Theorem lindsun 31374

Description: Condition for the union of two independent sets to be an independent set. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lindsun.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lindsun.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lindsun.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lindsun.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊))
lindsun.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊))
lindsun.2	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑈) ∩ (𝑁‘𝑉)) = { 0 })

Assertion

Ref	Expression
lindsun	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∪ 𝑉) ∈ (LIndS‘𝑊))

Proof of Theorem lindsun

Dummy variables 𝑐 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lindsun.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 20097	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lindsun.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊))
5		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6	5	linds1 20726	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
7	4, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
8		lindsun.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊))
9	5	linds1 20726	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊))
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊))
11	7, 10	unssd 4086	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∪ 𝑉) ⊆ (Base‘𝑊))
12		lindsun.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
13		lindsun.0	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
14	1	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
15	4	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊))
16	8	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) → 𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊))
17		lindsun.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑈) ∩ (𝑁‘𝑉)) = { 0 })
18	17	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) → ((𝑁‘𝑈) ∩ (𝑁‘𝑉)) = { 0 })
19		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
20		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
21		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) → 𝑐 ∈ 𝑈)
22		simpllr 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) → 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
23		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐})))
24	12, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 23	lindsunlem 31373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) → ⊥)
25	24	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) → ⊥)
26	1	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
27	8	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → 𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊))
28	4	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊))
29		incom 4101	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁‘𝑈) ∩ (𝑁‘𝑉)) = ((𝑁‘𝑉) ∩ (𝑁‘𝑈))
30	29, 17	eqtr3id 2785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑉) ∩ (𝑁‘𝑈)) = { 0 })
31	30	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝑉) ∩ (𝑁‘𝑈)) = { 0 })
32		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → 𝑐 ∈ 𝑉)
33		simpllr 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
34		simplr 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐})))
35		uncom 4053	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∪ 𝑉) = (𝑉 ∪ 𝑈)
36	35	difeq1i 4019	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}) = ((𝑉 ∪ 𝑈) ∖ {𝑐})
37	36	fveq2i 6698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐})) = (𝑁‘((𝑉 ∪ 𝑈) ∖ {𝑐}))
38	34, 37	eleqtrdi 2841	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑉 ∪ 𝑈) ∖ {𝑐})))
39	12, 13, 26, 27, 28, 31, 19, 20, 32, 33, 38	lindsunlem 31373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ⊥)
40	39	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ⊥)
41		elun 4049	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉) ↔ (𝑐 ∈ 𝑈 ∨ 𝑐 ∈ 𝑉))
42	41	biimpi 219	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉) → (𝑐 ∈ 𝑈 ∨ 𝑐 ∈ 𝑉))
43	42	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉)) → (𝑐 ∈ 𝑈 ∨ 𝑐 ∈ 𝑉))
44	25, 40, 43	mpjaodan 959	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉)) → ⊥)
45	44	an32s 652	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ 𝑐 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉)) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) → ⊥)
46	45	inegd 1563	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ 𝑐 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉)) → ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐})))
47	46	an32s 652	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐})))
48	47	anasss 470	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉) ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐})))
49	48	ralrimivva 3102	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉)∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐})))
50		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
51		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
52	5, 50, 12, 51, 20, 19	islinds2 20729	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((𝑈 ∪ 𝑉) ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ((𝑈 ∪ 𝑉) ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑐 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉)∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐})))))
53	52	biimpar 481	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑈 ∪ 𝑉) ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑐 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉)∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐})))) → (𝑈 ∪ 𝑉) ∈ (LIndS‘𝑊))
54	3, 11, 49, 53	syl12anc 837	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∪ 𝑉) ∈ (LIndS‘𝑊))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 847   = wceq 1543  ⊥wfal 1555   ∈ wcel 2112  ∀wral 3051   ∖ cdif 3850   ∪ cun 3851   ∩ cin 3852   ⊆ wss 3853  {csn 4527  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  Basecbs 16666  Scalarcsca 16752   ·_𝑠 cvsca 16753  0_gc0g 16898  LModclmod 19853  LSpanclspn 19962  LVecclvec 20093  LIndSclinds 20721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-tpos 7946  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-ndx 16669  df-slot 16670  df-base 16672  df-sets 16673  df-ress 16674  df-plusg 16762  df-mulr 16763  df-0g 16900  df-mgm 18068  df-sgrp 18117  df-mnd 18128  df-submnd 18173  df-grp 18322  df-minusg 18323  df-sbg 18324  df-subg 18494  df-cntz 18665  df-lsm 18979  df-cmn 19126  df-abl 19127  df-mgp 19459  df-ur 19471  df-ring 19518  df-oppr 19595  df-dvdsr 19613  df-unit 19614  df-drng 19723  df-lmod 19855  df-lss 19923  df-lsp 19963  df-lvec 20094  df-lindf 20722  df-linds 20723

This theorem is referenced by:  ccfldextdgrr  31410