Theorem lcvat 39666

Description: If a subspace covers another, it equals the other joined with some atom. This is a consequence of relative atomicity. (cvati 32627 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcvat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvat.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lcvat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
icvat.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lcvat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lcvat.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lcvat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lcvat.l	⊢ (𝜑 → 𝑇𝐶𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lcvat	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑇 ⊕ 𝑞) = 𝑈)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝑆,𝑞   𝑇,𝑞   𝑈,𝑞   𝑊,𝑞   𝜑,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑞)   ⊕ (𝑞)

Proof of Theorem lcvat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcvat.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2		lcvat.p	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
3		lcvat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
4		lcvat.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		lcvat.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
6		lcvat.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
7		icvat.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
8		lcvat.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇𝐶𝑈)
9	1, 7, 4, 5, 6, 8	lcvpss 39660	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊊ 𝑈)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lrelat 39650	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈))
11	4	3ad2ant1 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
12	5	3ad2ant1 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)) → 𝑇 ∈ 𝑆)
13	6	3ad2ant1 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
14		simp2 1153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)) → 𝑞 ∈ 𝐴)
15	1, 3, 11, 14	lsatlssel 39633	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)) → 𝑞 ∈ 𝑆)
16	1, 2	lsmcl 21173	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑞 ∈ 𝑆) → (𝑇 ⊕ 𝑞) ∈ 𝑆)
17	11, 12, 15, 16	syl3anc 1394	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)) → (𝑇 ⊕ 𝑞) ∈ 𝑆)
18	8	3ad2ant1 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)) → 𝑇𝐶𝑈)
19		simp3l 1218	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)) → 𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞))
20		simp3r 1219	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)) → (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)
21	1, 7, 11, 12, 13, 17, 18, 19, 20	lcvnbtwn2 39663	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)) → (𝑇 ⊕ 𝑞) = 𝑈)
22	21	3exp 1135	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑞 ∈ 𝐴 → ((𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈) → (𝑇 ⊕ 𝑞) = 𝑈)))
23	22	reximdvai 3176	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑇 ⊕ 𝑞) = 𝑈))
24	10, 23	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑇 ⊕ 𝑞) = 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3907   ⊊ wpss 3908   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  LSSumclsm 19695  LModclmod 20950  LSubSpclss 21021  LSAtomsclsa 39610   ⋖_L clcv 39654

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-0g 17484  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-submnd 18832  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-sbg 18995  df-subg 19180  df-cntz 19378  df-lsm 19697  df-cmn 19843  df-abl 19844  df-mgp 20208  df-ur 20255  df-ring 20308  df-lmod 20952  df-lss 21022  df-lsp 21062  df-lsatoms 39612  df-lcv 39655

This theorem is referenced by:  islshpcv  39689