Theorem lindsun 33809

Description: Condition for the union of two independent sets to be an independent set. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lindsun.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lindsun.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lindsun.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lindsun.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊))
lindsun.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊))
lindsun.2	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑈) ∩ (𝑁‘𝑉)) = { 0 })

Assertion

Ref	Expression
lindsun	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∪ 𝑉) ∈ (LIndS‘𝑊))

Proof of Theorem lindsun

Dummy variables 𝑐 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lindsun.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21096	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lindsun.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊))
5		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6	5	linds1 21785	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
7	4, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
8		lindsun.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊))
9	5	linds1 21785	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊))
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊))
11	7, 10	unssd 4121	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∪ 𝑉) ⊆ (Base‘𝑊))
12		lindsun.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
13		lindsun.0	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
14	1	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
15	4	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊))
16	8	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) → 𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊))
17		lindsun.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑈) ∩ (𝑁‘𝑉)) = { 0 })
18	17	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) → ((𝑁‘𝑈) ∩ (𝑁‘𝑉)) = { 0 })
19		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
20		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
21		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) → 𝑐 ∈ 𝑈)
22		simpllr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) → 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
23		simplr 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐})))
24	12, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 23	lindsunlem 33808	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) → ⊥)
25	24	adantlr 721	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) → ⊥)
26	1	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
27	8	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → 𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊))
28	4	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊))
29		incom 4138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁‘𝑈) ∩ (𝑁‘𝑉)) = ((𝑁‘𝑉) ∩ (𝑁‘𝑈))
30	29, 17	eqtr3id 2788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑉) ∩ (𝑁‘𝑈)) = { 0 })
31	30	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝑉) ∩ (𝑁‘𝑈)) = { 0 })
32		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → 𝑐 ∈ 𝑉)
33		simpllr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
34		simplr 774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐})))
35		uncom 4088	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∪ 𝑉) = (𝑉 ∪ 𝑈)
36	35	difeq1i 4053	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}) = ((𝑉 ∪ 𝑈) ∖ {𝑐})
37	36	fveq2i 6830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐})) = (𝑁‘((𝑉 ∪ 𝑈) ∖ {𝑐}))
38	34, 37	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑉 ∪ 𝑈) ∖ {𝑐})))
39	12, 13, 26, 27, 28, 31, 19, 20, 32, 33, 38	lindsunlem 33808	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ⊥)
40	39	adantlr 721	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ⊥)
41		elun 4083	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉) ↔ (𝑐 ∈ 𝑈 ∨ 𝑐 ∈ 𝑉))
42	41	bilani 505	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉)) → (𝑐 ∈ 𝑈 ∨ 𝑐 ∈ 𝑉))
43	25, 40, 42	mpjaodan 966	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉)) → ⊥)
44	43	an32s 658	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ 𝑐 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉)) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐}))) → ⊥)
45	44	inegd 1567	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ 𝑐 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉)) → ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐})))
46	45	an32s 658	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐})))
47	46	anasss 467	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉) ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐})))
48	47	ralrimivva 3182	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉)∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐})))
49		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
50		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
51	5, 49, 12, 50, 20, 19	islinds2 21788	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((𝑈 ∪ 𝑉) ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ((𝑈 ∪ 𝑉) ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑐 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉)∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐})))))
52	51	biimpar 478	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑈 ∪ 𝑉) ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑐 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉)∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝑐})))) → (𝑈 ∪ 𝑉) ∈ (LIndS‘𝑊))
53	3, 11, 48, 52	syl12anc 842	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∪ 𝑉) ∈ (LIndS‘𝑊))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 853   = wceq 1547  ⊥wfal 1559   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  {csn 4555  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  Scalarcsca 17214   ·_𝑠 cvsca 17215  0_gc0g 17393  LModclmod 20850  LSpanclspn 20961  LVecclvec 21092  LIndSclinds 21780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-subg 19090  df-cntz 19283  df-lsm 19602  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-drng 20703  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lsp 20962  df-lvec 21093  df-lindf 21781  df-linds 21782

This theorem is referenced by:  ccfldextdgrr  33856