HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  unopadj2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem unopadj2 31051
Description: The adjoint of a unitary operator is its inverse (converse). Equation 2 of [AkhiezerGlazman] p. 72. (Contributed by NM, 23-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
unopadj2 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) = โ—ก๐‘‡)
Proof of Theorem unopadj2
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unoplin 31033 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ ๐‘‡ โˆˆ LinOp)
2 lnopf 30972 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ LinOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
31, 2syl 17 . 2 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
4 cnvunop 31031 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ โ—ก๐‘‡ โˆˆ UniOp)
5 unoplin 31033 . . 3 (โ—ก๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ โ—ก๐‘‡ โˆˆ LinOp)
6 lnopf 30972 . . 3 (โ—ก๐‘‡ โˆˆ LinOp โ†’ โ—ก๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
74, 5, 63syl 18 . 2 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ โ—ก๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
8 unopadj 31032 . . . 4 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (โ—ก๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
983expib 1122 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (โ—ก๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))))
109ralrimivv 3197 . 2 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (โ—ก๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
11 adjeq 31048 . 2 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โ—ก๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (โ—ก๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) โ†’ (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) = โ—ก๐‘‡)
123, 7, 10, 11syl3anc 1371 1 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) = โ—ก๐‘‡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3060  โ—กccnv 5667  โŸถwf 6527  โ€˜cfv 6531  (class class class)co 7392   โ„‹chba 30032   ยทih csp 30035  LinOpclo 30060  UniOpcuo 30062  adjโ„Žcado 30068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5277  ax-sep 5291  ax-nul 5298  ax-pow 5355  ax-pr 5419  ax-un 7707  ax-resscn 11148  ax-1cn 11149  ax-icn 11150  ax-addcl 11151  ax-addrcl 11152  ax-mulcl 11153  ax-mulrcl 11154  ax-mulcom 11155  ax-addass 11156  ax-mulass 11157  ax-distr 11158  ax-i2m1 11159  ax-1ne0 11160  ax-1rid 11161  ax-rnegex 11162  ax-rrecex 11163  ax-cnre 11164  ax-pre-lttri 11165  ax-pre-lttrn 11166  ax-pre-ltadd 11167  ax-pre-mulgt0 11168  ax-hilex 30112  ax-hfvadd 30113  ax-hvcom 30114  ax-hvass 30115  ax-hv0cl 30116  ax-hvaddid 30117  ax-hfvmul 30118  ax-hvmulid 30119  ax-hvdistr2 30122  ax-hvmul0 30123  ax-hfi 30192  ax-his1 30195  ax-his2 30196  ax-his3 30197  ax-his4 30198
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3474  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4991  df-br 5141  df-opab 5203  df-mpt 5224  df-id 5566  df-po 5580  df-so 5581  df-xp 5674  df-rel 5675  df-cnv 5676  df-co 5677  df-dm 5678  df-rn 5679  df-res 5680  df-ima 5681  df-iota 6483  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7348  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-er 8685  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11231  df-mnf 11232  df-xr 11233  df-ltxr 11234  df-le 11235  df-sub 11427  df-neg 11428  df-div 11853  df-2 12256  df-cj 15027  df-re 15028  df-im 15029  df-hvsub 30084  df-lnop 30954  df-unop 30956  df-adjh 30962
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator