Theorem lnop0 32568

Description: The value of a linear Hilbert space operator at zero is zero. Remark in [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 13-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
lnop0	⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘0ℎ) = 0ℎ)

Proof of Theorem lnop0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11258	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		ax-hv0cl 31605	. . . . . . . . 9 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
3	1, 2	hvmulcli 31616	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ·ℎ 0ℎ) ∈ ℋ
4		ax-hvaddid 31606	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ·ℎ 0ℎ) ∈ ℋ → ((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ) = (1 ·ℎ 0ℎ))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ) = (1 ·ℎ 0ℎ)
6		ax-hvmulid 31608	. . . . . . . 8 ⊢ (0ℎ ∈ ℋ → (1 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
7	2, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (1 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ
8	5, 7	eqtri 2784	. . . . . 6 ⊢ ((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ) = 0ℎ
9	8	fveq2i 6888	. . . . 5 ⊢ (𝑇‘((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ)) = (𝑇‘0ℎ)
10		lnopl 32516	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ LinOp ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ (0ℎ ∈ ℋ ∧ 0ℎ ∈ ℋ)) → (𝑇‘((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ)) = ((1 ·ℎ (𝑇‘0ℎ)) +ℎ (𝑇‘0ℎ)))
11	2, 2, 10	mpanr12 718	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑇‘((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ)) = ((1 ·ℎ (𝑇‘0ℎ)) +ℎ (𝑇‘0ℎ)))
12	1, 11	mpan2 704	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ)) = ((1 ·ℎ (𝑇‘0ℎ)) +ℎ (𝑇‘0ℎ)))
13	9, 12	eqtr3id 2810	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘0ℎ) = ((1 ·ℎ (𝑇‘0ℎ)) +ℎ (𝑇‘0ℎ)))
14		lnopf 32461	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
15		ffvelcdm 7081	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 0ℎ ∈ ℋ) → (𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ)
16	2, 15	mpan2 704	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ)
17	14, 16	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ)
18		ax-hvmulid 31608	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ → (1 ·ℎ (𝑇‘0ℎ)) = (𝑇‘0ℎ))
19	17, 18	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (1 ·ℎ (𝑇‘0ℎ)) = (𝑇‘0ℎ))
20	19	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → ((1 ·ℎ (𝑇‘0ℎ)) +ℎ (𝑇‘0ℎ)) = ((𝑇‘0ℎ) +ℎ (𝑇‘0ℎ)))
21	13, 20	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘0ℎ) = ((𝑇‘0ℎ) +ℎ (𝑇‘0ℎ)))
22	21	oveq1d 7435	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → ((𝑇‘0ℎ) −ℎ (𝑇‘0ℎ)) = (((𝑇‘0ℎ) +ℎ (𝑇‘0ℎ)) −ℎ (𝑇‘0ℎ)))
23		hvsubid 31628	. . 3 ⊢ ((𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ → ((𝑇‘0ℎ) −ℎ (𝑇‘0ℎ)) = 0ℎ)
24	17, 23	syl 18	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → ((𝑇‘0ℎ) −ℎ (𝑇‘0ℎ)) = 0ℎ)
25		hvpncan 31641	. . . 4 ⊢ (((𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ) → (((𝑇‘0ℎ) +ℎ (𝑇‘0ℎ)) −ℎ (𝑇‘0ℎ)) = (𝑇‘0ℎ))
26	25	anidms 577	. . 3 ⊢ ((𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ → (((𝑇‘0ℎ) +ℎ (𝑇‘0ℎ)) −ℎ (𝑇‘0ℎ)) = (𝑇‘0ℎ))
27	17, 26	syl 18	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (((𝑇‘0ℎ) +ℎ (𝑇‘0ℎ)) −ℎ (𝑇‘0ℎ)) = (𝑇‘0ℎ))
28	22, 24, 27	3eqtr3rd 2805	1 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘0ℎ) = 0ℎ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  1c1 11201   ℋchba 31521   +_ℎ cva 31522   ·_ℎ csm 31523  0_ℎc0v 31526   −_ℎ cmv 31527  LinOpclo 31549

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-hilex 31601  ax-hfvadd 31602  ax-hvass 31604  ax-hv0cl 31605  ax-hvaddid 31606  ax-hfvmul 31607  ax-hvmulid 31608  ax-hvdistr2 31611  ax-hvmul0 31612

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-ltxr 11348  df-sub 11543  df-neg 11544  df-hvsub 31573  df-lnop 32443

This theorem is used by:  lnopmul  32569  lnop0i  32572