Theorem 0nellinds 33926

Description: The group identity cannot be an element of an independent set. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-May-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
0nellinds.1	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
0nellinds	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ¬ 0 ∈ 𝐹)

Proof of Theorem 0nellinds

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ))
2		sneq 4594	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → {𝑥} = { 0 })
3	2	difeq2d 4074	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐹 ∖ {𝑥}) = (𝐹 ∖ { 0 }))
4	3	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥})) = ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })))
5	1, 4	eleq12d 2855	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ↔ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 }))))
6	5	notbid 321	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 }))))
7	6	ralbidv 3186	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 }))))
8		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
9		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
10		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
11		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
12		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
13		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
14	8, 9, 10, 11, 12, 13	islinds2 22119	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝐹 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥})))))
15	14	simplbda 505	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥})))
16	15	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥})))
17		simpr 490	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → 0 ∈ 𝐹)
18	7, 16, 17	rspcdva 3578	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → ∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })))
19		lveclmod 21381	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
20		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
21	11, 12, 20	lmod1cl 21164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
22	19, 21	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
23	22	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
24	11	lvecdrng 21380	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
25	13, 20	drngunz 21001	. . . . . . . 8 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
26	24, 25	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
27	26	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
28		eldifsn 4748	. . . . . 6 ⊢ ((1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ↔ ((1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
29	23, 27, 28	sylanbrc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
30	29	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
31	19	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
32		0nellinds.1	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
33	11, 9, 12, 32	lmodvs0 21171	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) = 0 )
34	31, 21, 33	syl2anc2 597	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) = 0 )
35	8	linds1 22116	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊))
36	35	ad2antlr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊))
37	36	ssdifssd 4094	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → (𝐹 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑊))
38	32, 8, 10	0ellsp 33925	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐹 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑊)) → 0 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })))
39	31, 37, 38	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → 0 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })))
40	34, 39	eqeltrd 2861	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })))
41		oveq1 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (1r‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) = ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ))
42	41	eleq1d 2846	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (1r‘(Scalar‘𝑊)) → ((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })) ↔ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 }))))
43	42	rspcev 3577	. . . 4 ⊢ (((1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 }))) → ∃𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })))
44	30, 40, 43	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → ∃𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })))
45		dfrex2 3090	. . 3 ⊢ (∃𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })) ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })))
46	44, 45	sylib 221	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → ¬ ∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })))
47	18, 46	pm2.65da 829	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ¬ 0 ∈ 𝐹)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  Scalarcsca 17431   ·_𝑠 cvsca 17432  0_gc0g 17610  1_rcur 20407  DivRingcdr 20980  LModclmod 21135  LSpanclspn 21246  LVecclvec 21377  LIndSclinds 22111

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588  df-drng 20982  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-lsp 21247  df-lvec 21378  df-lindf 22112  df-linds 22113

This theorem is used by:  linds2eq  33936  lvecdim0  34239  lindsunlem  34256  fedgmul  34263  extdg1id  34298