Theorem bdopf 32287

Description: A bounded linear Hilbert space operator is a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 2-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bdopf	⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)

Proof of Theorem bdopf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdopln 32286	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇 ∈ LinOp)
2		lnopf 32284	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  ⟶wf 6536   ℋchba 31344  LinOpclo 31372  BndLinOpcbo 31373

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-hilex 31424

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-map 8832  df-lnop 32266  df-bdop 32267

This theorem is used by:  nmopre  32295  nmophmi  32456  adjbdln  32508  nmopadjlem  32514  nmoptrii  32519  nmopcoi  32520  bdophsi  32521  bdophdi  32522  nmoptri2i  32524  adjcoi  32525  nmopcoadji  32526  unierri  32529