HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmopun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmopun 32046
Description: Norm of a unitary Hilbert space operator. (Contributed by NM, 25-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmopun (( ℋ ≠ 0𝑇 ∈ UniOp) → (normop𝑇) = 1)

Proof of Theorem nmopun
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unoplin 31952 . . . . 5 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇 ∈ LinOp)
2 lnopf 31891 . . . . 5 (𝑇 ∈ LinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
4 nmopval 31888 . . . 4 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (normop𝑇) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))}, ℝ*, < ))
53, 4syl 17 . . 3 (𝑇 ∈ UniOp → (normop𝑇) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))}, ℝ*, < ))
65adantl 481 . 2 (( ℋ ≠ 0𝑇 ∈ UniOp) → (normop𝑇) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))}, ℝ*, < ))
7 nmopsetretHIL 31896 . . . . . . 7 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))} ⊆ ℝ)
8 ressxr 11334 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℝ*
97, 8sstrdi 4021 . . . . . 6 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))} ⊆ ℝ*)
103, 9syl 17 . . . . 5 (𝑇 ∈ UniOp → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))} ⊆ ℝ*)
1110adantl 481 . . . 4 (( ℋ ≠ 0𝑇 ∈ UniOp) → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))} ⊆ ℝ*)
12 1xr 11349 . . . 4 1 ∈ ℝ*
1311, 12jctir 520 . . 3 (( ℋ ≠ 0𝑇 ∈ UniOp) → ({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))} ⊆ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*))
14 vex 3492 . . . . . . 7 𝑧 ∈ V
15 eqeq1 2744 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)) ↔ 𝑧 = (norm‘(𝑇𝑦))))
1615anbi2d 629 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦))) ↔ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (norm‘(𝑇𝑦)))))
1716rexbidv 3185 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (norm‘(𝑇𝑦)))))
1814, 17elab 3694 . . . . . 6 (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))} ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (norm‘(𝑇𝑦))))
19 unopnorm 31949 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑇𝑦)) = (norm𝑦))
2019eqeq2d 2751 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑧 = (norm‘(𝑇𝑦)) ↔ 𝑧 = (norm𝑦)))
2120anbi2d 629 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (norm‘(𝑇𝑦))) ↔ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (norm𝑦))))
22 breq1 5169 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (norm𝑦) → (𝑧 ≤ 1 ↔ (norm𝑦) ≤ 1))
2322biimparc 479 . . . . . . . . 9 (((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (norm𝑦)) → 𝑧 ≤ 1)
2421, 23biimtrdi 253 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (norm‘(𝑇𝑦))) → 𝑧 ≤ 1))
2524rexlimdva 3161 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ UniOp → (∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (norm‘(𝑇𝑦))) → 𝑧 ≤ 1))
2625imp 406 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (norm‘(𝑇𝑦)))) → 𝑧 ≤ 1)
2718, 26sylan2b 593 . . . . 5 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))}) → 𝑧 ≤ 1)
2827ralrimiva 3152 . . . 4 (𝑇 ∈ UniOp → ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))}𝑧 ≤ 1)
2928adantl 481 . . 3 (( ℋ ≠ 0𝑇 ∈ UniOp) → ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))}𝑧 ≤ 1)
30 hne0 31579 . . . . . . . . . . 11 ( ℋ ≠ 0 ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ 𝑦 ≠ 0)
31 norm1hex 31283 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑦 ∈ ℋ 𝑦 ≠ 0 ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ (norm𝑦) = 1)
3230, 31sylbb 219 . . . . . . . . . 10 ( ℋ ≠ 0 → ∃𝑦 ∈ ℋ (norm𝑦) = 1)
3332adantr 480 . . . . . . . . 9 (( ℋ ≠ 0𝑇 ∈ UniOp) → ∃𝑦 ∈ ℋ (norm𝑦) = 1)
34 1le1 11918 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ≤ 1
35 breq1 5169 . . . . . . . . . . . . . 14 ((norm𝑦) = 1 → ((norm𝑦) ≤ 1 ↔ 1 ≤ 1))
3634, 35mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . 13 ((norm𝑦) = 1 → (norm𝑦) ≤ 1)
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((norm𝑦) = 1 → (norm𝑦) ≤ 1))
3819adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (norm𝑦) = 1) → (norm‘(𝑇𝑦)) = (norm𝑦))
39 eqeq2 2752 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((norm𝑦) = 1 → ((norm‘(𝑇𝑦)) = (norm𝑦) ↔ (norm‘(𝑇𝑦)) = 1))
4039adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (norm𝑦) = 1) → ((norm‘(𝑇𝑦)) = (norm𝑦) ↔ (norm‘(𝑇𝑦)) = 1))
4138, 40mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (norm𝑦) = 1) → (norm‘(𝑇𝑦)) = 1)
4241eqcomd 2746 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (norm𝑦) = 1) → 1 = (norm‘(𝑇𝑦)))
4342ex 412 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((norm𝑦) = 1 → 1 = (norm‘(𝑇𝑦))))
4437, 43jcad 512 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((norm𝑦) = 1 → ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 1 = (norm‘(𝑇𝑦)))))
4544adantll 713 . . . . . . . . . 10 ((( ℋ ≠ 0𝑇 ∈ UniOp) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((norm𝑦) = 1 → ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 1 = (norm‘(𝑇𝑦)))))
4645reximdva 3174 . . . . . . . . 9 (( ℋ ≠ 0𝑇 ∈ UniOp) → (∃𝑦 ∈ ℋ (norm𝑦) = 1 → ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 1 = (norm‘(𝑇𝑦)))))
4733, 46mpd 15 . . . . . . . 8 (( ℋ ≠ 0𝑇 ∈ UniOp) → ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 1 = (norm‘(𝑇𝑦))))
48 1ex 11286 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
49 eqeq1 2744 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)) ↔ 1 = (norm‘(𝑇𝑦))))
5049anbi2d 629 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → (((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦))) ↔ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 1 = (norm‘(𝑇𝑦)))))
5150rexbidv 3185 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 1 → (∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 1 = (norm‘(𝑇𝑦)))))
5248, 51elab 3694 . . . . . . . 8 (1 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))} ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 1 = (norm‘(𝑇𝑦))))
5347, 52sylibr 234 . . . . . . 7 (( ℋ ≠ 0𝑇 ∈ UniOp) → 1 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))})
5453adantr 480 . . . . . 6 ((( ℋ ≠ 0𝑇 ∈ UniOp) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 1 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))})
55 breq2 5170 . . . . . . 7 (𝑤 = 1 → (𝑧 < 𝑤𝑧 < 1))
5655rspcev 3635 . . . . . 6 ((1 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))} ∧ 𝑧 < 1) → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))}𝑧 < 𝑤)
5754, 56sylan 579 . . . . 5 (((( ℋ ≠ 0𝑇 ∈ UniOp) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < 1) → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))}𝑧 < 𝑤)
5857ex 412 . . . 4 ((( ℋ ≠ 0𝑇 ∈ UniOp) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 < 1 → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))}𝑧 < 𝑤))
5958ralrimiva 3152 . . 3 (( ℋ ≠ 0𝑇 ∈ UniOp) → ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 1 → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))}𝑧 < 𝑤))
60 supxr2 13376 . . 3 ((({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))} ⊆ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))}𝑧 ≤ 1 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 1 → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))}𝑧 < 𝑤))) → sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))}, ℝ*, < ) = 1)
6113, 29, 59, 60syl12anc 836 . 2 (( ℋ ≠ 0𝑇 ∈ UniOp) → sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))}, ℝ*, < ) = 1)
626, 61eqtrd 2780 1 (( ℋ ≠ 0𝑇 ∈ UniOp) → (normop𝑇) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108  {cab 2717  wne 2946  wral 3067  wrex 3076  wss 3976   class class class wbr 5166  wf 6569  cfv 6573  supcsup 9509  cr 11183  1c1 11185  *cxr 11323   < clt 11324  cle 11325  chba 30951  normcno 30955  0c0v 30956  0c0h 30967  normopcnop 30977  LinOpclo 30979  UniOpcuo 30981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-hilex 31031  ax-hfvadd 31032  ax-hvcom 31033  ax-hvass 31034  ax-hv0cl 31035  ax-hvaddid 31036  ax-hfvmul 31037  ax-hvmulid 31038  ax-hvmulass 31039  ax-hvdistr1 31040  ax-hvdistr2 31041  ax-hvmul0 31042  ax-hfi 31111  ax-his1 31114  ax-his2 31115  ax-his3 31116  ax-his4 31117
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-grpo 30525  df-gid 30526  df-ablo 30577  df-vc 30591  df-nv 30624  df-va 30627  df-ba 30628  df-sm 30629  df-0v 30630  df-nmcv 30632  df-hnorm 31000  df-hba 31001  df-hvsub 31003  df-hlim 31004  df-sh 31239  df-ch 31253  df-ch0 31285  df-nmop 31871  df-lnop 31873  df-unop 31875
This theorem is referenced by:  unopbd  32047  unierri  32136
  Copyright terms: Public domain W3C validator