Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lindsadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lindsadd 37621
Description: In a vector space, the union of an independent set and a vector not in its span is an independent set. (Contributed by Brendan Leahy, 4-Mar-2023.)
Assertion
Ref Expression
lindsadd ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → (𝐹 ∪ {𝑋}) ∈ (LIndS‘𝑊))

Proof of Theorem lindsadd
Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . . . 5 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
21linds1 21831 . . . 4 (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊))
3 eldifi 4130 . . . . 5 (𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
43snssd 4808 . . . 4 (𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)) → {𝑋} ⊆ (Base‘𝑊))
5 unss 4189 . . . . 5 ((𝐹 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ {𝑋} ⊆ (Base‘𝑊)) ↔ (𝐹 ∪ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑊))
65biimpi 216 . . . 4 ((𝐹 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ {𝑋} ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝐹 ∪ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑊))
72, 4, 6syl2an 596 . . 3 ((𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → (𝐹 ∪ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑊))
873adant1 1130 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → (𝐹 ∪ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑊))
9 eldifn 4131 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)) → ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))
1093ad2ant3 1135 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))
1110adantr 480 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))
12 simpll1 1212 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) ∧ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋}))) → 𝑊 ∈ LVec)
132ssdifssd 4146 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) → (𝐹 ∖ {𝑥}) ⊆ (Base‘𝑊))
14133ad2ant2 1134 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → (𝐹 ∖ {𝑥}) ⊆ (Base‘𝑊))
1514ad2antrr 726 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) ∧ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋}))) → (𝐹 ∖ {𝑥}) ⊆ (Base‘𝑊))
1633ad2ant3 1135 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
1716ad2antrr 726 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) ∧ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
18 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) ∧ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋})))
19 lveclmod 21106 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2019ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → 𝑊 ∈ LMod)
21 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2221lmodring 20867 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
2319, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
24 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
25 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
2624, 25ringelnzr 20524 . . . . . . . . . . . . . 14 (((Scalar‘𝑊) ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → (Scalar‘𝑊) ∈ NzRing)
2723, 26sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → (Scalar‘𝑊) ∈ NzRing)
2827ad2ant2rl 749 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (Scalar‘𝑊) ∈ NzRing)
29 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))
30 simprl 770 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → 𝑥𝐹)
31 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
3231, 21lindsind2 21840 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑥𝐹) → ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥})))
3320, 28, 29, 30, 32syl211anc 1377 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥})))
34333adantl3 1168 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥})))
3534adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) ∧ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋}))) → ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥})))
3618, 35eldifd 3961 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) ∧ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ (((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋})) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥}))))
37 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
381, 37, 31lspsolv 21146 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LVec ∧ ((𝐹 ∖ {𝑥}) ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋})) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥}))))) → 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))
3912, 15, 17, 36, 38syl13anc 1373 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) ∧ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))
4039ex 412 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋})) → 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))))
41 eldif 3960 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑊) ∧ ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)))
42 snssi 4807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑋𝐹 → {𝑋} ⊆ 𝐹)
431, 31lspss 20983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ {𝑋} ⊆ 𝐹) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))
4419, 2, 42, 43syl3an 1160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋𝐹) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))
4544ad4ant124 1173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑋𝐹) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))
461, 31lspsnid 20992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}))
4719, 46sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}))
4847ad4ant13 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑋𝐹) → 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}))
4945, 48sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑋𝐹) → 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))
5049ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑋𝐹𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)))
5150con3d 152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → (¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹) → ¬ 𝑋𝐹))
5251expimpd 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ((𝑋 ∈ (Base‘𝑊) ∧ ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)) → ¬ 𝑋𝐹))
53523impia 1117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝑊) ∧ ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → ¬ 𝑋𝐹)
5441, 53syl3an3b 1406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → ¬ 𝑋𝐹)
55 eleq1 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑋 = 𝑥 → (𝑋𝐹𝑥𝐹))
5655notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 = 𝑥 → (¬ 𝑋𝐹 ↔ ¬ 𝑥𝐹))
5754, 56syl5ibcom 245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → (𝑋 = 𝑥 → ¬ 𝑥𝐹))
