HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ellnop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ellnop 31616
Description: Property defining a linear Hilbert space operator. (Contributed by NM, 18-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ellnop (๐‘‡ โˆˆ LinOp โ†” (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘‡

Proof of Theorem ellnop
Dummy variable ๐‘ก is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq1 6883 . . . . . 6 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (๐‘กโ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)))
2 fveq1 6883 . . . . . . . 8 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (๐‘กโ€˜๐‘ฆ) = (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))
32oveq2d 7420 . . . . . . 7 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
4 fveq1 6883 . . . . . . 7 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (๐‘กโ€˜๐‘ง) = (๐‘‡โ€˜๐‘ง))
53, 4oveq12d 7422 . . . . . 6 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘กโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)))
61, 5eqeq12d 2742 . . . . 5 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ ((๐‘กโ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘กโ€˜๐‘ง)) โ†” (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
76ralbidv 3171 . . . 4 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘กโ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘กโ€˜๐‘ง)) โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
872ralbidv 3212 . . 3 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘กโ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘กโ€˜๐‘ง)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
9 df-lnop 31599 . . 3 LinOp = {๐‘ก โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„‹) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘กโ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘กโ€˜๐‘ง))}
108, 9elrab2 3681 . 2 (๐‘‡ โˆˆ LinOp โ†” (๐‘‡ โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„‹) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
11 ax-hilex 30757 . . . 4 โ„‹ โˆˆ V
1211, 11elmap 8864 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„‹) โ†” ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
1312anbi1i 623 . 2 ((๐‘‡ โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„‹) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))) โ†” (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
1410, 13bitri 275 1 (๐‘‡ โˆˆ LinOp โ†” (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055  โŸถwf 6532  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   โ†‘m cmap 8819  โ„‚cc 11107   โ„‹chba 30677   +โ„Ž cva 30678   ยทโ„Ž csm 30679  LinOpclo 30705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-hilex 30757
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-map 8821  df-lnop 31599
This theorem is referenced by:  lnopf  31617  lnopl  31672  unoplin  31678  hmoplin  31700  lnopmi  31758  lnophsi  31759  lnopcoi  31761  cnlnadjlem6  31830  adjlnop  31844
  Copyright terms: Public domain W3C validator