Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatexch Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatexch 38555
Description: The atom exchange property. Proposition 1(i) of [Kalmbach] p. 140. A version of this theorem was originally proved by Hermann Grassmann in 1862. (atexch 32219 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatexch.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lsatexch.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lsatexch.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lsatexch.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lsatexch.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lsatexch.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lsatexch.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatexch.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
lsatexch.l (πœ‘ β†’ 𝑄 βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
lsatexch.z (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ 𝑄) = { 0 })
Assertion
Ref Expression
lsatexch (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑄))

Proof of Theorem lsatexch
StepHypRef Expression
1 lsatexch.w . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
2 lveclmod 21005 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
4 lsatexch.s . . . . . 6 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
54lsssssubg 20856 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
63, 5syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
7 lsatexch.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
86, 7sseldd 3983 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
9 lsatexch.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
10 lsatexch.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
114, 9, 3, 10lsatlssel 38509 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑆)
126, 11sseldd 3983 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
13 lsatexch.p . . . 4 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
1413lsmub2 19627 . . 3 ((π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑅 βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
158, 12, 14syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
16 eqid 2728 . . 3 ( β‹–L β€˜π‘Š) = ( β‹–L β€˜π‘Š)
174, 13lsmcl 20982 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ 𝑆) β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑅) ∈ 𝑆)
183, 7, 11, 17syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑅) ∈ 𝑆)
19 lsatexch.q . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
204, 9, 3, 19lsatlssel 38509 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑆)
214, 13lsmcl 20982 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑄 ∈ 𝑆) β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑄) ∈ 𝑆)
223, 7, 20, 21syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑄) ∈ 𝑆)
23 lsatexch.z . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ 𝑄) = { 0 })
24 lsatexch.o . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜π‘Š)
254, 13, 24, 9, 16, 1, 7, 19lcvp 38552 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ ∩ 𝑄) = { 0 } ↔ π‘ˆ( β‹–L β€˜π‘Š)(π‘ˆ βŠ• 𝑄)))
2623, 25mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ( β‹–L β€˜π‘Š)(π‘ˆ βŠ• 𝑄))
274, 16, 1, 7, 22, 26lcvpss 38536 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ⊊ (π‘ˆ βŠ• 𝑄))
2813lsmub1 19626 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ π‘ˆ βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
298, 12, 28syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
30 lsatexch.l . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑄 βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
316, 20sseldd 3983 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
326, 18sseldd 3983 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑅) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
3313lsmlub 19633 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ βŠ• 𝑅) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘ˆ βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅) ∧ 𝑄 βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅)) ↔ (π‘ˆ βŠ• 𝑄) βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅)))
348, 31, 32, 33syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅) ∧ 𝑄 βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅)) ↔ (π‘ˆ βŠ• 𝑄) βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅)))
3529, 30, 34mpbi2and 710 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑄) βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
3627, 35psssstrd 4109 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ⊊ (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
374, 13, 9, 16, 1, 7, 10lcv2 38554 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ⊊ (π‘ˆ βŠ• 𝑅) ↔ π‘ˆ( β‹–L β€˜π‘Š)(π‘ˆ βŠ• 𝑅)))
3836, 37mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ( β‹–L β€˜π‘Š)(π‘ˆ βŠ• 𝑅))
394, 16, 1, 7, 18, 22, 38, 27, 35lcvnbtwn2 38539 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑄) = (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
4015, 39sseqtrrd 4023 1 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949   ⊊ wpss 3950  {csn 4632   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  0gc0g 17430  SubGrpcsubg 19089  LSSumclsm 19603  LModclmod 20757  LSubSpclss 20829  LVecclvec 21001  LSAtomsclsa 38486   β‹–L clcv 38530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8240  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-0g 17432  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-submnd 18750  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-subg 19092  df-cntz 19282  df-oppg 19311  df-lsm 19605  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-oppr 20287  df-dvdsr 20310  df-unit 20311  df-invr 20341  df-drng 20640  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-lsp 20870  df-lvec 21002  df-lsatoms 38488  df-lcv 38531
This theorem is referenced by:  lsatexch1  38558
  Copyright terms: Public domain W3C validator