Theorem lnopmul 31996

Description: Multiplicative property of a linear Hilbert space operator. (Contributed by NM, 13-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
lnopmul	⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)))

Proof of Theorem lnopmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 31032	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
2		lnopl 31943	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 0ℎ ∈ ℋ)) → (𝑇‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ)) = ((𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) +ℎ (𝑇‘0ℎ)))
3	1, 2	mpanr2 704	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ)) = ((𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) +ℎ (𝑇‘0ℎ)))
4	3	3impa 1109	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ)) = ((𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) +ℎ (𝑇‘0ℎ)))
5		hvmulcl 31042	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
6		ax-hvaddid 31033	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ) = (𝐴 ·ℎ 𝐵))
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ) = (𝐴 ·ℎ 𝐵))
8	7	3adant1 1129	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ) = (𝐴 ·ℎ 𝐵))
9	8	fveq2d 6911	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ)) = (𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)))
10		lnop0 31995	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘0ℎ) = 0ℎ)
11	10	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → ((𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) +ℎ (𝑇‘0ℎ)) = ((𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) +ℎ 0ℎ))
12	11	3ad2ant1 1132	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) +ℎ (𝑇‘0ℎ)) = ((𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) +ℎ 0ℎ))
13		lnopf 31888	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
14	13	ffvelcdmda 7104	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝐵) ∈ ℋ)
15		hvmulcl 31042	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝐵) ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) ∈ ℋ)
16	14, 15	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐵 ∈ ℋ)) → (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) ∈ ℋ)
17	16	3impb 1114	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) ∈ ℋ)
18	17	3com12 1122	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) ∈ ℋ)
19		ax-hvaddid 31033	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) ∈ ℋ → ((𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) +ℎ 0ℎ) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)))
20	18, 19	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) +ℎ 0ℎ) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)))
21	12, 20	eqtrd 2775	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) +ℎ (𝑇‘0ℎ)) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)))
22	4, 9, 21	3eqtr3d 2783	1 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151   ℋchba 30948   +_ℎ cva 30949   ·_ℎ csm 30950  0_ℎc0v 30953  LinOpclo 30976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-hilex 31028  ax-hfvadd 31029  ax-hvass 31031  ax-hv0cl 31032  ax-hvaddid 31033  ax-hfvmul 31034  ax-hvmulid 31035  ax-hvdistr2 31038  ax-hvmul0 31039

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-hvsub 31000  df-lnop 31870

This theorem is referenced by:  lnopmuli  32001  homco2  32006