MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islinds4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islinds4 21257
Description: A set is independent in a vector space iff it is a subset of some basis. This is an axiom of choice equivalent. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
islinds4.j 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
islinds4 (π‘Š ∈ LVec β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 π‘Œ βŠ† 𝑏))
Distinct variable groups:   𝐽,𝑏   π‘Š,𝑏   π‘Œ,𝑏

Proof of Theorem islinds4
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ LVec)
2 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
32linds1 21232 . . . . 5 (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) β†’ π‘Œ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
43adantl 483 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) β†’ π‘Œ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
5 lveclmod 20582 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
65ad2antrr 725 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
7 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
87lvecdrng 20581 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LVec β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing)
9 drngnzr 20748 . . . . . . . 8 ((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ NzRing)
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LVec β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ NzRing)
1110ad2antrr 725 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ NzRing)
12 simplr 768 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
13 simpr 486 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ π‘₯ ∈ π‘Œ)
14 eqid 2733 . . . . . . 7 (LSpanβ€˜π‘Š) = (LSpanβ€˜π‘Š)
1514, 7lindsind2 21241 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ NzRing) ∧ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(π‘Œ βˆ– {π‘₯})))
166, 11, 12, 13, 15syl211anc 1377 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(π‘Œ βˆ– {π‘₯})))
1716ralrimiva 3140 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ Β¬ π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(π‘Œ βˆ– {π‘₯})))
18 islinds4.j . . . . 5 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘Š)
1918, 2, 14lbsext 20640 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘Œ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ Β¬ π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(π‘Œ βˆ– {π‘₯}))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 π‘Œ βŠ† 𝑏)
201, 4, 17, 19syl3anc 1372 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 π‘Œ βŠ† 𝑏)
2120ex 414 . 2 (π‘Š ∈ LVec β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 π‘Œ βŠ† 𝑏))
225ad2antrr 725 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑏) β†’ π‘Š ∈ LMod)
2318lbslinds 21255 . . . . . 6 𝐽 βŠ† (LIndSβ€˜π‘Š)
2423sseli 3941 . . . . 5 (𝑏 ∈ 𝐽 β†’ 𝑏 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
2524ad2antlr 726 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑏) β†’ 𝑏 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
26 simpr 486 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑏) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑏)
27 lindsss 21246 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑏 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑏) β†’ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
2822, 25, 26, 27syl3anc 1372 . . 3 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑏) β†’ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
2928rexlimdva2 3151 . 2 (π‘Š ∈ LVec β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 π‘Œ βŠ† 𝑏 β†’ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)))
3021, 29impbid 211 1 (π‘Š ∈ LVec β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 π‘Œ βŠ† 𝑏))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3908   βŠ† wss 3911  {csn 4587  β€˜cfv 6497  Basecbs 17088  Scalarcsca 17141  DivRingcdr 20197  LModclmod 20336  LSpanclspn 20447  LBasisclbs 20550  LVecclvec 20578  NzRingcnzr 20743  LIndSclinds 21227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-ac2 10404  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-rpss 7661  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-oadd 8417  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-dju 9842  df-card 9880  df-ac 10057  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-oppr 20054  df-dvdsr 20075  df-unit 20076  df-invr 20106  df-drng 20199  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-lsp 20448  df-lbs 20551  df-lvec 20579  df-nzr 20744  df-lindf 21228  df-linds 21229
This theorem is referenced by:  lssdimle  32360  dimkerim  32379
  Copyright terms: Public domain W3C validator