Theorem lindsun 33782

Description: Condition for the union of two independent sets to be an independent set. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lindsun.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lindsun.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lindsun.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lindsun.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊))
lindsun.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊))
lindsun.2	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑈) ∩ (𝑁‘𝑉)) = { 0 })

Assertion

Ref	Expression
lindsun	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∪ 𝑉) ∈ (LIndS‘𝑊))

Proof of Theorem lindsun

Dummy variables 𝑐 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lindsun.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21058	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lindsun.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊))
5		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6	5	linds1 21765	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
7	4, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
8		lindsun.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊))
9	5	linds1 21765	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊))
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊))
11	7, 10	unssd 4144	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∪ 𝑉) ⊆ (Base‘𝑊))
12		lindsun.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
13		lindsun.0	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
14	1	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
15	4	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊))
16	8	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) → 𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊))
17		lindsun.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑈) ∩ (𝑁‘𝑉)) = { 0 })
18	17	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) → ((𝑁‘𝑈) ∩ (𝑁‘𝑉)) = { 0 })
19		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
20		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
21		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) → 𝑐 ∈ 𝑈)
22		simpllr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) → 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
23		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐})))
24	12, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 23	lindsunlem 33781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) → ⊥)
25	24	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) → ⊥)
26	1	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
27	8	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → 𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊))
28	4	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊))
29		incom 4161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁‘𝑈) ∩ (𝑁‘𝑉)) = ((𝑁‘𝑉) ∩ (𝑁‘𝑈))
30	29, 17	eqtr3id 2785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑉) ∩ (𝑁‘𝑈)) = { 0 })
31	30	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝑉) ∩ (𝑁‘𝑈)) = { 0 })
32		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → 𝑐 ∈ 𝑉)
33		simpllr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
34		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐})))
35		uncom 4110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∪ 𝑉) = (𝑉 ∪ 𝑈)
36	35	difeq1i 4074	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}) = ((𝑉 ∪ 𝑈) ∖ {𝑐})
37	36	fveq2i 6837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐})) = (𝑁‘((𝑉 ∪ 𝑈) ∖ {𝑐}))
38	34, 37	eleqtrdi 2846	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑉 ∪ 𝑈) ∖ {𝑐})))
39	12, 13, 26, 27, 28, 31, 19, 20, 32, 33, 38	lindsunlem 33781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ⊥)
40	39	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ⊥)
41		elun 4105	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉) ↔ (𝑐 ∈ 𝑈 ∨ 𝑐 ∈ 𝑉))
42	41	biimpi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉) → (𝑐 ∈ 𝑈 ∨ 𝑐 ∈ 𝑉))
43	42	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉)) → (𝑐 ∈ 𝑈 ∨ 𝑐 ∈ 𝑉))
44	25, 40, 43	mpjaodan 960	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉)) → ⊥)
45	44	an32s 652	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ 𝑐 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉)) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) → ⊥)
46	45	inegd 1561	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ 𝑐 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉)) → ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐})))
47	46	an32s 652	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐})))
48	47	anasss 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉) ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐})))
49	48	ralrimivva 3179	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉)∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐})))
50		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
51		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
52	5, 50, 12, 51, 20, 19	islinds2 21768	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((𝑈 ∪ 𝑉) ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ((𝑈 ∪ 𝑉) ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑐 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉)∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐})))))
53	52	biimpar 477	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑈 ∪ 𝑉) ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑐 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉)∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐})))) → (𝑈 ∪ 𝑉) ∈ (LIndS‘𝑊))
54	3, 11, 49, 53	syl12anc 836	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∪ 𝑉) ∈ (LIndS‘𝑊))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541  ⊥wfal 1553   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051   ∖ cdif 3898   ∪ cun 3899   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901  {csn 4580  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  Scalarcsca 17180   ·_𝑠 cvsca 17181  0_gc0g 17359  LModclmod 20811  LSpanclspn 20922  LVecclvec 21054  LIndSclinds 21760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19053  df-cntz 19246  df-lsm 19565  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-drng 20664  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lsp 20923  df-lvec 21055  df-lindf 21761  df-linds 21762

This theorem is referenced by:  ccfldextdgrr  33829