Theorem lsatexch 39628

Description: The atom exchange property. Proposition 1(i) of [Kalmbach] p. 140. A version of this theorem was originally proved by Hermann Grassmann in 1862. (atexch 32541 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatexch.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsatexch.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsatexch.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatexch.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatexch.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatexch.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lsatexch.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatexch.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
lsatexch.l	⊢ (𝜑 → 𝑄 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅))
lsatexch.z	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ 𝑄) = { 0 })

Assertion

Ref	Expression
lsatexch	⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑄))

Proof of Theorem lsatexch

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatexch.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21161	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lsatexch.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
5	4	lsssssubg 21013	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
6	3, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
7		lsatexch.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
8	6, 7	sseldd 3935	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
9		lsatexch.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
10		lsatexch.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
11	4, 9, 3, 10	lsatlssel 39582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
12	6, 11	sseldd 3935	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
13		lsatexch.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
14	13	lsmub2 19689	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑅 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅))
15	8, 12, 14	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅))
16		eqid 2761	. . 3 ⊢ ( ⋖L ‘𝑊) = ( ⋖L ‘𝑊)
17	4, 13	lsmcl 21138	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ 𝑆) → (𝑈 ⊕ 𝑅) ∈ 𝑆)
18	3, 7, 11, 17	syl3anc 1389	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ 𝑅) ∈ 𝑆)
19		lsatexch.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
20	4, 9, 3, 19	lsatlssel 39582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
21	4, 13	lsmcl 21138	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑄 ∈ 𝑆) → (𝑈 ⊕ 𝑄) ∈ 𝑆)
22	3, 7, 20, 21	syl3anc 1389	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ 𝑄) ∈ 𝑆)
23		lsatexch.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ 𝑄) = { 0 })
24		lsatexch.o	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
25	4, 13, 24, 9, 16, 1, 7, 19	lcvp 39625	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∩ 𝑄) = { 0 } ↔ 𝑈( ⋖L ‘𝑊)(𝑈 ⊕ 𝑄)))
26	23, 25	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈( ⋖L ‘𝑊)(𝑈 ⊕ 𝑄))
27	4, 16, 1, 7, 22, 26	lcvpss 39609	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ 𝑄))
28	13	lsmub1 19688	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑈 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅))
29	8, 12, 28	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅))
30		lsatexch.l	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅))
31	6, 20	sseldd 3935	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊))
32	6, 18	sseldd 3935	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ 𝑅) ∈ (SubGrp‘𝑊))
33	13	lsmlub 19695	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑅) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑈 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅) ∧ 𝑄 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅)) ↔ (𝑈 ⊕ 𝑄) ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅)))
34	8, 31, 32, 33	syl3anc 1389	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅) ∧ 𝑄 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅)) ↔ (𝑈 ⊕ 𝑄) ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅)))
35	29, 30, 34	mpbi2and 722	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ 𝑄) ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅))
36	27, 35	psssstrd 4064	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ 𝑅))
37	4, 13, 9, 16, 1, 7, 10	lcv2 39627	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ 𝑅) ↔ 𝑈( ⋖L ‘𝑊)(𝑈 ⊕ 𝑅)))
38	36, 37	mpbid 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈( ⋖L ‘𝑊)(𝑈 ⊕ 𝑅))
39	4, 16, 1, 7, 18, 22, 38, 27, 35	lcvnbtwn2 39612	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ 𝑄) = (𝑈 ⊕ 𝑅))
40	15, 39	sseqtrrd 3971	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902   ⊊ wpss 3903  {csn 4579   class class class wbr 5097  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  0_gc0g 17459  SubGrpcsubg 19153  LSSumclsm 19665  LModclmod 20915  LSubSpclss 20986  LVecclvec 21157  LSAtomsclsa 39559   ⋖_L clcv 39603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-tpos 8200  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-0g 17461  df-mre 17605  df-mrc 17606  df-acs 17608  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-grp 18969  df-minusg 18970  df-sbg 18971  df-subg 19156  df-cntz 19348  df-oppg 19377  df-lsm 19667  df-cmn 19813  df-abl 19814  df-mgp 20178  df-rng 20190  df-ur 20219  df-ring 20272  df-oppr 20373  df-dvdsr 20393  df-unit 20394  df-invr 20424  df-drng 20768  df-lmod 20917  df-lss 20987  df-lsp 21027  df-lvec 21158  df-lsatoms 39561  df-lcv 39604

This theorem is referenced by:  lsatexch1  39631