MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islinds3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islinds3 21871
Description: A subset is linearly independent iff it is a basis of its span. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islinds3.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
islinds3.k 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
islinds3.x 𝑋 = (𝑊s (𝐾𝑌))
islinds3.j 𝐽 = (LBasis‘𝑋)
Assertion
Ref Expression
islinds3 (𝑊 ∈ LMod → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ 𝑌𝐽))

Proof of Theorem islinds3
StepHypRef Expression
1 islinds3.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑊)
21linds1 21847 . . . 4 (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑌𝐵)
32a1i 11 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑌𝐵))
4 eqid 2734 . . . . . . 7 (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
54linds1 21847 . . . . . 6 (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) → 𝑌 ⊆ (Base‘𝑋))
6 islinds3.x . . . . . . 7 𝑋 = (𝑊s (𝐾𝑌))
76, 1ressbasss 17283 . . . . . 6 (Base‘𝑋) ⊆ 𝐵
85, 7sstrdi 4007 . . . . 5 (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) → 𝑌𝐵)
98adantr 480 . . . 4 ((𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋)) → 𝑌𝐵)
109a1i 11 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → ((𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋)) → 𝑌𝐵))
11 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
12 eqid 2734 . . . . . . . . 9 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
13 islinds3.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
141, 12, 13lspcl 20991 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵) → (𝐾𝑌) ∈ (LSubSp‘𝑊))
151, 13lspssid 21000 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵) → 𝑌 ⊆ (𝐾𝑌))
16 eqid 2734 . . . . . . . . 9 (LSpan‘𝑋) = (LSpan‘𝑋)
176, 13, 16, 12lsslsp 21030 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾𝑌) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑌 ⊆ (𝐾𝑌)) → ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (𝐾𝑌))
1811, 14, 15, 17syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵) → ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (𝐾𝑌))
191, 13lspssv 20998 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵) → (𝐾𝑌) ⊆ 𝐵)
206, 1ressbas2 17282 . . . . . . . 8 ((𝐾𝑌) ⊆ 𝐵 → (𝐾𝑌) = (Base‘𝑋))
2119, 20syl 17 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵) → (𝐾𝑌) = (Base‘𝑋))
2218, 21eqtrd 2774 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵) → ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋))
2322biantrud 531 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵) → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋))))
2412, 6lsslinds 21868 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾𝑌) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑌 ⊆ (𝐾𝑌)) → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ↔ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)))
2511, 14, 15, 24syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵) → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ↔ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)))
2625bicomd 223 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵) → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋)))
2726anbi1d 631 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵) → ((𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋)) ↔ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋))))
2823, 27bitrd 279 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵) → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋))))
2928ex 412 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → (𝑌𝐵 → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋)))))
303, 10, 29pm5.21ndd 379 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋))))
31 islinds3.j . . 3 𝐽 = (LBasis‘𝑋)
324, 31, 16islbs4 21869 . 2 (𝑌𝐽 ↔ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋)))
3330, 32bitr4di 289 1 (𝑊 ∈ LMod → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ 𝑌𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wss 3962  cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  s cress 17273  LModclmod 20874  LSubSpclss 20946  LSpanclspn 20986  LBasisclbs 21090  LIndSclinds 21842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-subg 19153  df-mgp 20152  df-ur 20199  df-ring 20252  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-lsp 20987  df-lbs 21091  df-lindf 21843  df-linds 21844
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator