Theorem lnopmul 32063

Description: Multiplicative property of a linear Hilbert space operator. (Contributed by NM, 13-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
lnopmul	⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)))

Proof of Theorem lnopmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 31099	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
2		lnopl 32010	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 0ℎ ∈ ℋ)) → (𝑇‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ)) = ((𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) +ℎ (𝑇‘0ℎ)))
3	1, 2	mpanr2 710	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ)) = ((𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) +ℎ (𝑇‘0ℎ)))
4	3	3impa 1115	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ)) = ((𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) +ℎ (𝑇‘0ℎ)))
5		hvmulcl 31109	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
6		ax-hvaddid 31100	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ) = (𝐴 ·ℎ 𝐵))
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ) = (𝐴 ·ℎ 𝐵))
8	7	3adant1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ) = (𝐴 ·ℎ 𝐵))
9	8	fveq2d 6838	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ)) = (𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)))
10		lnop0 32062	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘0ℎ) = 0ℎ)
11	10	oveq2d 7379	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → ((𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) +ℎ (𝑇‘0ℎ)) = ((𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) +ℎ 0ℎ))
12	11	3ad2ant1 1139	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) +ℎ (𝑇‘0ℎ)) = ((𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) +ℎ 0ℎ))
13		lnopf 31955	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
14	13	ffvelcdmda 7032	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝐵) ∈ ℋ)
15		hvmulcl 31109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝐵) ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) ∈ ℋ)
16	14, 15	sylan2 599	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐵 ∈ ℋ)) → (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) ∈ ℋ)
17	16	3impb 1120	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) ∈ ℋ)
18	17	3com12 1129	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) ∈ ℋ)
19		ax-hvaddid 31100	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) ∈ ℋ → ((𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) +ℎ 0ℎ) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)))
20	18, 19	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) +ℎ 0ℎ) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)))
21	12, 20	eqtrd 2775	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) +ℎ (𝑇‘0ℎ)) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)))
22	4, 9, 21	3eqtr3d 2783	1 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℂcc 11034   ℋchba 31015   +_ℎ cva 31016   ·_ℎ csm 31017  0_ℎc0v 31020  LinOpclo 31043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-hilex 31095  ax-hfvadd 31096  ax-hvass 31098  ax-hv0cl 31099  ax-hvaddid 31100  ax-hfvmul 31101  ax-hvmulid 31102  ax-hvdistr2 31105  ax-hvmul0 31106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-ltxr 11182  df-sub 11377  df-neg 11378  df-hvsub 31067  df-lnop 31937

This theorem is referenced by:  lnopmuli  32068  homco2  32073