HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnopl 31662
Description: Basic linearity property of a linear Hilbert space operator. (Contributed by NM, 22-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
lnopl (((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž ๐ถ)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ถ)))

Proof of Theorem lnopl
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ellnop 31606 . . . . . 6 (๐‘‡ โˆˆ LinOp โ†” (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
21simprbi 496 . . . . 5 (๐‘‡ โˆˆ LinOp โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)))
3 oveq1 7409 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) = (๐ด ยทโ„Ž ๐‘ฆ))
43fvoveq1d 7424 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = (๐‘‡โ€˜((๐ด ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)))
5 oveq1 7409 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
65oveq1d 7417 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)))
74, 6eqeq12d 2740 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)) โ†” (๐‘‡โ€˜((๐ด ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
8 oveq2 7410 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐‘ฆ) = (๐ด ยทโ„Ž ๐ต))
98fvoveq1d 7424 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐ด ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = (๐‘‡โ€˜((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž ๐‘ง)))
10 fveq2 6882 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) = (๐‘‡โ€˜๐ต))
1110oveq2d 7418 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))
1211oveq1d 7417 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)))
139, 12eqeq12d 2740 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ ((๐‘‡โ€˜((๐ด ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)) โ†” (๐‘‡โ€˜((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
14 oveq2 7410 . . . . . . . 8 (๐‘ง = ๐ถ โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž ๐‘ง) = ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž ๐ถ))
1514fveq2d 6886 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐ถ โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž ๐‘ง)) = (๐‘‡โ€˜((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž ๐ถ)))
16 fveq2 6882 . . . . . . . 8 (๐‘ง = ๐ถ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ง) = (๐‘‡โ€˜๐ถ))
1716oveq2d 7418 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐ถ โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ถ)))
1815, 17eqeq12d 2740 . . . . . 6 (๐‘ง = ๐ถ โ†’ ((๐‘‡โ€˜((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)) โ†” (๐‘‡โ€˜((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž ๐ถ)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ถ))))
197, 13, 18rspc3v 3620 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)) โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž ๐ถ)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ถ))))
202, 19syl5 34 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡ โˆˆ LinOp โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž ๐ถ)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ถ))))
21203expb 1117 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘‡ โˆˆ LinOp โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž ๐ถ)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ถ))))
2221impcom 407 . 2 ((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹))) โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž ๐ถ)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ถ)))
2322anassrs 467 1 (((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž ๐ถ)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3053  โŸถwf 6530  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  โ„‚cc 11105   โ„‹chba 30667   +โ„Ž cva 30668   ยทโ„Ž csm 30669  LinOpclo 30695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-hilex 30747
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-map 8819  df-lnop 31589
This theorem is referenced by:  lnop0  31714  lnopmul  31715  lnopli  31716
  Copyright terms: Public domain W3C validator