Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatexch Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatexch 38426
Description: The atom exchange property. Proposition 1(i) of [Kalmbach] p. 140. A version of this theorem was originally proved by Hermann Grassmann in 1862. (atexch 32143 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatexch.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lsatexch.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lsatexch.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lsatexch.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lsatexch.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lsatexch.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lsatexch.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatexch.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
lsatexch.l (πœ‘ β†’ 𝑄 βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
lsatexch.z (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ 𝑄) = { 0 })
Assertion
Ref Expression
lsatexch (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑄))

Proof of Theorem lsatexch
StepHypRef Expression
1 lsatexch.w . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
2 lveclmod 20954 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
4 lsatexch.s . . . . . 6 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
54lsssssubg 20805 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
63, 5syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
7 lsatexch.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
86, 7sseldd 3978 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
9 lsatexch.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
10 lsatexch.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
114, 9, 3, 10lsatlssel 38380 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑆)
126, 11sseldd 3978 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
13 lsatexch.p . . . 4 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
1413lsmub2 19578 . . 3 ((π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑅 βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
158, 12, 14syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
16 eqid 2726 . . 3 ( β‹–L β€˜π‘Š) = ( β‹–L β€˜π‘Š)
174, 13lsmcl 20931 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ 𝑆) β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑅) ∈ 𝑆)
183, 7, 11, 17syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑅) ∈ 𝑆)
19 lsatexch.q . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
204, 9, 3, 19lsatlssel 38380 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑆)
214, 13lsmcl 20931 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑄 ∈ 𝑆) β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑄) ∈ 𝑆)
223, 7, 20, 21syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑄) ∈ 𝑆)
23 lsatexch.z . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ 𝑄) = { 0 })
24 lsatexch.o . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜π‘Š)
254, 13, 24, 9, 16, 1, 7, 19lcvp 38423 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ ∩ 𝑄) = { 0 } ↔ π‘ˆ( β‹–L β€˜π‘Š)(π‘ˆ βŠ• 𝑄)))
2623, 25mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ( β‹–L β€˜π‘Š)(π‘ˆ βŠ• 𝑄))
274, 16, 1, 7, 22, 26lcvpss 38407 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ⊊ (π‘ˆ βŠ• 𝑄))
2813lsmub1 19577 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ π‘ˆ βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
298, 12, 28syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
30 lsatexch.l . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑄 βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
316, 20sseldd 3978 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
326, 18sseldd 3978 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑅) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
3313lsmlub 19584 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ βŠ• 𝑅) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘ˆ βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅) ∧ 𝑄 βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅)) ↔ (π‘ˆ βŠ• 𝑄) βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅)))
348, 31, 32, 33syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅) ∧ 𝑄 βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅)) ↔ (π‘ˆ βŠ• 𝑄) βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅)))
3529, 30, 34mpbi2and 709 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑄) βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
3627, 35psssstrd 4104 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ⊊ (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
374, 13, 9, 16, 1, 7, 10lcv2 38425 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ⊊ (π‘ˆ βŠ• 𝑅) ↔ π‘ˆ( β‹–L β€˜π‘Š)(π‘ˆ βŠ• 𝑅)))
3836, 37mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ( β‹–L β€˜π‘Š)(π‘ˆ βŠ• 𝑅))
394, 16, 1, 7, 18, 22, 38, 27, 35lcvnbtwn2 38410 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑄) = (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
4015, 39sseqtrrd 4018 1 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943   ⊊ wpss 3944  {csn 4623   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0gc0g 17394  SubGrpcsubg 19047  LSSumclsm 19554  LModclmod 20706  LSubSpclss 20778  LVecclvec 20950  LSAtomsclsa 38357   β‹–L clcv 38401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-0g 17396  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-cntz 19233  df-oppg 19262  df-lsm 19556  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lvec 20951  df-lsatoms 38359  df-lcv 38402
This theorem is referenced by:  lsatexch1  38429
  Copyright terms: Public domain W3C validator