Theorem lnopf 31949

Description: A linear Hilbert space operator is a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 18-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
lnopf	⊢ (𝑇 ∈ LinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)

Proof of Theorem lnopf

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellnop 31948	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑦)) +ℎ (𝑇‘𝑧))))
2	1	simplbi 496	1 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ⟶wf 6490  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  ℂcc 11031   ℋchba 31009   +_ℎ cva 31010   ·_ℎ csm 31011  LinOpclo 31037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-hilex 31089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5521  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-fv 6502  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-map 8770  df-lnop 31931

This theorem is referenced by:  bdopf  31952  elbdop2  31961  unopadj2  32028  lnop0  32056  lnopmul  32057  lnopfi  32059  homco2  32067  nmopun  32104  cnlnadjeui  32167  cnlnssadj  32170