HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnop0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnop0 31985
Description: The value of a linear Hilbert space operator at zero is zero. Remark in [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 13-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
lnop0 (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘0) = 0)

Proof of Theorem lnop0
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 11213 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
2 ax-hv0cl 31022 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℋ
31, 2hvmulcli 31033 . . . . . . . 8 (1 · 0) ∈ ℋ
4 ax-hvaddid 31023 . . . . . . . 8 ((1 · 0) ∈ ℋ → ((1 · 0) + 0) = (1 · 0))
53, 4ax-mp 5 . . . . . . 7 ((1 · 0) + 0) = (1 · 0)
6 ax-hvmulid 31025 . . . . . . . 8 (0 ∈ ℋ → (1 · 0) = 0)
72, 6ax-mp 5 . . . . . . 7 (1 · 0) = 0
85, 7eqtri 2765 . . . . . 6 ((1 · 0) + 0) = 0
98fveq2i 6909 . . . . 5 (𝑇‘((1 · 0) + 0)) = (𝑇‘0)
10 lnopl 31933 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ LinOp ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ (0 ∈ ℋ ∧ 0 ∈ ℋ)) → (𝑇‘((1 · 0) + 0)) = ((1 · (𝑇‘0)) + (𝑇‘0)))
112, 2, 10mpanr12 705 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑇‘((1 · 0) + 0)) = ((1 · (𝑇‘0)) + (𝑇‘0)))
121, 11mpan2 691 . . . . 5 (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘((1 · 0) + 0)) = ((1 · (𝑇‘0)) + (𝑇‘0)))
139, 12eqtr3id 2791 . . . 4 (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘0) = ((1 · (𝑇‘0)) + (𝑇‘0)))
14 lnopf 31878 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ LinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
15 ffvelcdm 7101 . . . . . . . 8 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 0 ∈ ℋ) → (𝑇‘0) ∈ ℋ)
162, 15mpan2 691 . . . . . . 7 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (𝑇‘0) ∈ ℋ)
1714, 16syl 17 . . . . . 6 (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘0) ∈ ℋ)
18 ax-hvmulid 31025 . . . . . 6 ((𝑇‘0) ∈ ℋ → (1 · (𝑇‘0)) = (𝑇‘0))
1917, 18syl 17 . . . . 5 (𝑇 ∈ LinOp → (1 · (𝑇‘0)) = (𝑇‘0))
2019oveq1d 7446 . . . 4 (𝑇 ∈ LinOp → ((1 · (𝑇‘0)) + (𝑇‘0)) = ((𝑇‘0) + (𝑇‘0)))
2113, 20eqtrd 2777 . . 3 (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘0) = ((𝑇‘0) + (𝑇‘0)))
2221oveq1d 7446 . 2 (𝑇 ∈ LinOp → ((𝑇‘0) − (𝑇‘0)) = (((𝑇‘0) + (𝑇‘0)) − (𝑇‘0)))
23 hvsubid 31045 . . 3 ((𝑇‘0) ∈ ℋ → ((𝑇‘0) − (𝑇‘0)) = 0)
2417, 23syl 17 . 2 (𝑇 ∈ LinOp → ((𝑇‘0) − (𝑇‘0)) = 0)
25 hvpncan 31058 . . . 4 (((𝑇‘0) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘0) ∈ ℋ) → (((𝑇‘0) + (𝑇‘0)) − (𝑇‘0)) = (𝑇‘0))
2625anidms 566 . . 3 ((𝑇‘0) ∈ ℋ → (((𝑇‘0) + (𝑇‘0)) − (𝑇‘0)) = (𝑇‘0))
2717, 26syl 17 . 2 (𝑇 ∈ LinOp → (((𝑇‘0) + (𝑇‘0)) − (𝑇‘0)) = (𝑇‘0))
2822, 24, 273eqtr3rd 2786 1 (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘0) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  1c1 11156  chba 30938   + cva 30939   · csm 30940  0c0v 30943   cmv 30944  LinOpclo 30966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hvass 31021  ax-hv0cl 31022  ax-hvaddid 31023  ax-hfvmul 31024  ax-hvmulid 31025  ax-hvdistr2 31028  ax-hvmul0 31029
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-sub 11494  df-neg 11495  df-hvsub 30990  df-lnop 31860
This theorem is referenced by:  lnopmul  31986  lnop0i  31989
  Copyright terms: Public domain W3C validator