MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islinds4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islinds4 20391
Description: A set is independent in a vector space iff it is a subset of some basis. (AC equivalent) (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
islinds4.j 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
islinds4 (𝑊 ∈ LVec → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ∃𝑏𝐽 𝑌𝑏))
Distinct variable groups:   𝐽,𝑏   𝑊,𝑏   𝑌,𝑏

Proof of Theorem islinds4
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 468 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LVec)
2 eqid 2771 . . . . . 6 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
32linds1 20366 . . . . 5 (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑌 ⊆ (Base‘𝑊))
43adantl 467 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) → 𝑌 ⊆ (Base‘𝑊))
5 lveclmod 19319 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
65ad2antrr 705 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 𝑥𝑌) → 𝑊 ∈ LMod)
7 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
87lvecdrng 19318 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
9 drngnzr 19477 . . . . . . . 8 ((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing → (Scalar‘𝑊) ∈ NzRing)
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ NzRing)
1110ad2antrr 705 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 𝑥𝑌) → (Scalar‘𝑊) ∈ NzRing)
12 simplr 752 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 𝑥𝑌) → 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊))
13 simpr 471 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 𝑥𝑌) → 𝑥𝑌)
14 eqid 2771 . . . . . . 7 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
1514, 7lindsind2 20375 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ NzRing) ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑥𝑌) → ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑌 ∖ {𝑥})))
166, 11, 12, 13, 15syl211anc 1482 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 𝑥𝑌) → ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑌 ∖ {𝑥})))
1716ralrimiva 3115 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ∀𝑥𝑌 ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑌 ∖ {𝑥})))
18 islinds4.j . . . . 5 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
1918, 2, 14lbsext 19378 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥𝑌 ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑌 ∖ {𝑥}))) → ∃𝑏𝐽 𝑌𝑏)
201, 4, 17, 19syl3anc 1476 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ∃𝑏𝐽 𝑌𝑏)
2120ex 397 . 2 (𝑊 ∈ LVec → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) → ∃𝑏𝐽 𝑌𝑏))
225ad2antrr 705 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑏𝐽) ∧ 𝑌𝑏) → 𝑊 ∈ LMod)
2318lbslinds 20389 . . . . . . 7 𝐽 ⊆ (LIndS‘𝑊)
2423sseli 3748 . . . . . 6 (𝑏𝐽𝑏 ∈ (LIndS‘𝑊))
2524ad2antlr 706 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑏𝐽) ∧ 𝑌𝑏) → 𝑏 ∈ (LIndS‘𝑊))
26 simpr 471 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑏𝐽) ∧ 𝑌𝑏) → 𝑌𝑏)
27 lindsss 20380 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑏 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑌𝑏) → 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊))
2822, 25, 26, 27syl3anc 1476 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑏𝐽) ∧ 𝑌𝑏) → 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊))
2928ex 397 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑏𝐽) → (𝑌𝑏𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)))
3029rexlimdva 3179 . 2 (𝑊 ∈ LVec → (∃𝑏𝐽 𝑌𝑏𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)))
3121, 30impbid 202 1 (𝑊 ∈ LVec → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ∃𝑏𝐽 𝑌𝑏))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062  cdif 3720  wss 3723  {csn 4317  cfv 6030  Basecbs 16064  Scalarcsca 16152  DivRingcdr 18957  LModclmod 19073  LSpanclspn 19184  LBasisclbs 19287  LVecclvec 19315  NzRingcnzr 19472  LIndSclinds 20361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-ac2 9491  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-rpss 7088  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-tpos 7508  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8969  df-ac 9143  df-cda 9196  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-drng 18959  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185  df-lbs 19288  df-lvec 19316  df-nzr 19473  df-lindf 20362  df-linds 20363
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator