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Theorem lindsadd 36994
Description: In a vector space, the union of an independent set and a vector not in its span is an independent set. (Contributed by Brendan Leahy, 4-Mar-2023.)
Assertion
Ref Expression
lindsadd ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))) β†’ (𝐹 βˆͺ {𝑋}) ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))

Proof of Theorem lindsadd
Dummy variables π‘₯ π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
21linds1 21705 . . . 4 (𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) β†’ 𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
3 eldifi 4121 . . . . 5 (𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ)) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
43snssd 4807 . . . 4 (𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ)) β†’ {𝑋} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
5 unss 4179 . . . . 5 ((𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ {𝑋} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) ↔ (𝐹 βˆͺ {𝑋}) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
65biimpi 215 . . . 4 ((𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ {𝑋} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (𝐹 βˆͺ {𝑋}) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
72, 4, 6syl2an 595 . . 3 ((𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))) β†’ (𝐹 βˆͺ {𝑋}) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
873adant1 1127 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))) β†’ (𝐹 βˆͺ {𝑋}) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
9 eldifn 4122 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))
1093ad2ant3 1132 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))
1110adantr 480 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))
12 simpll1 1209 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))) ∧ π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {𝑋}))) β†’ π‘Š ∈ LVec)
132ssdifssd 4137 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) β†’ (𝐹 βˆ– {π‘₯}) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
14133ad2ant2 1131 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))) β†’ (𝐹 βˆ– {π‘₯}) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
1514ad2antrr 723 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))) ∧ π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {𝑋}))) β†’ (𝐹 βˆ– {π‘₯}) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
1633ad2ant3 1132 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
1716ad2antrr 723 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))) ∧ π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {𝑋}))) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
18 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))) ∧ π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {𝑋}))) β†’ π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {𝑋})))
19 lveclmod 20954 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
2019ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))) β†’ π‘Š ∈ LMod)
21 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
2221lmodring 20714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Š ∈ LMod β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Ring)
2319, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Š ∈ LVec β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Ring)
24 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
25 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
2624, 25ringelnzr 20423 . . . . . . . . . . . . . 14 (((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Ring ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ NzRing)
2723, 26sylan 579 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ NzRing)
2827ad2ant2rl 746 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ NzRing)
29 simplr 766 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))) β†’ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
30 simprl 768 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐹)
31 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (LSpanβ€˜π‘Š) = (LSpanβ€˜π‘Š)
3231, 21lindsind2 21714 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– {π‘₯})))
3320, 28, 29, 30, 32syl211anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– {π‘₯})))
34333adantl3 1165 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– {π‘₯})))
3534adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))) ∧ π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {𝑋}))) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– {π‘₯})))
3618, 35eldifd 3954 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))) ∧ π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {𝑋}))) β†’ π‘₯ ∈ (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {𝑋})) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– {π‘₯}))))
37 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
381, 37, 31lspsolv 20994 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LVec ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘₯}) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {𝑋})) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– {π‘₯}))))) β†’ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯})))
3912, 15, 17, 36, 38syl13anc 1369 . . . . . . 7 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))) ∧ π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {𝑋}))) β†’ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯})))
4039ex 412 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))) β†’ (π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {𝑋})) β†’ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯}))))
41 eldif 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ)) ↔ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ)))
42 snssi 4806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑋 ∈ 𝐹 β†’ {𝑋} βŠ† 𝐹)
431, 31lspss 20831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ {𝑋} βŠ† 𝐹) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑋}) βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))
4419, 2, 42, 43syl3an 1157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑋}) βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))
4544ad4ant124 1170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑋}) βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))
461, 31lspsnid 20840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑋}))
4719, 46sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑋}))
4847ad4ant13 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) β†’ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑋}))
4945, 48sseldd 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) β†’ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))
5049ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑋 ∈ 𝐹 β†’ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ)))
5150con3d 152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (Β¬ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐹))
5251expimpd 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) β†’ ((𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐹))
53523impia 1114 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐹)
5441, 53syl3an3b 1402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐹)
55 eleq1 2815 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑋 = π‘₯ β†’ (𝑋 ∈ 𝐹 ↔ π‘₯ ∈ 𝐹))
5655notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 = π‘₯ β†’ (Β¬ 𝑋 ∈ 𝐹 ↔ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹))
5754, 56syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))) β†’ (𝑋 = π‘₯ β†’ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹))
5857necon2ad 2949 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐹 β†’ 𝑋 β‰  π‘₯))
5958imp 406 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ 𝑋 β‰  π‘₯)
60 disjsn2 4711 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 β‰  π‘₯ β†’ ({𝑋} ∩ {π‘₯}) = βˆ…)
