Theorem bdopf 29758

Description: A bounded linear Hilbert space operator is a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 2-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bdopf	⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)

Proof of Theorem bdopf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdopln 29757	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇 ∈ LinOp)
2		lnopf 29755	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  ⟶wf 6336   ℋchba 28815  LinOpclo 28843  BndLinOpcbo 28844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-hilex 28895

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ral 3075  df-rex 3076  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-br 5037  df-opab 5099  df-id 5434  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-fv 6348  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-map 8424  df-lnop 29737  df-bdop 29738

This theorem is referenced by:  nmopre  29766  nmophmi  29927  adjbdln  29979  nmopadjlem  29985  nmoptrii  29990  nmopcoi  29991  bdophsi  29992  bdophdi  29993  nmoptri2i  29995  adjcoi  29996  nmopcoadji  29997  unierri  30000