MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islinds3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem islinds3 21380
Description: A subset is linearly independent iff it is a basis of its span. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islinds3.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
islinds3.k 𝐾 = (LSpanβ€˜π‘Š)
islinds3.x 𝑋 = (π‘Š β†Ύs (πΎβ€˜π‘Œ))
islinds3.j 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘‹)
Assertion
Ref Expression
islinds3 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ π‘Œ ∈ 𝐽))
Proof of Theorem islinds3
StepHypRef Expression
1 islinds3.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
21linds1 21356 . . . 4 (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐡)
32a1i 11 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐡))
4 eqid 2732 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹)
54linds1 21356 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) β†’ π‘Œ βŠ† (Baseβ€˜π‘‹))
6 islinds3.x . . . . . . 7 𝑋 = (π‘Š β†Ύs (πΎβ€˜π‘Œ))
76, 1ressbasss 17179 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘‹) βŠ† 𝐡
85, 7sstrdi 3993 . . . . 5 (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐡)
98adantr 481 . . . 4 ((π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘‹)) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐡)
109a1i 11 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ ((π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘‹)) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐡))
11 simpl 483 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ βŠ† 𝐡) β†’ π‘Š ∈ LMod)
12 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
13 islinds3.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (LSpanβ€˜π‘Š)
141, 12, 13lspcl 20579 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ βŠ† 𝐡) β†’ (πΎβ€˜π‘Œ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
151, 13lspssid 20588 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ βŠ† 𝐡) β†’ π‘Œ βŠ† (πΎβ€˜π‘Œ))
16 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (LSpanβ€˜π‘‹) = (LSpanβ€˜π‘‹)
176, 13, 16, 12lsslsp 20618 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (πΎβ€˜π‘Œ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ π‘Œ βŠ† (πΎβ€˜π‘Œ)) β†’ (πΎβ€˜π‘Œ) = ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘Œ))
1811, 14, 15, 17syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ βŠ† 𝐡) β†’ (πΎβ€˜π‘Œ) = ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘Œ))
191, 13lspssv 20586 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ βŠ† 𝐡) β†’ (πΎβ€˜π‘Œ) βŠ† 𝐡)
206, 1ressbas2 17178 . . . . . . . 8 ((πΎβ€˜π‘Œ) βŠ† 𝐡 β†’ (πΎβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘‹))
2119, 20syl 17 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ βŠ† 𝐡) β†’ (πΎβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘‹))
2218, 21eqtr3d 2774 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ βŠ† 𝐡) β†’ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘‹))
2322biantrud 532 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ βŠ† 𝐡) β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘‹))))
2412, 6lsslinds 21377 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (πΎβ€˜π‘Œ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ π‘Œ βŠ† (πΎβ€˜π‘Œ)) β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) ↔ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)))
2511, 14, 15, 24syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ βŠ† 𝐡) β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) ↔ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)))
2625bicomd 222 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ βŠ† 𝐡) β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹)))
2726anbi1d 630 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ βŠ† 𝐡) β†’ ((π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘‹)) ↔ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘‹))))
2823, 27bitrd 278 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ βŠ† 𝐡) β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘‹))))
2928ex 413 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘Œ βŠ† 𝐡 β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘‹)))))
303, 10, 29pm5.21ndd 380 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘‹))))
31 islinds3.j . . 3 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘‹)
324, 31, 16islbs4 21378 . 2 (π‘Œ ∈ 𝐽 ↔ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘‹)))
3330, 32bitr4di 288 1 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ π‘Œ ∈ 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3947  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140   β†Ύs cress 17169  LModclmod 20463  LSubSpclss 20534  LSpanclspn 20574  LBasisclbs 20677  LIndSclinds 21351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lbs 20678  df-lindf 21352  df-linds 21353
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator