Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lindsadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lindsadd 36071
Description: In a vector space, the union of an independent set and a vector not in its span is an independent set. (Contributed by Brendan Leahy, 4-Mar-2023.)
Assertion
Ref Expression
lindsadd ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → (𝐹 ∪ {𝑋}) ∈ (LIndS‘𝑊))

Proof of Theorem lindsadd
Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . . . 5 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
21linds1 21216 . . . 4 (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊))
3 eldifi 4086 . . . . 5 (𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
43snssd 4769 . . . 4 (𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)) → {𝑋} ⊆ (Base‘𝑊))
5 unss 4144 . . . . 5 ((𝐹 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ {𝑋} ⊆ (Base‘𝑊)) ↔ (𝐹 ∪ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑊))
65biimpi 215 . . . 4 ((𝐹 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ {𝑋} ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝐹 ∪ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑊))
72, 4, 6syl2an 596 . . 3 ((𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → (𝐹 ∪ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑊))
873adant1 1130 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → (𝐹 ∪ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑊))
9 eldifn 4087 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)) → ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))
1093ad2ant3 1135 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))
1110adantr 481 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))
12 simpll1 1212 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) ∧ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋}))) → 𝑊 ∈ LVec)
132ssdifssd 4102 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) → (𝐹 ∖ {𝑥}) ⊆ (Base‘𝑊))
14133ad2ant2 1134 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → (𝐹 ∖ {𝑥}) ⊆ (Base‘𝑊))
1514ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) ∧ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋}))) → (𝐹 ∖ {𝑥}) ⊆ (Base‘𝑊))
1633ad2ant3 1135 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
1716ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) ∧ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
18 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) ∧ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋})))
19 lveclmod 20567 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2019ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → 𝑊 ∈ LMod)
21 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2221lmodring 20330 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
2319, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
24 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
25 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
2624, 25ringelnzr 20736 . . . . . . . . . . . . . 14 (((Scalar‘𝑊) ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → (Scalar‘𝑊) ∈ NzRing)
2723, 26sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → (Scalar‘𝑊) ∈ NzRing)
2827ad2ant2rl 747 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (Scalar‘𝑊) ∈ NzRing)
29 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))
30 simprl 769 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → 𝑥𝐹)
31 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
3231, 21lindsind2 21225 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑥𝐹) → ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥})))
3320, 28, 29, 30, 32syl211anc 1376 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥})))
34333adantl3 1168 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥})))
3534adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) ∧ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋}))) → ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥})))
3618, 35eldifd 3921 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) ∧ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ (((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋})) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥}))))
37 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
381, 37, 31lspsolv 20604 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LVec ∧ ((𝐹 ∖ {𝑥}) ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋})) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥}))))) → 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))
3912, 15, 17, 36, 38syl13anc 1372 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) ∧ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))
4039ex 413 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋})) → 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))))
41 eldif 3920 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑊) ∧ ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)))
42 snssi 4768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑋𝐹 → {𝑋} ⊆ 𝐹)
431, 31lspss 20445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ {𝑋} ⊆ 𝐹) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))
4419, 2, 42, 43syl3an 1160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋𝐹) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))
4544ad4ant124 1173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑋𝐹) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))
461, 31lspsnid 20454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}))
4719, 46sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}))
4847ad4ant13 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑋𝐹) → 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}))
4945, 48sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑋𝐹) → 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))
5049ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑋𝐹𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)))
5150con3d 152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → (¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹) → ¬ 𝑋𝐹))
5251expimpd 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ((𝑋 ∈ (Base‘𝑊) ∧ ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)) → ¬ 𝑋𝐹))
53523impia 1117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝑊) ∧ ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → ¬ 𝑋𝐹)
5441, 53syl3an3b 1405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → ¬ 𝑋𝐹)
55 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑋 = 𝑥 → (𝑋𝐹𝑥𝐹))
5655notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 = 𝑥 → (¬ 𝑋𝐹 ↔ ¬ 𝑥𝐹))
5754, 56syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → (𝑋 = 𝑥 → ¬ 𝑥𝐹))
5857necon2ad 2958 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → (𝑥𝐹𝑋𝑥))
5958imp 407 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ 𝑥𝐹) → 𝑋𝑥)
60 disjsn2 4673 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋𝑥 → ({𝑋} ∩ {𝑥}) = ∅)
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ 𝑥𝐹) → ({𝑋} ∩ {𝑥}) = ∅)
62 disj3 4413 . . . . . . . . . . . . 13 (({𝑋} ∩ {𝑥}) = ∅ ↔ {𝑋} = ({𝑋} ∖ {𝑥}))
6361, 62sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ 𝑥𝐹) → {𝑋} = ({𝑋} ∖ {𝑥}))
6463uneq2d 4123 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ 𝑥𝐹) → ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋}) = ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ ({𝑋} ∖ {𝑥})))
65 difundir 4240 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}) = ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ ({𝑋} ∖ {𝑥}))
6664, 65eqtr4di 2794 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ 𝑥𝐹) → ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋}) = ((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}))
6766fveq2d 6846 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ 𝑥𝐹) → ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋})) = ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})))
6867eleq2d 2823 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ 𝑥𝐹) → (𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋})) ↔ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}))))
6968adantrr 715 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋})) ↔ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}))))
70 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → 𝑊 ∈ LVec)
71 eldifsn 4747 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ↔ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
7271biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
7372adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
742sselda 3944 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑥𝐹) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
75 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
761, 21, 75, 25, 24, 31lspsnvs 20575 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥)}) = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
7770, 73, 74, 76syl2an3an 1422 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑥𝐹)) → ((LSpan‘𝑊)‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥)}) = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
7877an42s 659 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ((LSpan‘𝑊)‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥)}) = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
7978sseq1d 3975 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (((LSpan‘𝑊)‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥)}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}))))
80793adantl3 1168 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (((LSpan‘𝑊)‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥)}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}))))
81 eldifi 4086 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
82193ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LMod)
8382adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))) → 𝑊 ∈ LMod)
84 snssi 4768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ (Base‘𝑊) → {𝑋} ⊆ (Base‘𝑊))
852, 84, 6syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝐹 ∪ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑊))
8685ssdifssd 4102 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}) ⊆ (Base‘𝑊))
871, 37, 31lspcl 20437 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}) ⊆ (Base‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
8819, 86, 87syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))) → ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
89883impb 1115 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
9089adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))) → ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
9119anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
921, 21, 75, 25lmodvscl 20339 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ (Base‘𝑊))
93923expa 1118 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ (Base‘𝑊))
9491, 74, 93syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑥𝐹)) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ (Base‘𝑊))
9594an42s 659 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ (Base‘𝑊))
96953adantl3 1168 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ (Base‘𝑊))
971, 37, 31, 83, 90, 96lspsnel5 20456 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))) → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥)}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}))))
9881, 97sylanr2 681 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥)}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}))))
9982adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑥𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
10089adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑥𝐹) → ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
101743ad2antl2 1186 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑥𝐹) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
1021, 37, 31, 99, 100, 101lspsnel5 20456 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑥𝐹) → (𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}))))
103102adantrr 715 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}))))
10480, 98, 1033bitr4rd 311 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ↔ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}))))
1053, 104syl3anl3 1414 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ↔ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}))))
10669, 105bitrd 278 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋})) ↔ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}))))
107 difsnid 4770 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐹 → ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐹)
108107fveq2d 6846 . . . . . . . 8 (𝑥𝐹 → ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))
109108eleq2d 2823 . . . . . . 7 (𝑥𝐹 → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) ↔ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)))
110109ad2antrl 726 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) ↔ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)))
11140, 106, 1103imtr3d 292 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) → 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)))
11211, 111mtod 197 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})))
113112ralrimivva 3197 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → ∀𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})))
