Theorem islinds4 22015

Description: A set is independent in a vector space iff it is a subset of some basis. This is an axiom of choice equivalent. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
islinds4.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islinds4	⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐽 𝑌 ⊆ 𝑏))

Distinct variable groups:   𝐽,𝑏   𝑊,𝑏   𝑌,𝑏

Proof of Theorem islinds4

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LVec)
2		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3	2	linds1 21990	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑌 ⊆ (Base‘𝑊))
4	3	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) → 𝑌 ⊆ (Base‘𝑊))
5		lveclmod 21257	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
6	5	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑊 ∈ LMod)
7		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
8	7	lvecdrng 21256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
9		drngnzr 20878	. . . . . . . 8 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing → (Scalar‘𝑊) ∈ NzRing)
10	8, 9	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ NzRing)
11	10	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (Scalar‘𝑊) ∈ NzRing)
12		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊))
13		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑥 ∈ 𝑌)
14		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
15	14, 7	lindsind2 21999	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ NzRing) ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑌 ∖ {𝑥})))
16	6, 11, 12, 13, 15	syl211anc 1403	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑌 ∖ {𝑥})))
17	16	ralrimiva 3159	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ∀𝑥 ∈ 𝑌 ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑌 ∖ {𝑥})))
18		islinds4.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
19	18, 2, 14	lbsext 21317	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑌 ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑌 ∖ {𝑥}))) → ∃𝑏 ∈ 𝐽 𝑌 ⊆ 𝑏)
20	1, 4, 17, 19	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ∃𝑏 ∈ 𝐽 𝑌 ⊆ 𝑏)
21	20	ex 418	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) → ∃𝑏 ∈ 𝐽 𝑌 ⊆ 𝑏))
22	5	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑏) → 𝑊 ∈ LMod)
23	18	lbslinds 22013	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 ⊆ (LIndS‘𝑊)
24	23	sseli 3934	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐽 → 𝑏 ∈ (LIndS‘𝑊))
25	24	ad2antlr 740	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑏) → 𝑏 ∈ (LIndS‘𝑊))
26		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑏) → 𝑌 ⊆ 𝑏)
27		lindsss 22004	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑏 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑏) → 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊))
28	22, 25, 26, 27	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑏) → 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊))
29	28	rexlimdva2 3170	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (∃𝑏 ∈ 𝐽 𝑌 ⊆ 𝑏 → 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)))
30	21, 29	impbid 215	1 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐽 𝑌 ⊆ 𝑏))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  {csn 4591  ‘cfv 6540  Basecbs 17287  Scalarcsca 17331  NzRingcnzr 20639  DivRingcdr 20857  LModclmod 21011  LSpanclspn 21122  LBasisclbs 21225  LVecclvec 21253  LIndSclinds 21985

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-ac2 10458  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-rpss 7726  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-dju 9899  df-card 9937  df-ac 10112  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-ress 17309  df-plusg 17341  df-mulr 17342  df-0g 17512  df-mgm 18716  df-sgrp 18799  df-mnd 18815  df-grp 19027  df-minusg 19028  df-sbg 19029  df-cmn 19876  df-abl 19877  df-mgp 20241  df-rng 20255  df-ur 20288  df-ring 20341  df-oppr 20445  df-dvdsr 20465  df-unit 20466  df-invr 20496  df-nzr 20640  df-drng 20859  df-lmod 21013  df-lss 21083  df-lsp 21123  df-lbs 21226  df-lvec 21254  df-lindf 21986  df-linds 21987

This theorem is used by:  lssdimle  34038  dimkerim  34057  extdgfialglem1  34122