Theorem islinds4 21855

Description: A set is independent in a vector space iff it is a subset of some basis. This is an axiom of choice equivalent. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
islinds4.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islinds4	⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐽 𝑌 ⊆ 𝑏))

Distinct variable groups:   𝐽,𝑏   𝑊,𝑏   𝑌,𝑏

Proof of Theorem islinds4

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LVec)
2		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3	2	linds1 21830	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑌 ⊆ (Base‘𝑊))
4	3	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) → 𝑌 ⊆ (Base‘𝑊))
5		lveclmod 21105	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
6	5	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑊 ∈ LMod)
7		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
8	7	lvecdrng 21104	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
9		drngnzr 20748	. . . . . . . 8 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing → (Scalar‘𝑊) ∈ NzRing)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ NzRing)
11	10	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (Scalar‘𝑊) ∈ NzRing)
12		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊))
13		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑥 ∈ 𝑌)
14		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
15	14, 7	lindsind2 21839	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ NzRing) ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑌 ∖ {𝑥})))
16	6, 11, 12, 13, 15	syl211anc 1378	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑌 ∖ {𝑥})))
17	16	ralrimiva 3146	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ∀𝑥 ∈ 𝑌 ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑌 ∖ {𝑥})))
18		islinds4.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
19	18, 2, 14	lbsext 21165	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑌 ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑌 ∖ {𝑥}))) → ∃𝑏 ∈ 𝐽 𝑌 ⊆ 𝑏)
20	1, 4, 17, 19	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ∃𝑏 ∈ 𝐽 𝑌 ⊆ 𝑏)
21	20	ex 412	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) → ∃𝑏 ∈ 𝐽 𝑌 ⊆ 𝑏))
22	5	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑏) → 𝑊 ∈ LMod)
23	18	lbslinds 21853	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 ⊆ (LIndS‘𝑊)
24	23	sseli 3979	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐽 → 𝑏 ∈ (LIndS‘𝑊))
25	24	ad2antlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑏) → 𝑏 ∈ (LIndS‘𝑊))
26		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑏) → 𝑌 ⊆ 𝑏)
27		lindsss 21844	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑏 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑏) → 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊))
28	22, 25, 26, 27	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑏) → 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊))
29	28	rexlimdva2 3157	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (∃𝑏 ∈ 𝐽 𝑌 ⊆ 𝑏 → 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)))
30	21, 29	impbid 212	1 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐽 𝑌 ⊆ 𝑏))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ∖ cdif 3948   ⊆ wss 3951  {csn 4626  ‘cfv 6561  Basecbs 17247  Scalarcsca 17300  NzRingcnzr 20512  DivRingcdr 20729  LModclmod 20858  LSpanclspn 20969  LBasisclbs 21073  LVecclvec 21101  LIndSclinds 21825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-ac2 10503  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-rpss 7743  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-ac 10156  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-nzr 20513  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lbs 21074  df-lvec 21102  df-lindf 21826  df-linds 21827

This theorem is referenced by:  lssdimle  33658  dimkerim  33678