Theorem unopadj2 30201

Description: The adjoint of a unitary operator is its inverse (converse). Equation 2 of [AkhiezerGlazman] p. 72. (Contributed by NM, 23-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
unopadj2	⊢ (𝑇 ∈ UniOp → (adjℎ‘𝑇) = ◡𝑇)

Proof of Theorem unopadj2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unoplin 30183	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇 ∈ LinOp)
2		lnopf 30122	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
4		cnvunop 30181	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → ◡𝑇 ∈ UniOp)
5		unoplin 30183	. . 3 ⊢ (◡𝑇 ∈ UniOp → ◡𝑇 ∈ LinOp)
6		lnopf 30122	. . 3 ⊢ (◡𝑇 ∈ LinOp → ◡𝑇: ℋ⟶ ℋ)
7	4, 5, 6	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → ◡𝑇: ℋ⟶ ℋ)
8		unopadj 30182	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (◡𝑇‘𝑦)))
9	8	3expib 1120	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (◡𝑇‘𝑦))))
10	9	ralrimivv 3113	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (◡𝑇‘𝑦)))
11		adjeq 30198	. 2 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ◡𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (◡𝑇‘𝑦))) → (adjℎ‘𝑇) = ◡𝑇)
12	3, 7, 10, 11	syl3anc 1369	1 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → (adjℎ‘𝑇) = ◡𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ^◡ccnv 5579  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ℋchba 29182   ·_ih csp 29185  LinOpclo 29210  UniOpcuo 29212  adj_ℎcado 29218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-hilex 29262  ax-hfvadd 29263  ax-hvcom 29264  ax-hvass 29265  ax-hv0cl 29266  ax-hvaddid 29267  ax-hfvmul 29268  ax-hvmulid 29269  ax-hvdistr2 29272  ax-hvmul0 29273  ax-hfi 29342  ax-his1 29345  ax-his2 29346  ax-his3 29347  ax-his4 29348

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-2 11966  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-hvsub 29234  df-lnop 30104  df-unop 30106  df-adjh 30112

This theorem is referenced by: (None)