HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnop0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lnop0 31484
Description: The value of a linear Hilbert space operator at zero is zero. Remark in [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 13-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
lnop0 (๐‘‡ โˆˆ LinOp โ†’ (๐‘‡โ€˜0โ„Ž) = 0โ„Ž)
Proof of Theorem lnop0
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 11172 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„‚
2 ax-hv0cl 30521 . . . . . . . . 9 0โ„Ž โˆˆ โ„‹
31, 2hvmulcli 30532 . . . . . . . 8 (1 ยทโ„Ž 0โ„Ž) โˆˆ โ„‹
4 ax-hvaddid 30522 . . . . . . . 8 ((1 ยทโ„Ž 0โ„Ž) โˆˆ โ„‹ โ†’ ((1 ยทโ„Ž 0โ„Ž) +โ„Ž 0โ„Ž) = (1 ยทโ„Ž 0โ„Ž))
53, 4ax-mp 5 . . . . . . 7 ((1 ยทโ„Ž 0โ„Ž) +โ„Ž 0โ„Ž) = (1 ยทโ„Ž 0โ„Ž)
6 ax-hvmulid 30524 . . . . . . . 8 (0โ„Ž โˆˆ โ„‹ โ†’ (1 ยทโ„Ž 0โ„Ž) = 0โ„Ž)
72, 6ax-mp 5 . . . . . . 7 (1 ยทโ„Ž 0โ„Ž) = 0โ„Ž
85, 7eqtri 2758 . . . . . 6 ((1 ยทโ„Ž 0โ„Ž) +โ„Ž 0โ„Ž) = 0โ„Ž
98fveq2i 6895 . . . . 5 (๐‘‡โ€˜((1 ยทโ„Ž 0โ„Ž) +โ„Ž 0โ„Ž)) = (๐‘‡โ€˜0โ„Ž)
10 lnopl 31432 . . . . . . 7 (((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โˆง (0โ„Ž โˆˆ โ„‹ โˆง 0โ„Ž โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘‡โ€˜((1 ยทโ„Ž 0โ„Ž) +โ„Ž 0โ„Ž)) = ((1 ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž)))
112, 2, 10mpanr12 701 . . . . . 6 ((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘‡โ€˜((1 ยทโ„Ž 0โ„Ž) +โ„Ž 0โ„Ž)) = ((1 ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž)))
121, 11mpan2 687 . . . . 5 (๐‘‡ โˆˆ LinOp โ†’ (๐‘‡โ€˜((1 ยทโ„Ž 0โ„Ž) +โ„Ž 0โ„Ž)) = ((1 ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž)))
139, 12eqtr3id 2784 . . . 4 (๐‘‡ โˆˆ LinOp โ†’ (๐‘‡โ€˜0โ„Ž) = ((1 ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž)))
14 lnopf 31377 . . . . . . 7 (๐‘‡ โˆˆ LinOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
15 ffvelcdm 7084 . . . . . . . 8 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง 0โ„Ž โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜0โ„Ž) โˆˆ โ„‹)
162, 15mpan2 687 . . . . . . 7 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜0โ„Ž) โˆˆ โ„‹)
1714, 16syl 17 . . . . . 6 (๐‘‡ โˆˆ LinOp โ†’ (๐‘‡โ€˜0โ„Ž) โˆˆ โ„‹)
18 ax-hvmulid 30524 . . . . . 6 ((๐‘‡โ€˜0โ„Ž) โˆˆ โ„‹ โ†’ (1 ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž)) = (๐‘‡โ€˜0โ„Ž))
1917, 18syl 17 . . . . 5 (๐‘‡ โˆˆ LinOp โ†’ (1 ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž)) = (๐‘‡โ€˜0โ„Ž))
2019oveq1d 7428 . . . 4 (๐‘‡ โˆˆ LinOp โ†’ ((1 ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž)) = ((๐‘‡โ€˜0โ„Ž) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž)))
2113, 20eqtrd 2770 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ LinOp โ†’ (๐‘‡โ€˜0โ„Ž) = ((๐‘‡โ€˜0โ„Ž) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž)))
2221oveq1d 7428 . 2 (๐‘‡ โˆˆ LinOp โ†’ ((๐‘‡โ€˜0โ„Ž) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž)) = (((๐‘‡โ€˜0โ„Ž) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž)) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž)))
23 hvsubid 30544 . . 3 ((๐‘‡โ€˜0โ„Ž) โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘‡โ€˜0โ„Ž) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž)) = 0โ„Ž)
2417, 23syl 17 . 2 (๐‘‡ โˆˆ LinOp โ†’ ((๐‘‡โ€˜0โ„Ž) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž)) = 0โ„Ž)
25 hvpncan 30557 . . . 4 (((๐‘‡โ€˜0โ„Ž) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜0โ„Ž) โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘‡โ€˜0โ„Ž) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž)) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž)) = (๐‘‡โ€˜0โ„Ž))
2625anidms 565 . . 3 ((๐‘‡โ€˜0โ„Ž) โˆˆ โ„‹ โ†’ (((๐‘‡โ€˜0โ„Ž) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž)) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž)) = (๐‘‡โ€˜0โ„Ž))
2717, 26syl 17 . 2 (๐‘‡ โˆˆ LinOp โ†’ (((๐‘‡โ€˜0โ„Ž) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž)) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž)) = (๐‘‡โ€˜0โ„Ž))
2822, 24, 273eqtr3rd 2779 1 (๐‘‡ โˆˆ LinOp โ†’ (๐‘‡โ€˜0โ„Ž) = 0โ„Ž)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โŸถwf 6540  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  โ„‚cc 11112  1c1 11115   โ„‹chba 30437   +โ„Ž cva 30438   ยทโ„Ž csm 30439  0โ„Žc0v 30442   โˆ’โ„Ž cmv 30443  LinOpclo 30465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-hilex 30517  ax-hfvadd 30518  ax-hvass 30520  ax-hv0cl 30521  ax-hvaddid 30522  ax-hfvmul 30523  ax-hvmulid 30524  ax-hvdistr2 30527  ax-hvmul0 30528
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-ltxr 11259  df-sub 11452  df-neg 11453  df-hvsub 30489  df-lnop 31359
This theorem is referenced by:  lnopmul  31485  lnop0i  31488
  Copyright terms: Public domain W3C validator