5857necon2ad 2954 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → (𝑥𝐹𝑋𝑥))
5958imp 406 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ 𝑥𝐹) → 𝑋𝑥)
60 disjsn2 4711 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋𝑥 → ({𝑋} ∩ {𝑥}) = ∅)
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ 𝑥𝐹) → ({𝑋} ∩ {𝑥}) = ∅)
62 disj3 4453 . . . . . . . . . . . . 13 (({𝑋} ∩ {𝑥}) = ∅ ↔ {𝑋} = ({𝑋} ∖ {𝑥}))
6361, 62sylib 218 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ 𝑥𝐹) → {𝑋} = ({𝑋} ∖ {𝑥}))
6463uneq2d 4167 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ 𝑥𝐹) → ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋}) = ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ ({𝑋} ∖ {𝑥})))
65 difundir 4290 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}) = ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ ({𝑋} ∖ {𝑥}))
6664, 65eqtr4di 2794 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ 𝑥𝐹) → ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋}) = ((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}))
6766fveq2d 6909 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ 𝑥𝐹) → ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋})) = ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})))
6867eleq2d 2826 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ 𝑥𝐹) → (𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋})) ↔ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}))))
6968adantrr 717 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋})) ↔ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}))))
70 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → 𝑊 ∈ LVec)
71 eldifsn 4785 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ↔ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
7271biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
7372adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
742sselda 3982 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑥𝐹) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
75 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
761, 21, 75, 25, 24, 31lspsnvs 21117 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥)}) = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
7770, 73, 74, 76syl2an3an 1423 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑥𝐹)) → ((LSpan‘𝑊)‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥)}) = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
7877an42s 661 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ((LSpan‘𝑊)‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥)}) = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
7978sseq1d 4014 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (((LSpan‘𝑊)‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥)}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}))))
80793adantl3 1168 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (((LSpan‘𝑊)‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥)}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}))))
81 eldifi 4130 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
82193ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LMod)
8382adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))) → 𝑊 ∈ LMod)
84 snssi 4807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ (Base‘𝑊) → {𝑋} ⊆ (Base‘𝑊))
852, 84, 6syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝐹 ∪ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑊))
8685ssdifssd 4146 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}) ⊆ (Base‘𝑊))
871, 37, 31lspcl 20975 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}) ⊆ (Base‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
8819, 86, 87syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))) → ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
89883impb 1114 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
9089adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))) → ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
9119anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
921, 21, 75, 25lmodvscl 20877 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ (Base‘𝑊))
93923expa 1118 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ (Base‘𝑊))
9491, 74, 93syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑥𝐹)) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ (Base‘𝑊))
9594an42s 661 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ (Base‘𝑊))
96953adantl3 1168 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ (Base‘𝑊))
971, 37, 31, 83, 90, 96ellspsn5b 20994 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))) → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥)}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}))))
9881, 97sylanr2 683 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥)}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}))))
9982adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑥𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
10089adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑥𝐹) → ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
101743ad2antl2 1186 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑥𝐹) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
1021, 37, 31, 99, 100, 101ellspsn5b 20994 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑥𝐹) → (𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}))))
103102adantrr 717 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}))))
10480, 98, 1033bitr4rd 312 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ↔ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}))))
1053, 104syl3anl3 1415 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ↔ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}))))
10669, 105bitrd 279 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋})) ↔ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}))))
107 difsnid 4809 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐹 → ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐹)
108107fveq2d 6909 . . . . . . . 8 (𝑥𝐹 → ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))
109108eleq2d 2826 . . . . . . 7 (𝑥𝐹 → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) ↔ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)))
110109ad2antrl 728 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) ↔ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)))
11140, 106, 1103imtr3d 293 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) → 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)))
11211, 111mtod 198 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})))
113112ralrimivva 3201 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → ∀𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})))
