HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnopl 31737
Description: Basic linearity property of a linear Hilbert space operator. (Contributed by NM, 22-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
lnopl (((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž ๐ถ)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ถ)))

Proof of Theorem lnopl
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ellnop 31681 . . . . . 6 (๐‘‡ โˆˆ LinOp โ†” (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
21simprbi 496 . . . . 5 (๐‘‡ โˆˆ LinOp โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)))
3 oveq1 7427 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) = (๐ด ยทโ„Ž ๐‘ฆ))
43fvoveq1d 7442 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = (๐‘‡โ€˜((๐ด ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)))
5 oveq1 7427 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
65oveq1d 7435 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)))
74, 6eqeq12d 2744 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)) โ†” (๐‘‡โ€˜((๐ด ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
8 oveq2 7428 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐‘ฆ) = (๐ด ยทโ„Ž ๐ต))
98fvoveq1d 7442 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐ด ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = (๐‘‡โ€˜((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž ๐‘ง)))
10 fveq2 6897 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) = (๐‘‡โ€˜๐ต))
1110oveq2d 7436 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))
1211oveq1d 7435 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)))
139, 12eqeq12d 2744 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ ((๐‘‡โ€˜((๐ด ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)) โ†” (๐‘‡โ€˜((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
14 oveq2 7428 . . . . . . . 8 (๐‘ง = ๐ถ โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž ๐‘ง) = ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž ๐ถ))
1514fveq2d 6901 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐ถ โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž ๐‘ง)) = (๐‘‡โ€˜((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž ๐ถ)))
16 fveq2 6897 . . . . . . . 8 (๐‘ง = ๐ถ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ง) = (๐‘‡โ€˜๐ถ))
1716oveq2d 7436 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐ถ โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ถ)))
1815, 17eqeq12d 2744 . . . . . 6 (๐‘ง = ๐ถ โ†’ ((๐‘‡โ€˜((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)) โ†” (๐‘‡โ€˜((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž ๐ถ)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ถ))))
197, 13, 18rspc3v 3625 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)) โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž ๐ถ)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ถ))))
202, 19syl5 34 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡ โˆˆ LinOp โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž ๐ถ)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ถ))))
21203expb 1118 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘‡ โˆˆ LinOp โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž ๐ถ)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ถ))))
2221impcom 407 . 2 ((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹))) โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž ๐ถ)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ถ)))
2322anassrs 467 1 (((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž ๐ถ)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆ€wral 3058  โŸถwf 6544  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11137   โ„‹chba 30742   +โ„Ž cva 30743   ยทโ„Ž csm 30744  LinOpclo 30770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-hilex 30822
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-map 8847  df-lnop 31664
This theorem is referenced by:  lnop0  31789  lnopmul  31790  lnopli  31791
  Copyright terms: Public domain W3C validator