Theorem lcvat 36170

Description: If a subspace covers another, it equals the other joined with some atom. This is a consequence of relative atomicity. (cvati 30146 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcvat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvat.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lcvat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
icvat.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lcvat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lcvat.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lcvat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lcvat.l	⊢ (𝜑 → 𝑇𝐶𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lcvat	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑇 ⊕ 𝑞) = 𝑈)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝑆,𝑞   𝑇,𝑞   𝑈,𝑞   𝑊,𝑞   𝜑,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑞)   ⊕ (𝑞)

Proof of Theorem lcvat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcvat.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2		lcvat.p	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
3		lcvat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
4		lcvat.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		lcvat.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
6		lcvat.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
7		icvat.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
8		lcvat.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇𝐶𝑈)
9	1, 7, 4, 5, 6, 8	lcvpss 36164	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊊ 𝑈)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lrelat 36154	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈))
11	4	3ad2ant1 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
12	5	3ad2ant1 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)) → 𝑇 ∈ 𝑆)
13	6	3ad2ant1 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
14		simp2 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)) → 𝑞 ∈ 𝐴)
15	1, 3, 11, 14	lsatlssel 36137	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)) → 𝑞 ∈ 𝑆)
16	1, 2	lsmcl 19858	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑞 ∈ 𝑆) → (𝑇 ⊕ 𝑞) ∈ 𝑆)
17	11, 12, 15, 16	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)) → (𝑇 ⊕ 𝑞) ∈ 𝑆)
18	8	3ad2ant1 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)) → 𝑇𝐶𝑈)
19		simp3l 1197	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)) → 𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞))
20		simp3r 1198	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)) → (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)
21	1, 7, 11, 12, 13, 17, 18, 19, 20	lcvnbtwn2 36167	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)) → (𝑇 ⊕ 𝑞) = 𝑈)
22	21	3exp 1115	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑞 ∈ 𝐴 → ((𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈) → (𝑇 ⊕ 𝑞) = 𝑈)))
23	22	reximdvai 3275	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑇 ⊕ 𝑞) = 𝑈))
24	10, 23	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑇 ⊕ 𝑞) = 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3142   ⊆ wss 3939   ⊊ wpss 3940   class class class wbr 5069  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  LSSumclsm 18762  LModclmod 19637  LSubSpclss 19706  LSAtomsclsa 36114   ⋖_L clcv 36158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-0g 16718  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-submnd 17960  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-sbg 18111  df-subg 18279  df-cntz 18450  df-lsm 18764  df-cmn 18911  df-abl 18912  df-mgp 19243  df-ur 19255  df-ring 19302  df-lmod 19639  df-lss 19707  df-lsp 19747  df-lsatoms 36116  df-lcv 36159

This theorem is referenced by:  islshpcv  36193