Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lindsadd Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: An element of a vector space outside the span of an independent set is itself independent of the set. (Contributed by Brendan Leahy, 4-Mar-2023.)
Assertion
Ref Expression
lindsadd ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → (𝐹 ∪ {𝑋}) ∈ (LIndS‘𝑊))

Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2825 . . . . 5 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
21linds1 20523 . . . 4 (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊))
3 eldifi 3961 . . . . 5 (𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
43snssd 4560 . . . 4 (𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)) → {𝑋} ⊆ (Base‘𝑊))
5 unss 4016 . . . . 5 ((𝐹 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ {𝑋} ⊆ (Base‘𝑊)) ↔ (𝐹 ∪ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑊))
65biimpi 208 . . . 4 ((𝐹 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ {𝑋} ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝐹 ∪ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑊))
72, 4, 6syl2an 589 . . 3 ((𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → (𝐹 ∪ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑊))
873adant1 1164 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → (𝐹 ∪ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑊))
9 eldifn 3962 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)) → ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))
1093ad2ant3 1169 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))
1110adantr 474 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))
12 simpll1 1273 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) ∧ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋}))) → 𝑊 ∈ LVec)
132ssdifssd 3977 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) → (𝐹 ∖ {𝑥}) ⊆ (Base‘𝑊))
14133ad2ant2 1168 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → (𝐹 ∖ {𝑥}) ⊆ (Base‘𝑊))
1514ad2antrr 717 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) ∧ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋}))) → (𝐹 ∖ {𝑥}) ⊆ (Base‘𝑊))
1633ad2ant3 1169 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
1716ad2antrr 717 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) ∧ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
18 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) ∧ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋})))
19 lveclmod 19472 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2019ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → 𝑊 ∈ LMod)
21 eqid 2825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2221lmodring 19234 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
2319, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
2423ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
25 df2o2 7846 . . . . . . . . . . . . . . 15 2o = {∅, {∅}}
26 0nep0 5060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ∅ ≠ {∅}
27 eldifsni 4542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) → 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
28 0ex 5016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ∅ ∈ V
29 vex 3417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑘 ∈ V
30 p0ex 5085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {∅} ∈ V
31 fvex 6450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ V
32 f1oprg 6426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((∅ ∈ V ∧ 𝑘 ∈ V) ∧ ({∅} ∈ V ∧ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ V)) → ((∅ ≠ {∅} ∧ 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))) → {⟨∅, 𝑘⟩, ⟨{∅}, (0g‘(Scalar‘𝑊))⟩}:{∅, {∅}}–1-1-onto→{𝑘, (0g‘(Scalar‘𝑊))}))
3328, 29, 30, 31, 32mp4an 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((∅ ≠ {∅} ∧ 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))) → {⟨∅, 𝑘⟩, ⟨{∅}, (0g‘(Scalar‘𝑊))⟩}:{∅, {∅}}–1-1-onto→{𝑘, (0g‘(Scalar‘𝑊))})
3426, 27, 33sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) → {⟨∅, 𝑘⟩, ⟨{∅}, (0g‘(Scalar‘𝑊))⟩}:{∅, {∅}}–1-1-onto→{𝑘, (0g‘(Scalar‘𝑊))})
35 f1of1 6381 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({⟨∅, 𝑘⟩, ⟨{∅}, (0g‘(Scalar‘𝑊))⟩}:{∅, {∅}}–1-1-onto→{𝑘, (0g‘(Scalar‘𝑊))} → {⟨∅, 𝑘⟩, ⟨{∅}, (0g‘(Scalar‘𝑊))⟩}:{∅, {∅}}–1-1→{𝑘, (0g‘(Scalar‘𝑊))})
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) → {⟨∅, 𝑘⟩, ⟨{∅}, (0g‘(Scalar‘𝑊))⟩}:{∅, {∅}}–1-1→{𝑘, (0g‘(Scalar‘𝑊))})
37 eldifi 3961 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3821lmodfgrp 19235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
39 eqid 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
40 eqid 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
4139, 40grpidcl 17811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Scalar‘𝑊) ∈ Grp → (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
4219, 38, 413syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑊 ∈ LVec → (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
43 prssi 4572 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → {𝑘, (0g‘(Scalar‘𝑊))} ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
4437, 42, 43syl2anr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → {𝑘, (0g‘(Scalar‘𝑊))} ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
45 f1ss 6347 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (({⟨∅, 𝑘⟩, ⟨{∅}, (0g‘(Scalar‘𝑊))⟩}:{∅, {∅}}–1-1→{𝑘, (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∧ {𝑘, (0g‘(Scalar‘𝑊))} ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → {⟨∅, 𝑘⟩, ⟨{∅}, (0g‘(Scalar‘𝑊))⟩}:{∅, {∅}}–1-1→(Base‘(Scalar‘𝑊)))
4636, 44, 45syl2an2 677 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → {⟨∅, 𝑘⟩, ⟨{∅}, (0g‘(Scalar‘𝑊))⟩}:{∅, {∅}}–1-1→(Base‘(Scalar‘𝑊)))
47 fvex 6450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∈ V
4847f1dom 8250 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({⟨∅, 𝑘⟩, ⟨{∅}, (0g‘(Scalar‘𝑊))⟩}:{∅, {∅}}–1-1→(Base‘(Scalar‘𝑊)) → {∅, {∅}} ≼ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
4946, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → {∅, {∅}} ≼ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
5025, 49syl5eqbr 4910 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → 2o ≼ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
5150ad2ant2rl 755 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → 2o ≼ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
5239isnzr2 19631 . . . . . . . . . . . . 13 ((Scalar‘𝑊) ∈ NzRing ↔ ((Scalar‘𝑊) ∈ Ring ∧ 2o ≼ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
5324, 51, 52sylanbrc 578 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (Scalar‘𝑊) ∈ NzRing)
54 simplr 785 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))
55 simprl 787 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → 𝑥𝐹)
56 eqid 2825 . . . . . . . . . . . . 13 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
5756, 21lindsind2 20532 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑥𝐹) → ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥})))
5820, 53, 54, 55, 57syl211anc 1499 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥})))
59583adantl3 1213 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥})))
6059adantr 474 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) ∧ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋}))) → ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥})))
6118, 60eldifd 3809 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) ∧ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ (((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋})) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥}))))
62 eqid 2825 . . . . . . . . 9 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
631, 62, 56lspsolv 19510 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LVec ∧ ((𝐹 ∖ {𝑥}) ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋})) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑥}))))) → 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))
6412, 15, 17, 61, 63syl13anc 1495 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) ∧ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))
6564ex 403 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋})) → 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))))
66 eldif 3808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑊) ∧ ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)))
67 snssi 4559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑋𝐹 → {𝑋} ⊆ 𝐹)
681, 56lspss 19350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ {𝑋} ⊆ 𝐹) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))
6919, 2, 67, 68syl3an 1203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋𝐹) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))
7069ad4ant124 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑋𝐹) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))
711, 56lspsnid 19359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}))
7219, 71sylan 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}))
7372ad4ant13 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑋𝐹) → 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}))
7470, 73sseldd 3828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑋𝐹) → 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))
7574ex 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑋𝐹𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)))
7675con3d 150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → (¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹) → ¬ 𝑋𝐹))
7776expimpd 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ((𝑋 ∈ (Base‘𝑊) ∧ ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)) → ¬ 𝑋𝐹))
78773impia 1149 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝑊) ∧ ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → ¬ 𝑋𝐹)
7966, 78syl3an3b 1528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → ¬ 𝑋𝐹)
80 eleq1 2894 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑋 = 𝑥 → (𝑋𝐹𝑥𝐹))
8180notbid 310 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 = 𝑥 → (¬ 𝑋𝐹 ↔ ¬ 𝑥𝐹))
8279, 81syl5ibcom 237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → (𝑋 = 𝑥 → ¬ 𝑥𝐹))
8382necon2ad 3014 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → (𝑥𝐹𝑋𝑥))
8483imp 397 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ 𝑥𝐹) → 𝑋𝑥)
85 disjsn2 4468 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋𝑥 → ({𝑋} ∩ {𝑥}) = ∅)
8684, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ 𝑥𝐹) → ({𝑋} ∩ {𝑥}) = ∅)
87 disj3 4247 . . . . . . . . . . . . 13 (({𝑋} ∩ {𝑥}) = ∅ ↔ {𝑋} = ({𝑋} ∖ {𝑥}))
8886, 87sylib 210 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ 𝑥𝐹) → {𝑋} = ({𝑋} ∖ {𝑥}))
8988uneq2d 3996 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ 𝑥𝐹) → ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋}) = ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ ({𝑋} ∖ {𝑥})))
90 difundir 4112 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}) = ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ ({𝑋} ∖ {𝑥}))
9189, 90syl6eqr 2879 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ 𝑥𝐹) → ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋}) = ((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}))
9291fveq2d 6441 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ 𝑥𝐹) → ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋})) = ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})))
9392eleq2d 2892 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ 𝑥𝐹) → (𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋})) ↔ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}))))
9493adantrr 708 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋})) ↔ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}))))
95 simpl 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → 𝑊 ∈ LVec)
96 eldifsn 4538 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ↔ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
9796biimpi 208 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
9897adantl 475 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
992sselda 3827 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑥𝐹) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
