Theorem lnopf 31904

Description: A linear Hilbert space operator is a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 18-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
lnopf	⊢ (𝑇 ∈ LinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)

Proof of Theorem lnopf

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellnop 31903	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑦)) +ℎ (𝑇‘𝑧))))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ⟶wf 6565  ‘cfv 6569  (class class class)co 7438  ℂcc 11160   ℋchba 30964   +_ℎ cva 30965   ·_ℎ csm 30966  LinOpclo 30992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-hilex 31044

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-br 5152  df-opab 5214  df-id 5587  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-fv 6577  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-map 8876  df-lnop 31886

This theorem is referenced by:  bdopf  31907  elbdop2  31916  unopadj2  31983  lnop0  32011  lnopmul  32012  lnopfi  32014  homco2  32022  nmopun  32059  cnlnadjeui  32122  cnlnssadj  32125