11410adantr 480 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))
115 difsn 4797 . . . . . . . . . . 11 𝑋𝐹 → (𝐹 ∖ {𝑋}) = 𝐹)
11654, 115syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → (𝐹 ∖ {𝑋}) = 𝐹)
117116fveq2d 6909 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑋})) = ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))
118117eleq2d 2826 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑋})) ↔ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)))
119118adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑋})) ↔ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)))
1201, 21, 75, 25, 24, 31lspsnvs 21117 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)}) = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}))
1211203expa 1118 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)}) = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}))
122121an32s 652 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))) → ((LSpan‘𝑊)‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)}) = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}))
12371, 122sylan2b 594 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((LSpan‘𝑊)‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)}) = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}))
124123sseq1d 4014 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → (((LSpan‘𝑊)‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹) ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)))
1251243adantl2 1167 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → (((LSpan‘𝑊)‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹) ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)))
12682adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑊 ∈ LMod)
1271, 37, 31lspcl 20975 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘𝐹) ∈ (LSubSp‘𝑊))
12819, 2, 127syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘𝐹) ∈ (LSubSp‘𝑊))
1291283adant3 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘𝐹) ∈ (LSubSp‘𝑊))
130129adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((LSpan‘𝑊)‘𝐹) ∈ (LSubSp‘𝑊))
1311, 21, 75, 25lmodvscl 20877 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
1321313expa 1118 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
133132an32s 652 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
13419, 133sylanl1 680 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
1351343adantl2 1167 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
1361, 37, 31, 126, 130, 135ellspsn5b 20994 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹) ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)))
13781, 136sylan2 593 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹) ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)))
138 simp3 1138 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
1391, 37, 31, 82, 129, 138ellspsn5b 20994 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹) ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)))
140139adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹) ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)))
141125, 137, 1403bitr4d 311 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹) ↔ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)))
1423, 141syl3anl3 1415 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹) ↔ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)))
143119, 142bitrd 279 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑋})) ↔ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)))
144114, 143mtbird 325 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑋})))
145144ralrimiva 3145 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → ∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑋})))
146 oveq2 7440 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))
147 sneq 4635 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
148147difeq2d 4125 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}) = ((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑋}))
149 difun2 4480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑋}) = (𝐹 ∖ {𝑋})
150148, 149eqtrdi 2792 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}) = (𝐹 ∖ {𝑋}))
151150fveq2d 6909 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) = ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑋})))
152146, 151eleq12d 2834 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ↔ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑋}))))
153152notbid 318 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ↔ ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑋}))))
154153ralbidv 3177 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑋}))))
155154ralsng 4674 . . . . 5 (𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)) → (∀𝑥 ∈ {𝑋}∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑋}))))
1561553ad2ant3 1135 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → (∀𝑥 ∈ {𝑋}∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑋}))))
157145, 156mpbird 257 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → ∀𝑥 ∈ {𝑋}∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})))
158 ralunb 4196 . . 3 (∀𝑥 ∈ (𝐹 ∪ {𝑋})∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ↔ (∀𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑋}∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}))))
159113, 157, 158sylanbrc 583 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → ∀𝑥 ∈ (𝐹 ∪ {𝑋})∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})))
1601, 75, 31, 21, 25, 24islinds2 21834 . . 3 (𝑊 ∈ LVec → ((𝐹 ∪ {𝑋}) ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ((𝐹 ∪ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹 ∪ {𝑋})∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})))))
1611603ad2ant1 1133 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → ((𝐹 ∪ {𝑋}) ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ((𝐹 ∪ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹 ∪ {𝑋})∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})))))
1628, 159, 161mpbir2and 713 1 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → (𝐹 ∪ {𝑋}) ∈ (LIndS‘𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wral 3060  cdif 3947  cun 3948  cin 3949  wss 3950  c0 4332  {csn 4625  cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  0gc0g 17485  Ringcrg 20231  NzRingcnzr 20513  LModclmod 20859  LSubSpclss 20930  LSpanclspn 20970  LVecclvec 21102  LIndSclinds 21826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-oppr 20335  df-dvdsr 20358  df-unit 20359  df-invr 20389  df-nzr 20514  df-drng 20732  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-lsp 20971  df-lvec 21103  df-lindf 21827  df-linds 21828
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator