MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islinds3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem islinds3 21729
Description: A subset is linearly independent iff it is a basis of its span. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islinds3.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
islinds3.k 𝐾 = (LSpanβ€˜π‘Š)
islinds3.x 𝑋 = (π‘Š β†Ύs (πΎβ€˜π‘Œ))
islinds3.j 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘‹)
Assertion
Ref Expression
islinds3 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ π‘Œ ∈ 𝐽))
Proof of Theorem islinds3
StepHypRef Expression
1 islinds3.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
21linds1 21705 . . . 4 (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐡)
32a1i 11 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐡))
4 eqid 2726 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹)
54linds1 21705 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) β†’ π‘Œ βŠ† (Baseβ€˜π‘‹))
6 islinds3.x . . . . . . 7 𝑋 = (π‘Š β†Ύs (πΎβ€˜π‘Œ))
76, 1ressbasss 17192 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘‹) βŠ† 𝐡
85, 7sstrdi 3989 . . . . 5 (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐡)
98adantr 480 . . . 4 ((π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘‹)) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐡)
109a1i 11 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ ((π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘‹)) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐡))
11 simpl 482 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ βŠ† 𝐡) β†’ π‘Š ∈ LMod)
12 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
13 islinds3.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (LSpanβ€˜π‘Š)
141, 12, 13lspcl 20823 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ βŠ† 𝐡) β†’ (πΎβ€˜π‘Œ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
151, 13lspssid 20832 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ βŠ† 𝐡) β†’ π‘Œ βŠ† (πΎβ€˜π‘Œ))
16 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (LSpanβ€˜π‘‹) = (LSpanβ€˜π‘‹)
176, 13, 16, 12lsslsp 20862 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (πΎβ€˜π‘Œ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ π‘Œ βŠ† (πΎβ€˜π‘Œ)) β†’ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘Œ) = (πΎβ€˜π‘Œ))
1811, 14, 15, 17syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ βŠ† 𝐡) β†’ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘Œ) = (πΎβ€˜π‘Œ))
191, 13lspssv 20830 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ βŠ† 𝐡) β†’ (πΎβ€˜π‘Œ) βŠ† 𝐡)
206, 1ressbas2 17191 . . . . . . . 8 ((πΎβ€˜π‘Œ) βŠ† 𝐡 β†’ (πΎβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘‹))
2119, 20syl 17 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ βŠ† 𝐡) β†’ (πΎβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘‹))
2218, 21eqtrd 2766 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ βŠ† 𝐡) β†’ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘‹))
2322biantrud 531 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ βŠ† 𝐡) β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘‹))))
2412, 6lsslinds 21726 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (πΎβ€˜π‘Œ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ π‘Œ βŠ† (πΎβ€˜π‘Œ)) β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) ↔ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)))
2511, 14, 15, 24syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ βŠ† 𝐡) β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) ↔ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)))
2625bicomd 222 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ βŠ† 𝐡) β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹)))
2726anbi1d 629 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ βŠ† 𝐡) β†’ ((π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘‹)) ↔ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘‹))))
2823, 27bitrd 279 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ βŠ† 𝐡) β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘‹))))
2928ex 412 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘Œ βŠ† 𝐡 β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘‹)))))
303, 10, 29pm5.21ndd 379 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘‹))))
31 islinds3.j . . 3 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘‹)
324, 31, 16islbs4 21727 . 2 (π‘Œ ∈ 𝐽 ↔ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘‹)))
3330, 32bitr4di 289 1 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ π‘Œ ∈ 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3943  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153   β†Ύs cress 17182  LModclmod 20706  LSubSpclss 20778  LSpanclspn 20818  LBasisclbs 20922  LIndSclinds 21700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-mgp 20040  df-ur 20087  df-ring 20140  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lbs 20923  df-lindf 21701  df-linds 21702
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator