Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0nellinds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0nellinds 32989
Description: The group identity cannot be an element of an independent set. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-May-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
0nellinds.1 0 = (0gβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
0nellinds ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) β†’ Β¬ 0 ∈ 𝐹)

Proof of Theorem 0nellinds
Dummy variables π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7413 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ))
2 sneq 4633 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 0 β†’ {π‘₯} = { 0 })
32difeq2d 4117 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ (𝐹 βˆ– {π‘₯}) = (𝐹 βˆ– { 0 }))
43fveq2d 6889 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– {π‘₯})) = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– { 0 })))
51, 4eleq12d 2821 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– {π‘₯})) ↔ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– { 0 }))))
65notbid 318 . . . 4 (π‘₯ = 0 β†’ (Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– {π‘₯})) ↔ Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– { 0 }))))
76ralbidv 3171 . . 3 (π‘₯ = 0 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– {π‘₯})) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– { 0 }))))
8 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
9 eqid 2726 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
10 eqid 2726 . . . . . 6 (LSpanβ€˜π‘Š) = (LSpanβ€˜π‘Š)
11 eqid 2726 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
12 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
13 eqid 2726 . . . . . 6 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
148, 9, 10, 11, 12, 13islinds2 21708 . . . . 5 (π‘Š ∈ LVec β†’ (𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ (𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐹 βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– {π‘₯})))))
1514simplbda 499 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐹 βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– {π‘₯})))
1615adantr 480 . . 3 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ 0 ∈ 𝐹) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐹 βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– {π‘₯})))
17 simpr 484 . . 3 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ 0 ∈ 𝐹) β†’ 0 ∈ 𝐹)
187, 16, 17rspcdva 3607 . 2 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ 0 ∈ 𝐹) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– { 0 })))
19 lveclmod 20954 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
20 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
2111, 12, 20lmod1cl 20735 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2219, 21syl 17 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LVec β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2322adantr 480 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2411lvecdrng 20953 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LVec β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing)
2513, 20drngunz 20606 . . . . . . . 8 ((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LVec β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2726adantr 480 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
28 eldifsn 4785 . . . . . 6 ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) ↔ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
2923, 27, 28sylanbrc 582 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))
3029adantr 480 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ 0 ∈ 𝐹) β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))
3119ad2antrr 723 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ 0 ∈ 𝐹) β†’ π‘Š ∈ LMod)
32 0nellinds.1 . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜π‘Š)
3311, 9, 12, 32lmodvs0 20742 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) = 0 )
3431, 21, 33syl2anc2 584 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ 0 ∈ 𝐹) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) = 0 )
358linds1 21705 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) β†’ 𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
3635ad2antlr 724 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ 0 ∈ 𝐹) β†’ 𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
3736ssdifssd 4137 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ 0 ∈ 𝐹) β†’ (𝐹 βˆ– { 0 }) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
3832, 8, 100ellsp 32988 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐹 βˆ– { 0 }) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ 0 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– { 0 })))
3931, 37, 38syl2anc 583 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ 0 ∈ 𝐹) β†’ 0 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– { 0 })))
4034, 39eqeltrd 2827 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ 0 ∈ 𝐹) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– { 0 })))
41 oveq1 7412 . . . . . 6 (π‘˜ = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) = ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ))
4241eleq1d 2812 . . . . 5 (π‘˜ = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– { 0 })) ↔ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– { 0 }))))
4342rspcev 3606 . . . 4 (((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) ∧ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– { 0 }))) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– { 0 })))
4430, 40, 43syl2anc 583 . . 3 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ 0 ∈ 𝐹) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– { 0 })))
45 dfrex2 3067 . . 3 (βˆƒπ‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– { 0 })) ↔ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– { 0 })))
4644, 45sylib 217 . 2 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ 0 ∈ 𝐹) β†’ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– { 0 })))
4718, 46pm2.65da 814 1 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) β†’ Β¬ 0 ∈ 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943  {csn 4623  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  Scalarcsca 17209   ·𝑠 cvsca 17210  0gc0g 17394  1rcur 20086  DivRingcdr 20587  LModclmod 20706  LSpanclspn 20818  LVecclvec 20950  LIndSclinds 21700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lvec 20951  df-lindf 21701  df-linds 21702
This theorem is referenced by:  linds2eq  33003  lvecdim0  33209  lindsunlem  33227  fedgmul  33234  extdg1id  33260
  Copyright terms: Public domain W3C validator