100 eqid 2825 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
1011, 21, 100, 39, 40, 56lspsnvs 19480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥)}) = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
10295, 98, 99, 101syl2an3an 1549 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ∧ (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑥𝐹)) → ((LSpan‘𝑊)‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥)}) = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
103102an42s 651 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ((LSpan‘𝑊)‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥)}) = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
104103sseq1d 3857 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (((LSpan‘𝑊)‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥)}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}))))
1051043adantl3 1213 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (((LSpan‘𝑊)‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥)}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}))))
106193ad2ant1 1167 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LMod)
107106adantr 474 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))) → 𝑊 ∈ LMod)
108 snssi 4559 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ (Base‘𝑊) → {𝑋} ⊆ (Base‘𝑊))
1092, 108, 6syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝐹 ∪ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑊))
110109ssdifssd 3977 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}) ⊆ (Base‘𝑊))
1111, 62, 56lspcl 19342 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}) ⊆ (Base‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
11219, 110, 111syl2an 589 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))) → ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
1131123impb 1147 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
114113adantr 474 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))) → ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
11519anim1i 608 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
1161, 21, 100, 39lmodvscl 19243 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ (Base‘𝑊))
1171163expa 1151 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ (Base‘𝑊))
118115, 99, 117syl2an 589 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑥𝐹)) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ (Base‘𝑊))
119118an42s 651 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ (Base‘𝑊))
1201193adantl3 1213 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ (Base‘𝑊))
1211, 62, 56, 107, 114, 120lspsnel5 19361 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))) → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥)}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}))))
12237, 121sylanr2 673 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥)}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}))))
123106adantr 474 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑥𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
124113adantr 474 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑥𝐹) → ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
125993ad2antl2 1241 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑥𝐹) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
1261, 62, 56, 123, 124, 125lspsnel5 19361 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑥𝐹) → (𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}))))
127126adantrr 708 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}))))
128105, 122, 1273bitr4rd 304 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ↔ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}))))
1293, 128syl3anl3 1540 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ↔ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}))))
13094, 129bitrd 271 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑋})) ↔ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}))))
131 difsnid 4561 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐹 → ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐹)
132131fveq2d 6441 . . . . . . . 8 (𝑥𝐹 → ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))
133132eleq2d 2892 . . . . . . 7 (𝑥𝐹 → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) ↔ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)))
134133ad2antrl 719 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) ↔ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)))
13565, 130, 1343imtr3d 285 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) → 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)))
13611, 135mtod 190 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ (𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})))
137136ralrimivva 3180 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → ∀𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})))
13810adantr 474 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))
139 difsn 4549 . . . . . . . . . . 11 𝑋𝐹 → (𝐹 ∖ {𝑋}) = 𝐹)
14079, 139syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → (𝐹 ∖ {𝑋}) = 𝐹)
141140fveq2d 6441 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑋})) = ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))
142141eleq2d 2892 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑋})) ↔ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)))
143142adantr 474 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑋})) ↔ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)))
1441, 21, 100, 39, 40, 56lspsnvs 19480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)}) = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}))
1451443expa 1151 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)}) = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}))
146145an32s 642 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))) → ((LSpan‘𝑊)‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)}) = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}))
14796, 146sylan2b 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((LSpan‘𝑊)‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)}) = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}))
148147sseq1d 3857 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → (((LSpan‘𝑊)‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹) ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)))
1491483adantl2 1212 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → (((LSpan‘𝑊)‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹) ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)))
150106adantr 474 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑊 ∈ LMod)
1511, 62, 56lspcl 19342 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘𝐹) ∈ (LSubSp‘𝑊))
15219, 2, 151syl2an 589 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘𝐹) ∈ (LSubSp‘𝑊))
1531523adant3 1166 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘𝐹) ∈ (LSubSp‘𝑊))
154153adantr 474 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((LSpan‘𝑊)‘𝐹) ∈ (LSubSp‘𝑊))
1551, 21, 100, 39lmodvscl 19243 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
1561553expa 1151 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
157156an32s 642 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
15819, 157sylanl1 670 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
1591583adantl2 1212 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
1601, 62, 56, 150, 154, 159lspsnel5 19361 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹) ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)))
16137, 160sylan2 586 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹) ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)))
162 simp3 1172 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
1631, 62, 56, 106, 153, 162lspsnel5 19361 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹) ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)))
164163adantr 474 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹) ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)))
165149, 161, 1643bitr4d 303 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹) ↔ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)))
1663, 165syl3anl3 1540 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹) ↔ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)))
167143, 166bitrd 271 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑋})) ↔ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)))
168138, 167mtbird 317 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑋})))
169168ralrimiva 3175 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → ∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑋})))
170 oveq2 6918 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))
171 sneq 4409 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
172171difeq2d 3957 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}) = ((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑋}))
173 difun2 4273 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑋}) = (𝐹 ∖ {𝑋})
174172, 173syl6eq 2877 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}) = (𝐹 ∖ {𝑋}))
175174fveq2d 6441 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) = ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑋})))
176170, 175eleq12d 2900 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ↔ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑋}))))
177176notbid 310 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ↔ ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑋}))))
178177ralbidv 3195 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑋}))))
179178ralsng 4440 . . . . 5 (𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹)) → (∀𝑥 ∈ {𝑋}∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑋}))))
1801793ad2ant3 1169 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → (∀𝑥 ∈ {𝑋}∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 ∖ {𝑋}))))
181169, 180mpbird 249 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → ∀𝑥 ∈ {𝑋}∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})))
182 ralunb 4023 . . 3 (∀𝑥 ∈ (𝐹 ∪ {𝑋})∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ↔ (∀𝑥𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑋}∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥}))))
183137, 181, 182sylanbrc 578 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → ∀𝑥 ∈ (𝐹 ∪ {𝑋})∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})))
1841, 100, 56, 21, 39, 40islinds2 20526 . . 3 (𝑊 ∈ LVec → ((𝐹 ∪ {𝑋}) ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ((𝐹 ∪ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹 ∪ {𝑋})∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})))))
1851843ad2ant1 1167 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → ((𝐹 ∪ {𝑋}) ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ((𝐹 ∪ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹 ∪ {𝑋})∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ∪ {𝑋}) ∖ {𝑥})))))
1868, 183, 185mpbir2and 704 1 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝐹))) → (𝐹 ∪ {𝑋}) ∈ (LIndS‘𝑊))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  ∀wral 3117  Vcvv 3414   ∖ cdif 3795   ∪ cun 3796   ∩ cin 3797   ⊆ wss 3798  ∅c0 4146  {csn 4399  {cpr 4401  ⟨cop 4405   class class class wbr 4875  –1-1→wf1 6124  –1-1-onto→wf1o 6126  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  2oc2o 7825   ≼ cdom 8226  Basecbs 16229  Scalarcsca 16315   ·𝑠 cvsca 16316  0gc0g 16460  Grpcgrp 17783  Ringcrg 18908  LModclmod 19226  LSubSpclss 19295  LSpanclspn 19337  LVecclvec 19468  NzRingcnzr 19625  LIndSclinds 20518 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-tpos 7622  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-0g 16462  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-sbg 17788  df-cmn 18555  df-abl 18556  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-oppr 18984  df-dvdsr 19002  df-unit 19003  df-invr 19033  df-drng 19112  df-lmod 19228  df-lss 19296  df-lsp 19338  df-lvec 19469  df-nzr 19626  df-lindf 20519  df-linds 20520 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator