Theorem unopadj2 31886

Description: The adjoint of a unitary operator is its inverse (converse). Equation 2 of [AkhiezerGlazman] p. 72. (Contributed by NM, 23-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
unopadj2	⊢ (𝑇 ∈ UniOp → (adjℎ‘𝑇) = ◡𝑇)

Proof of Theorem unopadj2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unoplin 31868	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇 ∈ LinOp)
2		lnopf 31807	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
4		cnvunop 31866	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → ◡𝑇 ∈ UniOp)
5		unoplin 31868	. . 3 ⊢ (◡𝑇 ∈ UniOp → ◡𝑇 ∈ LinOp)
6		lnopf 31807	. . 3 ⊢ (◡𝑇 ∈ LinOp → ◡𝑇: ℋ⟶ ℋ)
7	4, 5, 6	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → ◡𝑇: ℋ⟶ ℋ)
8		unopadj 31867	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (◡𝑇‘𝑦)))
9	8	3expib 1122	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (◡𝑇‘𝑦))))
10	9	ralrimivv 3187	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (◡𝑇‘𝑦)))
11		adjeq 31883	. 2 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ◡𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (◡𝑇‘𝑦))) → (adjℎ‘𝑇) = ◡𝑇)
12	3, 7, 10, 11	syl3anc 1372	1 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → (adjℎ‘𝑇) = ◡𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3050  ^◡ccnv 5664  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413   ℋchba 30867   ·_ih csp 30870  LinOpclo 30895  UniOpcuo 30897  adj_ℎcado 30903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-hilex 30947  ax-hfvadd 30948  ax-hvcom 30949  ax-hvass 30950  ax-hv0cl 30951  ax-hvaddid 30952  ax-hfvmul 30953  ax-hvmulid 30954  ax-hvdistr2 30957  ax-hvmul0 30958  ax-hfi 31027  ax-his1 31030  ax-his2 31031  ax-his3 31032  ax-his4 31033

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8727  df-map 8850  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-2 12311  df-cj 15121  df-re 15122  df-im 15123  df-hvsub 30919  df-lnop 31789  df-unop 31791  df-adjh 31797

This theorem is referenced by: (None)