HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopmul Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lnopmul 31487
Description: Multiplicative property of a linear Hilbert space operator. (Contributed by NM, 13-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
lnopmul ((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐ด ยทโ„Ž ๐ต)) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))
Proof of Theorem lnopmul
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 30523 . . . 4 0โ„Ž โˆˆ โ„‹
2 lnopl 31434 . . . 4 (((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง 0โ„Ž โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž 0โ„Ž)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž)))
31, 2mpanr2 700 . . 3 (((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž 0โ„Ž)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž)))
433impa 1108 . 2 ((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž 0โ„Ž)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž)))
5 hvmulcl 30533 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹)
6 ax-hvaddid 30524 . . . . 5 ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž 0โ„Ž) = (๐ด ยทโ„Ž ๐ต))
75, 6syl 17 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž 0โ„Ž) = (๐ด ยทโ„Ž ๐ต))
873adant1 1128 . . 3 ((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž 0โ„Ž) = (๐ด ยทโ„Ž ๐ต))
98fveq2d 6894 . 2 ((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž 0โ„Ž)) = (๐‘‡โ€˜(๐ด ยทโ„Ž ๐ต)))
10 lnop0 31486 . . . . 5 (๐‘‡ โˆˆ LinOp โ†’ (๐‘‡โ€˜0โ„Ž) = 0โ„Ž)
1110oveq2d 7427 . . . 4 (๐‘‡ โˆˆ LinOp โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) +โ„Ž 0โ„Ž))
12113ad2ant1 1131 . . 3 ((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) +โ„Ž 0โ„Ž))
13 lnopf 31379 . . . . . . . 8 (๐‘‡ โˆˆ LinOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
1413ffvelcdmda 7085 . . . . . . 7 ((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‹)
15 hvmulcl 30533 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‹)
1614, 15sylan2 591 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‹)
17163impb 1113 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‹)
18173com12 1121 . . . 4 ((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‹)
19 ax-hvaddid 30524 . . . 4 ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) +โ„Ž 0โ„Ž) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))
2018, 19syl 17 . . 3 ((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) +โ„Ž 0โ„Ž) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))
2112, 20eqtrd 2770 . 2 ((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜0โ„Ž)) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))
224, 9, 213eqtr3d 2778 1 ((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐ด ยทโ„Ž ๐ต)) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110   โ„‹chba 30439   +โ„Ž cva 30440   ยทโ„Ž csm 30441  0โ„Žc0v 30444  LinOpclo 30467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-hilex 30519  ax-hfvadd 30520  ax-hvass 30522  ax-hv0cl 30523  ax-hvaddid 30524  ax-hfvmul 30525  ax-hvmulid 30526  ax-hvdistr2 30529  ax-hvmul0 30530
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-sub 11450  df-neg 11451  df-hvsub 30491  df-lnop 31361
This theorem is referenced by:  lnopmuli  31492  homco2  31497
  Copyright terms: Public domain W3C validator