Theorem lcvat 39012

Description: If a subspace covers another, it equals the other joined with some atom. This is a consequence of relative atomicity. (cvati 32395 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcvat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvat.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lcvat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
icvat.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lcvat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lcvat.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lcvat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lcvat.l	⊢ (𝜑 → 𝑇𝐶𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lcvat	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑇 ⊕ 𝑞) = 𝑈)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝑆,𝑞   𝑇,𝑞   𝑈,𝑞   𝑊,𝑞   𝜑,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑞)   ⊕ (𝑞)

Proof of Theorem lcvat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcvat.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2		lcvat.p	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
3		lcvat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
4		lcvat.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		lcvat.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
6		lcvat.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
7		icvat.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
8		lcvat.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇𝐶𝑈)
9	1, 7, 4, 5, 6, 8	lcvpss 39006	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊊ 𝑈)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lrelat 38996	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈))
11	4	3ad2ant1 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
12	5	3ad2ant1 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)) → 𝑇 ∈ 𝑆)
13	6	3ad2ant1 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
14		simp2 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)) → 𝑞 ∈ 𝐴)
15	1, 3, 11, 14	lsatlssel 38979	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)) → 𝑞 ∈ 𝑆)
16	1, 2	lsmcl 21100	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑞 ∈ 𝑆) → (𝑇 ⊕ 𝑞) ∈ 𝑆)
17	11, 12, 15, 16	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)) → (𝑇 ⊕ 𝑞) ∈ 𝑆)
18	8	3ad2ant1 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)) → 𝑇𝐶𝑈)
19		simp3l 1200	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)) → 𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞))
20		simp3r 1201	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)) → (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)
21	1, 7, 11, 12, 13, 17, 18, 19, 20	lcvnbtwn2 39009	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)) → (𝑇 ⊕ 𝑞) = 𝑈)
22	21	3exp 1118	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑞 ∈ 𝐴 → ((𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈) → (𝑇 ⊕ 𝑞) = 𝑈)))
23	22	reximdvai 3163	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑇 ⊕ 𝑞) = 𝑈))
24	10, 23	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑇 ⊕ 𝑞) = 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3068   ⊆ wss 3963   ⊊ wpss 3964   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  LSSumclsm 19667  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947  LSAtomsclsa 38956   ⋖_L clcv 39000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-lsm 19669  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lsatoms 38958  df-lcv 39001

This theorem is referenced by:  islshpcv  39035