Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0nellinds Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 0nellinds 32471
Description: The group identity cannot be an element of an independent set. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-May-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
0nellinds.1 0 = (0gβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
0nellinds ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) β†’ Β¬ 0 ∈ 𝐹)
Proof of Theorem 0nellinds
Dummy variables π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7413 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ))
2 sneq 4637 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 0 β†’ {π‘₯} = { 0 })
32difeq2d 4121 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ (𝐹 βˆ– {π‘₯}) = (𝐹 βˆ– { 0 }))
43fveq2d 6892 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– {π‘₯})) = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– { 0 })))
51, 4eleq12d 2827 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– {π‘₯})) ↔ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– { 0 }))))
65notbid 317 . . . 4 (π‘₯ = 0 β†’ (Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– {π‘₯})) ↔ Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– { 0 }))))
76ralbidv 3177 . . 3 (π‘₯ = 0 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– {π‘₯})) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– { 0 }))))
8 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
9 eqid 2732 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
10 eqid 2732 . . . . . 6 (LSpanβ€˜π‘Š) = (LSpanβ€˜π‘Š)
11 eqid 2732 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
12 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
13 eqid 2732 . . . . . 6 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
148, 9, 10, 11, 12, 13islinds2 21359 . . . . 5 (π‘Š ∈ LVec β†’ (𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ (𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐹 βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– {π‘₯})))))
1514simplbda 500 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐹 βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– {π‘₯})))
1615adantr 481 . . 3 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ 0 ∈ 𝐹) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐹 βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– {π‘₯})))
17 simpr 485 . . 3 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ 0 ∈ 𝐹) β†’ 0 ∈ 𝐹)
187, 16, 17rspcdva 3613 . 2 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ 0 ∈ 𝐹) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– { 0 })))
19 lveclmod 20709 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
20 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
2111, 12, 20lmod1cl 20491 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2219, 21syl 17 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LVec β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2322adantr 481 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2411lvecdrng 20708 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LVec β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing)
2513, 20drngunz 20326 . . . . . . . 8 ((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LVec β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2726adantr 481 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
28 eldifsn 4789 . . . . . 6 ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) ↔ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
2923, 27, 28sylanbrc 583 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))
3029adantr 481 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ 0 ∈ 𝐹) β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))
3119ad2antrr 724 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ 0 ∈ 𝐹) β†’ π‘Š ∈ LMod)
32 0nellinds.1 . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜π‘Š)
3311, 9, 12, 32lmodvs0 20498 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) = 0 )
3431, 21, 33syl2anc2 585 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ 0 ∈ 𝐹) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) = 0 )
358linds1 21356 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) β†’ 𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
3635ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ 0 ∈ 𝐹) β†’ 𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
3736ssdifssd 4141 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ 0 ∈ 𝐹) β†’ (𝐹 βˆ– { 0 }) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
3832, 8, 100ellsp 32470 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐹 βˆ– { 0 }) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ 0 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– { 0 })))
3931, 37, 38syl2anc 584 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ 0 ∈ 𝐹) β†’ 0 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– { 0 })))
4034, 39eqeltrd 2833 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ 0 ∈ 𝐹) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– { 0 })))
41 oveq1 7412 . . . . . 6 (π‘˜ = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) = ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ))
4241eleq1d 2818 . . . . 5 (π‘˜ = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– { 0 })) ↔ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– { 0 }))))
4342rspcev 3612 . . . 4 (((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) ∧ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– { 0 }))) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– { 0 })))
4430, 40, 43syl2anc 584 . . 3 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ 0 ∈ 𝐹) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– { 0 })))
45 dfrex2 3073 . . 3 (βˆƒπ‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– { 0 })) ↔ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– { 0 })))
4644, 45sylib 217 . 2 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ 0 ∈ 𝐹) β†’ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– { 0 })))
4718, 46pm2.65da 815 1 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) β†’ Β¬ 0 ∈ 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  {csn 4627  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  0gc0g 17381  1rcur 19998  DivRingcdr 20307  LModclmod 20463  LSpanclspn 20574  LVecclvec 20705  LIndSclinds 21351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-drng 20309  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lvec 20706  df-lindf 21352  df-linds 21353
This theorem is referenced by:  linds2eq  32485  lvecdim0  32679  lindsunlem  32697  fedgmul  32704  extdg1id  32730
  Copyright terms: Public domain W3C validator