HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ellnop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ellnop 30842
Description: Property defining a linear Hilbert space operator. (Contributed by NM, 18-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ellnop (๐‘‡ โˆˆ LinOp โ†” (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘‡

Proof of Theorem ellnop
Dummy variable ๐‘ก is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq1 6842 . . . . . 6 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (๐‘กโ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)))
2 fveq1 6842 . . . . . . . 8 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (๐‘กโ€˜๐‘ฆ) = (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))
32oveq2d 7374 . . . . . . 7 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
4 fveq1 6842 . . . . . . 7 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (๐‘กโ€˜๐‘ง) = (๐‘‡โ€˜๐‘ง))
53, 4oveq12d 7376 . . . . . 6 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘กโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)))
61, 5eqeq12d 2749 . . . . 5 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ ((๐‘กโ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘กโ€˜๐‘ง)) โ†” (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
76ralbidv 3171 . . . 4 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘กโ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘กโ€˜๐‘ง)) โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
872ralbidv 3209 . . 3 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘กโ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘กโ€˜๐‘ง)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
9 df-lnop 30825 . . 3 LinOp = {๐‘ก โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„‹) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘กโ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘กโ€˜๐‘ง))}
108, 9elrab2 3649 . 2 (๐‘‡ โˆˆ LinOp โ†” (๐‘‡ โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„‹) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
11 ax-hilex 29983 . . . 4 โ„‹ โˆˆ V
1211, 11elmap 8812 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„‹) โ†” ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
1312anbi1i 625 . 2 ((๐‘‡ โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„‹) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))) โ†” (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
1410, 13bitri 275 1 (๐‘‡ โˆˆ LinOp โ†” (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  โŸถwf 6493  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   โ†‘m cmap 8768  โ„‚cc 11054   โ„‹chba 29903   +โ„Ž cva 29904   ยทโ„Ž csm 29905  LinOpclo 29931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-hilex 29983
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-map 8770  df-lnop 30825
This theorem is referenced by:  lnopf  30843  lnopl  30898  unoplin  30904  hmoplin  30926  lnopmi  30984  lnophsi  30985  lnopcoi  30987  cnlnadjlem6  31056  adjlnop  31070
  Copyright terms: Public domain W3C validator