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Theorem lindsun 33323
Description: Condition for the union of two independent sets to be an independent set. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lindsun.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lindsun.0 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lindsun.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lindsun.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
lindsun.v (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
lindsun.2 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘ˆ) ∩ (π‘β€˜π‘‰)) = { 0 })
Assertion
Ref Expression
lindsun (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉) ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
Proof of Theorem lindsun
Dummy variables 𝑐 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lindsun.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
2 lveclmod 20991 . . 3 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
31, 2syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
4 lindsun.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
5 eqid 2728 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
65linds1 21744 . . . 4 (π‘ˆ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
74, 6syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
8 lindsun.v . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
95linds1 21744 . . . 4 (𝑉 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) β†’ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
108, 9syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
117, 10unssd 4186 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
12 lindsun.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
13 lindsun.0 . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜π‘Š)
141ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LVec)
154ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
168ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑉 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
17 lindsun.2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘ˆ) ∩ (π‘β€˜π‘‰)) = { 0 })
1817ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘β€˜π‘ˆ) ∩ (π‘β€˜π‘‰)) = { 0 })
19 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
20 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
21 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑐 ∈ π‘ˆ)
22 simpllr 775 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))
23 simplr 768 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐})))
2412, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 23lindsunlem 33322 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ) β†’ βŠ₯)
2524adantlr 714 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉)) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ) β†’ βŠ₯)
261ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LVec)
278ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ 𝑉 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
284ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ π‘ˆ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
29 incom 4201 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘β€˜π‘ˆ) ∩ (π‘β€˜π‘‰)) = ((π‘β€˜π‘‰) ∩ (π‘β€˜π‘ˆ))
3029, 17eqtr3id 2782 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘‰) ∩ (π‘β€˜π‘ˆ)) = { 0 })
3130ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜π‘‰) ∩ (π‘β€˜π‘ˆ)) = { 0 })
32 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ 𝑐 ∈ 𝑉)
33 simpllr 775 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))
34 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐})))
35 uncom 4152 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ˆ βˆͺ 𝑉) = (𝑉 βˆͺ π‘ˆ)
3635difeq1i 4116 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}) = ((𝑉 βˆͺ π‘ˆ) βˆ– {𝑐})
3736fveq2i 6900 . . . . . . . . . . 11 (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐})) = (π‘β€˜((𝑉 βˆͺ π‘ˆ) βˆ– {𝑐}))
3834, 37eleqtrdi 2839 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((𝑉 βˆͺ π‘ˆ) βˆ– {𝑐})))
3912, 13, 26, 27, 28, 31, 19, 20, 32, 33, 38lindsunlem 33322 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ βŠ₯)
4039adantlr 714 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ βŠ₯)
41 elun 4147 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉) ↔ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∨ 𝑐 ∈ 𝑉))
4241biimpi 215 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉) β†’ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∨ 𝑐 ∈ 𝑉))
4342adantl 481 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉)) β†’ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∨ 𝑐 ∈ 𝑉))
4425, 40, 43mpjaodan 957 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉)) β†’ βŠ₯)
4544an32s 651 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ 𝑐 ∈ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉)) ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐}))) β†’ βŠ₯)
4645inegd 1554 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ 𝑐 ∈ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉)) β†’ Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐})))
4746an32s 651 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉)) ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐})))
4847anasss 466 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉) ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))) β†’ Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐})))
4948ralrimivva 3197 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉)βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐})))
50 eqid 2728 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
51 eqid 2728 . . . 4 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
525, 50, 12, 51, 20, 19islinds2 21747 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ ((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ ((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘ ∈ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉)βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐})))))
5352biimpar 477 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘ ∈ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉)βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝑐})))) β†’ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉) ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
543, 11, 49, 53syl12anc 836 1 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βˆͺ 𝑉) ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1534  βŠ₯wfal 1546   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  {csn 4629  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  Scalarcsca 17236   ·𝑠 cvsca 17237  0gc0g 17421  LModclmod 20743  LSpanclspn 20855  LVecclvec 20987  LIndSclinds 21739
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-subg 19078  df-cntz 19268  df-lsm 19591  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-oppr 20273  df-dvdsr 20296  df-unit 20297  df-drng 20626  df-lmod 20745  df-lss 20816  df-lsp 20856  df-lvec 20988  df-lindf 21740  df-linds 21741
This theorem is referenced by:  ccfldextdgrr  33360
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