Theorem lnopf 31838

Description: A linear Hilbert space operator is a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 18-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
lnopf	⊢ (𝑇 ∈ LinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)

Proof of Theorem lnopf

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellnop 31837	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑦)) +ℎ (𝑇‘𝑧))))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11042   ℋchba 30898   +_ℎ cva 30899   ·_ℎ csm 30900  LinOpclo 30926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-hilex 30978

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-map 8778  df-lnop 31820

This theorem is referenced by:  bdopf  31841  elbdop2  31850  unopadj2  31917  lnop0  31945  lnopmul  31946  lnopfi  31948  homco2  31956  nmopun  31993  cnlnadjeui  32056  cnlnssadj  32059