Theorem cnlnadjeui 31929

Description: Every continuous linear operator has a unique adjoint. Theorem 3.10 of [Beran] p. 104. (Contributed by NM, 18-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnlnadj.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp
cnlnadj.2	⊢ 𝑇 ∈ ContOp

Assertion

Ref	Expression
cnlnadjeui	⊢ ∃!𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝑡,𝑦,𝑇

Proof of Theorem cnlnadjeui

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnlnadj.1	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
2		cnlnadj.2	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ ContOp
3	1, 2	cnlnadji 31928	. 2 ⊢ ∃𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦))
4		adjmo 31684	. . 3 ⊢ ∃*𝑡(𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑡‘𝑥) ·ih 𝑦))
5		inss1 4223	. . . . . . . 8 ⊢ (LinOp ∩ ContOp) ⊆ LinOp
6	5	sseli 3968	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp) → 𝑡 ∈ LinOp)
7		lnopf 31711	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ LinOp → 𝑡: ℋ⟶ ℋ)
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp) → 𝑡: ℋ⟶ ℋ)
9		simpl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦))) → 𝑡: ℋ⟶ ℋ)
10		eqcom 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) ↔ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦))
11	10	2ralbii 3118	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦))
12	1	lnopfi 31821	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
13		adjsym 31685	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑡‘𝑥) ·ih 𝑦)))
14	12, 13	mpan2 689	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡: ℋ⟶ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑡‘𝑥) ·ih 𝑦)))
15	11, 14	bitrid 282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡: ℋ⟶ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑡‘𝑥) ·ih 𝑦)))
16	15	biimpa 475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦))) → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑡‘𝑥) ·ih 𝑦))
17	9, 16	jca 510	. . . . . 6 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦))) → (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑡‘𝑥) ·ih 𝑦)))
18	8, 17	sylan 578	. . . . 5 ⊢ ((𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦))) → (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑡‘𝑥) ·ih 𝑦)))
19	18	moimi 2533	. . . 4 ⊢ (∃*𝑡(𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑡‘𝑥) ·ih 𝑦)) → ∃*𝑡(𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦))))
20		df-rmo 3364	. . . 4 ⊢ (∃*𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) ↔ ∃*𝑡(𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦))))
21	19, 20	sylibr 233	. . 3 ⊢ (∃*𝑡(𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑡‘𝑥) ·ih 𝑦)) → ∃*𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)))
22	4, 21	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∃*𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦))
23		reu5 3366	. 2 ⊢ (∃!𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) ↔ (∃𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) ∧ ∃*𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦))))
24	3, 22, 23	mpbir2an 709	1 ⊢ ∃!𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃*wmo 2526  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  ∃!wreu 3362  ∃*wrmo 3363   ∩ cin 3939  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7415   ℋchba 30771   ·_ih csp 30774  ContOpccop 30798  LinOpclo 30799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cc 10456  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215  ax-mulf 11216  ax-hilex 30851  ax-hfvadd 30852  ax-hvcom 30853  ax-hvass 30854  ax-hv0cl 30855  ax-hvaddid 30856  ax-hfvmul 30857  ax-hvmulid 30858  ax-hvmulass 30859  ax-hvdistr1 30860  ax-hvdistr2 30861  ax-hvmul0 30862  ax-hfi 30931  ax-his1 30934  ax-his2 30935  ax-his3 30936  ax-his4 30937  ax-hcompl 31054

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-oadd 8487  df-omul 8488  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-acn 9963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-ioo 13358  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-rlim 15463  df-sum 15663  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-hom 17254  df-cco 17255  df-rest 17401  df-topn 17402  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-topgen 17422  df-pt 17423  df-prds 17426  df-xrs 17481  df-qtop 17486  df-imas 17487  df-xps 17489  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-mulg 19026  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-fbas 21278  df-fg 21279  df-cnfld 21282  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22865  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-lm 23149  df-t1 23234  df-haus 23235  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-xms 24242  df-ms 24243  df-tms 24244  df-cfil 25199  df-cau 25200  df-cmet 25201  df-grpo 30345  df-gid 30346  df-ginv 30347  df-gdiv 30348  df-ablo 30397  df-vc 30411  df-nv 30444  df-va 30447  df-ba 30448  df-sm 30449  df-0v 30450  df-vs 30451  df-nmcv 30452  df-ims 30453  df-dip 30553  df-ssp 30574  df-ph 30665  df-cbn 30715  df-hnorm 30820  df-hba 30821  df-hvsub 30823  df-hlim 30824  df-hcau 30825  df-sh 31059  df-ch 31073  df-oc 31104  df-ch0 31105  df-nmop 31691  df-cnop 31692  df-lnop 31693  df-unop 31695  df-nmfn 31697  df-nlfn 31698  df-cnfn 31699  df-lnfn 31700

This theorem is referenced by:  cnlnadjeu  31930