Theorem lsatexch 39044

Description: The atom exchange property. Proposition 1(i) of [Kalmbach] p. 140. A version of this theorem was originally proved by Hermann Grassmann in 1862. (atexch 32400 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatexch.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsatexch.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsatexch.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatexch.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatexch.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatexch.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lsatexch.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatexch.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
lsatexch.l	⊢ (𝜑 → 𝑄 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅))
lsatexch.z	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ 𝑄) = { 0 })

Assertion

Ref	Expression
lsatexch	⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑄))

Proof of Theorem lsatexch

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatexch.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21105	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lsatexch.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
5	4	lsssssubg 20956	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
6	3, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
7		lsatexch.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
8	6, 7	sseldd 3984	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
9		lsatexch.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
10		lsatexch.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
11	4, 9, 3, 10	lsatlssel 38998	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
12	6, 11	sseldd 3984	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
13		lsatexch.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
14	13	lsmub2 19676	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑅 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅))
15	8, 12, 14	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅))
16		eqid 2737	. . 3 ⊢ ( ⋖L ‘𝑊) = ( ⋖L ‘𝑊)
17	4, 13	lsmcl 21082	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ 𝑆) → (𝑈 ⊕ 𝑅) ∈ 𝑆)
18	3, 7, 11, 17	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ 𝑅) ∈ 𝑆)
19		lsatexch.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
20	4, 9, 3, 19	lsatlssel 38998	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
21	4, 13	lsmcl 21082	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑄 ∈ 𝑆) → (𝑈 ⊕ 𝑄) ∈ 𝑆)
22	3, 7, 20, 21	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ 𝑄) ∈ 𝑆)
23		lsatexch.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ 𝑄) = { 0 })
24		lsatexch.o	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
25	4, 13, 24, 9, 16, 1, 7, 19	lcvp 39041	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∩ 𝑄) = { 0 } ↔ 𝑈( ⋖L ‘𝑊)(𝑈 ⊕ 𝑄)))
26	23, 25	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈( ⋖L ‘𝑊)(𝑈 ⊕ 𝑄))
27	4, 16, 1, 7, 22, 26	lcvpss 39025	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ 𝑄))
28	13	lsmub1 19675	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑈 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅))
29	8, 12, 28	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅))
30		lsatexch.l	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅))
31	6, 20	sseldd 3984	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊))
32	6, 18	sseldd 3984	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ 𝑅) ∈ (SubGrp‘𝑊))
33	13	lsmlub 19682	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑅) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑈 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅) ∧ 𝑄 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅)) ↔ (𝑈 ⊕ 𝑄) ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅)))
34	8, 31, 32, 33	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅) ∧ 𝑄 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅)) ↔ (𝑈 ⊕ 𝑄) ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅)))
35	29, 30, 34	mpbi2and 712	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ 𝑄) ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅))
36	27, 35	psssstrd 4112	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ 𝑅))
37	4, 13, 9, 16, 1, 7, 10	lcv2 39043	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ 𝑅) ↔ 𝑈( ⋖L ‘𝑊)(𝑈 ⊕ 𝑅)))
38	36, 37	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈( ⋖L ‘𝑊)(𝑈 ⊕ 𝑅))
39	4, 16, 1, 7, 18, 22, 38, 27, 35	lcvnbtwn2 39028	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ 𝑄) = (𝑈 ⊕ 𝑅))
40	15, 39	sseqtrrd 4021	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951   ⊊ wpss 3952  {csn 4626   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0_gc0g 17484  SubGrpcsubg 19138  LSSumclsm 19652  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929  LVecclvec 21101  LSAtomsclsa 38975   ⋖_L clcv 39019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17486  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-oppg 19364  df-lsm 19654  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lvec 21102  df-lsatoms 38977  df-lcv 39020

This theorem is referenced by:  lsatexch1  39047