Theorem bdopf 31872

Description: A bounded linear Hilbert space operator is a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 2-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bdopf	⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)

Proof of Theorem bdopf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdopln 31871	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇 ∈ LinOp)
2		lnopf 31869	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104  ⟶wf 6554   ℋchba 30929  LinOpclo 30957  BndLinOpcbo 30958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2137  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5366  ax-pr 5430  ax-un 7747  ax-hilex 31009

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1538  df-fal 1548  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2536  df-eu 2565  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2812  df-nfc 2888  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4915  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5576  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-fv 6566  df-ov 7428  df-oprab 7429  df-mpo 7430  df-map 8861  df-lnop 31851  df-bdop 31852

This theorem is referenced by:  nmopre  31880  nmophmi  32041  adjbdln  32093  nmopadjlem  32099  nmoptrii  32104  nmopcoi  32105  bdophsi  32106  bdophdi  32107  nmoptri2i  32109  adjcoi  32110  nmopcoadji  32111  unierri  32114