Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcvat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcvat 36206
 Description: If a subspace covers another, it equals the other joined with some atom. This is a consequence of relative atomicity. (cvati 30127 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcvat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvat.p = (LSSum‘𝑊)
lcvat.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
icvat.c 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
lcvat.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lcvat.t (𝜑𝑇𝑆)
lcvat.u (𝜑𝑈𝑆)
lcvat.l (𝜑𝑇𝐶𝑈)
Assertion
Ref Expression
lcvat (𝜑 → ∃𝑞𝐴 (𝑇 𝑞) = 𝑈)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝑆,𝑞   𝑇,𝑞   𝑈,𝑞   𝑊,𝑞   𝜑,𝑞
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑞)   (𝑞)

Proof of Theorem lcvat
StepHypRef Expression
1 lcvat.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2 lcvat.p . . 3 = (LSSum‘𝑊)
3 lcvat.a . . 3 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
4 lcvat.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
5 lcvat.t . . 3 (𝜑𝑇𝑆)
6 lcvat.u . . 3 (𝜑𝑈𝑆)
7 icvat.c . . . 4 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
8 lcvat.l . . . 4 (𝜑𝑇𝐶𝑈)
91, 7, 4, 5, 6, 8lcvpss 36200 . . 3 (𝜑𝑇𝑈)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 9lrelat 36190 . 2 (𝜑 → ∃𝑞𝐴 (𝑇 ⊊ (𝑇 𝑞) ∧ (𝑇 𝑞) ⊆ 𝑈))
1143ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝜑𝑞𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 𝑞) ∧ (𝑇 𝑞) ⊆ 𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
1253ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝜑𝑞𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 𝑞) ∧ (𝑇 𝑞) ⊆ 𝑈)) → 𝑇𝑆)
1363ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝜑𝑞𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 𝑞) ∧ (𝑇 𝑞) ⊆ 𝑈)) → 𝑈𝑆)
14 simp2 1134 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 𝑞) ∧ (𝑇 𝑞) ⊆ 𝑈)) → 𝑞𝐴)
151, 3, 11, 14lsatlssel 36173 . . . . . 6 ((𝜑𝑞𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 𝑞) ∧ (𝑇 𝑞) ⊆ 𝑈)) → 𝑞𝑆)
161, 2lsmcl 19830 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑞𝑆) → (𝑇 𝑞) ∈ 𝑆)
1711, 12, 15, 16syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝜑𝑞𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 𝑞) ∧ (𝑇 𝑞) ⊆ 𝑈)) → (𝑇 𝑞) ∈ 𝑆)
1883ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝜑𝑞𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 𝑞) ∧ (𝑇 𝑞) ⊆ 𝑈)) → 𝑇𝐶𝑈)
19 simp3l 1198 . . . . 5 ((𝜑𝑞𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 𝑞) ∧ (𝑇 𝑞) ⊆ 𝑈)) → 𝑇 ⊊ (𝑇 𝑞))
20 simp3r 1199 . . . . 5 ((𝜑𝑞𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 𝑞) ∧ (𝑇 𝑞) ⊆ 𝑈)) → (𝑇 𝑞) ⊆ 𝑈)
211, 7, 11, 12, 13, 17, 18, 19, 20lcvnbtwn2 36203 . . . 4 ((𝜑𝑞𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 𝑞) ∧ (𝑇 𝑞) ⊆ 𝑈)) → (𝑇 𝑞) = 𝑈)
22213exp 1116 . . 3 (𝜑 → (𝑞𝐴 → ((𝑇 ⊊ (𝑇 𝑞) ∧ (𝑇 𝑞) ⊆ 𝑈) → (𝑇 𝑞) = 𝑈)))
2322reximdvai 3258 . 2 (𝜑 → (∃𝑞𝐴 (𝑇 ⊊ (𝑇 𝑞) ∧ (𝑇 𝑞) ⊆ 𝑈) → ∃𝑞𝐴 (𝑇 𝑞) = 𝑈))
2410, 23mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑞𝐴 (𝑇 𝑞) = 𝑈)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∃wrex 3127   ⊆ wss 3910   ⊊ wpss 3911   class class class wbr 5039  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130  LSSumclsm 18737  LModclmod 19609  LSubSpclss 19678  LSAtomsclsa 36150   ⋖L clcv 36194 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-ndx 16464  df-slot 16465  df-base 16467  df-sets 16468  df-ress 16469  df-plusg 16556  df-0g 16693  df-mgm 17830  df-sgrp 17879  df-mnd 17890  df-submnd 17935  df-grp 18084  df-minusg 18085  df-sbg 18086  df-subg 18254  df-cntz 18425  df-lsm 18739  df-cmn 18886  df-abl 18887  df-mgp 19218  df-ur 19230  df-ring 19277  df-lmod 19611  df-lss 19679  df-lsp 19719  df-lsatoms 36152  df-lcv 36195 This theorem is referenced by:  islshpcv  36229
 Copyright terms: Public domain W3C validator