Theorem lsatexch 36194

Description: The atom exchange property. Proposition 1(i) of [Kalmbach] p. 140. A version of this theorem was originally proved by Hermann Grassmann in 1862. (atexch 30158 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatexch.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsatexch.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsatexch.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatexch.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatexch.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatexch.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lsatexch.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatexch.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
lsatexch.l	⊢ (𝜑 → 𝑄 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅))
lsatexch.z	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ 𝑄) = { 0 })

Assertion

Ref	Expression
lsatexch	⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑄))

Proof of Theorem lsatexch

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatexch.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 19878	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lsatexch.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
5	4	lsssssubg 19730	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
6	3, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
7		lsatexch.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
8	6, 7	sseldd 3968	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
9		lsatexch.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
10		lsatexch.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
11	4, 9, 3, 10	lsatlssel 36148	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
12	6, 11	sseldd 3968	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
13		lsatexch.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
14	13	lsmub2 18783	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑅 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅))
15	8, 12, 14	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅))
16		eqid 2821	. . 3 ⊢ ( ⋖L ‘𝑊) = ( ⋖L ‘𝑊)
17	4, 13	lsmcl 19855	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ 𝑆) → (𝑈 ⊕ 𝑅) ∈ 𝑆)
18	3, 7, 11, 17	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ 𝑅) ∈ 𝑆)
19		lsatexch.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
20	4, 9, 3, 19	lsatlssel 36148	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
21	4, 13	lsmcl 19855	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑄 ∈ 𝑆) → (𝑈 ⊕ 𝑄) ∈ 𝑆)
22	3, 7, 20, 21	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ 𝑄) ∈ 𝑆)
23		lsatexch.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ 𝑄) = { 0 })
24		lsatexch.o	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
25	4, 13, 24, 9, 16, 1, 7, 19	lcvp 36191	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∩ 𝑄) = { 0 } ↔ 𝑈( ⋖L ‘𝑊)(𝑈 ⊕ 𝑄)))
26	23, 25	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈( ⋖L ‘𝑊)(𝑈 ⊕ 𝑄))
27	4, 16, 1, 7, 22, 26	lcvpss 36175	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ 𝑄))
28	13	lsmub1 18782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑈 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅))
29	8, 12, 28	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅))
30		lsatexch.l	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅))
31	6, 20	sseldd 3968	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊))
32	6, 18	sseldd 3968	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ 𝑅) ∈ (SubGrp‘𝑊))
33	13	lsmlub 18790	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑈 ⊕ 𝑅) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑈 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅) ∧ 𝑄 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅)) ↔ (𝑈 ⊕ 𝑄) ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅)))
34	8, 31, 32, 33	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅) ∧ 𝑄 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅)) ↔ (𝑈 ⊕ 𝑄) ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅)))
35	29, 30, 34	mpbi2and 710	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ 𝑄) ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑅))
36	27, 35	psssstrd 4086	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ 𝑅))
37	4, 13, 9, 16, 1, 7, 10	lcv2 36193	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ 𝑅) ↔ 𝑈( ⋖L ‘𝑊)(𝑈 ⊕ 𝑅)))
38	36, 37	mpbid 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈( ⋖L ‘𝑊)(𝑈 ⊕ 𝑅))
39	4, 16, 1, 7, 18, 22, 38, 27, 35	lcvnbtwn2 36178	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ 𝑄) = (𝑈 ⊕ 𝑅))
40	15, 39	sseqtrrd 4008	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3935   ⊆ wss 3936   ⊊ wpss 3937  {csn 4567   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  0_gc0g 16713  SubGrpcsubg 18273  LSSumclsm 18759  LModclmod 19634  LSubSpclss 19703  LVecclvec 19874  LSAtomsclsa 36125   ⋖_L clcv 36169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-tpos 7892  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-0g 16715  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-subg 18276  df-cntz 18447  df-oppg 18474  df-lsm 18761  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-drng 19504  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-lsp 19744  df-lvec 19875  df-lsatoms 36127  df-lcv 36170

This theorem is referenced by:  lsatexch1  36197