MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islinds3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islinds3 21256
Description: A subset is linearly independent iff it is a basis of its span. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islinds3.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
islinds3.k 𝐾 = (LSpanβ€˜π‘Š)
islinds3.x 𝑋 = (π‘Š β†Ύs (πΎβ€˜π‘Œ))
islinds3.j 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘‹)
Assertion
Ref Expression
islinds3 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ π‘Œ ∈ 𝐽))

Proof of Theorem islinds3
StepHypRef Expression
1 islinds3.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
21linds1 21232 . . . 4 (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐡)
32a1i 11 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐡))
4 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹)
54linds1 21232 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) β†’ π‘Œ βŠ† (Baseβ€˜π‘‹))
6 islinds3.x . . . . . . 7 𝑋 = (π‘Š β†Ύs (πΎβ€˜π‘Œ))
76, 1ressbasss 17126 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘‹) βŠ† 𝐡
85, 7sstrdi 3957 . . . . 5 (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐡)
98adantr 482 . . . 4 ((π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘‹)) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐡)
109a1i 11 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ ((π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘‹)) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐡))
11 simpl 484 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ βŠ† 𝐡) β†’ π‘Š ∈ LMod)
12 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
13 islinds3.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (LSpanβ€˜π‘Š)
141, 12, 13lspcl 20452 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ βŠ† 𝐡) β†’ (πΎβ€˜π‘Œ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
151, 13lspssid 20461 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ βŠ† 𝐡) β†’ π‘Œ βŠ† (πΎβ€˜π‘Œ))
16 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (LSpanβ€˜π‘‹) = (LSpanβ€˜π‘‹)
176, 13, 16, 12lsslsp 20491 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (πΎβ€˜π‘Œ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ π‘Œ βŠ† (πΎβ€˜π‘Œ)) β†’ (πΎβ€˜π‘Œ) = ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘Œ))
1811, 14, 15, 17syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ βŠ† 𝐡) β†’ (πΎβ€˜π‘Œ) = ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘Œ))
191, 13lspssv 20459 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ βŠ† 𝐡) β†’ (πΎβ€˜π‘Œ) βŠ† 𝐡)
206, 1ressbas2 17125 . . . . . . . 8 ((πΎβ€˜π‘Œ) βŠ† 𝐡 β†’ (πΎβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘‹))
2119, 20syl 17 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ βŠ† 𝐡) β†’ (πΎβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘‹))
2218, 21eqtr3d 2775 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ βŠ† 𝐡) β†’ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘‹))
2322biantrud 533 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ βŠ† 𝐡) β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘‹))))
2412, 6lsslinds 21253 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (πΎβ€˜π‘Œ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ π‘Œ βŠ† (πΎβ€˜π‘Œ)) β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) ↔ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)))
2511, 14, 15, 24syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ βŠ† 𝐡) β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) ↔ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)))
2625bicomd 222 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ βŠ† 𝐡) β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹)))
2726anbi1d 631 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ βŠ† 𝐡) β†’ ((π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘‹)) ↔ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘‹))))
2823, 27bitrd 279 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ βŠ† 𝐡) β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘‹))))
2928ex 414 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘Œ βŠ† 𝐡 β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘‹)))))
303, 10, 29pm5.21ndd 381 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘‹))))
31 islinds3.j . . 3 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘‹)
324, 31, 16islbs4 21254 . 2 (π‘Œ ∈ 𝐽 ↔ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘‹)))
3330, 32bitr4di 289 1 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ π‘Œ ∈ 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3911  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088   β†Ύs cress 17117  LModclmod 20336  LSubSpclss 20407  LSpanclspn 20447  LBasisclbs 20550  LIndSclinds 21227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-subg 18930  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-lsp 20448  df-lbs 20551  df-lindf 21228  df-linds 21229
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator