MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islinds4 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem islinds4 21771
Description: A set is independent in a vector space iff it is a subset of some basis. This is an axiom of choice equivalent. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
islinds4.j 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
islinds4 (π‘Š ∈ LVec β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 π‘Œ βŠ† 𝑏))
Distinct variable groups:   𝐽,𝑏   π‘Š,𝑏   π‘Œ,𝑏
Proof of Theorem islinds4
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ LVec)
2 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
32linds1 21746 . . . . 5 (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) β†’ π‘Œ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
43adantl 480 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) β†’ π‘Œ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
5 lveclmod 20993 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
65ad2antrr 724 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
7 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
87lvecdrng 20992 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LVec β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing)
9 drngnzr 20646 . . . . . . . 8 ((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ NzRing)
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LVec β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ NzRing)
1110ad2antrr 724 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ NzRing)
12 simplr 767 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
13 simpr 483 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ π‘₯ ∈ π‘Œ)
14 eqid 2725 . . . . . . 7 (LSpanβ€˜π‘Š) = (LSpanβ€˜π‘Š)
1514, 7lindsind2 21755 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ NzRing) ∧ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(π‘Œ βˆ– {π‘₯})))
166, 11, 12, 13, 15syl211anc 1373 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(π‘Œ βˆ– {π‘₯})))
1716ralrimiva 3136 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ Β¬ π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(π‘Œ βˆ– {π‘₯})))
18 islinds4.j . . . . 5 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘Š)
1918, 2, 14lbsext 21053 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘Œ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ Β¬ π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(π‘Œ βˆ– {π‘₯}))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 π‘Œ βŠ† 𝑏)
201, 4, 17, 19syl3anc 1368 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 π‘Œ βŠ† 𝑏)
2120ex 411 . 2 (π‘Š ∈ LVec β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 π‘Œ βŠ† 𝑏))
225ad2antrr 724 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑏) β†’ π‘Š ∈ LMod)
2318lbslinds 21769 . . . . . 6 𝐽 βŠ† (LIndSβ€˜π‘Š)
2423sseli 3968 . . . . 5 (𝑏 ∈ 𝐽 β†’ 𝑏 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
2524ad2antlr 725 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑏) β†’ 𝑏 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
26 simpr 483 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑏) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑏)
27 lindsss 21760 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑏 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑏) β†’ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
2822, 25, 26, 27syl3anc 1368 . . 3 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑏) β†’ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
2928rexlimdva2 3147 . 2 (π‘Š ∈ LVec β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 π‘Œ βŠ† 𝑏 β†’ π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)))
3021, 29impbid 211 1 (π‘Š ∈ LVec β†’ (π‘Œ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 π‘Œ βŠ† 𝑏))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060   βˆ– cdif 3936   βŠ† wss 3939  {csn 4622  β€˜cfv 6541  Basecbs 17177  Scalarcsca 17233  NzRingcnzr 20453  DivRingcdr 20626  LModclmod 20745  LSpanclspn 20857  LBasisclbs 20961  LVecclvec 20989  LIndSclinds 21741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-ac2 10484  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4943  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-se 5626  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-rpss 7724  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8228  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-oadd 8487  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-dju 9922  df-card 9960  df-ac 10137  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-oppr 20275  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-invr 20329  df-nzr 20454  df-drng 20628  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-lsp 20858  df-lbs 20962  df-lvec 20990  df-lindf 21742  df-linds 21743
This theorem is referenced by:  lssdimle  33334  dimkerim  33354
  Copyright terms: Public domain W3C validator