Theorem 0nellinds 33557

Description: The group identity cannot be an element of an independent set. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-May-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
0nellinds.1	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
0nellinds	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ¬ 0 ∈ 𝐹)

Proof of Theorem 0nellinds

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7405	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ))
2		sneq 4593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → {𝑥} = { 0 })
3	2	difeq2d 4081	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐹 ∖ {𝑥}) = (𝐹 ∖ { 0 }))
4	3	fveq2d 6872	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥})) = ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })))
5	1, 4	eleq12d 2857	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ↔ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 }))))
6	5	notbid 320	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 }))))
7	6	ralbidv 3186	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 }))))
8		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
9		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
10		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
11		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
12		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
13		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
14	8, 9, 10, 11, 12, 13	islinds2 21866	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝐹 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥})))))
15	14	simplbda 503	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥})))
16	15	adantr 484	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥})))
17		simpr 488	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → 0 ∈ 𝐹)
18	7, 16, 17	rspcdva 3583	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → ∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })))
19		lveclmod 21174	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
20		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
21	11, 12, 20	lmod1cl 20957	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
22	19, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
23	22	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
24	11	lvecdrng 21173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
25	13, 20	drngunz 20798	. . . . . . . 8 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
27	26	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
28		eldifsn 4747	. . . . . 6 ⊢ ((1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ↔ ((1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
29	23, 27, 28	sylanbrc 592	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
30	29	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
31	19	ad2antrr 736	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
32		0nellinds.1	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
33	11, 9, 12, 32	lmodvs0 20964	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) = 0 )
34	31, 21, 33	syl2anc2 594	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) = 0 )
35	8	linds1 21863	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊))
36	35	ad2antlr 737	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊))
37	36	ssdifssd 4101	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → (𝐹 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑊))
38	32, 8, 10	0ellsp 33556	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐹 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑊)) → 0 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })))
39	31, 37, 38	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → 0 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })))
40	34, 39	eqeltrd 2863	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })))
41		oveq1 7404	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (1r‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) = ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ))
42	41	eleq1d 2848	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (1r‘(Scalar‘𝑊)) → ((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })) ↔ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 }))))
43	42	rspcev 3582	. . . 4 ⊢ (((1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 }))) → ∃𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })))
44	30, 40, 43	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → ∃𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })))
45		dfrex2 3090	. . 3 ⊢ (∃𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })) ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })))
46	44, 45	sylib 220	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → ¬ ∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })))
47	18, 46	pm2.65da 826	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ¬ 0 ∈ 𝐹)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905  {csn 4583  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397  Basecbs 17246  Scalarcsca 17290   ·_𝑠 cvsca 17291  0_gc0g 17469  1_rcur 20232  DivRingcdr 20780  LModclmod 20928  LSpanclspn 21039  LVecclvec 21170  LIndSclinds 21858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17247  df-plusg 17300  df-mulr 17301  df-0g 17471  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-grp 18979  df-minusg 18980  df-sbg 18981  df-cmn 19823  df-abl 19824  df-mgp 20188  df-rng 20200  df-ur 20233  df-ring 20286  df-oppr 20387  df-dvdsr 20407  df-unit 20408  df-drng 20782  df-lmod 20930  df-lss 21000  df-lsp 21040  df-lvec 21171  df-lindf 21859  df-linds 21860

This theorem is referenced by:  linds2eq  33568  lvecdim0  33905  lindsunlem  33922  fedgmul  33929  extdg1id  33964