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Theorem lindsun 32705
Description: Condition for the union of two independent sets to be an independent set. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lindsun.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lindsun.0 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lindsun.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lindsun.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
lindsun.v (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
lindsun.2 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘ˆ) ∩ (π‘β€˜π‘‰)) = { 0 })
Assertion
Ref Expression
lindsun (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉) ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
Proof of Theorem lindsun
Dummy variables 𝑐 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lindsun.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
2 lveclmod 20716 . . 3 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
31, 2syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
4 lindsun.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
5 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
65linds1 21364 . . . 4 (π‘ˆ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
74, 6syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
8 lindsun.v . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
95linds1 21364 . . . 4 (𝑉 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) β†’ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
108, 9syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
117, 10unssd 4186 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
12 lindsun.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
13 lindsun.0 . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜π‘Š)
141ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LVec)
154ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
168ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑉 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
17 lindsun.2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘ˆ) ∩ (π‘β€˜π‘‰)) = { 0 })
1817ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘β€˜π‘ˆ) ∩ (π‘β€˜π‘‰)) = { 0 })
19 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
20 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
21 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑐 ∈ π‘ˆ)
22 simpllr 774 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))
23 simplr 767 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐})))
2412, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 23lindsunlem 32704 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ) β†’ βŠ₯)
2524adantlr 713 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉)) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ) β†’ βŠ₯)
261ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LVec)
278ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ 𝑉 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
284ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ π‘ˆ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
29 incom 4201 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘β€˜π‘ˆ) ∩ (π‘β€˜π‘‰)) = ((π‘β€˜π‘‰) ∩ (π‘β€˜π‘ˆ))
3029, 17eqtr3id 2786 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘‰) ∩ (π‘β€˜π‘ˆ)) = { 0 })
3130ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜π‘‰) ∩ (π‘β€˜π‘ˆ)) = { 0 })
32 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ 𝑐 ∈ 𝑉)
33 simpllr 774 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))
34 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐})))
35 uncom 4153 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ˆ βˆͺ 𝑉) = (𝑉 βˆͺ π‘ˆ)
3635difeq1i 4118 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}) = ((𝑉 βˆͺ π‘ˆ) βˆ– {𝑐})
3736fveq2i 6894 . . . . . . . . . . 11 (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐})) = (π‘β€˜((𝑉 βˆͺ π‘ˆ) βˆ– {𝑐}))
3834, 37eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((𝑉 βˆͺ π‘ˆ) βˆ– {𝑐})))
3912, 13, 26, 27, 28, 31, 19, 20, 32, 33, 38lindsunlem 32704 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ βŠ₯)
4039adantlr 713 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ βŠ₯)
41 elun 4148 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉) ↔ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∨ 𝑐 ∈ 𝑉))
4241biimpi 215 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉) β†’ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∨ 𝑐 ∈ 𝑉))
4342adantl 482 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉)) β†’ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∨ 𝑐 ∈ 𝑉))
4425, 40, 43mpjaodan 957 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉)) β†’ βŠ₯)
4544an32s 650 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ 𝑐 ∈ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉)) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) β†’ βŠ₯)
4645inegd 1561 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ 𝑐 ∈ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉)) β†’ Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐})))
4746an32s 650 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉)) ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐})))
4847anasss 467 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉) ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))) β†’ Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐})))
4948ralrimivva 3200 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉)βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐})))
50 eqid 2732 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
51 eqid 2732 . . . 4 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
525, 50, 12, 51, 20, 19islinds2 21367 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ ((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ ((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘ ∈ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉)βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐})))))
5352biimpar 478 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘ ∈ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉)βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐})))) β†’ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉) ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
543, 11, 49, 53syl12anc 835 1 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉) ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541  βŠ₯wfal 1553   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  {csn 4628  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  Scalarcsca 17199   ·𝑠 cvsca 17200  0gc0g 17384  LModclmod 20470  LSpanclspn 20581  LVecclvec 20712  LIndSclinds 21359
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-cntz 19180  df-lsm 19503  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-drng 20358  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-lvec 20713  df-lindf 21360  df-linds 21361
This theorem is referenced by:  ccfldextdgrr  32741
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