Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatexch Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatexch 39025
Description: The atom exchange property. Proposition 1(i) of [Kalmbach] p. 140. A version of this theorem was originally proved by Hermann Grassmann in 1862. (atexch 32410 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatexch.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsatexch.p = (LSSum‘𝑊)
lsatexch.o 0 = (0g𝑊)
lsatexch.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatexch.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsatexch.u (𝜑𝑈𝑆)
lsatexch.q (𝜑𝑄𝐴)
lsatexch.r (𝜑𝑅𝐴)
lsatexch.l (𝜑𝑄 ⊆ (𝑈 𝑅))
lsatexch.z (𝜑 → (𝑈𝑄) = { 0 })
Assertion
Ref Expression
lsatexch (𝜑𝑅 ⊆ (𝑈 𝑄))

Proof of Theorem lsatexch
StepHypRef Expression
1 lsatexch.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 lveclmod 21123 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lsatexch.s . . . . . 6 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
54lsssssubg 20974 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
63, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
7 lsatexch.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑆)
86, 7sseldd 3996 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
9 lsatexch.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
10 lsatexch.r . . . . 5 (𝜑𝑅𝐴)
114, 9, 3, 10lsatlssel 38979 . . . 4 (𝜑𝑅𝑆)
126, 11sseldd 3996 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
13 lsatexch.p . . . 4 = (LSSum‘𝑊)
1413lsmub2 19691 . . 3 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑅 ⊆ (𝑈 𝑅))
158, 12, 14syl2anc 584 . 2 (𝜑𝑅 ⊆ (𝑈 𝑅))
16 eqid 2735 . . 3 ( ⋖L𝑊) = ( ⋖L𝑊)
174, 13lsmcl 21100 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑅𝑆) → (𝑈 𝑅) ∈ 𝑆)
183, 7, 11, 17syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → (𝑈 𝑅) ∈ 𝑆)
19 lsatexch.q . . . . 5 (𝜑𝑄𝐴)
204, 9, 3, 19lsatlssel 38979 . . . 4 (𝜑𝑄𝑆)
214, 13lsmcl 21100 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑄𝑆) → (𝑈 𝑄) ∈ 𝑆)
223, 7, 20, 21syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → (𝑈 𝑄) ∈ 𝑆)
23 lsatexch.z . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈𝑄) = { 0 })
24 lsatexch.o . . . . . . . 8 0 = (0g𝑊)
254, 13, 24, 9, 16, 1, 7, 19lcvp 39022 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑈𝑄) = { 0 } ↔ 𝑈( ⋖L𝑊)(𝑈 𝑄)))
2623, 25mpbid 232 . . . . . 6 (𝜑𝑈( ⋖L𝑊)(𝑈 𝑄))
274, 16, 1, 7, 22, 26lcvpss 39006 . . . . 5 (𝜑𝑈 ⊊ (𝑈 𝑄))
2813lsmub1 19690 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑈 ⊆ (𝑈 𝑅))
298, 12, 28syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑈 𝑅))
30 lsatexch.l . . . . . 6 (𝜑𝑄 ⊆ (𝑈 𝑅))
316, 20sseldd 3996 . . . . . . 7 (𝜑𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊))
326, 18sseldd 3996 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈 𝑅) ∈ (SubGrp‘𝑊))
3313lsmlub 19697 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑈 𝑅) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑈 ⊆ (𝑈 𝑅) ∧ 𝑄 ⊆ (𝑈 𝑅)) ↔ (𝑈 𝑄) ⊆ (𝑈 𝑅)))
348, 31, 32, 33syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑈 ⊆ (𝑈 𝑅) ∧ 𝑄 ⊆ (𝑈 𝑅)) ↔ (𝑈 𝑄) ⊆ (𝑈 𝑅)))
3529, 30, 34mpbi2and 712 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 𝑄) ⊆ (𝑈 𝑅))
3627, 35psssstrd 4122 . . . 4 (𝜑𝑈 ⊊ (𝑈 𝑅))
374, 13, 9, 16, 1, 7, 10lcv2 39024 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 ⊊ (𝑈 𝑅) ↔ 𝑈( ⋖L𝑊)(𝑈 𝑅)))
3836, 37mpbid 232 . . 3 (𝜑𝑈( ⋖L𝑊)(𝑈 𝑅))
394, 16, 1, 7, 18, 22, 38, 27, 35lcvnbtwn2 39009 . 2 (𝜑 → (𝑈 𝑄) = (𝑈 𝑅))
4015, 39sseqtrrd 4037 1 (𝜑𝑅 ⊆ (𝑈 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  cin 3962  wss 3963  wpss 3964  {csn 4631   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  0gc0g 17486  SubGrpcsubg 19151  LSSumclsm 19667  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947  LVecclvec 21119  LSAtomsclsa 38956  L clcv 39000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17488  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-oppg 19377  df-lsm 19669  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lvec 21120  df-lsatoms 38958  df-lcv 39001
This theorem is referenced by:  lsatexch1  39028
  Copyright terms: Public domain W3C validator