Theorem unopadj2 31947

Description: The adjoint of a unitary operator is its inverse (converse). Equation 2 of [AkhiezerGlazman] p. 72. (Contributed by NM, 23-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
unopadj2	⊢ (𝑇 ∈ UniOp → (adjℎ‘𝑇) = ◡𝑇)

Proof of Theorem unopadj2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unoplin 31929	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇 ∈ LinOp)
2		lnopf 31868	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
4		cnvunop 31927	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → ◡𝑇 ∈ UniOp)
5		unoplin 31929	. . 3 ⊢ (◡𝑇 ∈ UniOp → ◡𝑇 ∈ LinOp)
6		lnopf 31868	. . 3 ⊢ (◡𝑇 ∈ LinOp → ◡𝑇: ℋ⟶ ℋ)
7	4, 5, 6	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → ◡𝑇: ℋ⟶ ℋ)
8		unopadj 31928	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (◡𝑇‘𝑦)))
9	8	3expib 1123	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (◡𝑇‘𝑦))))
10	9	ralrimivv 3199	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (◡𝑇‘𝑦)))
11		adjeq 31944	. 2 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ◡𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (◡𝑇‘𝑦))) → (adjℎ‘𝑇) = ◡𝑇)
12	3, 7, 10, 11	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → (adjℎ‘𝑇) = ◡𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3060  ^◡ccnv 5682  ⟶wf 6555  ‘cfv 6559  (class class class)co 7429   ℋchba 30928   ·_ih csp 30931  LinOpclo 30956  UniOpcuo 30958  adj_ℎcado 30964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228  ax-hilex 31008  ax-hfvadd 31009  ax-hvcom 31010  ax-hvass 31011  ax-hv0cl 31012  ax-hvaddid 31013  ax-hfvmul 31014  ax-hvmulid 31015  ax-hvdistr2 31018  ax-hvmul0 31019  ax-hfi 31088  ax-his1 31091  ax-his2 31092  ax-his3 31093  ax-his4 31094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-er 8741  df-map 8864  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-div 11917  df-2 12325  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-hvsub 30980  df-lnop 31850  df-unop 31852  df-adjh 31858

This theorem is referenced by: (None)