Theorem 0nellinds 33430

Description: The group identity cannot be an element of an independent set. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-May-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
0nellinds.1	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
0nellinds	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ¬ 0 ∈ 𝐹)

Proof of Theorem 0nellinds

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ))
2		sneq 4577	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → {𝑥} = { 0 })
3	2	difeq2d 4066	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐹 ∖ {𝑥}) = (𝐹 ∖ { 0 }))
4	3	fveq2d 6844	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥})) = ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })))
5	1, 4	eleq12d 2830	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ↔ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 }))))
6	5	notbid 318	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 }))))
7	6	ralbidv 3160	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 }))))
8		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
9		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
10		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
11		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
12		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
13		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
14	8, 9, 10, 11, 12, 13	islinds2 21793	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝐹 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥})))))
15	14	simplbda 499	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥})))
16	15	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥})))
17		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → 0 ∈ 𝐹)
18	7, 16, 17	rspcdva 3565	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → ∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })))
19		lveclmod 21101	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
20		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
21	11, 12, 20	lmod1cl 20884	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
22	19, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
23	22	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
24	11	lvecdrng 21100	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
25	13, 20	drngunz 20724	. . . . . . . 8 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
27	26	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
28		eldifsn 4731	. . . . . 6 ⊢ ((1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ↔ ((1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
29	23, 27, 28	sylanbrc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
30	29	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
31	19	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
32		0nellinds.1	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
33	11, 9, 12, 32	lmodvs0 20891	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) = 0 )
34	31, 21, 33	syl2anc2 586	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) = 0 )
35	8	linds1 21790	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊))
36	35	ad2antlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊))
37	36	ssdifssd 4087	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → (𝐹 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑊))
38	32, 8, 10	0ellsp 33429	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐹 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑊)) → 0 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })))
39	31, 37, 38	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → 0 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })))
40	34, 39	eqeltrd 2836	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })))
41		oveq1 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (1r‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) = ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ))
42	41	eleq1d 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (1r‘(Scalar‘𝑊)) → ((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })) ↔ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 }))))
43	42	rspcev 3564	. . . 4 ⊢ (((1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 }))) → ∃𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })))
44	30, 40, 43	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → ∃𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })))
45		dfrex2 3064	. . 3 ⊢ (∃𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })) ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })))
46	44, 45	sylib 218	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → ¬ ∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })))
47	18, 46	pm2.65da 817	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ¬ 0 ∈ 𝐹)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3061   ∖ cdif 3886   ⊆ wss 3889  {csn 4567  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224  0_gc0g 17402  1_rcur 20162  DivRingcdr 20706  LModclmod 20855  LSpanclspn 20966  LVecclvec 21097  LIndSclinds 21785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-drng 20708  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967  df-lvec 21098  df-lindf 21786  df-linds 21787

This theorem is referenced by:  linds2eq  33441  lvecdim0  33751  lindsunlem  33768  fedgmul  33775  extdg1id  33810