Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatexch Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatexch 37534
Description: The atom exchange property. Proposition 1(i) of [Kalmbach] p. 140. A version of this theorem was originally proved by Hermann Grassmann in 1862. (atexch 31365 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatexch.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lsatexch.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lsatexch.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lsatexch.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lsatexch.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lsatexch.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lsatexch.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatexch.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
lsatexch.l (πœ‘ β†’ 𝑄 βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
lsatexch.z (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ 𝑄) = { 0 })
Assertion
Ref Expression
lsatexch (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑄))

Proof of Theorem lsatexch
StepHypRef Expression
1 lsatexch.w . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
2 lveclmod 20583 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
4 lsatexch.s . . . . . 6 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
54lsssssubg 20435 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
63, 5syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
7 lsatexch.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
86, 7sseldd 3950 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
9 lsatexch.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
10 lsatexch.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
114, 9, 3, 10lsatlssel 37488 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑆)
126, 11sseldd 3950 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
13 lsatexch.p . . . 4 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
1413lsmub2 19447 . . 3 ((π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑅 βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
158, 12, 14syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
16 eqid 2737 . . 3 ( β‹–L β€˜π‘Š) = ( β‹–L β€˜π‘Š)
174, 13lsmcl 20560 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ 𝑆) β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑅) ∈ 𝑆)
183, 7, 11, 17syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑅) ∈ 𝑆)
19 lsatexch.q . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
204, 9, 3, 19lsatlssel 37488 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑆)
214, 13lsmcl 20560 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑄 ∈ 𝑆) β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑄) ∈ 𝑆)
223, 7, 20, 21syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑄) ∈ 𝑆)
23 lsatexch.z . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ 𝑄) = { 0 })
24 lsatexch.o . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜π‘Š)
254, 13, 24, 9, 16, 1, 7, 19lcvp 37531 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ ∩ 𝑄) = { 0 } ↔ π‘ˆ( β‹–L β€˜π‘Š)(π‘ˆ βŠ• 𝑄)))
2623, 25mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ( β‹–L β€˜π‘Š)(π‘ˆ βŠ• 𝑄))
274, 16, 1, 7, 22, 26lcvpss 37515 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ⊊ (π‘ˆ βŠ• 𝑄))
2813lsmub1 19446 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ π‘ˆ βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
298, 12, 28syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
30 lsatexch.l . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑄 βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
316, 20sseldd 3950 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
326, 18sseldd 3950 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑅) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
3313lsmlub 19453 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ βŠ• 𝑅) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘ˆ βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅) ∧ 𝑄 βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅)) ↔ (π‘ˆ βŠ• 𝑄) βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅)))
348, 31, 32, 33syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅) ∧ 𝑄 βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅)) ↔ (π‘ˆ βŠ• 𝑄) βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅)))
3529, 30, 34mpbi2and 711 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑄) βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
3627, 35psssstrd 4074 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ⊊ (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
374, 13, 9, 16, 1, 7, 10lcv2 37533 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ⊊ (π‘ˆ βŠ• 𝑅) ↔ π‘ˆ( β‹–L β€˜π‘Š)(π‘ˆ βŠ• 𝑅)))
3836, 37mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ( β‹–L β€˜π‘Š)(π‘ˆ βŠ• 𝑅))
394, 16, 1, 7, 18, 22, 38, 27, 35lcvnbtwn2 37518 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑄) = (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
4015, 39sseqtrrd 3990 1 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915   ⊊ wpss 3916  {csn 4591   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  0gc0g 17328  SubGrpcsubg 18929  LSSumclsm 19423  LModclmod 20338  LSubSpclss 20408  LVecclvec 20579  LSAtomsclsa 37465   β‹–L clcv 37509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-0g 17330  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-subg 18932  df-cntz 19104  df-oppg 19131  df-lsm 19425  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-drng 20201  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-lvec 20580  df-lsatoms 37467  df-lcv 37510
This theorem is referenced by:  lsatexch1  37537
  Copyright terms: Public domain W3C validator