Theorem islinds3 21953

Description: A subset is linearly independent iff it is a basis of its span. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islinds3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
islinds3.k	⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
islinds3.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s (𝐾‘𝑌))
islinds3.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑋)

Assertion

Ref	Expression
islinds3	⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ 𝑌 ∈ 𝐽))

Proof of Theorem islinds3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islinds3.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2	1	linds1 21929	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑌 ⊆ 𝐵)
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑌 ⊆ 𝐵))
4		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
5	4	linds1 21929	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) → 𝑌 ⊆ (Base‘𝑋))
6		islinds3.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s (𝐾‘𝑌))
7	6, 1	ressbasss 17299	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑋) ⊆ 𝐵
8	5, 7	sstrdi 3957	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) → 𝑌 ⊆ 𝐵)
9	8	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋)) → 𝑌 ⊆ 𝐵)
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋)) → 𝑌 ⊆ 𝐵))
11		simpl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ⊆ 𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
12		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
13		islinds3.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
14	1, 12, 13	lspcl 21075	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ⊆ 𝐵) → (𝐾‘𝑌) ∈ (LSubSp‘𝑊))
15	1, 13	lspssid 21084	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ⊆ 𝐵) → 𝑌 ⊆ (𝐾‘𝑌))
16		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSpan‘𝑋) = (LSpan‘𝑋)
17	6, 13, 16, 12	lsslsp 21114	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾‘𝑌) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑌 ⊆ (𝐾‘𝑌)) → ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (𝐾‘𝑌))
18	11, 14, 15, 17	syl3anc 1396	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ⊆ 𝐵) → ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (𝐾‘𝑌))
19	1, 13	lspssv 21082	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ⊆ 𝐵) → (𝐾‘𝑌) ⊆ 𝐵)
20	6, 1	ressbas2 17298	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾‘𝑌) ⊆ 𝐵 → (𝐾‘𝑌) = (Base‘𝑋))
21	19, 20	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ⊆ 𝐵) → (𝐾‘𝑌) = (Base‘𝑋))
22	18, 21	eqtrd 2804	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ⊆ 𝐵) → ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋))
23	22	biantrud 540	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ⊆ 𝐵) → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋))))
24	12, 6	lsslinds 21950	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾‘𝑌) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑌 ⊆ (𝐾‘𝑌)) → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ↔ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)))
25	11, 14, 15, 24	syl3anc 1396	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ⊆ 𝐵) → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ↔ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)))
26	25	bicomd 226	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ⊆ 𝐵) → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋)))
27	26	anbi1d 642	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ⊆ 𝐵) → ((𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋)) ↔ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋))))
28	23, 27	bitrd 282	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ⊆ 𝐵) → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋))))
29	28	ex 417	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑌 ⊆ 𝐵 → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋)))))
30	3, 10, 29	pm5.21ndd 382	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋))))
31		islinds3.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑋)
32	4, 31, 16	islbs4 21951	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐽 ↔ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋)))
33	30, 32	bitr4di 292	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ 𝑌 ∈ 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17269   ↾_s cress 17290  LModclmod 20959  LSubSpclss 21030  LSpanclspn 21070  LBasisclbs 21173  LIndSclinds 21924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-0g 17494  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-subg 19189  df-mgp 20217  df-ur 20264  df-ring 20317  df-lmod 20961  df-lss 21031  df-lsp 21071  df-lbs 21174  df-lindf 21925  df-linds 21926

This theorem is referenced by: (None)