Theorem lsatexch 39066

Description: The atom exchange property. Proposition 1(i) of [Kalmbach] p. 140. A version of this theorem was originally proved by Hermann Grassmann in 1862. (atexch 32367 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatexch.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsatexch.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsatexch.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatexch.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatexch.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatexch.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lsatexch.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatexch.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
lsatexch.l	⊢ (𝜑 → 𝑄 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅))
lsatexch.z	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ 𝑄) = { 0 })

Assertion

Ref	Expression
lsatexch	⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑄))

Proof of Theorem lsatexch

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatexch.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21069	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lsatexch.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
5	4	lsssssubg 20920	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
6	3, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
7		lsatexch.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
8	6, 7	sseldd 3964	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
9		lsatexch.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
10		lsatexch.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
11	4, 9, 3, 10	lsatlssel 39020	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
12	6, 11	sseldd 3964	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
13		lsatexch.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
14	13	lsmub2 19644	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑅 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅))
15	8, 12, 14	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅))
16		eqid 2736	. . 3 ⊢ ( ⋖L ‘𝑊) = ( ⋖L ‘𝑊)
17	4, 13	lsmcl 21046	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ 𝑆) → (𝑈 ⊕ 𝑅) ∈ 𝑆)
18	3, 7, 11, 17	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ 𝑅) ∈ 𝑆)
19		lsatexch.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
20	4, 9, 3, 19	lsatlssel 39020	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
21	4, 13	lsmcl 21046	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑄 ∈ 𝑆) → (𝑈 ⊕ 𝑄) ∈ 𝑆)
22	3, 7, 20, 21	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ 𝑄) ∈ 𝑆)
23		lsatexch.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ 𝑄) = { 0 })
24		lsatexch.o	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
25	4, 13, 24, 9, 16, 1, 7, 19	lcvp 39063	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∩ 𝑄) = { 0 } ↔ 𝑈( ⋖L ‘𝑊)(𝑈 ⊕ 𝑄)))
26	23, 25	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈( ⋖L ‘𝑊)(𝑈 ⊕ 𝑄))
27	4, 16, 1, 7, 22, 26	lcvpss 39047	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ 𝑄))
28	13	lsmub1 19643	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑈 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅))
29	8, 12, 28	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅))
30		lsatexch.l	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅))
31	6, 20	sseldd 3964	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊))
32	6, 18	sseldd 3964	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ 𝑅) ∈ (SubGrp‘𝑊))
33	13	lsmlub 19650	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑅) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑈 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅) ∧ 𝑄 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅)) ↔ (𝑈 ⊕ 𝑄) ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅)))
34	8, 31, 32, 33	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅) ∧ 𝑄 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅)) ↔ (𝑈 ⊕ 𝑄) ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅)))
35	29, 30, 34	mpbi2and 712	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ 𝑄) ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅))
36	27, 35	psssstrd 4092	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ 𝑅))
37	4, 13, 9, 16, 1, 7, 10	lcv2 39065	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ 𝑅) ↔ 𝑈( ⋖L ‘𝑊)(𝑈 ⊕ 𝑅)))
38	36, 37	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈( ⋖L ‘𝑊)(𝑈 ⊕ 𝑅))
39	4, 16, 1, 7, 18, 22, 38, 27, 35	lcvnbtwn2 39050	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ 𝑄) = (𝑈 ⊕ 𝑅))
40	15, 39	sseqtrrd 4001	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3930   ⊆ wss 3931   ⊊ wpss 3932  {csn 4606   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0_gc0g 17458  SubGrpcsubg 19108  LSSumclsm 19620  LModclmod 20822  LSubSpclss 20893  LVecclvec 21065  LSAtomsclsa 38997   ⋖_L clcv 39041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-0g 17460  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-subg 19111  df-cntz 19305  df-oppg 19334  df-lsm 19622  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-oppr 20302  df-dvdsr 20322  df-unit 20323  df-invr 20353  df-drng 20696  df-lmod 20824  df-lss 20894  df-lsp 20934  df-lvec 21066  df-lsatoms 38999  df-lcv 39042

This theorem is referenced by:  lsatexch1  39069