Theorem bdopf 31886

Description: A bounded linear Hilbert space operator is a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 2-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bdopf	⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)

Proof of Theorem bdopf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdopln 31885	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇 ∈ LinOp)
2		lnopf 31883	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ⟶wf 6564   ℋchba 30943  LinOpclo 30971  BndLinOpcbo 30972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7764  ax-hilex 31023

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-id 5593  df-xp 5701  df-rel 5702  df-cnv 5703  df-co 5704  df-dm 5705  df-rn 5706  df-iota 6520  df-fun 6570  df-fn 6571  df-f 6572  df-fv 6576  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-map 8880  df-lnop 31865  df-bdop 31866

This theorem is referenced by:  nmopre  31894  nmophmi  32055  adjbdln  32107  nmopadjlem  32113  nmoptrii  32118  nmopcoi  32119  bdophsi  32120  bdophdi  32121  nmoptri2i  32123  adjcoi  32124  nmopcoadji  32125  unierri  32128