Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lindsun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lindsun 33676
Description: Condition for the union of two independent sets to be an independent set. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lindsun.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lindsun.0 0 = (0g𝑊)
lindsun.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lindsun.u (𝜑𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊))
lindsun.v (𝜑𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊))
lindsun.2 (𝜑 → ((𝑁𝑈) ∩ (𝑁𝑉)) = { 0 })
Assertion
Ref Expression
lindsun (𝜑 → (𝑈𝑉) ∈ (LIndS‘𝑊))

Proof of Theorem lindsun
Dummy variables 𝑐 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lindsun.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 lveclmod 21105 . . 3 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . 2 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lindsun.u . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊))
5 eqid 2737 . . . . 5 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
65linds1 21830 . . . 4 (𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
74, 6syl 17 . . 3 (𝜑𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
8 lindsun.v . . . 4 (𝜑𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊))
95linds1 21830 . . . 4 (𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊))
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑𝑉 ⊆ (Base‘𝑊))
117, 10unssd 4192 . 2 (𝜑 → (𝑈𝑉) ⊆ (Base‘𝑊))
12 lindsun.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
13 lindsun.0 . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑊)
141ad3antrrr 730 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
154ad3antrrr 730 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑈) → 𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊))
168ad3antrrr 730 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑈) → 𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊))
17 lindsun.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁𝑈) ∩ (𝑁𝑉)) = { 0 })
1817ad3antrrr 730 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑈) → ((𝑁𝑈) ∩ (𝑁𝑉)) = { 0 })
19 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
20 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
21 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑈) → 𝑐𝑈)
22 simpllr 776 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑈) → 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
23 simplr 769 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑈) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐})))
2412, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 23lindsunlem 33675 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑈) → ⊥)
2524adantlr 715 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑈𝑉)) ∧ 𝑐𝑈) → ⊥)
261ad3antrrr 730 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
278ad3antrrr 730 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑉) → 𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊))
284ad3antrrr 730 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑉) → 𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊))
29 incom 4209 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁𝑈) ∩ (𝑁𝑉)) = ((𝑁𝑉) ∩ (𝑁𝑈))
3029, 17eqtr3id 2791 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁𝑉) ∩ (𝑁𝑈)) = { 0 })
3130ad3antrrr 730 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑉) → ((𝑁𝑉) ∩ (𝑁𝑈)) = { 0 })
32 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑉) → 𝑐𝑉)
33 simpllr 776 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑉) → 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
34 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑉) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐})))
35 uncom 4158 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈𝑉) = (𝑉𝑈)
3635difeq1i 4122 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}) = ((𝑉𝑈) ∖ {𝑐})
3736fveq2i 6909 . . . . . . . . . . 11 (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐})) = (𝑁‘((𝑉𝑈) ∖ {𝑐}))
3834, 37eleqtrdi 2851 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑉) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑉𝑈) ∖ {𝑐})))
3912, 13, 26, 27, 28, 31, 19, 20, 32, 33, 38lindsunlem 33675 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐𝑉) → ⊥)
4039adantlr 715 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑈𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → ⊥)
41 elun 4153 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ (𝑈𝑉) ↔ (𝑐𝑈𝑐𝑉))
4241biimpi 216 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ (𝑈𝑉) → (𝑐𝑈𝑐𝑉))
4342adantl 481 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑈𝑉)) → (𝑐𝑈𝑐𝑉))
4425, 40, 43mpjaodan 961 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑈𝑉)) → ⊥)
4544an32s 652 . . . . . 6 ((((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ 𝑐 ∈ (𝑈𝑉)) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐}))) → ⊥)
4645inegd 1560 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ 𝑐 ∈ (𝑈𝑉)) → ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐})))
4746an32s 652 . . . 4 (((𝜑𝑐 ∈ (𝑈𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐})))
4847anasss 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (𝑈𝑉) ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐})))
4948ralrimivva 3202 . 2 (𝜑 → ∀𝑐 ∈ (𝑈𝑉)∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐})))
50 eqid 2737 . . . 4 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
51 eqid 2737 . . . 4 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
525, 50, 12, 51, 20, 19islinds2 21833 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → ((𝑈𝑉) ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ((𝑈𝑉) ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑐 ∈ (𝑈𝑉)∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐})))))
5352biimpar 477 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑈𝑉) ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑐 ∈ (𝑈𝑉)∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝑐})))) → (𝑈𝑉) ∈ (LIndS‘𝑊))
543, 11, 49, 53syl12anc 837 1 (𝜑 → (𝑈𝑉) ∈ (LIndS‘𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wfal 1552  wcel 2108  wral 3061  cdif 3948  cun 3949  cin 3950  wss 3951  {csn 4626  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  0gc0g 17484  LModclmod 20858  LSpanclspn 20969  LVecclvec 21101  LIndSclinds 21825
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-lsm 19654  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lvec 21102  df-lindf 21826  df-linds 21827
This theorem is referenced by:  ccfldextdgrr  33722
  Copyright terms: Public domain W3C validator