Theorem lnop0 31995

Description: The value of a linear Hilbert space operator at zero is zero. Remark in [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 13-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
lnop0	⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘0ℎ) = 0ℎ)

Proof of Theorem lnop0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11211	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		ax-hv0cl 31032	. . . . . . . . 9 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
3	1, 2	hvmulcli 31043	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ·ℎ 0ℎ) ∈ ℋ
4		ax-hvaddid 31033	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ·ℎ 0ℎ) ∈ ℋ → ((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ) = (1 ·ℎ 0ℎ))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ) = (1 ·ℎ 0ℎ)
6		ax-hvmulid 31035	. . . . . . . 8 ⊢ (0ℎ ∈ ℋ → (1 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
7	2, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (1 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ
8	5, 7	eqtri 2763	. . . . . 6 ⊢ ((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ) = 0ℎ
9	8	fveq2i 6910	. . . . 5 ⊢ (𝑇‘((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ)) = (𝑇‘0ℎ)
10		lnopl 31943	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ LinOp ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ (0ℎ ∈ ℋ ∧ 0ℎ ∈ ℋ)) → (𝑇‘((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ)) = ((1 ·ℎ (𝑇‘0ℎ)) +ℎ (𝑇‘0ℎ)))
11	2, 2, 10	mpanr12 705	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑇‘((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ)) = ((1 ·ℎ (𝑇‘0ℎ)) +ℎ (𝑇‘0ℎ)))
12	1, 11	mpan2 691	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ)) = ((1 ·ℎ (𝑇‘0ℎ)) +ℎ (𝑇‘0ℎ)))
13	9, 12	eqtr3id 2789	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘0ℎ) = ((1 ·ℎ (𝑇‘0ℎ)) +ℎ (𝑇‘0ℎ)))
14		lnopf 31888	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
15		ffvelcdm 7101	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 0ℎ ∈ ℋ) → (𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ)
16	2, 15	mpan2 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ)
17	14, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ)
18		ax-hvmulid 31035	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ → (1 ·ℎ (𝑇‘0ℎ)) = (𝑇‘0ℎ))
19	17, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (1 ·ℎ (𝑇‘0ℎ)) = (𝑇‘0ℎ))
20	19	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → ((1 ·ℎ (𝑇‘0ℎ)) +ℎ (𝑇‘0ℎ)) = ((𝑇‘0ℎ) +ℎ (𝑇‘0ℎ)))
21	13, 20	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘0ℎ) = ((𝑇‘0ℎ) +ℎ (𝑇‘0ℎ)))
22	21	oveq1d 7446	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → ((𝑇‘0ℎ) −ℎ (𝑇‘0ℎ)) = (((𝑇‘0ℎ) +ℎ (𝑇‘0ℎ)) −ℎ (𝑇‘0ℎ)))
23		hvsubid 31055	. . 3 ⊢ ((𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ → ((𝑇‘0ℎ) −ℎ (𝑇‘0ℎ)) = 0ℎ)
24	17, 23	syl 17	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → ((𝑇‘0ℎ) −ℎ (𝑇‘0ℎ)) = 0ℎ)
25		hvpncan 31068	. . . 4 ⊢ (((𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ) → (((𝑇‘0ℎ) +ℎ (𝑇‘0ℎ)) −ℎ (𝑇‘0ℎ)) = (𝑇‘0ℎ))
26	25	anidms 566	. . 3 ⊢ ((𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ → (((𝑇‘0ℎ) +ℎ (𝑇‘0ℎ)) −ℎ (𝑇‘0ℎ)) = (𝑇‘0ℎ))
27	17, 26	syl 17	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (((𝑇‘0ℎ) +ℎ (𝑇‘0ℎ)) −ℎ (𝑇‘0ℎ)) = (𝑇‘0ℎ))
28	22, 24, 27	3eqtr3rd 2784	1 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘0ℎ) = 0ℎ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  1c1 11154   ℋchba 30948   +_ℎ cva 30949   ·_ℎ csm 30950  0_ℎc0v 30953   −_ℎ cmv 30954  LinOpclo 30976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-hilex 31028  ax-hfvadd 31029  ax-hvass 31031  ax-hv0cl 31032  ax-hvaddid 31033  ax-hfvmul 31034  ax-hvmulid 31035  ax-hvdistr2 31038  ax-hvmul0 31039

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-hvsub 31000  df-lnop 31870

This theorem is referenced by:  lnopmul  31996  lnop0i  31999