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ ({𝑋} ∩ {π‘₯}) = βˆ…)
62 disj3 4448 . . . . . . . . . . . . 13 (({𝑋} ∩ {π‘₯}) = βˆ… ↔ {𝑋} = ({𝑋} βˆ– {π‘₯}))
6361, 62sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ {𝑋} = ({𝑋} βˆ– {π‘₯}))
6463uneq2d 4158 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ ((𝐹 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {𝑋}) = ((𝐹 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ ({𝑋} βˆ– {π‘₯})))
65 difundir 4275 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βˆ– {π‘₯}) = ((𝐹 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ ({𝑋} βˆ– {π‘₯}))
6664, 65eqtr4di 2784 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ ((𝐹 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {𝑋}) = ((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βˆ– {π‘₯}))
6766fveq2d 6889 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {𝑋})) = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βˆ– {π‘₯})))
6867eleq2d 2813 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ (π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {𝑋})) ↔ π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βˆ– {π‘₯}))))
6968adantrr 714 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))) β†’ (π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {𝑋})) ↔ π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βˆ– {π‘₯}))))
70 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ π‘Š ∈ LVec)
71 eldifsn 4785 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) ↔ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘˜ β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
7271biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) β†’ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘˜ β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
7372adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘˜ β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
742sselda 3977 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
75 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
761, 21, 75, 25, 24, 31lspsnvs 20965 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘˜ β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)}) = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}))
7770, 73, 74, 76syl2an3an 1419 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ∧ (𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ 𝐹)) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)}) = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}))
7877an42s 658 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)}) = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}))
7978sseq1d 4008 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))) β†’ (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)}) βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βˆ– {π‘₯})) ↔ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βˆ– {π‘₯}))))
80793adantl3 1165 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))) β†’ (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)}) βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βˆ– {π‘₯})) ↔ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βˆ– {π‘₯}))))
81 eldifi 4121 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) β†’ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
82193ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
8382adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))) β†’ π‘Š ∈ LMod)
84 snssi 4806 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) β†’ {𝑋} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
852, 84, 6syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (𝐹 βˆͺ {𝑋}) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
8685ssdifssd 4137 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ ((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βˆ– {π‘₯}) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
871, 37, 31lspcl 20823 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βˆ– {π‘₯}) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βˆ– {π‘₯})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
8819, 86, 87syl2an 595 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βˆ– {π‘₯})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
89883impb 1112 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βˆ– {π‘₯})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
9089adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βˆ– {π‘₯})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
9119anim1i 614 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘Š ∈ LMod ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
921, 21, 75, 25lmodvscl 20724 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
93923expa 1115 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
9491, 74, 93syl2an 595 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ 𝐹)) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
9594an42s 658 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
96953adantl3 1165 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
971, 37, 31, 83, 90, 96lspsnel5 20842 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βˆ– {π‘₯})) ↔ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)}) βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βˆ– {π‘₯}))))
9881, 97sylanr2 680 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βˆ– {π‘₯})) ↔ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)}) βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βˆ– {π‘₯}))))
9982adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ π‘Š ∈ LMod)
10089adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βˆ– {π‘₯})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
101743ad2antl2 1183 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
1021, 37, 31, 99, 100, 101lspsnel5 20842 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ (π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βˆ– {π‘₯})) ↔ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βˆ– {π‘₯}))))
103102adantrr 714 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))) β†’ (π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βˆ– {π‘₯})) ↔ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βˆ– {π‘₯}))))
10480, 98, 1033bitr4rd 312 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))) β†’ (π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βˆ– {π‘₯})) ↔ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βˆ– {π‘₯}))))
1053, 104syl3anl3 1411 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))) β†’ (π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βˆ– {π‘₯})) ↔ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βˆ– {π‘₯}))))
10669, 105bitrd 279 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))) β†’ (π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {𝑋})) ↔ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βˆ– {π‘₯}))))
107 difsnid 4808 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐹 β†’ ((𝐹 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯}) = 𝐹)
108107fveq2d 6889 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐹 β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯})) = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))
109108eleq2d 2813 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐹 β†’ (𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯})) ↔ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ)))
110109ad2antrl 725 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))) β†’ (𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯})) ↔ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ)))
11140, 106, 1103imtr3d 293 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βˆ– {π‘₯})) β†’ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ)))
11211, 111mtod 197 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))) β†’ Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βˆ– {π‘₯})))
113112ralrimivva 3194 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐹 βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βˆ– {π‘₯})))
