801	1 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061   ∖ cdif 3886   ⊆ wss 3889   ⊊ wpss 3890  {csn 4567   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  0_gc0g 17402  SubGrpcsubg 19096  LSSumclsm 19609  LModclmod 20855  LSubSpclss 20926  LSpanclspn 20966  LVecclvec 21097  LSAtomsclsa 39420   ⋖_L clcv 39464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-subg 19099  df-cntz 19292  df-lsm 19611  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-drng 20708  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967  df-lvec 21098  df-lsatoms 39422  df-lcv 39465

This theorem is referenced by:  lcv2  39488  lsatnle  39490  lsatcvat3  39498