Theorem bdopf 31951

Description: A bounded linear Hilbert space operator is a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 2-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bdopf	⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)

Proof of Theorem bdopf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdopln 31950	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇 ∈ LinOp)
2		lnopf 31948	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119  ⟶wf 6481   ℋchba 31008  LinOpclo 31036  BndLinOpcbo 31037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-hilex 31088

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-map 8765  df-lnop 31930  df-bdop 31931

This theorem is referenced by:  nmopre  31959  nmophmi  32120  adjbdln  32172  nmopadjlem  32178  nmoptrii  32183  nmopcoi  32184  bdophsi  32185  bdophdi  32186  nmoptri2i  32188  adjcoi  32189  nmopcoadji  32190  unierri  32193