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Theorem lindsun 33228
Description: Condition for the union of two independent sets to be an independent set. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lindsun.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lindsun.0 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lindsun.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lindsun.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
lindsun.v (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
lindsun.2 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘ˆ) ∩ (π‘β€˜π‘‰)) = { 0 })
Assertion
Ref Expression
lindsun (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉) ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))

Proof of Theorem lindsun
Dummy variables 𝑐 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lindsun.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
2 lveclmod 20952 . . 3 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
31, 2syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
4 lindsun.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
5 eqid 2726 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
65linds1 21701 . . . 4 (π‘ˆ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
74, 6syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
8 lindsun.v . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
95linds1 21701 . . . 4 (𝑉 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) β†’ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
108, 9syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
117, 10unssd 4181 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
12 lindsun.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
13 lindsun.0 . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜π‘Š)
141ad3antrrr 727 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LVec)
154ad3antrrr 727 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
168ad3antrrr 727 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑉 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
17 lindsun.2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘ˆ) ∩ (π‘β€˜π‘‰)) = { 0 })
1817ad3antrrr 727 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘β€˜π‘ˆ) ∩ (π‘β€˜π‘‰)) = { 0 })
19 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
20 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
21 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑐 ∈ π‘ˆ)
22 simpllr 773 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))
23 simplr 766 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐})))
2412, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 23lindsunlem 33227 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ) β†’ βŠ₯)
2524adantlr 712 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉)) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ) β†’ βŠ₯)
261ad3antrrr 727 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LVec)
278ad3antrrr 727 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ 𝑉 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
284ad3antrrr 727 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ π‘ˆ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
29 incom 4196 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘β€˜π‘ˆ) ∩ (π‘β€˜π‘‰)) = ((π‘β€˜π‘‰) ∩ (π‘β€˜π‘ˆ))
3029, 17eqtr3id 2780 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘‰) ∩ (π‘β€˜π‘ˆ)) = { 0 })
3130ad3antrrr 727 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜π‘‰) ∩ (π‘β€˜π‘ˆ)) = { 0 })
32 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ 𝑐 ∈ 𝑉)
33 simpllr 773 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))
34 simplr 766 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐})))
35 uncom 4148 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ˆ βˆͺ 𝑉) = (𝑉 βˆͺ π‘ˆ)
3635difeq1i 4113 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}) = ((𝑉 βˆͺ π‘ˆ) βˆ– {𝑐})
3736fveq2i 6887 . . . . . . . . . . 11 (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐})) = (π‘β€˜((𝑉 βˆͺ π‘ˆ) βˆ– {𝑐}))
3834, 37eleqtrdi 2837 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((𝑉 βˆͺ π‘ˆ) βˆ– {𝑐})))
3912, 13, 26, 27, 28, 31, 19, 20, 32, 33, 38lindsunlem 33227 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ βŠ₯)
4039adantlr 712 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ βŠ₯)
41 elun 4143 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉) ↔ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∨ 𝑐 ∈ 𝑉))
4241biimpi 215 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉) β†’ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∨ 𝑐 ∈ 𝑉))
4342adantl 481 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉)) β†’ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∨ 𝑐 ∈ 𝑉))
4425, 40, 43mpjaodan 955 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉)) β†’ βŠ₯)
4544an32s 649 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ 𝑐 ∈ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉)) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) β†’ βŠ₯)
4645inegd 1553 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ 𝑐 ∈ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉)) β†’ Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐})))
4746an32s 649 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉)) ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐})))
4847anasss 466 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉) ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))) β†’ Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐})))
4948ralrimivva 3194 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉)βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐})))
50 eqid 2726 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
51 eqid 2726 . . . 4 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
525, 50, 12, 51, 20, 19islinds2 21704 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ ((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ ((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘ ∈ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉)βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐})))))
5352biimpar 477 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘ ∈ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉)βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐})))) β†’ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉) ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
543, 11, 49, 53syl12anc 834 1 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉) ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533  βŠ₯wfal 1545   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   βˆ– cdif 3940   βˆͺ cun 3941   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  {csn 4623  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17151  Scalarcsca 17207   ·𝑠 cvsca 17208  0gc0g 17392  LModclmod 20704  LSpanclspn 20816  LVecclvec 20948  LIndSclinds 21696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19048  df-cntz 19231  df-lsm 19554  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-oppr 20234  df-dvdsr 20257  df-unit 20258  df-drng 20587  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-lsp 20817  df-lvec 20949  df-lindf 21697  df-linds 21698
This theorem is referenced by:  ccfldextdgrr  33265
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