Theorem 0nellinds 33398

Description: The group identity cannot be an element of an independent set. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-May-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
0nellinds.1	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
0nellinds	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ¬ 0 ∈ 𝐹)

Proof of Theorem 0nellinds

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ))
2		sneq 4636	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → {𝑥} = { 0 })
3	2	difeq2d 4126	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐹 ∖ {𝑥}) = (𝐹 ∖ { 0 }))
4	3	fveq2d 6910	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥})) = ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })))
5	1, 4	eleq12d 2835	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ↔ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 }))))
6	5	notbid 318	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 }))))
7	6	ralbidv 3178	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 }))))
8		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
9		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
10		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
11		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
12		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
13		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
14	8, 9, 10, 11, 12, 13	islinds2 21833	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝐹 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥})))))
15	14	simplbda 499	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥})))
16	15	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥})))
17		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → 0 ∈ 𝐹)
18	7, 16, 17	rspcdva 3623	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → ∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })))
19		lveclmod 21105	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
20		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
21	11, 12, 20	lmod1cl 20887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
22	19, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
23	22	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
24	11	lvecdrng 21104	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
25	13, 20	drngunz 20747	. . . . . . . 8 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
27	26	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
28		eldifsn 4786	. . . . . 6 ⊢ ((1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ↔ ((1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
29	23, 27, 28	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
30	29	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
31	19	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
32		0nellinds.1	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
33	11, 9, 12, 32	lmodvs0 20894	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) = 0 )
34	31, 21, 33	syl2anc2 585	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) = 0 )
35	8	linds1 21830	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊))
36	35	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊))
37	36	ssdifssd 4147	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → (𝐹 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑊))
38	32, 8, 10	0ellsp 33397	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐹 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑊)) → 0 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })))
39	31, 37, 38	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → 0 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })))
40	34, 39	eqeltrd 2841	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })))
41		oveq1 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (1r‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) = ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ))
42	41	eleq1d 2826	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (1r‘(Scalar‘𝑊)) → ((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })) ↔ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 }))))
43	42	rspcev 3622	. . . 4 ⊢ (((1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 }))) → ∃𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })))
44	30, 40, 43	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → ∃𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })))
45		dfrex2 3073	. . 3 ⊢ (∃𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })) ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })))
46	44, 45	sylib 218	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → ¬ ∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })))
47	18, 46	pm2.65da 817	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ¬ 0 ∈ 𝐹)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ∖ cdif 3948   ⊆ wss 3951  {csn 4626  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301  0_gc0g 17484  1_rcur 20178  DivRingcdr 20729  LModclmod 20858  LSpanclspn 20969  LVecclvec 21101  LIndSclinds 21825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lvec 21102  df-lindf 21826  df-linds 21827

This theorem is referenced by:  linds2eq  33409  lvecdim0  33657  lindsunlem  33675  fedgmul  33682  extdg1id  33716