Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lindsun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lindsun 33652
Description: Condition for the union of two independent sets to be an independent set. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lindsun.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lindsun.0 0 = (0g𝑊)
lindsun.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lindsun.u (𝜑𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊))
lindsun.v (𝜑𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊))
lindsun.2 (𝜑 → ((𝑁𝑈) ∩ (𝑁𝑉)) = { 0 })
Assertion
Ref Expression
lindsun (𝜑 → (𝑈𝑉) ∈ (LIndS‘𝑊))

Proof of Theorem lindsun
Dummy variables 𝑐 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lindsun.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 lveclmod 21122 . . 3 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . 2 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lindsun.u . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊))
5 eqid 2734 . . . . 5 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
65linds1 21847 . . . 4 (𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
74, 6syl 17 . . 3 (𝜑𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
8 lindsun.v . . . 4 (𝜑𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊))
95linds1 21847 . . . 4 (𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊))
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑𝑉 ⊆ (Base‘𝑊))
117, 10unssd 4201 . 2 (𝜑 → (𝑈𝑉) ⊆ (Base‘𝑊))
12 lindsun.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
13 lindsun.0 . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑊)
141ad3antrrr 730 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
154ad3antrrr 730 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑈) → 𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊))
168ad3antrrr 730 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑈) → 𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊))
17 lindsun.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁𝑈) ∩ (𝑁𝑉)) = { 0 })
1817ad3antrrr 730 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑈) → ((𝑁𝑈) ∩ (𝑁𝑉)) = { 0 })
19 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
20 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
21 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑈) → 𝑐𝑈)
22 simpllr 776 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑈) → 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
23 simplr 769 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑈) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐})))
2412, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 23lindsunlem 33651 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑈) → ⊥)
2524adantlr 715 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑈𝑉)) ∧ 𝑐𝑈) → ⊥)
261ad3antrrr 730 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
278ad3antrrr 730 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑉) → 𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊))
284ad3antrrr 730 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑉) → 𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊))
29 incom 4216 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁𝑈) ∩ (𝑁𝑉)) = ((𝑁𝑉) ∩ (𝑁𝑈))
3029, 17eqtr3id 2788 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁𝑉) ∩ (𝑁𝑈)) = { 0 })
3130ad3antrrr 730 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑉) → ((𝑁𝑉) ∩ (𝑁𝑈)) = { 0 })
32 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑉) → 𝑐𝑉)
33 simpllr 776 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑉) → 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
34 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑉) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐})))
35 uncom 4167 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈𝑉) = (𝑉𝑈)
3635difeq1i 4131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}) = ((𝑉𝑈) ∖ {𝑐})
3736fveq2i 6909 . . . . . . . . . . 11 (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐})) = (𝑁‘((𝑉𝑈) ∖ {𝑐}))
3834, 37eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑉) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑉𝑈) ∖ {𝑐})))
3912, 13, 26, 27, 28, 31, 19, 20, 32, 33, 38lindsunlem 33651 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑉) → ⊥)
4039adantlr 715 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑈𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → ⊥)
41 elun 4162 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ (𝑈𝑉) ↔ (𝑐𝑈𝑐𝑉))
4241biimpi 216 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ (𝑈𝑉) → (𝑐𝑈𝑐𝑉))
4342adantl 481 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑈𝑉)) → (𝑐𝑈𝑐𝑉))
4425, 40, 43mpjaodan 960 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑈𝑉)) → ⊥)
4544an32s 652 . . . . . 6 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ 𝑐 ∈ (𝑈𝑉)) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) → ⊥)
4645inegd 1556 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ 𝑐 ∈ (𝑈𝑉)) → ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐})))
4746an32s 652 . . . 4 (((𝜑𝑐 ∈ (𝑈𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐})))
4847anasss 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (𝑈𝑉) ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐})))
4948ralrimivva 3199 . 2 (𝜑 → ∀𝑐 ∈ (𝑈𝑉)∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐})))
50 eqid 2734 . . . 4 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
51 eqid 2734 . . . 4 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
525, 50, 12, 51, 20, 19islinds2 21850 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → ((𝑈𝑉) ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ((𝑈𝑉) ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑐 ∈ (𝑈𝑉)∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐})))))
5352biimpar 477 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑈𝑉) ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑐 ∈ (𝑈𝑉)∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐})))) → (𝑈𝑉) ∈ (LIndS‘𝑊))
543, 11, 49, 53syl12anc 837 1 (𝜑 → (𝑈𝑉) ∈ (LIndS‘𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wfal 1548  wcel 2105  wral 3058  cdif 3959  cun 3960  cin 3961  wss 3962  {csn 4630  cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  0gc0g 17485  LModclmod 20874  LSpanclspn 20986  LVecclvec 21118  LIndSclinds 21842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-subg 19153  df-cntz 19347  df-lsm 19668  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-drng 20747  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-lsp 20987  df-lvec 21119  df-lindf 21843  df-linds 21844
This theorem is referenced by:  ccfldextdgrr  33696
  Copyright terms: Public domain W3C validator