MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islinds3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem islinds3 21770
Description: A subset is linearly independent iff it is a basis of its span. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islinds3.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
islinds3.k 𝐾 = (LSpanβ€˜π‘Š)
islinds3.x 𝑋 = (π‘Š β†Ύs (πΎβ€˜π‘Œ))
islinds3.j 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘‹)
Assertion
Ref Expression
islinds3 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ π‘Œ ∈ 𝐽))
Proof of Theorem islinds3
StepHypRef Expression
1 islinds3.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
21linds1 21746 . . . 4 (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐡)
32a1i 11 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐡))
4 eqid 2725 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹)
54linds1 21746 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) β†’ π‘Œ βŠ† (Baseβ€˜π‘‹))
6 islinds3.x . . . . . . 7 𝑋 = (π‘Š β†Ύs (πΎβ€˜π‘Œ))
76, 1ressbasss 17216 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘‹) βŠ† 𝐡
85, 7sstrdi 3984 . . . . 5 (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐡)
98adantr 479 . . . 4 ((π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘‹)) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐡)
109a1i 11 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ ((π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘‹)) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐡))
11 simpl 481 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ βŠ† 𝐡) β†’ π‘Š ∈ LMod)
12 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
13 islinds3.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (LSpanβ€˜π‘Š)
141, 12, 13lspcl 20862 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ βŠ† 𝐡) β†’ (πΎβ€˜π‘Œ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
151, 13lspssid 20871 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ βŠ† 𝐡) β†’ π‘Œ βŠ† (πΎβ€˜π‘Œ))
16 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (LSpanβ€˜π‘‹) = (LSpanβ€˜π‘‹)
176, 13, 16, 12lsslsp 20901 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (πΎβ€˜π‘Œ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ π‘Œ βŠ† (πΎβ€˜π‘Œ)) β†’ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘Œ) = (πΎβ€˜π‘Œ))
1811, 14, 15, 17syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ βŠ† 𝐡) β†’ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘Œ) = (πΎβ€˜π‘Œ))
191, 13lspssv 20869 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ βŠ† 𝐡) β†’ (πΎβ€˜π‘Œ) βŠ† 𝐡)
206, 1ressbas2 17215 . . . . . . . 8 ((πΎβ€˜π‘Œ) βŠ† 𝐡 β†’ (πΎβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘‹))
2119, 20syl 17 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ βŠ† 𝐡) β†’ (πΎβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘‹))
2218, 21eqtrd 2765 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ βŠ† 𝐡) β†’ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘‹))
2322biantrud 530 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ βŠ† 𝐡) β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘‹))))
2412, 6lsslinds 21767 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (πΎβ€˜π‘Œ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ π‘Œ βŠ† (πΎβ€˜π‘Œ)) β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) ↔ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)))
2511, 14, 15, 24syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ βŠ† 𝐡) β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) ↔ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)))
2625bicomd 222 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ βŠ† 𝐡) β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹)))
2726anbi1d 629 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ βŠ† 𝐡) β†’ ((π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘‹)) ↔ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘‹))))
2823, 27bitrd 278 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ βŠ† 𝐡) β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘‹))))
2928ex 411 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘Œ βŠ† 𝐡 β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘‹)))))
303, 10, 29pm5.21ndd 378 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘‹))))
31 islinds3.j . . 3 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘‹)
324, 31, 16islbs4 21768 . 2 (π‘Œ ∈ 𝐽 ↔ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘‹)))
3330, 32bitr4di 288 1 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ π‘Œ ∈ 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3939  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7414  Basecbs 17177   β†Ύs cress 17206  LModclmod 20745  LSubSpclss 20817  LSpanclspn 20857  LBasisclbs 20961  LIndSclinds 21741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4943  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-subg 19080  df-mgp 20077  df-ur 20124  df-ring 20177  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-lsp 20858  df-lbs 20962  df-lindf 21742  df-linds 21743
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator