Theorem islinds4 22048

Description: A set is independent in a vector space iff it is a subset of some basis. This is an axiom of choice equivalent. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
islinds4.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islinds4	⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐽 𝑌 ⊆ 𝑏))

Distinct variable groups:   𝐽,𝑏   𝑊,𝑏   𝑌,𝑏

Proof of Theorem islinds4

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LVec)
2		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3	2	linds1 22023	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑌 ⊆ (Base‘𝑊))
4	3	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) → 𝑌 ⊆ (Base‘𝑊))
5		lveclmod 21290	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
6	5	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑊 ∈ LMod)
7		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
8	7	lvecdrng 21289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
9		drngnzr 20911	. . . . . . . 8 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing → (Scalar‘𝑊) ∈ NzRing)
10	8, 9	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ NzRing)
11	10	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (Scalar‘𝑊) ∈ NzRing)
12		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊))
13		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑥 ∈ 𝑌)
14		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
15	14, 7	lindsind2 22032	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ NzRing) ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑌 ∖ {𝑥})))
16	6, 11, 12, 13, 15	syl211anc 1403	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑌 ∖ {𝑥})))
17	16	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ∀𝑥 ∈ 𝑌 ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑌 ∖ {𝑥})))
18		islinds4.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
19	18, 2, 14	lbsext 21350	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑌 ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑌 ∖ {𝑥}))) → ∃𝑏 ∈ 𝐽 𝑌 ⊆ 𝑏)
20	1, 4, 17, 19	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ∃𝑏 ∈ 𝐽 𝑌 ⊆ 𝑏)
21	20	ex 418	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) → ∃𝑏 ∈ 𝐽 𝑌 ⊆ 𝑏))
22	5	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑏) → 𝑊 ∈ LMod)
23	18	lbslinds 22046	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 ⊆ (LIndS‘𝑊)
24	23	sseli 3927	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐽 → 𝑏 ∈ (LIndS‘𝑊))
25	24	ad2antlr 740	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑏) → 𝑏 ∈ (LIndS‘𝑊))
26		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑏) → 𝑌 ⊆ 𝑏)
27		lindsss 22037	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑏 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑏) → 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊))
28	22, 25, 26, 27	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑏) → 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊))
29	28	rexlimdva2 3165	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (∃𝑏 ∈ 𝐽 𝑌 ⊆ 𝑏 → 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)))
30	21, 29	impbid 215	1 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐽 𝑌 ⊆ 𝑏))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ‘cfv 6533  Basecbs 17301  Scalarcsca 17345  NzRingcnzr 20672  DivRingcdr 20890  LModclmod 21044  LSpanclspn 21155  LBasisclbs 21258  LVecclvec 21286  LIndSclinds 22018

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-ac2 10465  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-rpss 7724  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-dju 9906  df-card 9944  df-ac 10119  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-0g 17526  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-sbg 19062  df-cmn 19909  df-abl 19910  df-mgp 20274  df-rng 20288  df-ur 20321  df-ring 20374  df-oppr 20478  df-dvdsr 20498  df-unit 20499  df-invr 20529  df-nzr 20673  df-drng 20892  df-lmod 21046  df-lss 21116  df-lsp 21156  df-lbs 21259  df-lvec 21287  df-lindf 22019  df-linds 22020

This theorem is used by:  lssdimle  34118  dimkerim  34137  extdgfialglem1  34202