Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lindsun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lindsun 30682
Description: Condition for the union of two independent sets to be an independent set. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lindsun.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lindsun.0 0 = (0g𝑊)
lindsun.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lindsun.u (𝜑𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊))
lindsun.v (𝜑𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊))
lindsun.2 (𝜑 → ((𝑁𝑈) ∩ (𝑁𝑉)) = { 0 })
Assertion
Ref Expression
lindsun (𝜑 → (𝑈𝑉) ∈ (LIndS‘𝑊))

Proof of Theorem lindsun
Dummy variables 𝑐 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lindsun.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 lveclmod 19612 . . 3 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . 2 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lindsun.u . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊))
5 eqid 2771 . . . . 5 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
65linds1 20671 . . . 4 (𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
74, 6syl 17 . . 3 (𝜑𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
8 lindsun.v . . . 4 (𝜑𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊))
95linds1 20671 . . . 4 (𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊))
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑𝑉 ⊆ (Base‘𝑊))
117, 10unssd 4044 . 2 (𝜑 → (𝑈𝑉) ⊆ (Base‘𝑊))
12 lindsun.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
13 lindsun.0 . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑊)
141ad3antrrr 718 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
154ad3antrrr 718 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑈) → 𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊))
168ad3antrrr 718 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑈) → 𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊))
17 lindsun.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁𝑈) ∩ (𝑁𝑉)) = { 0 })
1817ad3antrrr 718 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑈) → ((𝑁𝑈) ∩ (𝑁𝑉)) = { 0 })
19 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
20 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
21 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑈) → 𝑐𝑈)
22 simpllr 764 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑈) → 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
23 simplr 757 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑈) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐})))
2412, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 23lindsunlem 30681 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑈) → ⊥)
2524adantlr 703 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑈𝑉)) ∧ 𝑐𝑈) → ⊥)
261ad3antrrr 718 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
278ad3antrrr 718 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑉) → 𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊))
284ad3antrrr 718 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑉) → 𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊))
29 incom 4060 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁𝑈) ∩ (𝑁𝑉)) = ((𝑁𝑉) ∩ (𝑁𝑈))
3029, 17syl5eqr 2821 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁𝑉) ∩ (𝑁𝑈)) = { 0 })
3130ad3antrrr 718 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑉) → ((𝑁𝑉) ∩ (𝑁𝑈)) = { 0 })
32 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑉) → 𝑐𝑉)
33 simpllr 764 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑉) → 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
34 simplr 757 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑉) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐})))
35 uncom 4011 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈𝑉) = (𝑉𝑈)
3635difeq1i 3978 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}) = ((𝑉𝑈) ∖ {𝑐})
3736fveq2i 6499 . . . . . . . . . . 11 (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐})) = (𝑁‘((𝑉𝑈) ∖ {𝑐}))
3834, 37syl6eleq 2869 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑉) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑉𝑈) ∖ {𝑐})))
3912, 13, 26, 27, 28, 31, 19, 20, 32, 33, 38lindsunlem 30681 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑉) → ⊥)
4039adantlr 703 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑈𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → ⊥)
41 elun 4007 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ (𝑈𝑉) ↔ (𝑐𝑈𝑐𝑉))
4241biimpi 208 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ (𝑈𝑉) → (𝑐𝑈𝑐𝑉))
4342adantl 474 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑈𝑉)) → (𝑐𝑈𝑐𝑉))
4425, 40, 43mpjaodan 942 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑈𝑉)) → ⊥)
4544an32s 640 . . . . . 6 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ 𝑐 ∈ (𝑈𝑉)) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) → ⊥)
4645inegd 1528 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ 𝑐 ∈ (𝑈𝑉)) → ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐})))
4746an32s 640 . . . 4 (((𝜑𝑐 ∈ (𝑈𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐})))
4847anasss 459 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (𝑈𝑉) ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐})))
4948ralrimivva 3134 . 2 (𝜑 → ∀𝑐 ∈ (𝑈𝑉)∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐})))
50 eqid 2771 . . . 4 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
51 eqid 2771 . . . 4 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
525, 50, 12, 51, 20, 19islinds2 20674 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → ((𝑈𝑉) ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ((𝑈𝑉) ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑐 ∈ (𝑈𝑉)∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐})))))
5352biimpar 470 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑈𝑉) ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑐 ∈ (𝑈𝑉)∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐})))) → (𝑈𝑉) ∈ (LIndS‘𝑊))
543, 11, 49, 53syl12anc 825 1 (𝜑 → (𝑈𝑉) ∈ (LIndS‘𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 387  wo 834   = wceq 1508  wfal 1520  wcel 2051  wral 3081  cdif 3819  cun 3820  cin 3821  wss 3822  {csn 4435  cfv 6185  (class class class)co 6974  Basecbs 16337  Scalarcsca 16422   ·𝑠 cvsca 16423  0gc0g 16567  LModclmod 19368  LSpanclspn 19477  LVecclvec 19608  LIndSclinds 20666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-fal 1521  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-tpos 7693  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-sets 16344  df-ress 16345  df-plusg 16432  df-mulr 16433  df-0g 16569  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-submnd 17816  df-grp 17906  df-minusg 17907  df-sbg 17908  df-subg 18072  df-cntz 18230  df-lsm 18534  df-cmn 18680  df-abl 18681  df-mgp 18975  df-ur 18987  df-ring 19034  df-oppr 19108  df-dvdsr 19126  df-unit 19127  df-drng 19239  df-lmod 19370  df-lss 19438  df-lsp 19478  df-lvec 19609  df-lindf 20667  df-linds 20668
This theorem is referenced by:  ccfldextdgrr  30718
  Copyright terms: Public domain W3C validator