Theorem islinds4 22134

Description: A set is independent in a vector space iff it is a subset of some basis. This is an axiom of choice equivalent. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
islinds4.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islinds4	⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐽 𝑌 ⊆ 𝑏))

Distinct variable groups:   𝐽,𝑏   𝑊,𝑏   𝑌,𝑏

Proof of Theorem islinds4

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LVec)
2		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3	2	linds1 22109	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑌 ⊆ (Base‘𝑊))
4	3	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) → 𝑌 ⊆ (Base‘𝑊))
5		lveclmod 21374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
6	5	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑊 ∈ LMod)
7		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
8	7	lvecdrng 21373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
9		drngnzr 20995	. . . . . . . 8 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing → (Scalar‘𝑊) ∈ NzRing)
10	8, 9	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ NzRing)
11	10	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (Scalar‘𝑊) ∈ NzRing)
12		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊))
13		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑥 ∈ 𝑌)
14		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
15	14, 7	lindsind2 22118	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ NzRing) ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑌 ∖ {𝑥})))
16	6, 11, 12, 13, 15	syl211anc 1403	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑌 ∖ {𝑥})))
17	16	ralrimiva 3155	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ∀𝑥 ∈ 𝑌 ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑌 ∖ {𝑥})))
18		islinds4.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
19	18, 2, 14	lbsext 21434	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑌 ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑌 ∖ {𝑥}))) → ∃𝑏 ∈ 𝐽 𝑌 ⊆ 𝑏)
20	1, 4, 17, 19	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ∃𝑏 ∈ 𝐽 𝑌 ⊆ 𝑏)
21	20	ex 418	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) → ∃𝑏 ∈ 𝐽 𝑌 ⊆ 𝑏))
22	5	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑏) → 𝑊 ∈ LMod)
23	18	lbslinds 22132	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 ⊆ (LIndS‘𝑊)
24	23	sseli 3927	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐽 → 𝑏 ∈ (LIndS‘𝑊))
25	24	ad2antlr 740	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑏) → 𝑏 ∈ (LIndS‘𝑊))
26		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑏) → 𝑌 ⊆ 𝑏)
27		lindsss 22123	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑏 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑏) → 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊))
28	22, 25, 26, 27	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑏) → 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊))
29	28	rexlimdva2 3166	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (∃𝑏 ∈ 𝐽 𝑌 ⊆ 𝑏 → 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)))
30	21, 29	impbid 215	1 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐽 𝑌 ⊆ 𝑏))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ‘cfv 6537  Basecbs 17380  Scalarcsca 17424  NzRingcnzr 20755  DivRingcdr 20973  LModclmod 21128  LSpanclspn 21239  LBasisclbs 21342  LVecclvec 21370  LIndSclinds 22104

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-ac2 10534  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-rpss 7737  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8236  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-oadd 8473  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-dju 9975  df-card 10013  df-ac 10188  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-0g 17605  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-sbg 19142  df-cmn 19989  df-abl 19990  df-mgp 20354  df-rng 20368  df-ur 20401  df-ring 20454  df-oppr 20560  df-dvdsr 20580  df-unit 20581  df-invr 20611  df-nzr 20756  df-drng 20975  df-lmod 21130  df-lss 21200  df-lsp 21240  df-lbs 21343  df-lvec 21371  df-lindf 22105  df-linds 22106

This theorem is used by:  lssdimle  34233  dimkerim  34252  extdgfialglem1  34317