Theorem lnop0 31868

Description: The value of a linear Hilbert space operator at zero is zero. Remark in [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 13-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
lnop0	⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘0ℎ) = 0ℎ)

Proof of Theorem lnop0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11102	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		ax-hv0cl 30905	. . . . . . . . 9 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
3	1, 2	hvmulcli 30916	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ·ℎ 0ℎ) ∈ ℋ
4		ax-hvaddid 30906	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ·ℎ 0ℎ) ∈ ℋ → ((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ) = (1 ·ℎ 0ℎ))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ) = (1 ·ℎ 0ℎ)
6		ax-hvmulid 30908	. . . . . . . 8 ⊢ (0ℎ ∈ ℋ → (1 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
7	2, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (1 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ
8	5, 7	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ ((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ) = 0ℎ
9	8	fveq2i 6843	. . . . 5 ⊢ (𝑇‘((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ)) = (𝑇‘0ℎ)
10		lnopl 31816	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ LinOp ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ (0ℎ ∈ ℋ ∧ 0ℎ ∈ ℋ)) → (𝑇‘((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ)) = ((1 ·ℎ (𝑇‘0ℎ)) +ℎ (𝑇‘0ℎ)))
11	2, 2, 10	mpanr12 705	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑇‘((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ)) = ((1 ·ℎ (𝑇‘0ℎ)) +ℎ (𝑇‘0ℎ)))
12	1, 11	mpan2 691	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ)) = ((1 ·ℎ (𝑇‘0ℎ)) +ℎ (𝑇‘0ℎ)))
13	9, 12	eqtr3id 2778	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘0ℎ) = ((1 ·ℎ (𝑇‘0ℎ)) +ℎ (𝑇‘0ℎ)))
14		lnopf 31761	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
15		ffvelcdm 7035	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 0ℎ ∈ ℋ) → (𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ)
16	2, 15	mpan2 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ)
17	14, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ)
18		ax-hvmulid 30908	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ → (1 ·ℎ (𝑇‘0ℎ)) = (𝑇‘0ℎ))
19	17, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (1 ·ℎ (𝑇‘0ℎ)) = (𝑇‘0ℎ))
20	19	oveq1d 7384	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → ((1 ·ℎ (𝑇‘0ℎ)) +ℎ (𝑇‘0ℎ)) = ((𝑇‘0ℎ) +ℎ (𝑇‘0ℎ)))
21	13, 20	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘0ℎ) = ((𝑇‘0ℎ) +ℎ (𝑇‘0ℎ)))
22	21	oveq1d 7384	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → ((𝑇‘0ℎ) −ℎ (𝑇‘0ℎ)) = (((𝑇‘0ℎ) +ℎ (𝑇‘0ℎ)) −ℎ (𝑇‘0ℎ)))
23		hvsubid 30928	. . 3 ⊢ ((𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ → ((𝑇‘0ℎ) −ℎ (𝑇‘0ℎ)) = 0ℎ)
24	17, 23	syl 17	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → ((𝑇‘0ℎ) −ℎ (𝑇‘0ℎ)) = 0ℎ)
25		hvpncan 30941	. . . 4 ⊢ (((𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ) → (((𝑇‘0ℎ) +ℎ (𝑇‘0ℎ)) −ℎ (𝑇‘0ℎ)) = (𝑇‘0ℎ))
26	25	anidms 566	. . 3 ⊢ ((𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ → (((𝑇‘0ℎ) +ℎ (𝑇‘0ℎ)) −ℎ (𝑇‘0ℎ)) = (𝑇‘0ℎ))
27	17, 26	syl 17	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (((𝑇‘0ℎ) +ℎ (𝑇‘0ℎ)) −ℎ (𝑇‘0ℎ)) = (𝑇‘0ℎ))
28	22, 24, 27	3eqtr3rd 2773	1 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘0ℎ) = 0ℎ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  1c1 11045   ℋchba 30821   +_ℎ cva 30822   ·_ℎ csm 30823  0_ℎc0v 30826   −_ℎ cmv 30827  LinOpclo 30849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-hilex 30901  ax-hfvadd 30902  ax-hvass 30904  ax-hv0cl 30905  ax-hvaddid 30906  ax-hfvmul 30907  ax-hvmulid 30908  ax-hvdistr2 30911  ax-hvmul0 30912

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-ltxr 11189  df-sub 11383  df-neg 11384  df-hvsub 30873  df-lnop 31743

This theorem is referenced by:  lnopmul  31869  lnop0i  31872