HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  unopadj2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unopadj2 31947
Description: The adjoint of a unitary operator is its inverse (converse). Equation 2 of [AkhiezerGlazman] p. 72. (Contributed by NM, 23-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
unopadj2 (𝑇 ∈ UniOp → (adj𝑇) = 𝑇)

Proof of Theorem unopadj2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unoplin 31929 . . 3 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇 ∈ LinOp)
2 lnopf 31868 . . 3 (𝑇 ∈ LinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
31, 2syl 17 . 2 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
4 cnvunop 31927 . . 3 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇 ∈ UniOp)
5 unoplin 31929 . . 3 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇 ∈ LinOp)
6 lnopf 31868 . . 3 (𝑇 ∈ LinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
74, 5, 63syl 18 . 2 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
8 unopadj 31928 . . . 4 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)))
983expib 1123 . . 3 (𝑇 ∈ UniOp → ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦))))
109ralrimivv 3199 . 2 (𝑇 ∈ UniOp → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)))
11 adjeq 31944 . 2 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦))) → (adj𝑇) = 𝑇)
123, 7, 10, 11syl3anc 1373 1 (𝑇 ∈ UniOp → (adj𝑇) = 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3060  ccnv 5682  wf 6555  cfv 6559  (class class class)co 7429  chba 30928   ·ih csp 30931  LinOpclo 30956  UniOpcuo 30958  adjcado 30964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228  ax-hilex 31008  ax-hfvadd 31009  ax-hvcom 31010  ax-hvass 31011  ax-hv0cl 31012  ax-hvaddid 31013  ax-hfvmul 31014  ax-hvmulid 31015  ax-hvdistr2 31018  ax-hvmul0 31019  ax-hfi 31088  ax-his1 31091  ax-his2 31092  ax-his3 31093  ax-his4 31094
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-er 8741  df-map 8864  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-div 11917  df-2 12325  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-hvsub 30980  df-lnop 31850  df-unop 31852  df-adjh 31858
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator