Theorem lnop0 32318

Description: The value of a linear Hilbert space operator at zero is zero. Remark in [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 13-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
lnop0	⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘0ℎ) = 0ℎ)

Proof of Theorem lnop0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11153	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		ax-hv0cl 31355	. . . . . . . . 9 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
3	1, 2	hvmulcli 31366	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ·ℎ 0ℎ) ∈ ℋ
4		ax-hvaddid 31356	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ·ℎ 0ℎ) ∈ ℋ → ((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ) = (1 ·ℎ 0ℎ))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ) = (1 ·ℎ 0ℎ)
6		ax-hvmulid 31358	. . . . . . . 8 ⊢ (0ℎ ∈ ℋ → (1 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
7	2, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (1 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ
8	5, 7	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ ((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ) = 0ℎ
9	8	fveq2i 6884	. . . . 5 ⊢ (𝑇‘((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ)) = (𝑇‘0ℎ)
10		lnopl 32266	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ LinOp ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ (0ℎ ∈ ℋ ∧ 0ℎ ∈ ℋ)) → (𝑇‘((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ)) = ((1 ·ℎ (𝑇‘0ℎ)) +ℎ (𝑇‘0ℎ)))
11	2, 2, 10	mpanr12 717	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑇‘((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ)) = ((1 ·ℎ (𝑇‘0ℎ)) +ℎ (𝑇‘0ℎ)))
12	1, 11	mpan2 703	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ)) = ((1 ·ℎ (𝑇‘0ℎ)) +ℎ (𝑇‘0ℎ)))
13	9, 12	eqtr3id 2812	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘0ℎ) = ((1 ·ℎ (𝑇‘0ℎ)) +ℎ (𝑇‘0ℎ)))
14		lnopf 32211	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
15		ffvelcdm 7076	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 0ℎ ∈ ℋ) → (𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ)
16	2, 15	mpan2 703	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ)
17	14, 16	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ)
18		ax-hvmulid 31358	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ → (1 ·ℎ (𝑇‘0ℎ)) = (𝑇‘0ℎ))
19	17, 18	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (1 ·ℎ (𝑇‘0ℎ)) = (𝑇‘0ℎ))
20	19	oveq1d 7425	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → ((1 ·ℎ (𝑇‘0ℎ)) +ℎ (𝑇‘0ℎ)) = ((𝑇‘0ℎ) +ℎ (𝑇‘0ℎ)))
21	13, 20	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘0ℎ) = ((𝑇‘0ℎ) +ℎ (𝑇‘0ℎ)))
22	21	oveq1d 7425	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → ((𝑇‘0ℎ) −ℎ (𝑇‘0ℎ)) = (((𝑇‘0ℎ) +ℎ (𝑇‘0ℎ)) −ℎ (𝑇‘0ℎ)))
23		hvsubid 31378	. . 3 ⊢ ((𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ → ((𝑇‘0ℎ) −ℎ (𝑇‘0ℎ)) = 0ℎ)
24	17, 23	syl 18	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → ((𝑇‘0ℎ) −ℎ (𝑇‘0ℎ)) = 0ℎ)
25		hvpncan 31391	. . . 4 ⊢ (((𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ) → (((𝑇‘0ℎ) +ℎ (𝑇‘0ℎ)) −ℎ (𝑇‘0ℎ)) = (𝑇‘0ℎ))
26	25	anidms 576	. . 3 ⊢ ((𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ → (((𝑇‘0ℎ) +ℎ (𝑇‘0ℎ)) −ℎ (𝑇‘0ℎ)) = (𝑇‘0ℎ))
27	17, 26	syl 18	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (((𝑇‘0ℎ) +ℎ (𝑇‘0ℎ)) −ℎ (𝑇‘0ℎ)) = (𝑇‘0ℎ))
28	22, 24, 27	3eqtr3rd 2807	1 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘0ℎ) = 0ℎ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  1c1 11096   ℋchba 31271   +_ℎ cva 31272   ·_ℎ csm 31273  0_ℎc0v 31276   −_ℎ cmv 31277  LinOpclo 31299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-hilex 31351  ax-hfvadd 31352  ax-hvass 31354  ax-hv0cl 31355  ax-hvaddid 31356  ax-hfvmul 31357  ax-hvmulid 31358  ax-hvdistr2 31361  ax-hvmul0 31362

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-ltxr 11243  df-sub 11438  df-neg 11439  df-hvsub 31323  df-lnop 32193

This theorem is referenced by:  lnopmul  32319  lnop0i  32322