11410adantr 480 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))) ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))
115 difsn 4796 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ 𝑋 ∈ 𝐹 β†’ (𝐹 βˆ– {𝑋}) = 𝐹)
11654, 115syl 17 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))) β†’ (𝐹 βˆ– {𝑋}) = 𝐹)
117116fveq2d 6889 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– {𝑋})) = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))
118117eleq2d 2813 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– {𝑋})) ↔ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ)))
119118adantr 480 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))) ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– {𝑋})) ↔ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ)))
1201, 21, 75, 25, 24, 31lspsnvs 20965 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘˜ β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)}) = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑋}))
1211203expa 1115 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘˜ β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)}) = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑋}))
122121an32s 649 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘˜ β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)}) = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑋}))
12371, 122sylan2b 593 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)}) = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑋}))
124123sseq1d 4008 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)}) βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ) ↔ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑋}) βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ)))
1251243adantl2 1164 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)}) βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ) ↔ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑋}) βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ)))
12682adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ π‘Š ∈ LMod)
1271, 37, 31lspcl 20823 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
12819, 2, 127syl2an 595 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
1291283adant3 1129 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
130129adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
1311, 21, 75, 25lmodvscl 20724 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
1321313expa 1115 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
133132an32s 649 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
13419, 133sylanl1 677 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
1351343adantl2 1164 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
1361, 37, 31, 126, 130, 135lspsnel5 20842 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ) ↔ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)}) βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ)))
13781, 136sylan2 592 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ) ↔ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)}) βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ)))
138 simp3 1135 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
1391, 37, 31, 82, 129, 138lspsnel5 20842 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ) ↔ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑋}) βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ)))
140139adantr 480 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ (𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ) ↔ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑋}) βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ)))
141125, 137, 1403bitr4d 311 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ) ↔ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ)))
1423, 141syl3anl3 1411 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))) ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ) ↔ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ)))
143119, 142bitrd 279 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))) ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– {𝑋})) ↔ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ)))
144114, 143mtbird 325 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))) ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– {𝑋})))
145144ralrimiva 3140 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– {𝑋})))
146 oveq2 7413 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))
147 sneq 4633 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑋 β†’ {π‘₯} = {𝑋})
148147difeq2d 4117 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βˆ– {π‘₯}) = ((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βˆ– {𝑋}))
149 difun2 4475 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βˆ– {𝑋}) = (𝐹 βˆ– {𝑋})
150148, 149eqtrdi 2782 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βˆ– {π‘₯}) = (𝐹 βˆ– {𝑋}))
151150fveq2d 6889 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βˆ– {π‘₯})) = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– {𝑋})))
152146, 151eleq12d 2821 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βˆ– {π‘₯})) ↔ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– {𝑋}))))
153152notbid 318 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βˆ– {π‘₯})) ↔ Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– {𝑋}))))
154153ralbidv 3171 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βˆ– {π‘₯})) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– {𝑋}))))
155154ralsng 4672 . . . . 5 (𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ {𝑋}βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βˆ– {π‘₯})) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– {𝑋}))))
1561553ad2ant3 1132 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ {𝑋}βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βˆ– {π‘₯})) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 βˆ– {𝑋}))))
157145, 156mpbird 257 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {𝑋}βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βˆ– {π‘₯})))
158 ralunb 4186 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐹 βˆͺ {𝑋})βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βˆ– {π‘₯})) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐹 βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βˆ– {π‘₯})) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {𝑋}βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βˆ– {π‘₯}))))
159113, 157, 158sylanbrc 582 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐹 βˆͺ {𝑋})βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βˆ– {π‘₯})))
1601, 75, 31, 21, 25, 24islinds2 21708 . . 3 (π‘Š ∈ LVec β†’ ((𝐹 βˆͺ {𝑋}) ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ ((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐹 βˆͺ {𝑋})βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βˆ– {π‘₯})))))
1611603ad2ant1 1130 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))) β†’ ((𝐹 βˆͺ {𝑋}) ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ ((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐹 βˆͺ {𝑋})βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((𝐹 βˆͺ {𝑋}) βˆ– {π‘₯})))))
1628, 159, 161mpbir2and 710 1 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜πΉ))) β†’ (𝐹 βˆͺ {𝑋}) ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055   βˆ– cdif 3940   βˆͺ cun 3941   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  {csn 4623  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  Scalarcsca 17209   ·𝑠 cvsca 17210  0gc0g 17394  Ringcrg 20138  NzRingcnzr 20414  LModclmod 20706  LSubSpclss 20778  LSpanclspn 20818  LVecclvec 20950  LIndSclinds 21700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-nzr 20415  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lvec 20951  df-lindf 21701  df-linds 21702
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