Theorem islinds3 22173

Description: A subset is linearly independent iff it is a basis of its span. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islinds3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
islinds3.k	⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
islinds3.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s (𝐾‘𝑌))
islinds3.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑋)

Assertion

Ref	Expression
islinds3	⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ 𝑌 ∈ 𝐽))

Proof of Theorem islinds3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islinds3.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2	1	linds1 22149	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑌 ⊆ 𝐵)
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑌 ⊆ 𝐵))
4		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
5	4	linds1 22149	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) → 𝑌 ⊆ (Base‘𝑋))
6		islinds3.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s (𝐾‘𝑌))
7	6, 1	ressbasss 17449	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑋) ⊆ 𝐵
8	5, 7	sstrdi 3925	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) → 𝑌 ⊆ 𝐵)
9	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋)) → 𝑌 ⊆ 𝐵)
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋)) → 𝑌 ⊆ 𝐵))
11		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ⊆ 𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
12		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
13		islinds3.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
14	1, 12, 13	lspcl 21284	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ⊆ 𝐵) → (𝐾‘𝑌) ∈ (LSubSp‘𝑊))
15	1, 13	lspssid 21293	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ⊆ 𝐵) → 𝑌 ⊆ (𝐾‘𝑌))
16		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSpan‘𝑋) = (LSpan‘𝑋)
17	6, 13, 16, 12	lsslsp 21323	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾‘𝑌) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑌 ⊆ (𝐾‘𝑌)) → ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (𝐾‘𝑌))
18	11, 14, 15, 17	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ⊆ 𝐵) → ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (𝐾‘𝑌))
19	1, 13	lspssv 21291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ⊆ 𝐵) → (𝐾‘𝑌) ⊆ 𝐵)
20	6, 1	ressbas2 17448	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾‘𝑌) ⊆ 𝐵 → (𝐾‘𝑌) = (Base‘𝑋))
21	19, 20	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ⊆ 𝐵) → (𝐾‘𝑌) = (Base‘𝑋))
22	18, 21	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ⊆ 𝐵) → ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋))
23	22	biantrud 541	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ⊆ 𝐵) → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋))))
24	12, 6	lsslinds 22170	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾‘𝑌) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑌 ⊆ (𝐾‘𝑌)) → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ↔ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)))
25	11, 14, 15, 24	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ⊆ 𝐵) → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ↔ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)))
26	25	bicomd 226	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ⊆ 𝐵) → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋)))
27	26	anbi1d 643	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ⊆ 𝐵) → ((𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋)) ↔ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋))))
28	23, 27	bitrd 282	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ⊆ 𝐵) → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋))))
29	28	ex 418	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑌 ⊆ 𝐵 → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋)))))
30	3, 10, 29	pm5.21ndd 382	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋))))
31		islinds3.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑋)
32	4, 31, 16	islbs4 22171	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐽 ↔ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋)))
33	30, 32	bitr4di 292	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ 𝑌 ∈ 𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  Basecbs 17419   ↾_s cress 17440  LModclmod 21168  LSubSpclss 21239  LSpanclspn 21279  LBasisclbs 21382  LIndSclinds 22144

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-0g 17644  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-grp 19179  df-minusg 19180  df-sbg 19181  df-subg 19365  df-mgp 20394  df-ur 20441  df-ring 20494  df-lmod 21170  df-lss 21240  df-lsp 21280  df-lbs 21383  df-lindf 22145  df-linds 22146

This theorem is used by: (None)