Theorem lindsun 34135

Description: Condition for the union of two independent sets to be an independent set. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lindsun.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lindsun.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lindsun.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lindsun.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊))
lindsun.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊))
lindsun.2	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑈) ∩ (𝑁‘𝑉)) = { 0 })

Assertion

Ref	Expression
lindsun	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∪ 𝑉) ∈ (LIndS‘𝑊))

Proof of Theorem lindsun

Dummy variables 𝑐 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lindsun.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21290	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lindsun.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊))
5		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6	5	linds1 22023	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
7	4, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
8		lindsun.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊))
9	5	linds1 22023	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊))
10	8, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊))
11	7, 10	unssd 4138	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∪ 𝑉) ⊆ (Base‘𝑊))
12		lindsun.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
13		lindsun.0	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
14	1	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
15	4	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊))
16	8	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) → 𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊))
17		lindsun.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑈) ∩ (𝑁‘𝑉)) = { 0 })
18	17	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) → ((𝑁‘𝑈) ∩ (𝑁‘𝑉)) = { 0 })
19		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
20		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
21		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) → 𝑐 ∈ 𝑈)
22		simpllr 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) → 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
23		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐})))
24	12, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 23	lindsunlem 34134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) → ⊥)
25	24	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) → ⊥)
26	1	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
27	8	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → 𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊))
28	4	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊))
29		incom 4155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁‘𝑈) ∩ (𝑁‘𝑉)) = ((𝑁‘𝑉) ∩ (𝑁‘𝑈))
30	29, 17	eqtr3id 2809	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑉) ∩ (𝑁‘𝑈)) = { 0 })
31	30	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝑉) ∩ (𝑁‘𝑈)) = { 0 })
32		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → 𝑐 ∈ 𝑉)
33		simpllr 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
34		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐})))
35		uncom 4105	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∪ 𝑉) = (𝑉 ∪ 𝑈)
36	35	difeq1i 4070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}) = ((𝑉 ∪ 𝑈) ∖ {𝑐})
37	36	fveq2i 6881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐})) = (𝑁‘((𝑉 ∪ 𝑈) ∖ {𝑐}))
38	34, 37	eleqtrdi 2870	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑉 ∪ 𝑈) ∖ {𝑐})))
39	12, 13, 26, 27, 28, 31, 19, 20, 32, 33, 38	lindsunlem 34134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ⊥)
40	39	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ⊥)
41		elun 4100	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉) ↔ (𝑐 ∈ 𝑈 ∨ 𝑐 ∈ 𝑉))
42	41	bilani 510	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉)) → (𝑐 ∈ 𝑈 ∨ 𝑐 ∈ 𝑉))
43	25, 40, 42	mpjaodan 973	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉)) → ⊥)
44	43	an32s 665	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ 𝑐 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉)) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) → ⊥)
45	44	inegd 1590	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ 𝑐 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉)) → ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐})))
46	45	an32s 665	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐})))
47	46	anasss 472	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉) ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐})))
48	47	ralrimivva 3205	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉)∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐})))
49		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
50		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
51	5, 49, 12, 50, 20, 19	islinds2 22026	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((𝑈 ∪ 𝑉) ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ((𝑈 ∪ 𝑉) ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑐 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉)∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐})))))
52	51	biimpar 483	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑈 ∪ 𝑉) ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑐 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉)∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐})))) → (𝑈 ∪ 𝑉) ∈ (LIndS‘𝑊))
53	3, 11, 48, 52	syl12anc 850	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∪ 𝑉) ∈ (LIndS‘𝑊))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570  ⊥wfal 1582   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Basecbs 17301  Scalarcsca 17345   ·_𝑠 cvsca 17346  0_gc0g 17524  LModclmod 21044  LSpanclspn 21155  LVecclvec 21286  LIndSclinds 22018

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-0g 17526  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18892  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-sbg 19062  df-subg 19246  df-cntz 19444  df-lsm 19763  df-cmn 19909  df-abl 19910  df-mgp 20274  df-rng 20288  df-ur 20321  df-ring 20374  df-oppr 20478  df-dvdsr 20498  df-unit 20499  df-drng 20892  df-lmod 21046  df-lss 21116  df-lsp 21156  df-lvec 21287  df-lindf 22019  df-linds 22020

This theorem is used by:  ccfldextdgrr  34182