MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islinds4 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem islinds4 21381
Description: A set is independent in a vector space iff it is a subset of some basis. This is an axiom of choice equivalent. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
islinds4.j 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
islinds4 (π‘Š ∈ LVec β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 π‘Œ βŠ† 𝑏))
Distinct variable groups:   𝐽,𝑏   π‘Š,𝑏   π‘Œ,𝑏
Proof of Theorem islinds4
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ LVec)
2 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
32linds1 21356 . . . . 5 (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) β†’ π‘Œ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
43adantl 482 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) β†’ π‘Œ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
5 lveclmod 20709 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
65ad2antrr 724 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
7 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
87lvecdrng 20708 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LVec β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing)
9 drngnzr 20327 . . . . . . . 8 ((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ NzRing)
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LVec β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ NzRing)
1110ad2antrr 724 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ NzRing)
12 simplr 767 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
13 simpr 485 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ π‘₯ ∈ π‘Œ)
14 eqid 2732 . . . . . . 7 (LSpanβ€˜π‘Š) = (LSpanβ€˜π‘Š)
1514, 7lindsind2 21365 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ NzRing) ∧ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(π‘Œ βˆ– {π‘₯})))
166, 11, 12, 13, 15syl211anc 1376 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(π‘Œ βˆ– {π‘₯})))
1716ralrimiva 3146 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ Β¬ π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(π‘Œ βˆ– {π‘₯})))
18 islinds4.j . . . . 5 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘Š)
1918, 2, 14lbsext 20768 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘Œ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ Β¬ π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(π‘Œ βˆ– {π‘₯}))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 π‘Œ βŠ† 𝑏)
201, 4, 17, 19syl3anc 1371 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 π‘Œ βŠ† 𝑏)
2120ex 413 . 2 (π‘Š ∈ LVec β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 π‘Œ βŠ† 𝑏))
225ad2antrr 724 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑏) β†’ π‘Š ∈ LMod)
2318lbslinds 21379 . . . . . 6 𝐽 βŠ† (LIndSβ€˜π‘Š)
2423sseli 3977 . . . . 5 (𝑏 ∈ 𝐽 β†’ 𝑏 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
2524ad2antlr 725 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑏) β†’ 𝑏 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
26 simpr 485 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑏) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑏)
27 lindsss 21370 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑏 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑏) β†’ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
2822, 25, 26, 27syl3anc 1371 . . 3 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑏) β†’ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
2928rexlimdva2 3157 . 2 (π‘Š ∈ LVec β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 π‘Œ βŠ† 𝑏 β†’ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)))
3021, 29impbid 211 1 (π‘Š ∈ LVec β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 π‘Œ βŠ† 𝑏))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  {csn 4627  β€˜cfv 6540  Basecbs 17140  Scalarcsca 17196  NzRingcnzr 20283  DivRingcdr 20307  LModclmod 20463  LSpanclspn 20574  LBasisclbs 20677  LVecclvec 20705  LIndSclinds 21351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-ac2 10454  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-rpss 7709  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-dju 9892  df-card 9930  df-ac 10107  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-nzr 20284  df-drng 20309  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lbs 20678  df-lvec 20706  df-lindf 21352  df-linds 21353
This theorem is referenced by:  lssdimle  32680  dimkerim  32700
  Copyright terms: Public domain W3C validator