HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopmul Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lnopmul 31006
Description: Multiplicative property of a linear Hilbert space operator. (Contributed by NM, 13-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
lnopmul ((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐ด ยทโ„Ž ๐ต)) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))
Proof of Theorem lnopmul
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 30042 . . . 4 0โ„Ž โˆˆ โ„‹
2 lnopl 30953 . . . 4 (((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง 0โ„Ž โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž 0โ„Ž)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž)))
31, 2mpanr2 702 . . 3 (((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž 0โ„Ž)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž)))
433impa 1110 . 2 ((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž 0โ„Ž)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž)))
5 hvmulcl 30052 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹)
6 ax-hvaddid 30043 . . . . 5 ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž 0โ„Ž) = (๐ด ยทโ„Ž ๐ต))
75, 6syl 17 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž 0โ„Ž) = (๐ด ยทโ„Ž ๐ต))
873adant1 1130 . . 3 ((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž 0โ„Ž) = (๐ด ยทโ„Ž ๐ต))
98fveq2d 6866 . 2 ((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž 0โ„Ž)) = (๐‘‡โ€˜(๐ด ยทโ„Ž ๐ต)))
10 lnop0 31005 . . . . 5 (๐‘‡ โˆˆ LinOp โ†’ (๐‘‡โ€˜0โ„Ž) = 0โ„Ž)
1110oveq2d 7393 . . . 4 (๐‘‡ โˆˆ LinOp โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) +โ„Ž 0โ„Ž))
12113ad2ant1 1133 . . 3 ((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) +โ„Ž 0โ„Ž))
13 lnopf 30898 . . . . . . . 8 (๐‘‡ โˆˆ LinOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
1413ffvelcdmda 7055 . . . . . . 7 ((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‹)
15 hvmulcl 30052 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‹)
1614, 15sylan2 593 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‹)
17163impb 1115 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‹)
18173com12 1123 . . . 4 ((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‹)
19 ax-hvaddid 30043 . . . 4 ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) +โ„Ž 0โ„Ž) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))
2018, 19syl 17 . . 3 ((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) +โ„Ž 0โ„Ž) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))
2112, 20eqtrd 2771 . 2 ((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž)) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))
224, 9, 213eqtr3d 2779 1 ((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐ด ยทโ„Ž ๐ต)) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โ€˜cfv 6516  (class class class)co 7377  โ„‚cc 11073   โ„‹chba 29958   +โ„Ž cva 29959   ยทโ„Ž csm 29960  0โ„Žc0v 29963  LinOpclo 29986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-hilex 30038  ax-hfvadd 30039  ax-hvass 30041  ax-hv0cl 30042  ax-hvaddid 30043  ax-hfvmul 30044  ax-hvmulid 30045  ax-hvdistr2 30048  ax-hvmul0 30049
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-id 5551  df-po 5565  df-so 5566  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-er 8670  df-map 8789  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-ltxr 11218  df-sub 11411  df-neg 11412  df-hvsub 30010  df-lnop 30880
This theorem is referenced by:  lnopmuli  31011  homco2  31016
  Copyright terms: Public domain W3C validator