MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islinds4 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem islinds4 21730
Description: A set is independent in a vector space iff it is a subset of some basis. This is an axiom of choice equivalent. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
islinds4.j 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
islinds4 (π‘Š ∈ LVec β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 π‘Œ βŠ† 𝑏))
Distinct variable groups:   𝐽,𝑏   π‘Š,𝑏   π‘Œ,𝑏
Proof of Theorem islinds4
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ LVec)
2 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
32linds1 21705 . . . . 5 (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) β†’ π‘Œ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
43adantl 481 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) β†’ π‘Œ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
5 lveclmod 20954 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
65ad2antrr 723 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
7 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
87lvecdrng 20953 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LVec β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing)
9 drngnzr 20607 . . . . . . . 8 ((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ NzRing)
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LVec β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ NzRing)
1110ad2antrr 723 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ NzRing)
12 simplr 766 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
13 simpr 484 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ π‘₯ ∈ π‘Œ)
14 eqid 2726 . . . . . . 7 (LSpanβ€˜π‘Š) = (LSpanβ€˜π‘Š)
1514, 7lindsind2 21714 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ NzRing) ∧ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(π‘Œ βˆ– {π‘₯})))
166, 11, 12, 13, 15syl211anc 1373 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(π‘Œ βˆ– {π‘₯})))
1716ralrimiva 3140 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ Β¬ π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(π‘Œ βˆ– {π‘₯})))
18 islinds4.j . . . . 5 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘Š)
1918, 2, 14lbsext 21014 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘Œ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ Β¬ π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(π‘Œ βˆ– {π‘₯}))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 π‘Œ βŠ† 𝑏)
201, 4, 17, 19syl3anc 1368 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 π‘Œ βŠ† 𝑏)
2120ex 412 . 2 (π‘Š ∈ LVec β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 π‘Œ βŠ† 𝑏))
225ad2antrr 723 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑏) β†’ π‘Š ∈ LMod)
2318lbslinds 21728 . . . . . 6 𝐽 βŠ† (LIndSβ€˜π‘Š)
2423sseli 3973 . . . . 5 (𝑏 ∈ 𝐽 β†’ 𝑏 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
2524ad2antlr 724 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑏) β†’ 𝑏 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
26 simpr 484 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑏) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑏)
27 lindsss 21719 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑏 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑏) β†’ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
2822, 25, 26, 27syl3anc 1368 . . 3 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑏) β†’ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
2928rexlimdva2 3151 . 2 (π‘Š ∈ LVec β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 π‘Œ βŠ† 𝑏 β†’ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)))
3021, 29impbid 211 1 (π‘Š ∈ LVec β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 π‘Œ βŠ† 𝑏))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943  {csn 4623  β€˜cfv 6537  Basecbs 17153  Scalarcsca 17209  NzRingcnzr 20414  DivRingcdr 20587  LModclmod 20706  LSpanclspn 20818  LBasisclbs 20922  LVecclvec 20950  LIndSclinds 21700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-rpss 7710  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-nzr 20415  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lbs 20923  df-lvec 20951  df-lindf 21701  df-linds 21702
This theorem is referenced by:  lssdimle  33210  dimkerim  33230
  Copyright terms: Public domain W3C validator