11410adantr 481 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))
115 difsn 4758 . . . . . . . . . . 11 𝑋𝐹 → (𝐹 ∖ {𝑋}) = 𝐹)
11654, 115syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → (𝐹 ∖ {𝑋}) = 𝐹)
117116fveq2d 6846 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑋})) = ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))
118117eleq2d 2823 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑋})) ↔ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)))
119118adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑋})) ↔ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)))
1201, 21, 75, 25, 24, 31lspsnvs 20575 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)}) = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}))
1211203expa 1118 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)}) = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}))
122121an32s 650 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))) → ((LSpan‘𝑊)‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)}) = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}))
12371, 122sylan2b 594 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((LSpan‘𝑊)‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)}) = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}))
124123sseq1d 3975 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → (((LSpan‘𝑊)‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹) ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)))
1251243adantl2 1167 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → (((LSpan‘𝑊)‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹) ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)))
12682adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑊 ∈ LMod)
1271, 37, 31lspcl 20437 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘𝐹) ∈ (LSubSp‘𝑊))
12819, 2, 127syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘𝐹) ∈ (LSubSp‘𝑊))
1291283adant3 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘𝐹) ∈ (LSubSp‘𝑊))
130129adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((LSpan‘𝑊)‘𝐹) ∈ (LSubSp‘𝑊))
1311, 21, 75, 25lmodvscl 20339 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
1321313expa 1118 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
133132an32s 650 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
13419, 133sylanl1 678 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
1351343adantl2 1167 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
1361, 37, 31, 126, 130, 135lspsnel5 20456 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹) ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)))
13781, 136sylan2 593 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹) ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)))
138 simp3 1138 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
1391, 37, 31, 82, 129, 138lspsnel5 20456 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹) ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)))
140139adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹) ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)))
141125, 137, 1403bitr4d 310 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹) ↔ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)))
1423, 141syl3anl3 1414 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹) ↔ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)))
143119, 142bitrd 278 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑋})) ↔ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)))
144114, 143mtbird 324 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑋})))
145144ralrimiva 3143 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → ∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑋})))
146 oveq2 7365 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))
147 sneq 4596 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
148147difeq2d 4082 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}) = ((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑋}))
149 difun2 4440 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑋}) = (𝐹 ∖ {𝑋})
150148, 149eqtrdi 2792 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}) = (𝐹 ∖ {𝑋}))
151150fveq2d 6846 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) = ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑋})))
152146, 151eleq12d 2832 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ↔ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑋}))))
153152notbid 317 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ↔ ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑋}))))
154153ralbidv 3174 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑋}))))
155154ralsng 4634 . . . . 5 (𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)) → (∀𝑥 ∈ {𝑋}∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑋}))))
1561553ad2ant3 1135 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → (∀𝑥 ∈ {𝑋}∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑋}))))
157145, 156mpbird 256 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → ∀𝑥 ∈ {𝑋}∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})))
158 ralunb 4151 . . 3 (∀𝑥 ∈ (𝐹 ∪ {𝑋})∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ↔ (∀𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑋}∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}))))
159113, 157, 158sylanbrc 583 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → ∀𝑥 ∈ (𝐹 ∪ {𝑋})∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})))
1601, 75, 31, 21, 25, 24islinds2 21219 . . 3 (𝑊 ∈ LVec → ((𝐹 ∪ {𝑋}) ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ((𝐹 ∪ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹 ∪ {𝑋})∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})))))
1611603ad2ant1 1133 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → ((𝐹 ∪ {𝑋}) ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ((𝐹 ∪ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹 ∪ {𝑋})∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})))))
1628, 159, 161mpbir2and 711 1 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → (𝐹 ∪ {𝑋}) ∈ (LIndS‘𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  cdif 3907  cun 3908  cin 3909  wss 3910  c0 4282  {csn 4586  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  Scalarcsca 17136   ·𝑠 cvsca 17137  0gc0g 17321  Ringcrg 19964  LModclmod 20322  LSubSpclss 20392  LSpanclspn 20432  LVecclvec 20563  NzRingcnzr 20727  LIndSclinds 21211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-drng 20187  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-lvec 20564  df-nzr 20728  df-lindf 21212  df-linds 21213
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator