Theorem lnopf 31806

Description: A linear Hilbert space operator is a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 18-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
lnopf	⊢ (𝑇 ∈ LinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)

Proof of Theorem lnopf

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellnop 31805	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑦)) +ℎ (𝑇‘𝑧))))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3050  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  ℂcc 11135   ℋchba 30866   +_ℎ cva 30867   ·_ℎ csm 30868  LinOpclo 30894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-hilex 30946

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-id 5558  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-fv 6549  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-map 8850  df-lnop 31788

This theorem is referenced by:  bdopf  31809  elbdop2  31818  unopadj2  31885  lnop0  31913  lnopmul  31914  lnopfi  31916  homco2  31924  nmopun  31961  cnlnadjeui  32024  cnlnssadj  32027