Theorem lnop0 31895

Description: The value of a linear Hilbert space operator at zero is zero. Remark in [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 13-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
lnop0	⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘0ℎ) = 0ℎ)

Proof of Theorem lnop0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11126	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		ax-hv0cl 30932	. . . . . . . . 9 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
3	1, 2	hvmulcli 30943	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ·ℎ 0ℎ) ∈ ℋ
4		ax-hvaddid 30933	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ·ℎ 0ℎ) ∈ ℋ → ((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ) = (1 ·ℎ 0ℎ))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ) = (1 ·ℎ 0ℎ)
6		ax-hvmulid 30935	. . . . . . . 8 ⊢ (0ℎ ∈ ℋ → (1 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
7	2, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (1 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ
8	5, 7	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ ((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ) = 0ℎ
9	8	fveq2i 6861	. . . . 5 ⊢ (𝑇‘((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ)) = (𝑇‘0ℎ)
10		lnopl 31843	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ LinOp ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ (0ℎ ∈ ℋ ∧ 0ℎ ∈ ℋ)) → (𝑇‘((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ)) = ((1 ·ℎ (𝑇‘0ℎ)) +ℎ (𝑇‘0ℎ)))
11	2, 2, 10	mpanr12 705	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑇‘((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ)) = ((1 ·ℎ (𝑇‘0ℎ)) +ℎ (𝑇‘0ℎ)))
12	1, 11	mpan2 691	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ)) = ((1 ·ℎ (𝑇‘0ℎ)) +ℎ (𝑇‘0ℎ)))
13	9, 12	eqtr3id 2778	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘0ℎ) = ((1 ·ℎ (𝑇‘0ℎ)) +ℎ (𝑇‘0ℎ)))
14		lnopf 31788	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
15		ffvelcdm 7053	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 0ℎ ∈ ℋ) → (𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ)
16	2, 15	mpan2 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ)
17	14, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ)
18		ax-hvmulid 30935	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ → (1 ·ℎ (𝑇‘0ℎ)) = (𝑇‘0ℎ))
19	17, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (1 ·ℎ (𝑇‘0ℎ)) = (𝑇‘0ℎ))
20	19	oveq1d 7402	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → ((1 ·ℎ (𝑇‘0ℎ)) +ℎ (𝑇‘0ℎ)) = ((𝑇‘0ℎ) +ℎ (𝑇‘0ℎ)))
21	13, 20	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘0ℎ) = ((𝑇‘0ℎ) +ℎ (𝑇‘0ℎ)))
22	21	oveq1d 7402	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → ((𝑇‘0ℎ) −ℎ (𝑇‘0ℎ)) = (((𝑇‘0ℎ) +ℎ (𝑇‘0ℎ)) −ℎ (𝑇‘0ℎ)))
23		hvsubid 30955	. . 3 ⊢ ((𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ → ((𝑇‘0ℎ) −ℎ (𝑇‘0ℎ)) = 0ℎ)
24	17, 23	syl 17	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → ((𝑇‘0ℎ) −ℎ (𝑇‘0ℎ)) = 0ℎ)
25		hvpncan 30968	. . . 4 ⊢ (((𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ) → (((𝑇‘0ℎ) +ℎ (𝑇‘0ℎ)) −ℎ (𝑇‘0ℎ)) = (𝑇‘0ℎ))
26	25	anidms 566	. . 3 ⊢ ((𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ → (((𝑇‘0ℎ) +ℎ (𝑇‘0ℎ)) −ℎ (𝑇‘0ℎ)) = (𝑇‘0ℎ))
27	17, 26	syl 17	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (((𝑇‘0ℎ) +ℎ (𝑇‘0ℎ)) −ℎ (𝑇‘0ℎ)) = (𝑇‘0ℎ))
28	22, 24, 27	3eqtr3rd 2773	1 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘0ℎ) = 0ℎ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  1c1 11069   ℋchba 30848   +_ℎ cva 30849   ·_ℎ csm 30850  0_ℎc0v 30853   −_ℎ cmv 30854  LinOpclo 30876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-hilex 30928  ax-hfvadd 30929  ax-hvass 30931  ax-hv0cl 30932  ax-hvaddid 30933  ax-hfvmul 30934  ax-hvmulid 30935  ax-hvdistr2 30938  ax-hvmul0 30939

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-sub 11407  df-neg 11408  df-hvsub 30900  df-lnop 31770

This theorem is referenced by:  lnopmul  31896  lnop0i  31899