Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0nellinds Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 0nellinds 33130
Description: The group identity cannot be an element of an independent set. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-May-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
0nellinds.1 0 = (0gβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
0nellinds ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) β†’ Β¬ 0 ∈ 𝐹)
Proof of Theorem 0nellinds
Dummy variables π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7424 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ))
2 sneq 4634 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 0 β†’ {π‘₯} = { 0 })
32difeq2d 4114 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ (𝐹 βˆ– {π‘₯}) = (𝐹 βˆ– { 0 }))
43fveq2d 6896 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– {π‘₯})) = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– { 0 })))
51, 4eleq12d 2819 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– {π‘₯})) ↔ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– { 0 }))))
65notbid 317 . . . 4 (π‘₯ = 0 β†’ (Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– {π‘₯})) ↔ Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– { 0 }))))
76ralbidv 3168 . . 3 (π‘₯ = 0 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– {π‘₯})) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– { 0 }))))
8 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
9 eqid 2725 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
10 eqid 2725 . . . . . 6 (LSpanβ€˜π‘Š) = (LSpanβ€˜π‘Š)
11 eqid 2725 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
12 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
13 eqid 2725 . . . . . 6 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
148, 9, 10, 11, 12, 13islinds2 21751 . . . . 5 (π‘Š ∈ LVec β†’ (𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ (𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐹 βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– {π‘₯})))))
1514simplbda 498 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐹 βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– {π‘₯})))
1615adantr 479 . . 3 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ 0 ∈ 𝐹) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐹 βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– {π‘₯})))
17 simpr 483 . . 3 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ 0 ∈ 𝐹) β†’ 0 ∈ 𝐹)
187, 16, 17rspcdva 3602 . 2 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ 0 ∈ 𝐹) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– { 0 })))
19 lveclmod 20995 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
20 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
2111, 12, 20lmod1cl 20776 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2219, 21syl 17 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LVec β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2322adantr 479 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2411lvecdrng 20994 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LVec β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing)
2513, 20drngunz 20647 . . . . . . . 8 ((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LVec β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2726adantr 479 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
28 eldifsn 4786 . . . . . 6 ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) ↔ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
2923, 27, 28sylanbrc 581 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))
3029adantr 479 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ 0 ∈ 𝐹) β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))
3119ad2antrr 724 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ 0 ∈ 𝐹) β†’ π‘Š ∈ LMod)
32 0nellinds.1 . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜π‘Š)
3311, 9, 12, 32lmodvs0 20783 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) = 0 )
3431, 21, 33syl2anc2 583 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ 0 ∈ 𝐹) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) = 0 )
358linds1 21748 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) β†’ 𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
3635ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ 0 ∈ 𝐹) β†’ 𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
3736ssdifssd 4135 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ 0 ∈ 𝐹) β†’ (𝐹 βˆ– { 0 }) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
3832, 8, 100ellsp 33129 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐹 βˆ– { 0 }) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ 0 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– { 0 })))
3931, 37, 38syl2anc 582 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ 0 ∈ 𝐹) β†’ 0 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– { 0 })))
4034, 39eqeltrd 2825 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ 0 ∈ 𝐹) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– { 0 })))
41 oveq1 7423 . . . . . 6 (π‘˜ = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) = ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ))
4241eleq1d 2810 . . . . 5 (π‘˜ = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– { 0 })) ↔ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– { 0 }))))
4342rspcev 3601 . . . 4 (((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) ∧ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– { 0 }))) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– { 0 })))
4430, 40, 43syl2anc 582 . . 3 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ 0 ∈ 𝐹) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– { 0 })))
45 dfrex2 3063 . . 3 (βˆƒπ‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– { 0 })) ↔ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– { 0 })))
4644, 45sylib 217 . 2 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ 0 ∈ 𝐹) β†’ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– { 0 })))
4718, 46pm2.65da 815 1 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) β†’ Β¬ 0 ∈ 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060   βˆ– cdif 3936   βŠ† wss 3939  {csn 4624  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  Scalarcsca 17235   ·𝑠 cvsca 17236  0gc0g 17420  1rcur 20125  DivRingcdr 20628  LModclmod 20747  LSpanclspn 20859  LVecclvec 20991  LIndSclinds 21743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-drng 20630  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lsp 20860  df-lvec 20992  df-lindf 21744  df-linds 21745
This theorem is referenced by:  linds2eq  33145  lvecdim0  33361  lindsunlem  33379  fedgmul  33386  extdg1id  33412
  Copyright terms: Public domain W3C validator