Theorem lcvat 39023

Description: If a subspace covers another, it equals the other joined with some atom. This is a consequence of relative atomicity. (cvati 32295 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcvat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvat.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lcvat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
icvat.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lcvat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lcvat.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lcvat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lcvat.l	⊢ (𝜑 → 𝑇𝐶𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lcvat	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑇 ⊕ 𝑞) = 𝑈)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝑆,𝑞   𝑇,𝑞   𝑈,𝑞   𝑊,𝑞   𝜑,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑞)   ⊕ (𝑞)

Proof of Theorem lcvat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcvat.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2		lcvat.p	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
3		lcvat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
4		lcvat.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		lcvat.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
6		lcvat.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
7		icvat.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
8		lcvat.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇𝐶𝑈)
9	1, 7, 4, 5, 6, 8	lcvpss 39017	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊊ 𝑈)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lrelat 39007	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈))
11	4	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
12	5	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)) → 𝑇 ∈ 𝑆)
13	6	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
14		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)) → 𝑞 ∈ 𝐴)
15	1, 3, 11, 14	lsatlssel 38990	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)) → 𝑞 ∈ 𝑆)
16	1, 2	lsmcl 20990	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑞 ∈ 𝑆) → (𝑇 ⊕ 𝑞) ∈ 𝑆)
17	11, 12, 15, 16	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)) → (𝑇 ⊕ 𝑞) ∈ 𝑆)
18	8	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)) → 𝑇𝐶𝑈)
19		simp3l 1202	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)) → 𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞))
20		simp3r 1203	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)) → (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)
21	1, 7, 11, 12, 13, 17, 18, 19, 20	lcvnbtwn2 39020	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)) → (𝑇 ⊕ 𝑞) = 𝑈)
22	21	3exp 1119	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑞 ∈ 𝐴 → ((𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈) → (𝑇 ⊕ 𝑞) = 𝑈)))
23	22	reximdvai 3144	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑇 ⊕ 𝑞) = 𝑈))
24	10, 23	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑇 ⊕ 𝑞) = 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3914   ⊊ wpss 3915   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  LSSumclsm 19564  LModclmod 20766  LSubSpclss 20837  LSAtomsclsa 38967   ⋖_L clcv 39011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-subg 19055  df-cntz 19249  df-lsm 19566  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-ur 20091  df-ring 20144  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-lsp 20878  df-lsatoms 38969  df-lcv 39012

This theorem is referenced by:  islshpcv  39046