Theorem lcvat 39618

Description: If a subspace covers another, it equals the other joined with some atom. This is a consequence of relative atomicity. (cvati 32515 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcvat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvat.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lcvat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
icvat.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lcvat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lcvat.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lcvat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lcvat.l	⊢ (𝜑 → 𝑇𝐶𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lcvat	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑇 ⊕ 𝑞) = 𝑈)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝑆,𝑞   𝑇,𝑞   𝑈,𝑞   𝑊,𝑞   𝜑,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑞)   ⊕ (𝑞)

Proof of Theorem lcvat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcvat.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2		lcvat.p	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
3		lcvat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
4		lcvat.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		lcvat.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
6		lcvat.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
7		icvat.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
8		lcvat.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇𝐶𝑈)
9	1, 7, 4, 5, 6, 8	lcvpss 39612	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊊ 𝑈)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lrelat 39602	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈))
11	4	3ad2ant1 1145	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
12	5	3ad2ant1 1145	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)) → 𝑇 ∈ 𝑆)
13	6	3ad2ant1 1145	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
14		simp2 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)) → 𝑞 ∈ 𝐴)
15	1, 3, 11, 14	lsatlssel 39585	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)) → 𝑞 ∈ 𝑆)
16	1, 2	lsmcl 21130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑞 ∈ 𝑆) → (𝑇 ⊕ 𝑞) ∈ 𝑆)
17	11, 12, 15, 16	syl3anc 1389	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)) → (𝑇 ⊕ 𝑞) ∈ 𝑆)
18	8	3ad2ant1 1145	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)) → 𝑇𝐶𝑈)
19		simp3l 1214	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)) → 𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞))
20		simp3r 1215	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)) → (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)
21	1, 7, 11, 12, 13, 17, 18, 19, 20	lcvnbtwn2 39615	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)) → (𝑇 ⊕ 𝑞) = 𝑈)
22	21	3exp 1131	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑞 ∈ 𝐴 → ((𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈) → (𝑇 ⊕ 𝑞) = 𝑈)))
23	22	reximdvai 3172	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑇 ⊕ 𝑞) = 𝑈))
24	10, 23	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑇 ⊕ 𝑞) = 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∃wrex 3085   ⊆ wss 3904   ⊊ wpss 3905   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  LSSumclsm 19657  LModclmod 20907  LSubSpclss 20978  LSAtomsclsa 39562   ⋖_L clcv 39606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-0g 17453  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-submnd 18801  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-sbg 18963  df-subg 19148  df-cntz 19340  df-lsm 19659  df-cmn 19805  df-abl 19806  df-mgp 20170  df-ur 20211  df-ring 20264  df-lmod 20909  df-lss 20979  df-lsp 21019  df-lsatoms 39564  df-lcv 39607

This theorem is referenced by:  islshpcv  39641