Theorem islinds3 21741

Description: A subset is linearly independent iff it is a basis of its span. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islinds3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
islinds3.k	⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
islinds3.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s (𝐾‘𝑌))
islinds3.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑋)

Assertion

Ref	Expression
islinds3	⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ 𝑌 ∈ 𝐽))

Proof of Theorem islinds3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islinds3.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2	1	linds1 21717	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑌 ⊆ 𝐵)
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑌 ⊆ 𝐵))
4		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
5	4	linds1 21717	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) → 𝑌 ⊆ (Base‘𝑋))
6		islinds3.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s (𝐾‘𝑌))
7	6, 1	ressbasss 17150	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑋) ⊆ 𝐵
8	5, 7	sstrdi 3948	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) → 𝑌 ⊆ 𝐵)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋)) → 𝑌 ⊆ 𝐵)
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋)) → 𝑌 ⊆ 𝐵))
11		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ⊆ 𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
12		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
13		islinds3.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
14	1, 12, 13	lspcl 20879	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ⊆ 𝐵) → (𝐾‘𝑌) ∈ (LSubSp‘𝑊))
15	1, 13	lspssid 20888	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ⊆ 𝐵) → 𝑌 ⊆ (𝐾‘𝑌))
16		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSpan‘𝑋) = (LSpan‘𝑋)
17	6, 13, 16, 12	lsslsp 20918	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾‘𝑌) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑌 ⊆ (𝐾‘𝑌)) → ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (𝐾‘𝑌))
18	11, 14, 15, 17	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ⊆ 𝐵) → ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (𝐾‘𝑌))
19	1, 13	lspssv 20886	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ⊆ 𝐵) → (𝐾‘𝑌) ⊆ 𝐵)
20	6, 1	ressbas2 17149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾‘𝑌) ⊆ 𝐵 → (𝐾‘𝑌) = (Base‘𝑋))
21	19, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ⊆ 𝐵) → (𝐾‘𝑌) = (Base‘𝑋))
22	18, 21	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ⊆ 𝐵) → ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋))
23	22	biantrud 531	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ⊆ 𝐵) → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋))))
24	12, 6	lsslinds 21738	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾‘𝑌) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑌 ⊆ (𝐾‘𝑌)) → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ↔ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)))
25	11, 14, 15, 24	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ⊆ 𝐵) → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ↔ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)))
26	25	bicomd 223	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ⊆ 𝐵) → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋)))
27	26	anbi1d 631	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ⊆ 𝐵) → ((𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋)) ↔ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋))))
28	23, 27	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ⊆ 𝐵) → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋))))
29	28	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑌 ⊆ 𝐵 → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋)))))
30	3, 10, 29	pm5.21ndd 379	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋))))
31		islinds3.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑋)
32	4, 31, 16	islbs4 21739	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐽 ↔ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋)))
33	30, 32	bitr4di 289	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ 𝑌 ∈ 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3903  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  LModclmod 20763  LSubSpclss 20834  LSpanclspn 20874  LBasisclbs 20978  LIndSclinds 21712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-0g 17345  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-subg 19002  df-mgp 20026  df-ur 20067  df-ring 20120  df-lmod 20765  df-lss 20835  df-lsp 20875  df-lbs 20979  df-lindf 21713  df-linds 21714

This theorem is referenced by: (None)