Theorem 0nellinds 33753

Description: The group identity cannot be an element of an independent set. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-May-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
0nellinds.1	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
0nellinds	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ¬ 0 ∈ 𝐹)

Proof of Theorem 0nellinds

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ))
2		sneq 4601	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → {𝑥} = { 0 })
3	2	difeq2d 4081	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐹 ∖ {𝑥}) = (𝐹 ∖ { 0 }))
4	3	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥})) = ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })))
5	1, 4	eleq12d 2859	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ↔ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 }))))
6	5	notbid 321	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 }))))
7	6	ralbidv 3190	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 }))))
8		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
9		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
10		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
11		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
12		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
13		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
14	8, 9, 10, 11, 12, 13	islinds2 22017	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝐹 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥})))))
15	14	simplbda 505	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥})))
16	15	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥})))
17		simpr 490	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → 0 ∈ 𝐹)
18	7, 16, 17	rspcdva 3584	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → ∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })))
19		lveclmod 21281	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
20		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
21	11, 12, 20	lmod1cl 21064	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
22	19, 21	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
23	22	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
24	11	lvecdrng 21280	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
25	13, 20	drngunz 20901	. . . . . . . 8 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
26	24, 25	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
27	26	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
28		eldifsn 4755	. . . . . 6 ⊢ ((1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ↔ ((1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
29	23, 27, 28	sylanbrc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
30	29	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
31	19	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
32		0nellinds.1	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
33	11, 9, 12, 32	lmodvs0 21071	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) = 0 )
34	31, 21, 33	syl2anc2 597	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) = 0 )
35	8	linds1 22014	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊))
36	35	ad2antlr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊))
37	36	ssdifssd 4101	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → (𝐹 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑊))
38	32, 8, 10	0ellsp 33752	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐹 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑊)) → 0 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })))
39	31, 37, 38	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → 0 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })))
40	34, 39	eqeltrd 2865	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })))
41		oveq1 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (1r‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) = ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ))
42	41	eleq1d 2850	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (1r‘(Scalar‘𝑊)) → ((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })) ↔ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 }))))
43	42	rspcev 3583	. . . 4 ⊢ (((1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 }))) → ∃𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })))
44	30, 40, 43	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → ∃𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })))
45		dfrex2 3094	. . 3 ⊢ (∃𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })) ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })))
46	44, 45	sylib 221	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 0 ∈ 𝐹) → ¬ ∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ { 0 })))
47	18, 46	pm2.65da 829	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ¬ 0 ∈ 𝐹)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  ∃wrex 3091   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  {csn 4591  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17295  Scalarcsca 17339   ·_𝑠 cvsca 17340  0_gc0g 17518  1_rcur 20311  DivRingcdr 20881  LModclmod 21035  LSpanclspn 21146  LVecclvec 21277  LIndSclinds 22009

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-sets 17250  df-slot 17268  df-ndx 17280  df-base 17296  df-plusg 17349  df-mulr 17350  df-0g 17520  df-mgm 18724  df-sgrp 18813  df-mnd 18829  df-grp 19051  df-minusg 19052  df-sbg 19053  df-cmn 19900  df-abl 19901  df-mgp 20265  df-rng 20279  df-ur 20312  df-ring 20365  df-oppr 20469  df-dvdsr 20489  df-unit 20490  df-drng 20883  df-lmod 21037  df-lss 21107  df-lsp 21147  df-lvec 21278  df-lindf 22010  df-linds 22011

This theorem is used by:  linds2eq  33762  lvecdim0  34065  lindsunlem  34082  fedgmul  34089  extdg1id  34124